09第二单元 第 8 讲 一元二次方程及其应用-【全程夺冠中考】2025年春数学听课讲义

数学 第8讲 一元二次方程及其应用 教材整合·梳理考点 考点》1]一元二火方程的概念及般形式 续表 等号两边都是整式，只含有① 个未 对于一元二次方程a.x十bx十c= 求根 概念 知数，并且未知数的最高次数是② 公式 0(a≠0)，当b2一4ac≥0时，它的 的方程 根是x=③ 二次项苏教n≠0， 次项系数 (1)把方程化成一般形式，确定a, 一般 公式法 b,c的值： 形式 + ←=0 二次项 次项 常数项 (2)求出b2-4ac的值： 步骤 (3)若b2一4ac≥0，则利用求根公 ©易错提醒 式求出x1xg的值：若b2-4ac 根据一元二次方程的定义求字母系数的 0,则此方程无实数根 取值范围时，要注意二次项系数不为0的隐含 适应范围：(1)方程缺少常数项，即 条件. 考点》2 一元二次方程的解法 因式分解法 形如a.x2+bx=0(a≠0)的方程： (2)方程右边化为0，左边可化为 适应范围：(1)当方程缺少一次项 两个一次因式的积的方程. 时，即方程ax2+c=0(a≠0，ac< 国易错提醒 直接开平方法 0):(2)形如(x十m)2=n(n≥0) (1)应用公式法时，一定要将原方程先化 的方程 成一般形式： 适用所有一元二次方程，当二次项 适应 (2)如对于一元二次方程(x一2)(x+2)= 系数化为1，一次项系数为偶数 范围 x一2，不能两边同时除以x一2（因不知x一2是 时，配方法较简单 不是等于0)，否则会漏解（会把x=2漏掉） 方法1：(1)化二次项系数为1： (2)在二次项和一次项之后加上 考点》3一元二次方程根的判别式及根 次项系数一半的平方，再减去这 与系数的关系 个数： 根的判 关于x的一元二次方程a.x十bx十c=0 (3)把方程整理成(x十b)”=a 配方法 (a≥0)的形式： 别式 (a≠0)根的判别式为④ (4)运用直接开平方法求解. (1)b2-4ac>0=方程⑤ 的实数根： 步骤 方法2：(1)化二次项系数为1： 判别式 (2)b°-4ac=0台方程@ 的实 (2)把常数项移到方程的另一边： 与根的 数根： (3)在方程两边同时加上一次项系 关系 (3)b2一4ac<0=方程 实数根. 数一半的平方： (4)把方程整理成(x+b)2=a 根与系 若一元二次方程a.x2十hx+c=0(a≠0)的两 (a≥0)的形式： 数的 根分别是x1,x2,则x1十x2= (5)运用直接开平方法求解. 关系 X1xg=⑨ 28 第一部分数与代数 围易错提醒 续表 (1)利用根的判别式解决问题时，如果二 次项系数中含有字母，要加上二次项系数不为 0这个限制条件」 (2)利用根与系数的关系解题时，要注意 根的判别式要满足b2一4ac≥0. 考点》4一元二次方程的应用 基本 审、设、列、解、验、答 步骤 (1)增长（降低）率问题、传播问题： 常见 (3)利润问题(“每每”型)： 设a为基础量，b为结果量，x为增长率（或降低 类型 常用公式：利润=售价一成本，总利润=每件 率)，为增长或降低的次数，则有a(1士x)”=b. 利润×销售量 初中阶段，涉及的问题通常增长或降低两次， “每每型”问题中，单价每涨a元，少卖b件 因此n=2,即@ 若涨价y元，则少卖的数量为兰·b件。 常见 传播问题与变化率问题类似，若开始数量为 类型α，每轮感染的数量为x,经2轮传染后的数 (4)握手（单循环赛）与送礼物问题： (「)若x人中每两人之间握手一次(x队每 量为b,则有a+ax十(a十a.x)x=b,即 两队之间比赛一场)，握手总次数为m(总比 a(1+x)2=b. 赛场数为m),则⑧ (2)面积问题： (ⅱ)若全班有x人，每人向其他人送一份礼 如图①，S刚=① 物，共送n份礼物，则x(x一1)=m. 如图②、图③、图④，S=☑ 真题再现·聚焦考向 命题点》1] 一元二次方程的相关概念及 夺冠笔记园 解法 对于形如x2+(a十b)x十ab=0的一元 例1(1)[2024深圳]关于x的一元二次方 二次方程，我们可以直接将方程变形为(x十 程x2-3x十a=0的一个解为x=1,则a= a)(x十b)=0,然后解x十a=0,x十b=0,即 得方程的解为x1=一a,x2=一b.例如：例1 (2)[2023无锡]解方程：2x2+x一2=0. 中第(3)问的方程x2一2x=3,用此法解较 简单 ☑针对训练 1.[2024贵州]一元二次方程x2-2.x= (3)[2024安徽]解方程：x2一2x=3. 0的解是 A.x1=3,x2=1 B.x1=2,xg=0 C.x1=3,x2=-2 D.x1=-2,x2=-1 29 数学 2.先化简，再求值：（十x-) ☑针对训练 3.[2022郴州]一元二次方程2x2十x x+2x十其中x的值是方程x-5x一6=0 1=0根的情况是 的根 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 4.[2024湖南]若关于x的一元二次方 程x2一4x十2k=0有两个相等的实数根，则k 的值为 5.[2024云南]若一元二次方程.x2-2x十 c=0无实数根，则实数c的取值范围是 6.[2024广州]已知关于x的方程x2 2x+4一m=0有两个不相等的实数根 命题点》2一元二次方程根的判别式 (1)求m的取值范围： 例2(1)[2024自贡]关于x的方程x2+ m.x一2=0根的情况是 ②化简"号 A.有两个不相等的实数根 B.有两个相等的实数根 C.只有一个实数根 D.没有实数根 (2)[2024广安]若关于x的一元二次方程 (m+1)x2一2x+1=0有两个不相等的实数 根，则m的取值范围是 A.m<0且m≠-1 B.m≥0 C.m≤0且m≠-1 D.m<0 夺冠笔记同 根的判别式的两种常见应用：(1)不解方 程，直接判断一元二次方程根的情况，如第(1) 题.(2)根据根的情况，确定某个未知系数的值 (或取值范围)，如第(2)题.对于这类题目，一 定要注意隐含条件，比如二次项系数不为0. 30 第一部分数与代数 命题点》3一元二次方程根与系数的关系 9.[2023岳阳]已知关于x的一元二次 例3[2024遂宁]已知关于x的一元二 方程x2+2mx十m2一m+2=0有两个不相等 次方程x2一(m十2)x十m一1=0. 的实数根x1x2,且x1十x2十x1x2=2,则实数 (1)求证：无论m取何值，方程都有两个不 相等的实数根： 命题点》4一元二次方程的应用 (2)如果方程的两个实数根为x1,x2,且 例4[2023郴州]随着旅游旺季的到来， x十x一x1x2=9,求m的值， 某景区游客人数逐月增加，2月份游客人数为 1.6万人，4月份游客人数为2.5万人. (1)求这两个月中该景区游客人数的月平 均增长率； (2)预计5月份该景区游客人数会继续增 长，但增长率不会超过前两个月的月平均增长 率.已知该景区5月1日至5月21日已接待游 客2.125万人，则5月份后10天日均接待游客 人数最多是多少万人？ 夺冠笔记回 利用根与系数的关系解题时，常见的恒 等变形有：①x日十x=（x1十x2)2一2.x1xg; ②(x1+1)(x2+1)=x1x2+(x1+x2)+1: ®+1=+，④2+=+x x十x-2x,⑤lx-xl=√x-= TIT2 (x1十x2)2一4x1x2等.值得注意的是，利用根 与系数的关系解题，要注意△≥0这个条件 夺冠笔记回 ☑针对训练 对于平均增长（降低）率问题，应用公式 7.[2024眉山]已知方程x2十x一2=0 a(1士.x)2=b可直接列方程，其中a为增长 (降低)前的基础数量，x为增长（降低）率， 的两根分别为，则+1的值为 b为增长（降低）后的数量.解决这类问题，还 8.[2023怀化]已知关于x的一元二次 要注意两点：一是设增长（降低）率为x,而不 方程x2十m.x一2=0的一个根为一1，则m的 设为x%,这样能简化计算：二是要注意根据 值为 ,另一个根为 具体问题的实际意义检验结果的合理性， 31 数学 ☑针对训练 (3)当k=2时，若p是此方程的一个根， 10.[2024云南]两年前生产1kg甲种 则p2一3p+2027= :若p=1,则另 药品的成本为80元，随着生产技术的进步，现 一个根为 在生产1kg甲种药品的成本为60元.设甲种 (4)若等腰△ABC的一边长a=3,另两边 药品成本的年平均下降率为x,根据题意，下 长b,c恰好是该方程的两根，求△ABC的 列方程正确的是 周长 A.80(1-x2)=60 B.80(1-x)2=60 C.80(1-x)=60 D.80(1-2x)=60 11.[2024通辽]如图，小程的爸爸用一 段10m长的铁丝网围成一个一边靠墙（墙长 5.5m)的矩形鸭舍，其面积为15m,在鸭舍侧 面中间位置留一个1m宽的门（由其他材料制 成)，则BC的长为 A.5m或6m B.2.5m或3m C.5 m D.3 m 国一题多问 12.已知关于x的方程x2-(k十1)x十 2k一2=0，请解答下列问题： (1)△= x1十x2= x1x2= (2)①求证：无论k取何值，该方程总有实 数根； ②当k取何值时，该方程有两个相等的实 数根？ 见配套《自主选练本》 自主选练 32null