精品解析：江苏省南通第一中学2024-2025学年高一下学期第一次阶段性考试数学试卷

江苏省南通第一中学2024-2025学年高一下学期第一次阶段性考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知向量，，.若，则k的值为（ ） A. B. 2 C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】 分别求出的坐标，根据平行向量的坐标关系，即可求解 【详解】， . 故选:A. 【点睛】本题考查向量的坐标运算，熟记公式是解题的关键，属于基础题. 2. 如图，在等腰梯形中，，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用向量的三角形法则可求解. 【详解】 又， ， 故选：A 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用二倍角的余弦公式和诱导公式可求三角函数式的值. 【详解】 , 故选：C. 4. 已知，则，，的大小顺序为 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式求得. 【详解】 故选B. 【点睛】本题考查三角函数的辅助角公式、余弦函数的二倍角公式，正切函数的和角公式的三角恒等变换，属于基础题. 5. 已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设的中点为，由向量的线性运算可得，由数量积的计算公式即可求解. 【详解】设的中点为，则， 因为，所以， 所以， 因为等边的边长为2，则，所以， 所以. 故选：. 6. 已知是单位向量，且，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据投影向量的定义，求得，又由，求得，即可由夹角公式求得夹角. 【详解】若在上的投影向量为，即， 由，则有，即，可得， 又由， 则有，解可得：， 设与的夹角为，则， 又由，则； 故选：D 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】根据同角三角函数的基本关系式、两角和与差的余弦公式并进行弦化切求得正确答案. 【详解】由题意，， 因为，， 所以，所以， 所以， 所以， 所以.. 故选：A. 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分.有选错的得0分 8. 对于非零向量，下列命题中不正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. ，则或 【答案】ABD 【解析】 【分析】举反例即可判断A；举反例即可判断B；利用数量积的定义得出即可判断C；举反例即可判断D选项. 【详解】对于A，令， 则，，故，A错误； 对于B，令，则，但，故B错误； 对于C，若，则， 因，则或，故， 反之，若，则或，则，故C正确； 令，满足，但，，故D错误. 故选：ABD 9. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递增 D. 把图象上点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度得到的函数解析式为 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A，由正弦与余弦函数奇偶性可判断选项正误； 对于B，由二倍角正弦公式化简后可求最小正周期； 对于C，由题可得，然后由正弦函数单调性可判断选项正误； 对于D，由三角函数图象变换知识结合诱导公式可判断选项正误. 【详解】对于A，函数定义域为， 有，所以是奇函数，A正确； 对于B，，最小正周期为，故B错误； 对于C，因 则，故C错误； 对于D，由C，图象上点的横坐标缩短为原来的倍对应解析式为： ，再向左平移个单位长度得到的函数解析式为： 可知D正确. 故选：AD. 10. 已知平面向量满足 则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若 则 的最大值为 C. 若向量满足，则 的最大值是 D. 若向量满足，则 的最小值是2 【答案】ACD 【解析】 【分析】由向量垂直的数量积表示得出，然后把向量的模转化为数量积的运算后，分别利用二次函数知识，基本不等式可得选项AB中最值，从而判断AB，利用平面向量的几何意义，由圆的性质可得点轨迹是图中两段优弧，再由圆的性质可得所求距离的最值，判断CD． 【详解】对于A，由，得，， ， 因此当时，取得最小值，A正确； 对于B，由，得，则 ，当且仅当时等号成立，B错误； 对于CD，，，， 又，则， 作，，以为圆心，为半径作圆，如图， 当是圆的优弧上点时，即时，满足， 再作点关于直线的对称点，以为圆心，为半径作圆， 当是圆的优弧上点时，即时，也满足， 当不是这两段优弧上的点时，都不满足，即不满足， 是等边三角形，因此，两圆半径都是2， 由图可知即的最小值是2，最大值是，CD正确. 故选：ACD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 计算：______． 【答案】4 【解析】 【分析】根据弦切互化，结合二倍角公式即可求解. 【详解】． 故答案为：4 12. 已知均为锐角，且，若，则________. 【答案】5 【解析】 【分析】由题设条件化简得到2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α]，进而得sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α，结合基本关系式，即可求解. 【详解】由，可得2sin[(α＋β)＋α]＝3sin[(α＋β)－α] 所以2[sin(α＋β)cos α＋cos(α＋β)sin α]＝3[sin(α＋β)cos α－cos(α＋β)sin α] 从而sin(α＋β)cos α＝5cos(α＋β)sin α，所以tan(α＋β)＝5tan α，所以. 故答案为：. 13. 已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为__________. 【答案】 【解析】 【分析】延长至，使得，化简所给条件可知三点共线，取线段的中点，连接，利用向量的加法减法及数量积运算化简，转化为求的最小值. 【详解】依题意，解得，延长至，使得，如图， 因为， 所以点在直线上，取线段的中点，连接， 则， 显然当时，有最小值， 又易知，，所以的最小值为，所以， 故的最小值为， 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知平面向量，且与的夹角为 （1）求； （2）若与的夹角． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】(1)由和的夹角为，得到，进而求出； (2) 求，求出夹角. 【小问1详解】 由和的夹角为， 则，； ； 【小问2详解】 ， 故， 所以与的夹角为. 15. 在平面直角坐标系中，点、、满足：在轴的正半轴上，的横坐标是，，．记是锐角，是钝角． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）依题意可得，设点的坐标为，根据得到，从而求出，再由三角函数的定义得到，从而求出，最后根据两角差的余弦公式计算可得； （2）由（1）求出，，再求出即可得解. 【小问1详解】 由题意，可知， 因为， 故可设点的坐标为， 则有，所以， 又为锐角，所以， 因为钝角的终边与单位圆的交点的横坐标是， 所以，则， 所以； 【小问2详解】 由（1）知， ， 所以， 因为，所以， 又，所以， 又，所以， 所以． 16. 如图，在平行四边形ABCD中，，垂足为. （1）若，求AP的长； （2）设， ①用向量表示向量； ②求的值. 【答案】（1）2 （2）； 【解析】 【分析】（1）利用线性运算将转化为，然后根据和得到，然后求即可； （2）①根据向量的减法结合线性关系计算即可；②根据三点共线得到，根据数量积公式得到，，即可得到，然后解方程即可. 【小问1详解】 在平行四边形中，，垂足为， ， ， 解得，故长为2. 【小问2详解】 ① ②，且三点共线， ， 又， 则， 由可知， 展开，化简得到 联立解得，故. 17. 已知. （1）求的最小正周期与对称轴方程； （2）若关于的方程在区间上有且只有一个实根，求的取值范围； （3）已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值； 【答案】（1）； （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用两角和差的正弦公式、二倍角公式化简即可求出， 利用周期公式计算周期，再令求对称轴； （2）先求出，结合正弦函数图象即可求出； （3）先化简，再求出的范围，结合正弦函数图象的对称性即可求出. 【小问1详解】 则的最小正周期为， 令，则， 故的对称轴方程为. 【小问2详解】 若，则， 又，， 结合正弦函数图象可知，方程在区间上有且只有一个实根时， 或， 则的取值范围为. 【小问3详解】 ， 若，则， 因， 则结合正弦函数图象可知，方程在区间上的根共有个， 设， 则由正弦函数的对称性可得，， 又 ， 则，即. 18. 在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为. （1）已知，求； （2）①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，角的平分线AD与BC交于点，且，若，求. 【答案】（1）1 （2） ①因为 ， 且，，则， 所以. 若，等价于，即， 所以的充分必要条件是； ② 【解析】 【分析】（1）直接代入两个向量的“相离度”公式运算. （2）①先通过向量坐标运算得到，推出，再结合题意分析证明. ②依据角平分线性质和数量积得出，知道点是的重心，然后求得出结果. 【小问1详解】 因为，， 所以. 【小问2详解】 ①略 ②因为角A的平分线AD与BC交于点D，则，即， 则， 可得， 即，可得， 又因为，可知点P为的重心，则， 可得，， 则， ， ， 可得， 所以. 【点睛】 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省南通第一中学2024-2025学年高一下学期第一次阶段性考试数学试卷 一、单选题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一个选项是正确的.请把正确的选项填涂在答题卡相应的位置上. 1. 已知向量，，.若，则k的值为（ ） A. B. 2 C. D. 2. 如图，在等腰梯形中，，，则（ ） A. B. C. D. 3. 已知，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知，则，，的大小顺序为 A. B. C. D. 5. 已知在边长为2的等边所在平面内，有一点满足，则（ ） A. 1 B. C. D. 6. 已知是单位向量，且，在上的投影向量为，则与的夹角为（ ） A. B. C. D. 7. 已知，则的值为（ ） A. B. C. D. 2 二、多选题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，选对但不全的得部分分.有选错的得0分 8. 对于非零向量，下列命题中不正确的是（ ） A. B. 若，则 C. D. ，则或 9. 已知函数，则（ ） A. 是奇函数 B. 的最小正周期为 C. 在上单调递增 D. 把图象上点的横坐标缩短为原来的倍，纵坐标不变，然后再向左平移个单位长度得到的函数解析式为 10. 已知平面向量满足 则下列说法正确的是（ ） A. 的最小值为 B. 若 则 的最大值为 C. 若向量满足，则 的最大值是 D. 若向量满足，则 的最小值是2 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分． 11. 计算：______． 12. 已知均为锐角，且，若，则________. 13. 已知是面积为的等边三角形，且 其中实数满足 ，则的最小值为__________. 四、解答题：本题共5小题，共77分．解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 14. 已知平面向量，且与的夹角为 （1）求； （2）若与的夹角． 15. 在平面直角坐标系中，点、、满足：在轴的正半轴上，的横坐标是，，．记是锐角，是钝角． （1）求的值； （2）求的值． 16. 如图，在平行四边形ABCD中，，垂足为. （1）若，求AP的长； （2）设， ①用向量表示向量； ②求的值. 17. 已知. （1）求的最小正周期与对称轴方程； （2）若关于的方程在区间上有且只有一个实根，求的取值范围； （3）已知函数，记方程在区间上的根从小到大依次为，求的值； 18. 在平面直角坐标系xOy中，对于非零向量，定义这两个向量的“相离度”为，容易知道平行的充要条件为. （1）已知，求； （2）①已知的夹角为和的夹角为，证明：的充分必要条件是； ②在中，，角的平分线AD与BC交于点，且，若，求. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $