03第一单元 第 3 讲 实数运算及大小比较-【全程夺冠中考】2025年春数学听课讲义

第1请数的开方与二次根式 【例3】(1)72)以36 【针对销练】 参考答案 【教材整合，依理考点1 【针对辑练】 1u,1la)a3c+1G-118x-3 【年点1】①a短相限数①0和士1 1L1证明略(2m,度不可能指为每数，甲 听课讲义 【点】@藏开方数大于成等于0心如 6D68元号&12ga- 【例+】(1)B(gC 第一轮基陆过关 0-48a 第5诉分式 【针对闲修】 【教材整合·被理考点】 第一部分数与代数 【落串点】 ILD 【考点1】①7#.g大0x0④/-0且 第一单元数与式 1a1-名14122，座253万 第4诉聚式因式分解 第1得实数的有关概名 好经a9主唔晋 【数材整合，械理考点】 【美点】⑤公围式D公因式 【教材整合·装理考点】 【率点1】①运算符号代数式 【率点3】心采方②乘m®闻成0最是回 【真抛再现·凝集考向】 【角点1】①分登③无理数 【彩感】来积金数的数字心折数鞋 分式 【例1】(18(2)2(3w 【题串考点】 和6次数最高红单U填式】多现式市相属 【真颜再观·聚焦考向】 【针对润练】 香相同 【例1】(1r=192)A c1)0220,一层F,b,0,-2日)一34， 1.6g-81±2 【惠者点】 【针对辑篮】 号0a80wm8n,得5- 【例2】(1)A(2r1 1.2r43一1 【针对辑篮】 ,-,,g,- 20-+7 【例1】1 0,-智 L.D五.x96.1(度2) a--+7, 【针对辑篮】 【考点2】印实数006相等 【例3】A @-40@1+1 【针时氧练】 1 7,B 【考点3】①a×1㎡ 【例+】(1)B(9)3 d-4 【】空片后a-.服 [颜事考点】 【针对到感】 【餐点3】D加戏级不变w+6+ 式=-1：与4=2时，额式-D (1)25越×1(2)7.2×10431.6×10 级-b-r0a…“0-0w 【针对练】 民D%,D18-3百11.101这.， (4)a74×10 色相率.参缩数3r十b十r8r十6十 ka-8,-里 【例5】(1)u8C 81,2 【真赠再现，整焦专向】 【针列辑篮】 +00十360628b+ 等相降.卷带数司胆框 【一萄金问】 [例1】 13.D14.2(我30 第31语实数污夏及大小比黎 【考点+】零积Bw+h+)司仙+5浅a-b) 1机1注中一四 【针对司修】 【数材整合·统理考点】 a一)●(x+*r十p1 ()甲甲其学的解法相当干给（一x+2帝括 3.B 号，据括号时，括号首是负号，斯号甲各现2有完全 【例】B 【考点】大干②个于①大于由大 【商再规·颗焦考向】 【例1】(1D33m2>11 雯号 【针对到储】 @小小于 【针对铜篮】 名A 【释感】的 法华华学的解达名一十公-台全 【例3】1)A2B43B(4)A 【考点3】更相面度较大减去自0 ie 2 →2 1x+2 +2 【针对篮】 丝相反数一和心数的 【例】(D12w(答率不唯一】3)3 hA五2624-石 【针对闲练】 持乙闲学的解千。一+中 B采弹②或①括号内 【例+】(1D用2B1C(4C 气A.CC 【针对到储】 【真抛再现，聚集考向】 【到3】w一-1 .C究C.B1LL081o 【针列练】 【一题多问】 【到1】(1H2)A 623十y,51-0,62 【针对程蜂】 【例4】 Ln1一片2)-5减-13i答 (用名十多的值不能等于0，型由略，雀等 1.A2C. 【针对调练】 于4，先月x的值为=1 案不电一)(43：4B×1o”(51-225夜26 【例】1 8B见一姓=数一1》 登专通（一】分大化药常雀的四种常见圈型 〔针时程练】 【例5】(13y(a42)(22r+2u-2 12 (303:r-y 【针对练】 【针对国练】 【例+】1)栋柜材南的单价为免无，黄金黄核 品 1 5,15 树苗的单价为的无 6边的宽为4m,天头长为4m 【真随再现，数焦考向】 (2)最多可叹购灭环修树苗国棵 【例】有 7云，(1)6刻上数学移有0水，n文书有3本 【针对词辉】 ()数学书最多还间以摆0本 【酬】g,1+ 4 队最多可的买这种摩号的水基灵文态2个 【针对到婚】 【例】A种家作物的种植直积是3公切，君种 (8)1-1:4=-1 只种植1南甲作害量3名学生，种植1南乙作 65时原式。- 农作物的种植真积是公倾 【针对司储】 物带要6名学州 【针时到越】 1.i2上+1,7 (2)茶少种植甲作物5面 当多=1时，原式…一， RA 【例】1DA2)A 【一额多问】 气一2时，原式=一2 鸟白自色琴健的个数为2个，男色琴健的个数为 【针时辑练】 1近.x一1闲略 12w+4,-2 第个 头A4多点>】我(m32)-g 〔2)一1<r3,不等式响的整数师为一1，心，1,2 【一题多问】 【酬3】(1)证明略2)一2境 (3)H 式=1 -0ema曾阳量 【针对到练】 氧三单元高数及其国象 【例3】12-1-2,2 面w的量小值为 元生表12民3 第相讲平面度角坐标系函盈 【针对篮】 第？讲价式方餐险其克川 【制+】（这精个月中该成区筹客人数的月平 【教材整合·械理考点】 k-2-t2 【整树整合·密置考点】 均增长率为25% 【点1】①-4+)一-)8十-》m ①：解等心相反数③（一￥》一，一】 【例4】原式化脑为1，即淡式子的黄与：的氧 【考点1】①术加成@整式量算分公号①0 〔2)5月份后10天目均接待静客人数量多是%1 无美，无论」-25还是士=202，焦算出的结果释 【考点】⊙H闻心工作差镜心单价 万人 0a一so)g阳十s61b十n1Ga0-n 传价 吃水淹速度 【针对辑练】 【*点2】06G1a1a+8 正确 【针对练】 IB ILC 【有点】0t一0r≠00：00r0 【高题再现·覆焦考向】 代数式红-D÷2红+-2即 【一随多问】 且r+￥F0r0 xx一1) Le 【例1】上-3 121》(0-3)(发F-候4)0+1202 【离抛再现，病考向1 化穆的结果与上的值无美，原式的值为2 【针对得练】 (2)①用降百332025 【例1】(1)H()A 1.02.x=13x==142=45.=10 第二单元方程（国）与不等式（组） 4)△的周长为7域8 【针时到裤】 长层方程无解 第9裙不等人（圳）隆其晚同 1.A 2C 1.A 著备诗一次方院里)最其晚用 【例1】甲组同的平均得小时越100个棕子，乙 【例1】(1x*12r3-3且x产0 【较材整合·装星考点】 【数材整合·板理考点】 甄同学平的斜时但侧个称子 【针对训篮】 【W瓶】①k8兰等式相等 【针对初篮】 【第点1】D未妇数的值甲解年甲> 4.-25,x23 .D8.C点日 【考点1】项一1 【年点】2u6ra 【例3】D 1瓜D积车的平向成度是100km/h 【考点】81您1 【一题雀问】 【笔点】9>DG 【针对练】 【等点4】0工作3冈 【蔬再现·要焦考向】 AD 7C &D 【真题再观·聚焦考向】 1l0r=-1 【例】D 【一题多问】 【例1】x=一17 【针对辑练】 久(10二(202g(30w<一2《4川一，一3知 【针对辑炼】 -1交-有接 1.A (4.1)3核(41-2境3(7)点卫在第=象限 1,Br= 第等得：一元次方程及其克用 【例】-1r<7 (814=1,3或(=1.8) 【整树楚合·整理考点】 【针对调每】 第11讲次函数及其中川 【例】 [季点1】①一因 名D3A1.x<25.2-倒略 【植材整合·被理考点】 【针对到练】 【传成】@土 【酬】-< 【W店】山（一）3w大④减小 【美点】w一x有再个不解等歌有 【针对辑练】 【真蓝再规·是焦考向】 =3: 两个相等四收有⑧女好 6B 【例1】(1)A(?)B433符常不一- y立 【针对帽练】 【例】高铁的平均速度为匀6km/h 【考点4】ul士r-★0u-rb-2l 1,B2A1第一部分数与代数 第3讲实数运算及大小比较 教材整合·梳理考点 考点》1 实数的大小比较 续表 正数① 0,负数@ 0,正 乘方 a"=g·a·a…·a 性质 数③ 负数：两个正数，绝对值大 个 比较法 的较④ :两个负数，绝对值大的 0次幂 a°=0 (a≠0). 反而⑤ 负整数 a=⑦ (a≠0，p为正整数)： 数轴 在数轴上表示的两个数，左边的数总是 指数幂 特别地，a1=⑧ (a≠0) 比较法 ⑥ 右边的数 一1的奇 一1的奇数次幂为一1，如（一1）2晒=一1： 作差法 a-b>0a>b;a-b<0Ha<h: 偶次幂 -1的偶数次幂为1，如（一1）2@=1. a-b=0=a=b. 先算乘方、开方，再算四 ,最后算 平方法 a>b>0台a>b(主要用于含有根号 的无理数的估值及大小比较). 运算 四 ,有括号的要先算@ 顺序 的：若没有括号，在同一级运算中，要从左 考点》2 非负数及其性质 到右进行运算 常见 运算律 交换律，结合律、分配律 形式 常见的非负数有√a(a≥0)，a,a2 若几个非负数的和为0，则每个非负数的 刁提分妙招 值均为0.例如： (1)牢记特殊角的三角函数值：sin30°= 性质 若a2+b+E=0,则a2=@ c0s60°-1 n45°=6os45°=2 ,sin60°= b=0,E=0. 考点》3 实数的运算 0os30°= 2tan30°= 3,tan45°=1， (1)同号两数相加，取相同的符号，并把绝 tan60°=. 对值⑧ (2)熟悉常见开方：4=25=3√8=22， (2)绝对值不相等的异号两数相加，取绝 12=23,/16=4,18=3√2，-8= 加法 对值⑨ 的加数的符号，并用较大 -2.927=3,64=4. 的绝对值⑩ 较小的绝对值： (3)把握去“两数差”的绝对值符号的方法： (3)互为相反数的两个数相加得① 先比较绝对值符号中两个数的大小，再根 (4)一个数同0相加，仍得这个数. [a-b(a>b), 减去一个数等于加上这个数的@ 减法 据a-b=0(a=b), 去绝对值符号 如a-b=a十⑧ b-a(a<b) 两数相乘，同号得正，异号得负，并把绝对 (4)掌握“一倒一变”的技巧化简负整数指 乘法 值相乘，特别地，任何数与0相乘都得 指数变为和反数 @ 数：侣=号例知()=3=9. 除以一个不等于0的数，等于乘这个数的 除法 底数成倒激 7 数学 真题再现·聚焦考向 命题点》1]实数的大小比较 夺冠笔记回 例1(1)[2024巴中]在0,1，-1，x中， 若几个非负数的和为0，则每个非负数的 最小的实数是 ( ) 值均为0. A.0 B.-1 C.1 D.不 ☑针对训练 (2)[2024深圳]如图，实数a,b,c,d在数 轴上表示如下，则最小的实数为 4.[2024资阳]若(a-1)2+1b-2|=0, ( 则ab 命题点3实数的运算 A.a B.6 C.c D.d 例3计算： 夺冠笔记回 实数比较大小的方法： 1)[2024江]) -8+1-51: (1)法则比较法：正数都大于0，负数都小于 0,正数大于负数.两个负数，绝对值大的反而小 (2)数轴比较法：数轴上右边的点表示的 数大于左边的点表示的数 (3)差值比较法：设a,b是任意实数，则 a-b>0a>b;a-b<0a<b:a-6=0 (2[2024长沙]()厂'+1-51 a=b. 2c0s30°-（π-6.8）°： 除此之外，还有商值比较法、平方法、倒 数法等。 ☑针对训练 1.[2024辽宁]亚洲、欧洲、非洲和南美 洲的最低海拔如表： (3)[2024眉山](3-x)°+(-2》)+ 大洲 亚洲 欧洲 非洲 南美洲 2sin45°-11-√21. 最低海拔/m -415 -28 -156 -40 其中最低海拔最低的大洲是 A.亚洲B.欧洲 C.非洲 D.南美洲 2.[2024自贡]在0，-2，一√3，π四个数 中，最大的数是 ( A.-2B.0 C.π D.-√3 夺冠笔记同 3.[2024安微]我国古代数学家张衡将圆 在进行实数的混合运算时，首先要明确 周率取值为√10，祖冲之给出圆周率的一种分数 与实数有关的概念、性质、运算法则和运算 形式的近似值为号比较大小：0 律，要弄清按怎样的运算顺序进行计算.中考 中常常与绝对值、锐角三角函数、二次根式、 号（填>或< 指数运算等结合在一起考查.特别要注意的 是a°=1(a≠0)，不要错误地认为a°=0.另 命题点》2非负数的性质 外，对于负整数指数暴，直接运用(？)” 例2[2024成都]若m,n为实数，且(m+ 4)2+√n-5=0,则(m十n)2的值为 化简比较简单 8 第一部分数与代数 ☑针对训练 边形ABCDEF的顶点A处.两枚跳棋跳动规 5.[2023常德]下列算法正确的是( 则是：红跳棋按顺时针方向1s跳1个顶点，黑 A.(-5)+9=-(9-5) 跳棋按逆时针方向3s跳1个顶点，两枚跳棋 B.7-(-10)=7-10 同时跳动，经过2022s后，两枚跳棋之间的距 C.(-5)×0=-5 离是 D.(-8)÷(-4)=8÷4 6.[2023广西]计算：(-1)×(-4)+ 22÷(7-5). A.4 B.2√3C.2 D.0 (2)[2024德阳]将一组数2,2，√6.22， 7.[2024湖南]计算：-3+（←》°+ √10,25，…，2n,…,按如图方式进行排列， cos60°-√4. 则第八行左起第1个数是 第一行 2 第二行 2 6 第三行22 /10 23 8.[2024大庆]计算：W3-2-(2024+ 4… x)°+tan60°. A.72 B.82 C./58 D.4√7 夺冠笔记回 对于第(1)题，通过给出的等式寻找变化 规律是解题的关键.一般地，如果一列数以m 9.[2024青海]计算：√/18-tan45°+x°一 次为一个循环，那么第n次的情形与n÷m的 余数次的情形是相同的，整除时与最后一次 1-21. 情形相同.对于第(2)题，解决这类问题要善 于从每行数的个数或每行的第一个数（或最 后一个数)寻找突破口，认真观察、仔细思考， 看能不能用平方、奇偶或加、减、乘、除等规律 10.[2024广元]计算：(2024-π)°+ 来表示它们 13-21+an60°-(2》 ☑针对训练 11.[2024扬州门1202年数学家斐波那契 在《计算之书》中记载了一列数：1,1,2,3,5，， 这一列数满足：从第三个数开始，每一个数都 等于它的前两个数之和.则在这一列数的前 命题点》4与实数有关的规律探究题 2024个数中，奇数的个数为 ( 例4(1)[2022玉林]如图的电子装置 A.676 B.674 中，红黑两枚跳棋开始放置在边长为2的正六 C.1348 D.1350 见配套《自主选练本》 自主选练 9