04第一单元 第 4 讲 整式与因式分解-【全程夺冠中考】2025年春数学听课讲义

数学 第4讲整式与因式分解 教材整合·梳理考点 考点1 代数式及代数式的值 (3)整式有： (4)是同类项的有： 列代 用含有数字、字母及① 的式子把 数式 问题中的数量关系表示出来， (5)① 2ry的系数是 ,次数 求代数 用数代替②@ 里的字母，按照代数 是 式的值式中的运算关系计算出结果 ②x的系数是 ,次数是 考点》2 整式的有关概念 ③-4x十7y2的次数是 ,一次项 系数是 (1)定义：由数或字母的③ 组成 的式子.单独一个① 考点》3整式的运算 或字母也是 单项式 1.加减运算（实质：合并同类项） (2)系数：单项式中的⑤ 因数 系数相⑧ ,字母及指数 单项式 (3)次数：单项式中的所有字母的⑥ 合并 同类项 即：mxy”+xy2一p.xy2=(m+n +灰数5+3=8 p)xy'. 去括号 a+(b+c)=® (1)定义：几个单项式的⑦ 法则 a-(b+c)=⑥ (2)项：多项式中的每个单项式 多项式 2.幂的运算(a≠0，b≠0，m,n为正整数) (3)次数：多项式中，图 的项的 同底数 底数不变，指数相加， 次数. 幂相乘 即a"·a"=⑦ 整式 ⑨ 与0 统称为整式 同底数 底数不变，指数相减， 所含字母⑩ ,并且相同字母的指 幂相除 即a"÷a"=⑧ 同类项 数也② 的项叫做同类项所有的 幂的 底数不变，指数相乘， 常数项都是同类项 乘方 即(a")"=© 。题串考点 积的 先把积的每个因式分别乘方，再把所得的 乘方 幂相乘，即(ah)”=@ 下列代数式：2,2,2,5,4红+72， 3.乘除运算 4,9xy2, 2a+5b 2x'y x+y 3 3· 单项式 把它们的系数，同底数幂分别@ (1)单项式有： 乘 对于只在一个单项式里含有的字母，则连 单项式 (2)多项式有： 同它的② 作为积的一个因式 10 第一部分数与代数 续表 国易错提醒 单项式 1.不要把同底数暴的乘法与整式的加减 乘 m(a十b十c)=8 相混淆，注意不要出现下面的错误：a2十a3= 多项式 a5,a8÷a=a2. 多项式 米 2.利用乘法公式时，不要出现下面的错 (m十n)(a+b)=@ 误：(a+b)2=a2+b2,(a-b)2=a2-b2. 多项式 平方差公式：(a十b)(a一b)=② 考点》4因式分解 几何背景：(2022年版课程标准要求了解) 把一个多项式化成几个整式的@ 的 定义 形式，这种变形叫做多项式的因式分解】 (1)提公因式法：am+bn+cm=@ (2)运用公式法： 完全平方公式： 乘法 平方差公式：a2一b=@ (a+b)2-@ 方法 公式 完全平方公式：a2+2b十b=@ (a-b)2=@ 几何背景：(2022年版课程标准要求了 a2-2ab+b2=⑤ 解) (3)十字相乘法：x2十(p十q)x十g= 提：若有公因式，应先提公因式： 二套：看是否可套用公式（特殊情形考虑十字 步骤 相乘法)： 把系数与同底数幂分别⑧ ,作为 三查：检查各因式能否继续分解。 单项式 商的因式，对于只在被除式里含有的字 除以 国易错提醒 母，则连同它的④ 作为商的一个 单项式 因式分解一定要分解彻底，如分解因式 因式 2x3-8x,若分解的结果为2x(x2一4)，这是不 多项式 用多项式的每一项分别除以单项式，再把 除以 正确的，因为x一4还能利用平方差公式进行 所得的商圆 单项式 分解，正确的结果应为2x(x十2)(x一2). 真题再现·聚焦考向 命题点》1列代数式、求代数式的值 夺冠笔记回 圆1(1)[2024新疆]若每个篮球30元， (1)直接列代数式比较困难时，可采用列 方程求解的间接方法。 则购买n个篮球需 元 (2)当代数式中的字母不能或不易求出具 (2)[2024广州]若a2-2a-5=0,则2a2 体数值时，要仔细观察所求代数式与已知条件之 4a+1= 间的内在联系，有时需对所求代数式或已知条件 做适当的变形，使变形后可以整体代入求值 11 数学 ☑针对训练 A.3ab B.2a'b 1.[2022长沙]为落实“双减”政策，某校 C.-a2b? D.ab 利用课后服务开展了主题为“书香满校园”的读 4.[2024黑龙江]下列计算正确的是 书活动.现需购买甲、乙两种读本共100本供学 生阅读，其中甲种读本的价格为10元/本，乙 A.a3·a2=a 种读本的价格为8元/本.设购买甲种读本 B.(a2)5=a x本，则购买乙种读本的费用为 C.(-2a3b)3=-8ab3 A.8.x元 B.10(100-x)元 D.(-a十b)(a+b)=a2-b C.8(100-x)元 D.(100-8x)元 5.【几何背景】[2023随州]设有边长分 2.[2023河北]根据表中的数据，写出a 别为a和b(a>b)的A类和B类正方形纸片， 的值为 ,b的值为 长为a、宽为b的C类矩形纸片若干张.如图所 结果 示，要拼一个边长为a+b的正方形，需要1张 2 代数式 A类纸片、1张B类纸片和2张C类纸片.若 3x+1 7 b 要拼一个长为3a+b、宽为2a+2b的矩形，则 2.x+1 需要C类纸片的张数为 ( 命题点》2整式的相关概念及整式的运算 例2(1)[2024湖南]下列计算正确的是 A.6 B.7 C.8 D.9 A.3a2-2a2=1 B.a3÷a2=a(a≠0) 命题点》3整式的化简与求值 C.a2·a3=ai 例3[2024长沙]先化简，再求值：2m D.(2a)3=6a3 m二2)+(m+3)m-3),其中m (2)[2024河南]请写出2m的一个同类 项： (3)[2024长春]单项式-2ab的次数是 夺冠笔记回 有关幂的运算性质及整式的运算是中考 的必考知识点，正确理解幂的运算性质、乘法 公式是解这类题的关键.解题时，要特别注意 避免出现类似x2·x3=x,x6÷x=x, (x2)3=x5,(xy)=xy的错误. ☑针对训练 3.[2024内江]下列单项式中，ab3的同 类项是 12 第一部分数与代数 夺冠笔记同 命题点4数与式规律探究问题 整式的化简求值，通常涉及整式的乘除、 例4[〔2023常德]观察下列数表（横排为 平方差公式、完全平方公式以及整式的加减 等，在运算过程中，要正确运用乘法法则、去 行，竖排为列，按数表中的规律.分数223若 括号法则及乘法公式，不要出现类似(x 排在第a行第b列，则a一b的值为( y)2=x-y,(a十b)2=a+b2的错误. ☑针对训练 告是 6.[2024陕西]先化简，再求值：(x+y)2+ x(x-2y),其中x=1,y=-2 A.2003 B.2004 C.2022 D.2023 ☑针对训练 8.[2024重庆]烷烃是一类由碳、氢元素 组成的有机化合物，如图是这类物质前四种化 合物的分子结构模型图，其中灰球代表碳原 子，白球代表氢原子.第1种如图①有4个氢 原子，第2种如图②有6个氢原子，第3种如图 ③有8个氢原子，…按照这一规律，第10种 化合物的分子结构模型中氢原子的个数是 7.[2024通辽]先化简，再求值：(2a十b)· (2a-b)-(a+b)(4a-b),其中a=-2,b=2. 、 A.20 B.22 C.24 D.26 9.[2023岳阳]观察下列式子：12一1 1×0:22-2=2×1:3-3=3×2:42-4=4× 3;52一5=5×4：…依此规律，则第n(n为正 整数)个等式是 命题点》5因式分解 例5因式分解： (1)[2024山东]x2y+2xy 13 数学 (2)[2024甘肃]2x2-8 (1)求证：b2一12ac为非负数： (3)[2024通辽]3a.x2-6axy+3ay2= (2)若a,b,c均为奇数，m,n是否可以都 为整数？说明你的理由. 夺冠笔记回 因式分解的关键是选择合适的方法.因 式分解的步骤：一提（提公因式）、二套（套公 式)、三查（检查是否分解彻底）. 提出 观纂 两项且 观寨 公因一剩余 符丹相反考地平方 是否 差公式 有公 因式到 无 观禁多项式 名悠完企平方公式 提 二套 检壶每个多项式是否都分解御底 三检查 ☑针对训练 10.(1)[2024陕西]因式分解：a2-ab (2)[2024赤峰]因式分解：3a.x2一3a= (3)[2024达州]因式分解：3x2-18x+27= 11.【新课标·代数推理】[2024福建]已 知实数a,b,cm,n满足3m十n= a,m=c 见配套《自主选练本》 自主选练 14第2谈 数的开方与二次概式 【例3】(1)7(2)3 306 参考答案 【计对训】 【教材整合·理考点】 【针对词】 10.-2+1-11- 【1】① ② ①相数①和士】 5D67.1 819210-1 t略 11.(1)延明略(2)a,*不可流都为整数,理 听课讲义 【考点2】被开方数大于或等于。 【例4】(10B(20C -②/ 第一轮 基础过关 第5分式 【计对词】 【题考点】 第一部分 数与代数 【考1】①②0-①-且 【数材合·观考点】 3-3.14 (202 2 3 11.D 第一单元 数与式 第4课 整式与国式分解 【教材整合·梳理考点】 1720 第1详,实数的有关概念 【考点1】①运算号 ②代数式 【考点2】公因式公因式 【数材整合·梳理考点】 【真题再现·题考向】 【考点3】方 ③乘 (加减 最 【考点习】①乘③数②数字指数 【考点1】①分数②无理数 【例1】(113(2)2(35 分t 和次数高 ①单项式 多现式相 【题考点】 【针对】 【真题再现·预考向】 相同 【例1】 10 0(--0-2 3-3 1B 2-23+2 【对词】 (11-1 (②)A 【习】(1A(21 【题考点】 - (2-+. 【针对词练】 【例】1 1.B2r*1-1 -7 4.D .39 6.1(夜2) --+ 【习】A C&.11 【针对训线】 【考2】②实①(0 相等 -}② 【针对词】 ⑧- 011 1 【】( 7.B 一 过(2_0 对1. 【考点习】0x1 【4】(1)B(2)3 【考点3】①加不交+0 【题考点】 【计对词】 式--1:5-时,-0 ” (128×0 (2072×10434×10” 8D 9.D 10.-2 11.10 12.0. 【针对词练】 相柔 ②究数 ②nr+a十aa十b (43.71X10 【例】1(2C -.-】 +++& 【针对词练】 【真题离现·题考问】 9r1.7 ③相除 数 ③ 13.D 14.20或3) 【例】C 【一题问】 【点4】程②一6} 【计对词】 第3课 实数运草及大小比较 10.1- +?②-③+x+e 【数材整合·梳理考点】 1.B (2) 甲时学的法相当干给(一.一2)括 【再现·预考向】 【考1】①大干 ②于 ①大干 ④大 【】B 号,译括号时,括号前是费号,括号单各项没有完全 【1】(1(211 于 变号 【针对】 【计对词练】 【考2习】0 .c3A _ 【考点3】相加 0较大③减去00 10是选? 【例3】(1DA(20B(30B(40A -+ 1 【计对词练】 【习】(1)(2)(答案不一](3)) CA 700t 6-5 ②括号内 【计对词】 【例4】(1D 12)B(3IC(4C 3A4C6C 【针对练】 【真题再现·题考间】 【例习】-.1 【针对词】 2C 8C 9.B 210s1o #_ 【1】(1B(2A 【一翻问】 6十61-6 【计对词】 11.01-1 (②--1(( 【4】C 1.A2C 【计对词】 【例2】1 8.B 9.--(-1 第不-)(413a5×10(53-05或22 子4.此时:的值为一1 【对练】 【5】(13y(+2)(2+2- 【%1】过 (_ 提专题(一)分式化简求的的四神靠见题 4.2 (a-y) 数 参-15一 =7 -1- 【计对】 【计对词】 --)-1_ 【例4】(1)极树声的单价为50无,黄金 5.1 3.-a+. 【真题再现·题考向】 声的单价为30元 6.这的宽为!m,天头长为2m 【81】(1-1-1- (2)最多可以购实班苗40程 7.(1)书架上数学书有60本,语文书有30本 【:】 【计对词】 (2)数学书最多还可以摆90本 【针对词】 (3-3--1 6.最多可买这种号的永灭火婆12个 【例4】A种衣作物的种植积是3公顾,沿种 ,当--1时:原式。 B.熟殖1甫甲作数苦要5名学生,种植1亩乙作 表作物的植积是4公顷 【计对词】 1.B 2r+1.7 物要名学斗 【计对】 -1时,原式--1. 【例习】(1A(2)A (2)至少种柏甲作物5雷 RA 答:-2时,--? 【计对词】 【一题多闻】 D.白色琴键的个数为52个,现色琴键的个数为 1-4.-2 10.0-1.图略 个 A 4?.]6( (2)-} 【一题多问】 【例3】(1)证明略(2)-2或1 (③ (21气3,不等的数为一101 0.-一o0 n{}n- 式一1 【计对词练】 *-12Ba 第三单 及其 【3】--2 (5)的最小值为 【针对词练】 第10讲 中面直角标系与函数 第7讲一分式方程及其应坦 【4】(13这两个月中该区游客人数的月平 【教材整合·梳理考点】 8~2-1.2 【数材整合·校考点】 均地长毫为25% 【考1】①-)②-一②+-)④0 【考1】①知数②式③分公号①0 (215共份后10天目均接待游客人数最多是0) 【例4】式化简为1.即这式子的与;的 等②相数 ②一)②(-) 【考2】时 工作总量 单价 万1 无关,无论,一025还是一200,算出的结果 【-)十)②+①-} 【针对训练】 流速度 稿 【考】③+ 10.1111.C 【1词5】 【再现·题考向】 【考3】 【一题多问】 B.代数次101D2+12. 【例1】1--3 Hr0 r 1.(1)0-3(或-6++12- -1 ō 【计对词】 【例1】(1)(2)A 【真题再现·翻考向】 化痛的结果与;的值无关,原式的值为? 1.D 2-1 3--1 4-1 .-10 ②(3)! (4)△Af[的长为7或8 第二单元 方程(握]与不等式(组) 【计对词】 6.方程无解 第?诺 不式(组)及其应院 第6讲 一次方程(照]及其应用 【例2】甲组同学平均每小时100个样子。乙 1.A 2C 1.A 【题封稳合:考点】 【数材院合·理考点】 纸同学平均每4时包阳个粽子 【例】(1-1(2-日-0 【考点1】①未知数的值 ②第 ①一① 【点1】①士②③④式相等 【针对词线】 【对词练】 7.D 3.CB.B 4.-2133 【考2】-: 【点习】 % 10.D没车的平均冰度是100kmh 【例习】D 【点习】③1 【点习】 【一题问】 【针对词】 【真题现·考间】 【考点4】③工 11.1-112- 6D 7.C8D (3- 【例1】D 【真题再现·聚炼考向】 【一题多问】 【针对词练】 【{1】--17 (4)-1-6{ 二 2 2 -40-4- 1.A 【计对】 (4.3)13) (41-2或3 (7点在第二限 第8讲 一元二次方程及其应用 【习】 1B2r- -1C7 (8-73~1 【数标整合·考点】 【计对词】 第11讲 一次数及共用 【例习】 【1】①一② 2D 3.A 4.1-?3.12.图路 --. 【材整合·现考点】 1-. 【考点习】。二- 【习】 【计对言】 【考1】①②-)③增大①小 【计对词】 【考点3】③一有两个不等 ② ō. 【题再现·题考向】 6.B 【例1】(13A(2)B(3)3(答案不一) 7.3,数解的和为。 【对】 【例3】高的平均这度为26km 【考4】-0--1-1 1.B 2A 3.B 8 -17一 -一