02第一单元 第 2 讲 数的开方与二次根式-【全程夺冠中考】2025年春数学听课讲义

数学 第2讲数的开方与二次根式 教材整合·梳理考点 考点》1]平方根、算术平方根与立方根 刁题串考点 计算： (1)(W3)2= 名称 a≥0 a<0 (-3)= √(3.14-π)= 平方根 ±a 无 (2)8= W12 算术平方根 ① 无 √18= ,√27= 立方根 ② a √32= 45= 温馨提示： √75= (1)非负数才有平方根，任何实数都有立方根： (2)正数的平方根有两个，互为③ ,正数的 (3)3X√27= ,45× 1 算术平方根只有一个且为正数： 5 (3)立方根等于它本身的数有3个，分别为④ 4)3 考点》2 二次根式的相关概念、性质与 考点》3二次根式的估值 运算 方法步骤 示例 (1)二次根式：形如√a(a≥0)的式子： (11)2=11 相 (2)有意义的条件：⑤ (1)对二次根式平方： 关 概 (3)最简二次根式满足的两个条件： (2)写出与平方后所得的数相 确定9和16 ①被开方数中不含分母（即分母中不含根号）： 邻的两个开得尽方的整数： 念 ②被开方数中不含能开得尽方的因数或因式 (3)对这两个整数开方： (4)确定二次根式的值在这两 9=3,/16=4 (1)双重非负性，即a≥0，a≥0： 个整数的算术平方根之间. (2)(a)2=⑥ (a≥0)： 3</11<4 性 a(a≥0)， (3)a=la= ⑦ 说明：根据不等式的性质3可得其负根式的范围， 质 (a<0): 如-4<-√1Ⅱ<-3. (4)ab=a·b(a≥0，b≥0)： a_a(a≥0，b>0. ☑提分妙招 (6) (1)确定a士b(b为正整数)在哪两个相邻 加减运算：先化为最简二次根式，再将被开方数 的整数之间，只需在不等号的两边加减b. 相同的二次根式进行合并. (2)确定na的值在哪两个整数之间，将 运 乘除运算： na转化为na进行比较即可. 算 (1)a·w6=⑧ (a≥0，b≥0)： (3)熟记常见二次根式的值也能快速解题， (2 日(a≥0，b>0). 如√2≈1.414，√3≈1.732,5≈2.236， 6≈2.449,7≈2.646. 第一部分数与代数 真题再现·聚焦考向 命题点》1刀平方根、算术平方根与立方根 ☑针对训练 例1(1)[224巴中27的立方根是 4.[2023济宁]若代数式，二2有意义，则 (2)[2023邵阳]√64的立方根是 实数x的取值范围是 (3)[2023滨州]一块面积为5m2的正方 A.x≠2 形桌布，其边长为 m. B.x≥0 夺冠笔记回 解答与平方根、立方根有关的问题时，应 C.x≥2 注意符号的问题，不要出现如下错误：①27的 D.x≥0且x≠2 立方根是士3：②/64的立方根是4：③√64的 5.[2024北京]若√x-9在实数范围内 平方根是士8：④81的平方根是士9. 有意义，则实数x的取值范围是 ☑针对训练 6.[2023永州]已知x为正整数，写出一 1.[2024广东]完全相同的4个正方形的 个使x一3在实数范围内没有意义的x值是 面积之和是100，则正方形的边长是( A.2 B.5 命题点》3 二次根式的性质与化简 C.10 D.20 例3[2024内蒙古]实数a,b在数轴上的 2.[2024青海]一8的立方根是 对应位置如图所示，则/(a-b)严一(b一a一2)的 3.[2023广安]/16的平方根是 化简结果是 命题点》2二次根式有意义的条件 32101→ 例2(1)[2024云南]若√x在实数范围 A.2 B.2a-2 内有意义，则实数x的取值范围是 C.2-2b D.-2 A.x≥0 B.x≤0 夺冠笔记园 C.x>0 D.x<0 利用二次根式的性质解决与数轴相关的 2[2024烟台]若代数式产气 3 在实数范 问题的步骤： 围内有意义，则x的取值范围是 (1)结合数轴判断根号下的数的正负性 夺冠笔记回 (2)根据a=a先把根号去掉，再利 确定形如ā的式子的被开方数中字母 用绝对值的性质解题 的取值范围，根据式子有意义的条件，解不等 (3)若题目中含有绝对值，则同样需先判 式a≥0即可：当分母中有字母时，还要考虑 断绝对值符号里面数的正负性，再利用绝对 分母不等于0的限制条件 值的性质解题。 5 数学 ☑针对训练 10.[2024威海]计算：12一8×/6= 7.[2024乐山]已知1<x<2,化简 (x-1)产十|x一2的结果为 11.[2024天津]计算（√11十1）(1I-1) A-1 B.1 的结果为 C.2.x-3 D.3-2.x 12.[2024甘肃]计算：18-√12× 3 命题点》4二次根式的运算 2 例4 计算：5小5 2 A.0 B.1 C.2 n5-1 2 命题点》5二次根式的估值 (2)[2023聊城]计算：（√48-3， 例5(1)[2024资阳]若5<m<√10，则 整数m的值为 ( 夺冠笔记园 A.2 B.3 C.4 D.5 在二次根式的运算或化简的过程中，乘 (2)[2024重庆]估计12(2十√3)的值 法公式、因式分解等相关法则、方法均可 应在 使用 A.8和9之间 ☑针对训练 B.9和10之间 8.[2024湖南]计算2×7的结果是 C.10和11之间 ( D.11和12之间 A27 B.72 ☑针对训练 C.14 D.√14 13.估计/17的值在 5 9.将2 化为最简二次根式，其结果是 A.1和2之间 ( B.2和3之间 B.90 C.3和4之间 2 D.4和5之间 C90 14.[2024滨州]写出一个比3大且比 2 D3/0 2 √/10小的整数： 见配套《自主选练本》 自主选练 6第1请数的开方与二次根式 【例3】(1)72)以36 【针对销练】 参考答案 【教材整合，依理考点1 【针对辑练】 1u,1la)a3c+1G-118x-3 【年点1】①a短相限数①0和士1 1L1证明略(2m,度不可能指为每数，甲 听课讲义 【点】@藏开方数大于成等于0心如 6D68元号&12ga- 【例+】(1)B(gC 第一轮基陆过关 0-48a 第5诉分式 【针对闲修】 【教材整合·被理考点】 第一部分数与代数 【落串点】 ILD 【考点1】①7#.g大0x0④/-0且 第一单元数与式 1a1-名14122，座253万 第4诉聚式因式分解 第1得实数的有关概名 好经a9主唔晋 【数材整合，械理考点】 【美点】⑤公围式D公因式 【教材整合·装理考点】 【率点1】①运算符号代数式 【率点3】心采方②乘m®闻成0最是回 【真抛再现·凝集考向】 【角点1】①分登③无理数 【彩感】来积金数的数字心折数鞋 分式 【例1】(18(2)2(3w 【题串考点】 和6次数最高红单U填式】多现式市相属 【真颜再观·聚焦考向】 【针对润练】 香相同 【例1】(1r=192)A c1)0220,一层F,b,0,-2日)一34， 1.6g-81±2 【惠者点】 【针对辑篮】 号0a80wm8n,得5- 【例2】(1)A(2r1 1.2r43一1 【针对辑篮】 ,-,,g,- 20-+7 【例1】1 0,-智 L.D五.x96.1(度2) a--+7, 【针对辑篮】 【考点2】印实数006相等 【例3】A @-40@1+1 【针时氧练】 1 7,B 【考点3】①a×1㎡ 【例+】(1)B(9)3 d-4 【】空片后a-.服 [颜事考点】 【针对到感】 【餐点3】D加戏级不变w+6+ 式=-1：与4=2时，额式-D (1)25越×1(2)7.2×10431.6×10 级-b-r0a…“0-0w 【针对练】 民D%,D18-3百11.101这.， (4)a74×10 色相率.参缩数3r十b十r8r十6十 ka-8,-里 【例5】(1)u8C 81,2 【真赠再现，整焦专向】 【针列辑篮】 +00十360628b+ 等相降.卷带数司胆框 【一萄金问】 [例1】 13.D14.2(我30 第31语实数污夏及大小比黎 【考点+】零积Bw+h+)司仙+5浅a-b) 1机1注中一四 【针对司修】 【数材整合·统理考点】 a一)●(x+*r十p1 ()甲甲其学的解法相当干给（一x+2帝括 3.B 号，据括号时，括号首是负号，斯号甲各现2有完全 【例】B 【考点】大干②个于①大于由大 【商再规·颗焦考向】 【例1】(1D33m2>11 雯号 【针对到储】 @小小于 【针对铜篮】 名A 【释感】的 法华华学的解达名一十公-台全 【例3】1)A2B43B(4)A 【考点3】更相面度较大减去自0 ie 2 →2 1x+2 +2 【针对篮】 丝相反数一和心数的 【例】(D12w(答率不唯一】3)3 hA五2624-石 【针对闲练】 持乙闲学的解千。一+中 B采弹②或①括号内 【例+】(1D用2B1C(4C 气A.CC 【针对到储】 【真抛再现，聚集考向】 【到3】w一-1 .C究C.B1LL081o 【针列练】 【一题多问】 【到1】(1H2)A 623十y,51-0,62 【针对程蜂】 【例4】 Ln1一片2)-5减-13i答 (用名十多的值不能等于0，型由略，雀等 1.A2C. 【针对调练】 于4，先月x的值为=1 案不电一)(43：4B×1o”(51-225夜26 【例】1 8B见一姓=数一1》 登专通（一】分大化药常雀的四种常见圈型 〔针时程练】 【例5】(13y(a42)(22r+2u-2 12 (303:r-y 【针对练】 【针对国练】 【例+】1)栋柜材南的单价为免无，黄金黄核 品 1 5,15 树苗的单价为的无 6边的宽为4m,天头长为4m 【真随再现，数焦考向】 (2)最多可叹购灭环修树苗国棵 【例】有 7云，(1)6刻上数学移有0水，n文书有3本 【针对词辉】 ()数学书最多还间以摆0本 【酬】g,1+ 4 队最多可的买这种摩号的水基灵文态2个 【针对到婚】 【例】A种家作物的种植直积是3公切，君种 (8)1-1:4=-1 只种植1南甲作害量3名学生，种植1南乙作 65时原式。- 农作物的种植真积是公倾 【针对司储】 物带要6名学州 【针时到越】 1.i2上+1,7 (2)茶少种植甲作物5面 当多=1时，原式…一， RA 【例】1DA2)A 【一额多问】 气一2时，原式=一2 鸟白自色琴健的个数为2个，男色琴健的个数为 【针时辑练】 1近.x一1闲略 12w+4,-2 第个 头A4多点>】我(m32)-g 〔2)一1<r3,不等式响的整数师为一1，心，1,2 【一题多问】 【酬3】(1)证明略2)一2境 (3)H 式=1 -0ema曾阳量 【针对到练】 氧三单元高数及其国象 【例3】12-1-2,2 面w的量小值为 元生表12民3 第相讲平面度角坐标系函盈 【针对篮】 第？讲价式方餐险其克川 【制+】（这精个月中该成区筹客人数的月平 【教材整合·械理考点】 k-2-t2 【整树整合·密置考点】 均增长率为25% 【点1】①-4+)一-)8十-》m ①：解等心相反数③（一￥》一，一】 【例4】原式化脑为1，即淡式子的黄与：的氧 【考点1】①术加成@整式量算分公号①0 〔2)5月份后10天目均接待静客人数量多是%1 无美，无论」-25还是士=202，焦算出的结果释 【考点】⊙H闻心工作差镜心单价 万人 0a一so)g阳十s61b十n1Ga0-n 传价 吃水淹速度 【针对辑练】 【*点2】06G1a1a+8 正确 【针对练】 IB ILC 【有点】0t一0r≠00：00r0 【高题再现·覆焦考向】 代数式红-D÷2红+-2即 【一随多问】 且r+￥F0r0 xx一1) Le 【例1】上-3 121》(0-3)(发F-候4)0+1202 【离抛再现，病考向1 化穆的结果与上的值无美，原式的值为2 【针对得练】 (2)①用降百332025 【例1】(1)H()A 1.02.x=13x==142=45.=10 第二单元方程（国）与不等式（组） 4)△的周长为7域8 【针时到裤】 长层方程无解 第9裙不等人（圳）隆其晚同 1.A 2C 1.A 著备诗一次方院里)最其晚用 【例1】甲组同的平均得小时越100个棕子，乙 【例1】(1x*12r3-3且x产0 【较材整合·装星考点】 【数材整合·板理考点】 甄同学平的斜时但侧个称子 【针对训篮】 【W瓶】①k8兰等式相等 【针对初篮】 【第点1】D未妇数的值甲解年甲> 4.-25,x23 .D8.C点日 【考点1】项一1 【年点】2u6ra 【例3】D 1瓜D积车的平向成度是100km/h 【考点】81您1 【一题雀问】 【笔点】9>DG 【针对练】 【等点4】0工作3冈 【蔬再现·要焦考向】 AD 7C &D 【真题再观·聚焦考向】 1l0r=-1 【例】D 【一题多问】 【例1】x=一17 【针对辑练】 久(10二(202g(30w<一2《4川一，一3知 【针对辑炼】 -1交-有接 1.A (4.1)3核(41-2境3(7)点卫在第=象限 1,Br= 第等得：一元次方程及其克用 【例】-1r<7 (814=1,3或(=1.8) 【整树楚合·整理考点】 【针对调每】 第11讲次函数及其中川 【例】 [季点1】①一因 名D3A1.x<25.2-倒略 【植材整合·被理考点】 【针对到练】 【传成】@土 【酬】-< 【W店】山（一）3w大④减小 【美点】w一x有再个不解等歌有 【针对辑练】 【真蓝再规·是焦考向】 =3: 两个相等四收有⑧女好 6B 【例1】(1)A(?)B433符常不一- y立 【针对帽练】 【例】高铁的平均速度为匀6km/h 【考点4】ul士r-★0u-rb-2l 1,B2A1