天津市武清区杨村第一中学2024-2025学年高一下学期第三次学业质量检测（6月）数学试题

杨村一中2024~2025学年度第二学期第三次学业质量检测 高一数学 第Ⅰ卷(选择题 共32分) 一、选择题(本题共8小题，每题4分，共32分) 1.某中学共有300名教职员工，其中一线教师200人，行政人员60人，后勤人员40人，采取分层随机抽样，拟抽取一个容量为60的样本，则行政人员应抽取( ) A. 40人 B. 28人 C. 12人 D. 8人 2.盒中装有形状、大小完全相同的5个球，其中红色球3个，黄色球2个.若从中随机取出2个球，则所取出的2个球颜色不同的概率等于( A. B. C. D. 3.为了加深师生对党史的了解，激发广大师生知史爱党、知史爱国的热情，某校举办了“学党史、育文化”暨“喜迎党的二十大”党史知识竞赛，并将1000名师生的竞赛成绩(满分100分，成绩取整数)整理成如图所示的频率分布直方图，则下列说法不正确的是( ) A. a的值为0.005 B.估计这组数据的众数为75 C.估计成绩低于 60分的有250人 D.估计这组数据的第85百分位数为85 4.已知a，b，c表示不同的直线，α，β表示不同的平面，给出下面四个命题： (1)若α∥β,a⊂α, 则a∥β; (2)若 则ab; (3)若a∥β,b⊂β, 则a∥b; (4)a⊥β,b⊂β, 则a⊥b. 上面四个命题正确的有( ) A. (1), (3) B. (2), (4) C. (1), (2), (4) D. (1), (3), (4). 5. 设x, y∈R, 向量=(x,1), =(1,y), =(2,-4).且⊥, ∥c, 则 与 夹角的余弦值为( ) 6.已知△ABC的内角A,B,C所对的边分别为a,b,c,若 则 B. D. 7. 如图, 在平行四边形ABCD中, CE=DE, EB和AC相交于点G,且F为AG上一点(不包括端点)，若 则 的最小值为( ) A. 高一数学 第 1 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 8. 已知正方体ABCD-A₁B₁GD₁的体积为 则四棱锥A₁-ABCD与四棱锥 重叠部分的体积是( ) 第Ⅱ卷(非选择题 共88分) 二、填空题(本题共6小题，每题5分，共30分) 9. 已知复数z满足z(1+i)=7-9i, 则z= . 10.若用斜二测画法画△ABC的直观图△A'B'C'是边长为2的正三角形，如图所示，则原 的面积为 . 11.在△ABC中, 若 其面积为 , 则a+b= . 12.已知△ABC的内角A, B, C所对的边分别为a,b,c, ①若sin2A=sin2B, 则△ABC定为等腰三角形 ②若 则△ABC一定是锐角三角形 ③若点M是边 BC上的点，且 则△AMC的面积是△ABC面积的 ④若△ABC平面内有一点0满足： 且 则△ABC为等边三角形 ⑤0为△ABC平面内有一点，若动点P满足 则动点P的轨迹一定通过△ABC的外心.其中所有正确结论的序号 . 13.已知正方体.ABCD-AB₁C₁D₁的的棱长为4，点E是棱CD的中点，P为四边形CDD₁C₁内(包括边界)的一动点，且满足B₁P∥平面BA₁E，B₁P的轨迹把正方体截成两部分，则较小部分的外接球的体积为 . 14.在梯形ABCD中,. CM与BD相交于点 Q.若 则 若 N为线段AC延长线上的动点，则 的最小值为 . 高一数学 第 2 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 三、解答题(本题共5道大题，共58分) 15.(本小题满分10分) 在△ABC中, 角A, B, C所对的边分别为a, b, c, 且. (1) 求sinB; (2) 若 ①求 的值；②求△ABC的面积 16.(本小题满分12分) 如图，在直三棱柱 中, 侧面BCC₁B₁, ABB₁A₁均为正方形, 点D是棱的A₁C₁中点. (1)求证: 平面AB₁D⊥平面ACC₁A₁; (2)求证: BC₁//平面AB₁D; (3)求点A₁到平面AB₁D的距离. 17.(本小题满分12分) 2024年奥运会在巴黎举行，中国代表团获得了40枚金牌，27枚银牌，24枚铜牌，共91枚奖牌，取得了境外举办奥运会的最好成绩，运动员的拼搏精神给人们留下了深刻印象.为了增加学生对奥运知识的了解，弘扬奥运精神，某校组织高二年级学生进行了奥运知识能力测试. 根据测试成绩, 将所得数据按照[40,50),[50,60),[60,70),[70,80),[80,90),[90,100]分成6组,其频率分布直方图如图所示.在天津考生下载更多资料 (1)求该样本的第-75百分位数； (2)试估计本次奥运知识能力测试成绩的平均分(同一组中的数据用该组区间的中点值作为代表)； (3)该校准备对本次奥运知识能力测试成绩不及格(60分以下的学生，采用按比例分配的分层随机抽样方法抽出5名同学，再从抽取的这5名同学中随机抽取2名同学进行情况了解，求这2名同学分数在[40,50),[50,60)各一人的概率. 学科网（北京）股份有限公司 18.(本小题满分12分) 在锐角三角形ABC中，a；b，c分别为角A，B，C所对的边， (1)证明: (2)求 的范围. 19.(本小题满分12分) 如图, 在菱形ABCD中, AB=3,∠ABC的余弦值为 M为BC靠近B的三等分点，将△ABM沿直线AM翻折成△AB₁M,连接B₁C和. (1)求证: 平面B₁MC⊥平面AMCD; (2)判断线段CN的长是否为定值?若是，请求出线段CN的长，若不是，请说明理由； (3)求二面角 的正切值. 高一数学 第 4 页 共 4 页 学科网（北京）股份有限公司 $$杨村第一中学 YANGCUN NO.1 HIGH SCHOOL 杨村一中2024~2025学年度第二学期第三次学业质量检测 高一数学 参考答案 一、选择题（本题共8小题，每题4分，共32分） 题号 1 2 3 4 6 P 答案 C 0 C D D 二、填空题（本题共6小题，每题5分，共30分） 9.-1-8i 10.2W6 11.√21 12.④⑤ 13.86π 3 36 三、解答题 15.(本小题满分10分) 5a2+5e2=5-2ac得a2+c2-=25 25 由余弦定理知， CosB=a+c-b 3 dc 5.2分 2ac 2ac 3 又Be(0,)，3分 所以sinB=V-coB-V6 44分 b (2)(i)由正弦定理知， sin A sin B' sinA=asinB 3 5分 b 2 又a<6,所以4（0引所以4 46分 m4-引m子别g9 7分 (ii)b2=a2+c2-2accos B, 即c2+2c=1,解得c=反-1（舍去负根），8分 所vc的面积5-9csn8=分5x5-x5-2一2 3 2 10分 高一数学第1页共6页 杨村第一中学 YANGCUN NO.1 HIGH SCHOOL 16.(本小题满分12分) (1)由题意 ,∴aABC为等腰直角三角形， 在三棱柱ABC-AB,C中，侧面BCC,B,ABB,A均为正方形， 易知：△AB,C为等腰直角三角形， 又D是棱的AG中点，则B1D1A1C1,2分 由AA⊥面A,BC,BDC面AB,C,则AA1BD,而AA∩AC=A,且AA、4C,C面 ACCA, .BD⊥面ACCA,3分 又BDc平面ABD, .平面ABD⊥平面ACC4:…4分 (2)设O是AB,B4的交点，又ABB,4为正方形，则O为B4的中点， 在△BAC中，OD1IBC,6分 又ODc面AB,D,BC面AB,D,7分 BC11平面ABD:8分 D B (3)由(1)知： 40-54G=号，面4=1，则D=5,又BD巨】 2 2 Saw=040=9 4 9分 由Sm=8040=子则w=写45=71山分 1 1 高一数学第2页共6页 杨村第一中学 YANGCUN NO.1 HIGH SCHOOL 又'k4%=VD4,若A到平面ABD的距离为d, 5m位可得=5 12分 17.(本小题满分12分) （1)由题设(0.01+0.015+0.015+a+0.025+0.005)×10=1,2分 可得a=0.03,2分 由(0.01+0.015+0.015+0.03)×10=0.7<0.75，(0.07+0.025)×10=0.95>0.75. 所以样本的第75百分位数位于区间[80,90)，设为x, 则0.7+(-80)×0.025=0.75 所以x=82分」 则其第75百分位数为82分4分 (2)由题设0.1×45+0.15×55+0.15×65+0.3×75+0.25×85+0.05×95=71分： 则平均分为71分6分 (3)由题设，[40,50)，[50,60)的频率比为2：3， 7分 故抽取的5人中[40,50)有2人为a,b、[50,60)有3人为AB,C, 任抽2人有b,aMaB,aC,bM,bB,bC.AB4C,BC,共10种情况，9分 分数在40,50)[50,60)各一人有a4aB,aC,bM,bB,bC,共6种情况，11分 所以这2名同学分数在[40,5050,60)各一人的概率合-号12分 18.(本小题满分12分) (1)因为在锐角VABC中，a=c-2 a cos B, 由正弦定理得sinA=sinC-2 sin AcosB,1分 sin A=sin(+B)-2sin Acos B, 所以sinA=sin Acos B+sin Bcos A-2 sin Acos B,3分 则sinA=sin(B-A),所以B-A=A或B=π（舍去）， 所以B=2A4分 (2)因为VABC是锐角三角形，又B=2A, 高一数学第3页共6页 杨村第一中学 YANGCUN NO.1 HIGH SCHOOL 0c4c号 所拟0<24号 0<-3M号 所以人的范围为爱孕， 6分 则sin Ae 1√2 22 7分 sinC=sin(A+B)=sin(A+24) sin Acos2A+cos Asin2A =sin 4(1-2sin2)+2(-sin24) =sin 4(3-4sin )=3sin A-4sinA.. 则、12sin2A 12sin2A 12sin2A 4sin A-sinC 4sin A-sin3A 4sin'+sin A 12 4sinA+。,…10分 sin A 设y=4sinA+1 n' 12) 令1=sin1e22 则/0=4+0=4-7>0， 所了0=+片在2号 上单调递增， 所以f)e(4,32,即y∈(4,32 1川分 则导4ka即m”6动 12 sin A 所以，12sn1一的取值范围是(25,3)…12分 4sinA-sinC 高一数学第4页共6页 杨村第一中学 YANGCUN NO.1 HIGH SCHOOL 19.（本小题满分12分) 在菱形ABCD中，AB=3,COsZABC,BM=BC 由余弦定理得，AMP=AB2+BM2-2,AB·BM·cOS∠ABM=8, 即AM=2√5，又由AM2+BM2=AB2,放AM⊥BM,1分 由翻折性质知AM⊥MC,AM上BM,2分 又因为BM,CMc平面BMC, BMOCM=M,所以AM⊥平面B,MC,3分 因为AMc平面AMCD,所以平面BMC⊥平面AMCD4分 (2) 图1 如图1所示，在AD上取点E,使DE=号DA,莲接ENCE,因DN=BD, 则有EN∥AB,又AE1ICM,且AE=CM=2,则有CEIIAM,6分 因∠NEC和∠BAM的两边方向相同，由等角定理得∠NEC=∠BAM, 由(1)知AM⊥平面BMC,MBc平面BMC,故可得AM⊥MB cos∠NEC=cos∠BAM=4M_22 AB 3 7分 在aNEC中，由余弦定理可得，CW2=EW2+CE2-2EN.CEcos∠NEC P+22-2x1x22×3=号，C水- 3 8分 (3)如图2所示，由(1)得平面BMC⊥平面AMCD, 在平面BMC内，过B作B,F⊥MC于F, 在平面AMCD内，过F作FG⊥AD,垂足为G, 因为平面BMC⊥平面AMCD,BF⊥MC, 图2 高一数学第5页共6页 杨村第一中学 YANGCUN NO.1 HIGH SCHOOL 平面BMCO平面AMCD=MC,BFC平面B,MC,所以B,F⊥平面AMCD, ∴BF⊥AD,GF⊥AD,BFOGF=F∴AD⊥平面B,GF. ∴.B,G⊥AD,∠BGF即为二面角B-AD-M的平面角，I0分 tan∠RGF=BF FG 1】分 在菱形ABCD中，易得FGIIAM,故FG=AM=25,由AM⊥平面B,MC, BM=1知，点B,在以M为圆心的圆弧上， 所以当BM⊥MC时，BF取得最大值I, 此时am∠BG-5-2,因为LBGF为税角，mgG附原大值为5 12分 高一数学第6页共6页