15第三单元 第 13 讲 二次函数及其应用-【全程夺冠中考】2025年春数学听课讲义

【针对练】 【针对国练】 【例+】1)栋柜材南的单价为免无，黄金黄核 品 1 5,15 树苗的单价为的无 6边的宽为4m,天头长为4m 【真随再现，数焦考向】 (2)最多可叹购灭环修树苗国棵 【例】有 7云，(1)6刻上数学移有0水，n文书有3本 【针对词辉】 ()数学书最多还间以摆0本 【酬】g,1+ 4 队最多可的买这种摩号的水基灵文态2个 【针对到婚】 【例】A种家作物的种植直积是3公切，君种 (8)1-1:4=-1 只种植1南甲作害量3名学生，种植1南乙作 65时原式。- 农作物的种植真积是公倾 【针对司储】 物带要6名学州 【针时到越】 1.i2上+1,7 (2)茶少种植甲作物5面 当多=1时，原式…一， RA 【例】1DA2)A 【一额多问】 气一2时，原式=一2 鸟白自色琴健的个数为2个，男色琴健的个数为 【针时辑练】 1近.x一1闲略 12w+4,-2 第个 头A4多点>】我(m32)-g 〔2)一1<r3,不等式响的整数师为一1，心，1,2 【一题多问】 【酬3】(1)证明略2)一2境 (3)H 式=1 -0ema曾阳量 【针对到练】 氧三单元高数及其国象 【例3】12-1-2,2 面w的量小值为 元生表12民3 第相讲平面度角坐标系函盈 【针对篮】 第？讲价式方餐险其克川 【制+】（这精个月中该成区筹客人数的月平 【教材整合·械理考点】 k-2-t2 【整树整合·密置考点】 均增长率为25% 【点1】①-4+)一-)8十-》m ①：解等心相反数③（一￥》一，一】 【例4】原式化脑为1，即淡式子的黄与：的氧 【考点1】①术加成@整式量算分公号①0 〔2)5月份后10天目均接待静客人数量多是%1 无美，无论」-25还是士=202，焦算出的结果释 【考点】⊙H闻心工作差镜心单价 万人 0a一so)g阳十s61b十n1Ga0-n 传价 吃水淹速度 【针对辑练】 【*点2】06G1a1a+8 正确 【针对练】 IB ILC 【有点】0t一0r≠00：00r0 【高题再现·覆焦考向】 代数式红-D÷2红+-2即 【一随多问】 且r+￥F0r0 xx一1) Le 【例1】上-3 121》(0-3)(发F-候4)0+1202 【离抛再现，病考向1 化穆的结果与上的值无美，原式的值为2 【针对得练】 (2)①用降百332025 【例1】(1)H()A 1.02.x=13x==142=45.=10 第二单元方程（国）与不等式（组） 4)△的周长为7域8 【针时到裤】 长层方程无解 第9裙不等人（圳）隆其晚同 1.A 2C 1.A 著备诗一次方院里)最其晚用 【例1】甲组同的平均得小时越100个棕子，乙 【例1】(1x*12r3-3且x产0 【较材整合·装星考点】 【数材整合·板理考点】 甄同学平的斜时但侧个称子 【针对训篮】 【W瓶】①k8兰等式相等 【针对初篮】 【第点1】D未妇数的值甲解年甲> 4.-25,x23 .D8.C点日 【考点1】项一1 【年点】2u6ra 【例3】D 1瓜D积车的平向成度是100km/h 【考点】81您1 【一题雀问】 【笔点】9>DG 【针对练】 【等点4】0工作3冈 【蔬再现·要焦考向】 AD 7C &D 【真题再观·聚焦考向】 1l0r=-1 【例】D 【一题多问】 【例1】x=一17 【针对辑练】 久(10二(202g(30w<一2《4川一，一3知 【针对辑炼】 -1交-有接 1.A (4.1)3核(41-2境3(7)点卫在第=象限 1,Br= 第等得：一元次方程及其克用 【例】-1r<7 (814=1,3或(=1.8) 【整树楚合·整理考点】 【针对调每】 第11讲次函数及其中川 【例】 [季点1】①一因 名D3A1.x<25.2-倒略 【植材整合·被理考点】 【针对到练】 【传成】@土 【酬】-< 【W店】山（一）3w大④减小 【美点】w一x有再个不解等歌有 【针对辑练】 【真蓝再规·是焦考向】 =3: 两个相等四收有⑧女好 6B 【例1】(1)A(?)B433符常不一- y立 【针对帽练】 【例】高铁的平均速度为匀6km/h 【考点4】ul士r-★0u-rb-2l 1,B2A1 【侧2】10A'2,o112=-r+g 【一期多闪】 【例3】位果商将基枝定铃为吨L可万元时才 【例3】24 【针对到然】 4.(10y=十13.118)2 人以比刻雨数的解析式为，一 。一改滴数 能使每天的利闲”设”的W较入豆大，北最大值为 【针对闻练】 125万元 1.A%5 【例】《1》长然膜装需进的针，款餐装购进 的解新式为y一+十切 【针对铜练】 【例】A 创件 【针对铜练】 ()5购进的件延款里装，的件长款鼠装封看 (2901320rc4 鸡 从A1位非1L如暴-山<，那么￥户6 量大利物.最大料制是40元 wP(g）Mm.a.1回 7.1y一2+期.S一22+01C0 第15讲三角形金等 【针对氧练】 (2)西(=驾时，属成豹矩感花调的雪阻为 【教材整合·棱理考点】 长(1)A款文创产品每井的连价是知元，8教文 0H1.)成.》 动m 【章点1】①等边三角用②视角三角形 创产品每什均选价是西元 图)国我的单思花国出积存在最大值。量大雀为 (2)期进A数文斜产品0作，脚进日数文创广 mo度-5o减，营0】 【点】①大干①小于10®等于 0m,此时的值为0 品40件，使销西定店获得的利斜量大，最大利国是 登专卷（二」）反比到桶酸中的直和顺型 【一疆多问】 中大干0大第 1的元 1.B 2B 33 (1y=-2石一3直线x=11,一4 【*底】9号号F@一牛 【一”多闪】 L心 (P.(ovu.-29 40w>1g号 6C7,8 (⑤调边形A8C有周的最大镇为要，比封点下 【彩点+】君相零⊙等)相等意夹用 -吉+-oi6 58久12 信礼边 10.C I1D 的里标为号中) 【超串老点】 129 〔G)存雀，H18.-4域(5-1.5 (IAB=(2》∠C事=∠F(度ACD》 1L,1)y-一r+2ra0发g3 第12球反比例雨数楼应用 第二部分闲形与几何 3D∠A=∠D4AC=DF(RA=DE 【敏材整合·被星考点】 1《反比例而数的解析式为，一一 【真颜再现，焦考向】 第四单元线与角，三角形 【传点】D号减小州大 数的新新式为少一之十1 【例】C 第4讲线段.角.相线与平线 【针时闻练】 【W点】@号41@2 【粒制整合·被星考点】 (2)5 1.D3B 第13讲水函数贤其成用 【尾唐】①一线厦⑤长庭①AB 【例】(12)A 【真赠再现，聚集考向1 【例1】C 【数材整合·续理梦点】 图k仪C8AB@k 【考点2】8方G0DgB附等G1 【针对谓练】 xB七四. 【针对铜婚】 【点】y+加中g上g会 8相等BPD一PE5∠1=∠2 1,A 【例3】 名- 【2冰，理由略 到去当碳小蜡大少品4线 【笔点】相等0@∠角①∠5 8∠58∠8 【针时到练】 如产成 【考点】好一窗手线程长度 三CiD 【例】C 【考点】德内情参互补旁内角互补 【例】D 【针对帽练】 【点】④yr山r0y-一hP+比 0,成 【针对润辉】 A儿g 0yur-31r—a 【年点6】@直幻程G适白题配裤理 知 【考点4】两个D一个0授有 【丽审考点】 【例3】A1,0,B9,)y--十0 【真盟再现·聚焦考向】 1)真2：如果件议平行，事么同数角相等 【例5】(1)好期南(2好0 (2r60或1C上 【例1】(1)D(2)D (3国位角相等，两直线平行44)两直线平行.同位 【针对辑练】 【针对闲婚】 【针对到然】 角不相等 总三角形具有檀定在具AE=于减 &.(1Dy1- + 1.A2D1D4 【真题再规·聚焦考向】 AD(下（容案不班一） 【例1】(1)D(2)B(3)周点之间.视数最如 1儿证明略 g)-<0成>号a 【针时得练】 厦专图（三》四大常考余等板用 【例】1-爱22A 【针对国练】 1.C2A1.4 1.证明好 5.(1)ym-x+2+10 【例2】(13C(2)8 2(1)证用席(2)3 【针对润婚】 〔2)写动员从起花点到人水点的水平距内相的 【针时调练】 &让听暗 6C7,180 长为(TT+1= 4.C丘Ba.cC 4,(1山明路(212 拉学一的一第一部分数与代数 第13讲 二次函数及其应用 教材整合·梳理考点 考点》1二次函数的概念、图象与性质 考点》2 求二次函数的解析式 般地，形如① (a,b, 三种 适用条件及求法 c是常数，a≠0)的函数叫做二次函数.其 概念 形式 中x是自变量，a,b,c分别为函数解析式 若已知条件是图象上的三个点或三对自变 的二次项系数、一次项系数和常数项. 般式 量与函数的对应值，则可设所求二次函数 函数 一般式：y=a.x+bx+c(a≠0)： 的解析式为⑨ 解析式 顶点式：y=a(z-h)2十k(a≠0). 若已知二次函数图象的顶点坐标或对称轴 顶点式 方程与最大值（最小值），则可设所求二次 函数的解析式为⑩ 图象 若已知二次函数图象与x轴的两个交点的坐 交点式 标为(x1,0),(x:,0),则可设所求二次函数的 (a>0) (a<0) 解析式为① 开口 开口② 开口向下 考点》3 二次函数图象的平移规律 方向 平移方式 解析式变化情况 口诀 对称轴 直线x-③ 或直线x=力 向上平移 y=a(x-h)2+k→ m个单位 y=a(x-h)2十k十m 上加下减 顶点 ④ 或(h,k) 坐标 向下平移 y=a(x-h)3+k→ 常数项 m个单位 y=a(x-h)2+k一m 当x<- (或h) 当x<- （或 b 2a 向左平移 y=a(x-h)”+k→ 左加右减 时，y随x的增大 时，y随x的增大而 m个单位 y=a(r-h +m)*+k 而增大：当x> 自变量 增减性 ⑤ ;当x> b 向右平移 y=a(r-h)2+k→ (即x左加 (或h)时y随x （或h)时，y 2a m个单位 y=a(r-h-m)2+k 右减) 随x的增大而 的增大而⑥ 减小 国易错提醒 当x=一 名（或） 对于一般式的平移，同样是“上加下减常数 当x=⑦ 最值 时，y 有最小 时，y有最大值 项，左加右减自变量”，如将抛物线y=a.x2十 值⑧ Aac-b2 bx十c向右平移m个单位后得到的图象的解 Aa 或k) 析式为y=a(x-m)2十b(x-m)十c. 55 数学 考点》4二次函数与一元二次方程的关系 考点》5二次函数的应用 L.若二次函数y=ax2+bx+c的图象与 1.利用二次函数表示实际问题中变量之间 的关系，如投球、桥洞等问题. x轴有两个交点，则两个交点的横坐标是相应 两种 2.利用二次函数解决实际问题中的最优化 的一元二次方程a.x2+br+c=0的两个解. 类型 问题（如面积最值、长度最值，商品利润最值 2.一元二次方程根的判别式同样可以用于判 等)，其实质就是利用二次函数的图象与性 断抛物线与x轴有无交点的情况： 质求二次函数的最大值或最小值. 关系 (1)b2一4ac>0=抛物线与x轴有② 注意 会求二次函数的最大值或最小值，并能确定 相应自变量的值能解决相应的实际问题。 交点： (2)b2一4ac=0=抛物线与x轴有B ©易错提醒 交点： 在实际问题中求最值时，不一定在抛物线 的顶，点坐标处取得，因为自变量的取值往往受 (3)b2一4ac<0台抛物线与x轴 到了制约，要注意自变量的取值范围，要在允 交点 许的范围内取值 真题再现·聚焦考向 命题点》1二次函数的图象与性质及与 (2)二次函数y=a.x2十bx十c的图象与 系数、方程、不等式的关系 其系数有如下关系： 例1(1)[2024陕西]已知一个二次函数 字母或 y=a.x2十bx十c的自变量x与函数值y的几 符号 图象的特征 代数式 组对应值如下表： a>0 开口向上 -4-20 3 a y…-24-80-3-15… a<0 开口向下 则下列关于这个二次函数的结论正确 b=0 对称轴为y轴 的是 ( ab>0 对称轴在y轴左侧 A.图象的开口向上 b (a,b同号) B.当x>0时，y随x的增大而减小 ab<0 对称轴在y轴右侧 C.图象经过第二、三、四象限 (a,b异号) D.图象的对称轴是直线x一1 c=0 经过原点 (2)[2023娄底]已知二次 c>0 与y轴正半轴相交 函数y=a.x2十bx十c的图象如 c<0 与y轴负半轴相交 图所示，给出下列结论：①ac< b2-4ac=0 与x轴有唯一交，点 0:②4a-2b+c>0:③a-b> b2-Aac b2-4ac>0 与x轴有两个不同交点 m(am+b)(m为任意实数)：④若点（一3，y1) b2-4ac<0 与x轴没有交点 和点(3，y2)在该图象上，则y1>y2.其中正确 的结论是 ( 判断am2+bmm十c的待号，就是判 A.①② C.②③ D.②④ 断x=m时，函数值的符号，可由点 B.①④ am2+bm+ (m,am2+bm十c)与r轴的相对位 夺冠笔记回 c(其中m 通常取士1， 置确定.当，点在x轴上方时，an2十 (1)二次函数的很多性质，例如对称轴、 ±2，±3) b1十c>0:当点在x轴上时，m2十 顶，点坐标、最大（小）值，增减性等，都可以从 bmn十c=0;当点在x轴下方时，an2+ 顶点式中反映出来」 b+c0. 56 第一部分数与代数 ☑针对训练 命题点2二次函数解析式的确定 1.[2024包头]将抛物线y=x2十2x向 例2[2024牡丹江]如图，二次函数y= 下平移2个单位后，所得新抛物线的顶点式为 2x+bx十c的图象与x轴交于A,B两点，与 ( A.y=(x+1)2-3 y轴交于点C,点A的坐标为（一1,0），点C的 B.y=(x+1)2-2 坐标为(0，一3)，连接BC C.y=(x-1)2-3 (1)求该二次函数的解析式： D.y=(x-1)2-2 (2)点P是抛物线在第四象限图象上的任 2.[2023大连]已知抛物线y=x2-2x-1, 意一点，当△BCP的面积最大时，BC边上的 高PN的值为 则当0≤x≤3时，函数的最大值为( A.-2B.-1 C.0 D.2 3.[2024凉山州]抛物线y=号红-1D+c 3 经过(-2.0y)(号)三点，则y y2y:的大小关系正确的是 A.yi>y:>ys B.y:>y>y C.y:>y1>y: D.yi>y:>y 4.[2024绥化]二次函数y=a.x2十bx十 c(a≠0)的部分图象如图所示，对称轴为直线 ☑针对训练 x=-1.有下列结论：①2>0：②am2+bm≤ 5.[2023兰州]一名运动员在10m高的 跳台进行跳水，身体（看成一点）在空中的运动 a-b(m为任意实数)：③3a+c<1:④若 轨迹是一条抛物线，运动员离水面OB的高度 M(x1y),N(x2,y)是抛物线上不同的两点， y(m)与离起跳点A的水平距离x(m)之间的 则x1十x2≤一3.其中正确的结论有() 函数关系如图所示，运动员离起跳点A的水平 距离为1m时达到最高点，当运动员离起跳点 A的水平距离为3m时离水面的距离为7m. (1)求y关于x的函数解析式： 10 行支柱 A.1个 B.2个 C.3个 D.4个 57 数学 (2)求运动员从起跳点到入水点的水平距 夺冠笔记园 离OB的长. 求二次函数的最值的两种方法：(1)可直 接利用公式法求顶，点的纵坐标，即y=a.x2十 b十c的最大值为ac-b(a<O)或最小值 Aa 为ac一b (a>0).(2)若顶点在已知给定的 Aa 自变量取值范围内，则函数在顶点处取得最 大值或最小值；若顶，点不在已知给定的自变 量取值范围内，则根据二次函数的性质判断 所给自变量取值范围的两端点处对应的函数 值大小，从而确定最值 命题点》3二次函数的实际应用 ☑针对训练 例3[2024广东]广东省全力实施“百县 6.[2024广西]如图，壮壮同学投掷实心 千镇万村高质量发展工程”，2023年农产品进 球，出手（点P处）的高度OP是m,出手后 出口总额居全国首位，其中荔枝鲜果远销欧 美.某果商以每吨2万元的价格收购早熟荔 实心球沿一段抛物线运行，到达最高点时，水 枝，销往国外.若按每吨5万元出售，平均每天 平距离是5m,高度是4m.若实心球落地点为 可售出100t.市场调查反映：如果每吨降价 M,则OM m. 1万元，每天销售量相应增加50t.该果商如何 定价才能使每天的“利润”或“销售收人”最大？ 5m 并求出其最大值.（题中“元”为人民币） 7.[2024湖北]学校要建一个矩形花圃， 其中一边靠墙，另外三边用篱笆围成.已知墙 长42m,篱笆长80m.设垂直于墙的边AB长 为xm,平行于墙的边BC长为ym,围成的矩 形面积为Sm. (1)求y与x,S与x的函数关系式. 58 第一部分数与代数 (2)围成的矩形花圃面积能否为750m2? 国一题多问 若能，求出x的值 8.如图，二次函数y=x2+bx十c的图 象与x轴交于A,B(3,0)两点，与y轴交于点 C(0,一3)，顶点为M. (1)该二次函数的解析式为 ,函数图象的对称轴是 顶点坐标是 (2)若点P是抛物线对称轴上的一个动 点，当PA十PC的值最小时，求点P的坐标 (3)围成的矩形花圃面积是否存在最大 值？若存在，求出这个最大值，并求出此时x 的值 (3)若点Q为线段BC上一动点，过点Q 作y轴的平行线，与抛物线交于点E,当线段 QE的长度最大时，求点E的坐标 59 数学 (4)若点N是对称轴上的一动点，当 (6)连接AC,若点F为直线BC下方抛物 △NAC的周长最小时，求点N的坐标. 线上一动点，过点F作AC的平行线，交线段 BC于点G,在直线L上是否存在点H,使得以 A,C,G,H为顶点的四边形为菱形？若存在， 求出点H的坐标：若不存在，请说明理由. (5)在第四象限的抛物线上有一点F,求 四边形ABFC的面积的最大值及此时点F的 坐标. 见配套《自主选练本》 自主选练 60