17第四单元 第 15 讲 三角形与全等-【全程夺冠中考】2025年春数学听课讲义

第二部分图形与几何 第15讲 三角形与全等 教材整合·梳理考点 考点》1]三角形的分类 续表 (1)BD=DC=0 不等边三角形 BC; 中 1 按边分 三角形 等腰底边和腰不相等的三角形 (2)SAum=S6wm=2S△r 三角形① AD 注：三角形三条中线的交点叫 做三角形的重心 斜三角形 e 按角分 三角形 饨角三角形 (1)∠ADB=∠ADC=90°： 直角三角形 高 AD (2)S△A= 2BC·AD. 考点》2 三角形的边、角关系 S△AD:S△e=BD:DC (1)三角形的中位线① 三边 三角形的任意两边之和③ 第三 中 第三边且等于第三边的 关系 边，任意两边之差④ 第三边 位 ② ,即DE∥IBC,DE 线 ⑧ 三角形的内角和等于 DE (2)三角形的中位线将三角形分 内角和 ⑤ ,如图，∠A+ 成面积比为1：3的两部分 定理 ∠B+∠ACB=180°. 考点》4 全等三角形的性质与判定 (1)三角形的一个外角 概念 能够完全重合的两个三角形叫做全等 @ 与它不相邻的 三角形. 两个内角的和.如图，∠1 全等三角形的对应边④ 性质 ,对应 内外角 ∠A+∠B. 角⑤ 关系 (2)三角形的一个外角① 三边分别西 Sss 任何一个和它不相邻 (边边边) 的两个三角形全等.说 公 的内角.如图，∠1>∠A, 明三角形具有稳定性 ∠1>∠B. SAS 两边和它们的⑦ 分别相等的两个 边角 在同一个三角形中，大边对⑧ (边角边) △△ ·小 三角形全等 关系 边对小角 ASA 两角和它们的夹边分 别相等的两个三角形 考点》3 三角形中的重要线段 判 (角边角) 全等 图示 性质 定 两角和其中一个角的 AAS (1)∠1=∠2=⑨ 对边分别相等的两个 (角角边) 三角形全等。 角 ∠BAC: 平 (2)DE=DF: 分 (3)S△m：SAc=BD: HL ⑧ 和一条直 线 DC=AB AC. (斜边、 角边分别相等的两个 AD 注：三角形三条角平分线的交 直角边) 直角三角形全等. 点叫做三角形的内心 65 数学 ©易错提醒 (2)添加的条件是 “AAA”“SSA”不能判定两个三角形全等 ,依据是“ASA”: 判定两个三角形全等时，必须有边的参与：若有 (3)添加的条件是 ,依据是 两边一角对应相等时，角必须是两边的夹角. “AAS”: 题串考点 (4)若∠A=∠D=90°，添加的条件是 如图，在△ABC和△DEF中，已知∠B= ,依据是“HL”. ∠DEF,BC=EF.添加一个条件使得 △ABC≌△DEF. (1)添加的条件是 ,依据是“SAS”: 真题再现·聚焦考向 命题点》1] 三角形三边的关系 例1[2023长沙]下列长度的三条线段， 能首尾相接组成三角形的是 ( A.1,3,4 B.2,2,7 A.1 B.2 C.3 D.4 C.4,5,7 D.3,3,6 命题点》2三角形的内角和、内外角关系 夺冠笔记同 例2(1)[2024长沙]如图，在△ABC 判断三条线段能否组成三角形，只需选 中，∠BAC=60°，∠B=50°，AD∥BC,则∠1 择两条较短的线段求和，若这两条线段的和 的度数为 大于最长线段的长，则这三条线段能组成三 角形，否则不能. ☑针对训练 1.[2023衡阳]下列长度的各组线段能 组成一个三角形的是 A.50° B.60°C.70° D.80 A.I cm,2 cm,3 cm (2)[2023深圳]如图为商场某品牌椅子的 B.3 cm.8 cm,5 cm 侧面图，∠DEF=120°，DE与地面平行， C.4 cm,5 cm,10 cm ∠ABD=50°，则∠ACB= ( D.4 cm.5 cm,6 cm 2.【创新考法】[2022益阳]如图①，将长 为6的矩形纸片沿虚线折成3个矩形，其中左 右两侧矩形的宽相等，若要将其围成如图②所 7n地 示的三棱柱形物体，则图中α的值可以是 A.70° B.65° C.60 D.50 66 第二部分图形与几何 夺冠笔记回 夺冠笔记回 三角形的内角和定理及其推论是在三角 三角形的中位线定理在证明两线平行关 形中进行角度计算和转换的基本工具，我们 系和计算两线段数量关系时有着重要应用， 要学会灵活运用 因此，题目中有“中点”，要学会寻找或构造中 ☑针对训练 位线，从而为解题创造条件」 3.[2024苏州]如图，ABCD.若∠1= ☑针对训练 65°，∠2=120°，则∠3的度数为 ( 5.如图，在△ABC中，以点A为圆心， 任意长为半径画弧，分别交AB,AC于点M, B N:再分别以点M,N为圆心，大于MN的长 为半径画弧，两弧交于点P.连接AP并延长 A.45 B.55 交BC于点D,则下列说法正确的是( C.60 D.65 4.[2023株洲]《周礼·考工记》中记载 有：“…半矩谓之宣(uān),一宣有半谓之 棚(zh心)….”意思是：“…直角的一半的角叫做 A.AD+BD<AB 宣，一宜半的角叫做褐…即，1宜=号矩，1褐 B.AD一定经过△ABC的重心 C.∠BAD=∠CAD 12宣（其中.1矩=90）. D.AD一定经过△ABC的外心 问题：图①为中国古代一种强弩图，图② 6.[2024广安]如图，在△ABC中，点 为这种强弩图的部分组件的示意图.若∠A= D,E分别是AC,BC的中点，若∠A=45°， 1矩，∠B=1橱，则∠C ∠CED=70°，则∠C的度数为 命题点》3三角形中的重要线段 A.45 B.50°C.60° D.65 例3[2024长沙]如图，在△ABC中，点 例4如图，在△ABC中，∠ABC,∠ACB D,E分别是AC,BC的中点，连接DE.若DE 的平分线BE,CD相交于点F.若∠BFC 12,则AB的长为 130°，则∠A的度数为 ( A.50° B.60° C.70 D.80 67 数学 夺冠笔记回 命题点》4全等三角形的性质与判定 与三角形角平分线夹角相关的四个结论： 例5[2024长沙]如图，点C在线段AD 情形 图示 结论 上，AB=AD,∠B=∠D.BC=DE (1)求证：△ABC≌△ADE: 两内角 (2)若∠BAC=60°，求∠ACE的度数. 平分线 ∠P=90+2A 夹角 BP,CP是∠ABC 与∠ACB的平分线 一内角 一外角 平分线 夹角 BP,CP是∠ABC ZBPC-3ZA 与∠ACD的平分线 两外角 ∠BPC=90°- 平分线 夹角 2<A BP.CP是∠DBO 与∠ECB的平分线 共顶点 ☑D-☑B 角平分 B ∠C)(∠B> 夺冠笔记同 D ∠C),即共顶点 线与高 在△ABC中，AH 1.三角形全等的证明思路： 线夹角 的高线与角平分 是高，AD是∠BAC 线夹角等于两底 找夹角→SAS 的平分线 角之差的一半 已知两边找直角→H 找另一边→SSS ☑针对训练 证 边为角的对边→找任一角→AAS 7.[2024达州]如图，在△ABC中，AE1, 三 已知 找角的另一边→SAS BE1分别是内角∠CAB,外角∠CBD的三等 形 一边 边为 找已知边所在的另 全 和一 分线，且∠EAD= ∠CAB,∠E,BD= 角的 1 角 一边 一角→ASA 找边的对角→AAS 号∠CBD,在△MBE,中，AG,BE,分别是内 找夹边·ASA 已知两角 角∠E1AB,外角∠EBD的三等分线，且 找不是夹边的任一边→AAS 2.三角形全等的性质是证明线段相等、 ∠E,AD-3∠EAB,∠EBD=3∠E,BD,以 角相等的常用依据.在三角形中，遇到证明线 此规律作下去，若∠C=m°，则∠E 段相等或角相等的问题，首先可以考虑判断 两条线段或两个角所在的两个三角形是否 全等 68 第二部分图形与几何y ☑针对训练 (1)求证：△BDE≌△CDA. 8.[2023吉林]如图，钢架桥的设计中采 用了三角形的结构，其数学道理是 9.[2024成都]如图，△ABC≌△CDE. 若∠D=35°，∠ACB=45°，则∠DCE的度数 为 10.[2024牡丹江]如图，在△ABC中， (2)若AD⊥BC,求证：BA=BE. D是AB上一点，CF∥AB,D,E,F三点共线 请添加一个条件： ,使得AE= CE.(只添一种情况即可) 11.[2024南充]如图，在△ABC中，点 D为BC边的中点，过点B作BE∥AC交AD 的延长线于点E 见配套《自主选练本》 自主选练 69【一题多阅】 【习】112)-》 【倒3】这果病将定价为455元时 【3】24 【针对词练】 5.(1)段比例涌数的解析式为,-.一次随数 能的复无的“科泪”战“掉指的文”段大,其最大道& 【针对词】 4(1-+1c0.4(2 3125万元 7.A85 【例3】1)长装选30件,短歌奖过 1 【计】 的解析式为 , 【例可】A 20f (231t 【对词】 (2)选件短默慰装,姓长默慰装时 (oP(1-o):M0-6或t0.1n 7.1--+0-一%n 最大利割,最大利冽是4800元 A10.B 11.-.那么 (2)(一25时,揭成跨矩形花揭的到程为 【对词】 第15讲 三角形与 n(1})() 0m 8.(1)A数文创严品每持的连价是如元,B数文 【考点1】①边三角册②悦角三角形 【材整合·梳观考点】 产品每件的进是15元 (3)顾成的迎形花则丽积存在最大值,最大旅为 75o(-5.0(8-0(0) 800m比对-的值为20 【点习】③大干 ④小干 80”等干 (2)歌进A整文划产是0件:购进目数文 【一问】 品0件,所使掩出完后基现的引测是达,最大刻面是 备专题(二)反比例涵数中的而模型 大干 ③大角 8(1-rl-2-3 线-1(1-0 180% 1.B 2B 3.3 【点习】。①③一 【一题部阅】 (2P1-(a5)oNu.一2) (11(2 (304 (r-且ai1 #3- 5C.8 (5)因边形ABPC直的最大值为,此时点 .8917 【考点4】相等 幅等 相等 的() 10.C 11.D 12 【考点】 63在,H-4(-1-) 1.1-21(0 (1AB-D (2)ACB-乙rAC(D] 第12讲 反比例涵数及北应用 第二部分 图形与几向 【数材合·理考点】 (3AD 1ACDFAD 第四单元 线与角,三角形 【例1】C 【真题再现·题焦考向】 【点1】①②o小③增大 11 数的解析式为,一 第1 线段,角,相会与平行 【数材整合·观考点】 【考点习】2] 【针对词】 (2i 【考】①-②四 ③ ①A 第13 二次涵股其应用 1.D2.B BC BC ⑧A ②rC 【真题现·要考问】 【例习】(1C(A 【数材整合·理考点】 【例1】C 【考点】 000%①180” 【对词】 【牡财调】 相等 BPD-PE 0乙1-乙? 8.B4.2.' 【考点习】”5乙①乙5 1.A D)增大减 【例习】: 要乙③/8 ()理由略 【针对词】 【考点4】③一②线段 长度 s0) .C6.D 【习C 【考点习】②内指 互 内角互斗 【例】D 【计对】 【习】- 听 【对词】 --π) 【考点6】真 ③数 适命题 理 【考点4】两个 ①-个 设 t 【3A(1DB(.1y-+1 【题考点】 【例习】(1)证明略 【真题再现·考向】 (1)真(2)如果两直线行,那么同位角相等 n01} ()0” 【1】(1D(20D (3)网位角相等,两直线平行(4)两直线平行,同位 【计对词】 【针对词】 【针对词】 角不等 8.三角形具有稳定性 9.10 10DF项 1 1A 2D 3D 4.1 5.(1- 【直题正·题考 AD-(r(答一) 【】-一 【例1】(1DD(23B(3)点之间,线段最 (2-→( 11.证 【计对】 画题(三)四大常考全等 【计对】 1C2A14 【9】11- (212A 1.证略 5.01-+2+10 【例2】(1C()8 2.(1)证明略(2]D” 【针对词】 【计对词】 (2)从跳点现人水点的水平的 2i 6C7.180 长为/TT+11- 4.C 5.B 6.C 4.(1(212 8 -159一 8-1- 5. 指专题(五)等题三角形中的分类时论 【计对词】 第五单元 四边形 6.证略 【例1】20或0 11.6 .D+-D现过程 【计对词练】 【例5】A 第达 多边形与达 8.(1证明略(2343 1. a100 【计对词】 【1】①-.1 ②” 【数材题合·故观考点】 30751000 12.111 2.(DAF-D (7AF-DE - ①相答 ②相等 -21x1 【例习】(1) 成28 m(2)17 题(七)同人常考相模 置号题(四角平分线性的照笔 【针对词练】 , 1.8 2.电视C列公P①的内是30m 【例1】0 3.18点17 对称u 【针对词】 8CL15.6 【例3】A 6.(1)证明络(2) 1.1 【考点2】②平行 0平行且相等 相等 【计对】 【例习】 PC-PD理略 ③互相平分 ③中心0变点 行 相等 4.4025” 7A8.C 【计对】 和 ①平行且等 互相平分 【例4】(1)乙AE一ZCF,理由 :证听 (2)证明略 【例1】C 【真题离现·题考向】 (20空 【例习】C 5.(1明题 第8译 较角三角函数及解直角三角形 【针对词】 【计对词】 【计对词练】 【数材合·观考点】 3.5 1A 2.t0 X1% 5.1 【1】①②③是 【例4】(13(2015 【例2】证明略 【社对词】 画专题(六)中点有关的六大顿型 【计对词练】 【& 1.B 23 3.A 4.20 5.略 4.B 5B / 4.B 5.2 6.明略 第16读 等题三角形与直角三角形 617.明 85 1.B 【例3】①②(1(2) 【真题现·题考】 【数材独合·建考点】 【针对词】 10.(11<AD七7.题过程略(2明 【考点1】①两造 ②一 ③项角的分线 【1】 .1 7.D 8证明略 9.(1 (2)T5 ①过上的高 边的中线 【一题多问】 【考】三0” 【针对词】 第17计 回形的相 cn45 135 (508 (654(7) 1.(1证略 (2明路 (3X① 10 ② 【考点3】中 点 等 相 【数材整合·理考点】 1.C11.B 【考4】①直角”①一一 【例习】2短 第2讲 账 鉴形.正方形 【考点1】 ①一②-①成比例 +'+6- 【计对词】 【数材整合·考点】 盛比例 【真题再现·题考问】 4A5-1 【考点1】①角②直③相② 角 【例1】(1证明略(2)0” 【考点2】相等 成比例 ②相刻比 ②相 【例3】(1)线段(CD的长约为54m 三 相 【计对词】 比 现相似比的平方 ②夹角 等 1.C2100 3.0r (2)路A的高度约为50m 【考点2】③过相直平分0分 比例 【针对词题】 4.(1)明 (2)CD-ED.由 ③t ①① 相 直 }。 【真题再现·预炼考向】 6.斜填AB的长均为10.3 【例1】A 【例习】(1)迁明略 【考点习】直 相等 直 ② 【计对词】 7.(1)CE的长约为7m.现C的长约为3 【针对言】 (2)的到AxD的约为15m 平分 ” 邻 5.C 6.证略 1A213-1 提题(八) 直角三角形应用的三大模 【例习】证明 直 互直 【例习】C 1A处约l0nm} 【对词】 【计对词】 【题再现·聚焦考向】 2.塔在约为D园 7.B 4.B5DD/A-C答 【例1】(1证明略(21? 【例】A $B.(1)(2). 3.(1卷山晚车上升的高度DE为450 【对线】 (2)山滚A处到达山则D处大的滚要I4m 【计对词】 1.C 1D3.证略 8C 9D 10.4811 【例3习】B 4.(1)点D跟地首现C的离为 【8】 【例5】B 【针对】 (2)速提物A8的高度为15m 【例3】证明 【对词】 10.8 【计对词】 【针对词练】 1.1 【4】20 5.广告上的度均为4.5m 4.A .明 8 -111- 87 88 -1-