江苏省南通市2024-2025学年高三下学期四模数学试题

江苏省南通市2024-2025学年高三下学期四模数学试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，，，则（ ） A. B. C. D. 2. 设，为纯虚数，则（ ） A. B. C. D. 3 3. 已知向量，，若，则（ ） A. B. 1 C. D. 2 4. 记数列的前项和为，若，，且是公比为2的等比数列，则（ ） A. 93 B. 1023 C. 2047 D. 3069 5. 一个数阵有行4列，第一行中的4个数互不相同，其余行都由这4个数以不同的顺序组成.如果要使任意两行的顺序都不相同，那么的值最大可取（ ） A. 6 B. 12 C. 24 D. 48 6. 若半径为1的球与正三棱柱的各个面均相切，则该正三棱柱外接球的表面积为（ ） A. B. C. D. 7. 已知抛物线的焦点是双曲线的一个顶点，为与的交点，，则的渐近线方程为（ ） A. B. C. D. 8. 已知函数若对于任意，，则实数的取值范围是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 某研究机构随机选取了100位高三女生及其父亲的身高数据进行研究，计算得到样本相关系数，女生身高（单位：）关于父亲身高（单位：）的经验回归方程为，下列判断正确的是（ ） A. 女生身高和父亲身高正相关 B. 女生身高和父亲身高不存在相关关系 C. 已知父亲身高为，估计女儿的身高为 D. 若从样本中抽取一部分，则这部分的相关系数一定是0.8985 10. 已知函数，，则（ ） A. B. C. 在上有3个零点 D. 有3个零点 11. 在棱长为2的正方体中，是其表面上一点，且与所成的角为，下列说法正确的是（ ） A. 若是的中点，则 B. 若在线段上，则 C. 若，则的轨迹长度是 D. 若，则不在面上 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 若直线与椭圆交于，两点，，则的离心率为________. 13. 心理学家有时使用函数来测定在时间内能够记忆的量，其中表示需要记忆的量，表示记忆率.假设一个学生有200个单词要记忆，心理学家测定在后该学生记忆了20个单词.该学生记忆38个单词大约需要________. 14. 在中，若，则的最小值为________. 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 已知数列的前项和为，是首项和公差均为1的等差数列. （1）求数列的通项公式； （2）若，求的最小值. 16. 如图，在三棱台中，平面，，. （1）证明：平面平面； （2）若二面角的正切值为2，求. 17. 已知函数. （1）求曲线在点处的切线方程； （2）若在单调递减，求实数的取值范围. 18. 某次投篮游戏，规定每名同学投篮次，投篮位置有，两处，第一次在处投，从第二次开始，若前一次未投进，则下一次投篮位置转为另一处；若前一次投进，则下一次投篮位置不变.在处每次投进得2分，否则得0分；在处每次投进得3分，否则得0分.已知甲在，两处每次投进的概率分别为，，且每次投篮相互独立.记甲第次在处投篮的概率为，第次投篮后累计得分为. （1）求的分布列及数学期望； （2）求的通项公式； （3）证明：. 参考公式：若，是离散型随机变量，则. 19. 在平面直角坐标系中，已知圆，直线，动圆与圆外切且与相切，记圆心的轨迹为曲线. （1）求的方程； （2）经过点的直线与交于，两点. （i）是上异于的点，设直线，，，的斜率分别为，，，，若，证明：； （ii）记线段的中点为，，是否存在直线，使得，，均为正整数，若存在，求直线的方程；若不存在，说明理由. 江苏省南通市2024-2025学年高三下学期四模数学试题 数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】B 【2题答案】 【答案】A 【3题答案】 【答案】D 【4题答案】 【答案】B 【5题答案】 【答案】C 【6题答案】 【答案】D 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】C 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】AC 【10题答案】 【答案】BCD 【11题答案】 【答案】ABD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】10 【14题答案】 【答案】 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1） （2） 【16题答案】 【答案】（1） 因为平面，平面，所以. 又因为，，平面，， 所以平面. 因为平面，所以平面平面. （2） 【17题答案】 【答案】（1） （2） 【18题答案】 【答案】（1） 0 2 3 4 （2）（，2，……，） （3） 因为第次在处投篮的概率为，在处投篮的概率为， 记第次得分，则的可能取值为0，2，3， ， ， ， 所以， 因为， 所以 ， 因为， 所以. 【19题答案】 【答案】（1） （2）（i）由题意可知，直线的斜率存在且不为0， 设， 联立消，得， 设，，则 设，， 因为，则， 因为，，是上三点，则，，2，3， 所以， 则， 化简得，. ， 同理， 所以. （ii）不存在直线，使得，，均为正整数，理由如下： 由（※），得 由，，消去，得， 假设存在直线，使得，，均为正整数， 则是3的正整数倍，进而，都是3的正整数倍， 不妨设，，， 则消去，得， 即. 因为，有相同的奇偶性，且， 所以解得 所以，， 所以，与，，均为正整数矛盾， 所以不存在直线，使得，，均为正整数. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $