6.4 实践与探索 教学设计 2024-2025学年华东师大版七年级下册数学
6.4 实践与探索 教学设计
1. 内容
本节课选自华东师大版七年级下册第六章“一次方程组”的“6.4 实践与探索”，主要内容是通过两个实际问题（包装盒配套问题与拼图问题）引导学生建立三元一次方程组模型，探索解决方案，并应用消元法求解。学生需掌握配套比例关系的分析、几何图形与代数方程的转化，以及方程组整数解的讨论方法。
2. 内容解析
本节以生活情境为载体，深化三元一次方程组的应用能力。包装盒问题涉及资源分配与比例约束，拼图问题通过面积关系建立方程，体现数形结合思想。通过解决实际问题，学生将理解方程组建模的通用性，提升从具体问题抽象数学关系的能力，为后续学习函数、不等式等奠定基础。
1. 目标
(1) 能分析实际问题中的数量关系，列出三元一次方程组；
(2) 掌握消元法解方程组，并根据实际意义检验解的合理性；
(3) 探索几何问题中的等量关系，建立方程模型，发展空间想象能力。
2. 目标解析
学生通过设计包装盒用纸方案，理解配套比例（侧面数:底面数=1:2）对解的约束作用；通过拼图问题，体验图形面积与代数方程的关联。目标在于培养学生将复杂问题分解为数学模型的思维习惯，强化运算严谨性，并为后续学习线性规划、几何证明提供方法支撑。
- 配套比例理解偏差：学生易混淆“1个侧面配2个底面”的比例关系，错误列出方程；
- 整数解忽视实际约束：包装盒问题中解需为整数且符合纸张分配，学生可能忽略可行性验证；
- 几何问题代数化困难：拼图问题需从图形中提取隐含条件（如边长关系），部分学生难以建立方程；
- 多元方程组消元策略选择：面对复杂方程组时，学生可能无法灵活选择代入法或加减法。
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问题1
某工厂用20张白卡纸制作包装盒，每张纸可做2个侧面或3个底面。1个盒子需1个侧面和2个底面。如何分配纸张，使侧面和底面恰好配套？
问题2
若允许一张纸裁出1个侧面和1个底面，如何分配才能充分利用纸张且配套？
问题3
小明用8个相同长方形拼成大长方形（图6.4.1），小红拼成正方形（图6.4.2）时中间多出边长为2 mm的小洞。如何求长方形的长和宽？
设计意图：
以生活与趣味问题激发兴趣，引导学生从资源分配（问题1-2）和几何变换（问题3）中抽象数学关系。对应目标(1)(3)，培养建模意识。
探究1：包装盒配套问题
- 问题：设
张纸做侧面，
张纸做底面，
张纸裁出1个侧面和1个底面。 - 总纸数：
； - 侧面总数：
； - 底面总数：
； - 配套比例：侧面数:底面数 = 1:2，即
。
- 总纸数：
追问：若不裁剪（
），方程组如何列？解是否合理？
设计意图：
通过参数设置明确约束条件，强化比例关系分析能力。对应目标(1)(2)。
- 某车间生产桌子，1张桌面配4条桌腿。1 m³木料可做桌面50个或桌腿300条。现有5 m³木料，如何分配使桌面与桌腿配套？
解：设桌面用 
m³，桌腿用 
m³。
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- 用100元买甜果（9个/11元）和苦果（7个/4元），共买1000个，求各买几个？
解：设甜果 
个，苦果 
个。
知识点：配套比例、整数解验证。
探究2：拼图问题
- 问题：设长方形长 mm、宽 mm。
- 图6.4.1：大长方形由8个小长方形拼成；
- 图6.4.2：大正方形边长
，中间空缺面积 
mm²。 - 面积关系：大正方形面积 = 8个小长方形面积 + 小洞面积
猜想：展开后化简为 
。
验证：解得 
或 
（舍负），故 
。
探究3：补充条件
图6.4.1中，大长方形长宽关系为 
（横向3个长=纵向5个宽）。联立方程：
设计意图：
通过代数变换将几何问题方程化，渗透数形结合思想。对应目标(3)。
例1：包装盒问题（含裁剪）
设 张纸全做侧面， 张纸全做底面， 张纸裁出1侧1底。
侧面总数底面总数侧面总数底面总数
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