精品解析：江苏省启东中学2024-2025学年高一下学期第二次月考数学试题

江苏省启东中学2024~2025学年度第二学期第二次月考 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （改编：人教版必修1第219页例4（1）） 1. （ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据两角差的正弦公式化简求解即可. 【详解】由两角差的正弦公式得. 故选：B （改编：人教版必修2复习参考题7第95页第4题） 2. 已知复数与都是纯虚数，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】设，根据复数的运算与复数的概念可得出关于实数的等式或不等式，解出的值，即可得解. 【详解】根据题意，设， 则为纯虚数， 所以，解得，故. 故选：D. （改编：人教版必修2复习参考题7第95页第4题） 3. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】设圆锥的母线为，底面半径为，高为，由题意得解得，又圆锥的表面积，即可求得，又即可求得高，最后由圆锥的体积公式即可求解. 【详解】设圆锥的母线为，底面半径为，高为，所以有解得， 又圆锥的表面积为，解得，即， 所以，所以圆锥的体积为， 故选：C. （改编：人教版必修2第47页例8） 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由正弦定理可得，再由三角形有两解可得角的范围，从而得到结果. 【详解】由正弦定理可得，则， 因为，且满足条件的有两个， 所以，且（当时，三角形只有一解）， 此时，则. 故选：B （改编：人教版必修2复习参考题8第171页第16题） 5. 设，是两条异面直线，，是两个平面，若，，则（ ） A. B. C. D. 与相交 【答案】D 【解析】 【分析】根据空间中直线与平面的位置关系的相关定理，结合举例，对每个选项逐一进行分析判断. 【详解】对于A，若，又，则，这与是异面直线矛盾，故A错误； 对于B，若，又，则，这与是异面直线矛盾，故B错误； 对于C，若，又，，则，这与是异面直线矛盾，故C错误； 对于D，又选项C，可知与相交，故D正确. 故选：D. （改编：人教版必修1习题5.2第186页第15题） 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】由已知等式得，化简得到，代入即可求解. 【详解】因为， 即，所以， 所以. 故选：D. （改编：人教版必修2习题7.1第73页第4题） 7. 从复平面的四个象限中取若干点，这些点对应的复数中，实部为正数的复数比实部为负数的多，虚部为正数的复数比虚部为负数的少，则下列对这些点的判断一定正确的是（ ） A. 第一象限点比第二象限点多 B. 第二象限点比第三象限点多 C. 第一象限点比第三象限点少 D. 第二象限点比第四象限点少 【答案】D 【解析】 【分析】根据复平面内各象限点的特征，结合已知条件中实部、虚部正负的数量关系，通过设未知数列出不等式，进而比较各象限点的数量关系. 【详解】设第一、二、三、四象限的点分别有个. 均为正数. 在复平面中，第一、四象限的点实部为正，第二、三象限的点实部为负. 已知实部为正数的复数比实部为负数的多，则可得. 在复平面中，第一、二象限的点虚部为正，第三、四象限的点虚部为负. 已知虚部为正数的复数比虚部为负数的少，则可得. 由， 所以.即第二象限点比第四象限点少. 根据条件，无法判断与，与，与的大小关系. 故选：D. （改编：人教版必修2习题8.3第120页第3题） 8. 如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为，若侧面水平放置时，液面高为，若底面水平放置时，液面高为3，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 【答案】D 【解析】 【分析】根据液体体积不变列方程求解可得. 【详解】记侧面水平放置时，液面与分别交于， 的中点为，连接交于点，的面积为， 由题可知，，则， 所以，则梯形的面积为， 所以直棱柱的体积为， 又底面水平放置时，液面高为3，所以液体体积为， 所以，解得. 故选：D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. （改编：人教版必修2第212页例6） 9. 在对某公司职员每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取了男职员4人，女职员3人，其中男职员的平均数为56，女职员的平均数为42.则（ ） A. 总样本的平均数为49 B. 总样本的平均数为50 C. 总样本的方差小于48 D. 总样本的方差不小于48 【答案】BD 【解析】 【分析】首先由加权平均数计算总样本的平均数可判断AB，然后由公式放缩可判断CD. 【详解】对于AB，总样本的平均数为，故A错误，B正确； 对于CD，总样本的方差， 其中是男职员的人数，是女职员的人生，是总样本量， 是男职员的平均数，是女职员的平均数， 依次是男、女职员的方差， 所以， 所以总样本的方差不小于48，故C错误，D正确. 故选；BD. （改编：人教版必修2习题8．5第143页第5题） 10. 在正四棱锥中，侧棱与底面边长相等，分别是和的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 【答案】BC 【解析】 【分析】根据题意作图，利用中位线的性质证得四边形是平行四边形即，可直接判断A；利用线面平行的判定定理可证明并判断B；利用等边三角形的性质可证明并判断C；利用线面垂直的性质和判定定理可判断D. 【详解】 如图，取中点，连接， 分别是和的中点，四棱锥是正四棱锥， 且，即四边形是平行四边形， 对于A，因为，所以与不平行，故A错误； 对于B，因为平面平面，所以平面，故B正确； 对于C，因为，是中点，所以，又因为，所以，故C正确； 对于D，连接交于点，连接， 因为四棱锥是正四棱锥，所以平面，， 因为平面，平面，所以， 则由，，平面平面，可证得平面， 又因为，所以与为异面直线， 如果平面，则与题意矛盾，故D错误. 故选：BC. 11. 在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 【答案】BCD 【解析】 【分析】由诱导公式即可判断A，由正弦定理即可判断B，由条件可得，结合基本不等式代入计算，即可判断C，由条件可得，然后换元，结合二次函数的值域，即可判断D. 【详解】对于A，由可得， 则或，即或， 因为三角形为斜三角形，若，则，， 不符合斜三角形，所以，即为钝角，为钝角三角形，故A错误； 对于B，由正弦定理可得，则， 所以，故B正确； 对于C，由，可得， 且，则， 则 ， 当且仅当时，即时，等号成立，故C正确； 对于D，由C可知，， 则， 令， 由可得，则， 所以，故， 且， 所以， 当时，取得最大值， 当或时，最小值为， 所以，故D正确； 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. （改编：人教版必修2习题8.3第119页第1题） 12. 以棱长为2的正方体的六个面的中心为顶点的正八面体的表面积为__________. 【答案】 【解析】 【分析】由题意作图，结合正方体的几何结构，利用等边三角形的面积，可得答案. 【详解】由题意作图如下： 易知分别为的中点，则， 可得，， 所以等边的面积， 易知正八面体的表面积为八个全等的等边三角形的面积之和，则为. 故答案为：. 13. 写出一个使得成立的的度数为_______. 【答案】（答案不唯一） 【解析】 【分析】将正弦、余弦化为正切，再利用两角和的正切公式即可求解. 【详解】易知， 当时，， 故答案为：（答案不唯一） 14. 蜜蜂将窝造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资源的利用，同时确保蜂巢的结构稳定性和功能性，小明作出它的部分平面图（三个全等的正六边形），若，则______________；若，则______________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】结合正六边形的性质以及平面向量的线性运算即可得到结果；再将分别用表示出来，结合向量数量积的运算律代入计算，即可得到结果. 【详解】观察图形可知，三点共线，且， 因为， 且， 则， 所以，即； 由正六边形的性质可得 ， 所以 . 故答案为：； 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （改编：人教版必修2第197页练习第1题、第202页例3） 15. 某地2025年4月30天的空气质量指数经过统计，并进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求直方图中的值； （2）求样本数据的60%分位数； （3）计算该地2025年4月30天的空气质量指数的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表）. 【答案】（1） （2）74分 （3）70.2 【解析】 【分析】（1）利用频率分布直方图中各小组的频率之和等于1即可求出的值； （2）根据百分位数的定义，结合频率分布直方图列式计算即得； （3）结合频率分布直方图，利用平均数的计算公式计算即可. 【小问1详解】 因为， 解得． 【小问2详解】 因为， ， 所以估计样本数据的分位数一定在内． 因． 故样本数据的分位数为74分． 【小问3详解】 样本平均数 所以可估计该市空气质量指数的平均值为70.2． 16. 已知向量，，. （1）求与的夹角； （2）若，求的值； （3）若， 求实数的值. 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）利用平面向量数量积的坐标运算结合平面向量夹角的取值范围可得出与的夹角； （2）根据可得出，结合平面向量数量积的坐标运算可求出的值，可求出的坐标，再利用平面向量数量积的坐标运算可求得的值； （3）求出向量的坐标，利用平面向量共线的坐标运算可求出实数的值. 【小问1详解】 设与的夹角为，则， 因为，所以． 【小问2详解】 因为，所以，所以， 所以， 所以． 【小问3详解】 ． 因为，所以，解得． 17. 已知锐角满足． （1）求的值； （2）求的值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）由题意求出，利用两角差的正弦公式即可求得； （2）由（1）解出，由均为锐角以及的取值情况，解出的取值范围，即可求得的值. 【小问1详解】 因为，，所以， 因为，，所以， 则，又，所以，则， 所以. 【小问2详解】 由（1）得， 因为，，，所以， 由（1）知，所以， 则，所以. 18. 已知函数． （1）若为锐角，，求的值． （2）在中，若是的中点，且，求的面积； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） （3） 【解析】 【分析】（1）由恒等变换公式化简函数解析式，即可得到，再由代入计算，即可得到结果； （2）由中线可得，从而可得，结合余弦定理与三角形的面积公式代入计算，即可得到结果； （3）将不等式化简，然后换元可得在上恒成立，分离参数结合基本不等式代入计算，即可得到结果. 【小问1详解】 ， 由可得， 且为锐角，则，即，则， 即， 所以 . 【小问2详解】 因为，且，则， 则，解得， 由为三角形的中线，则， 即， 即，化简可得①， 由余弦定理可得， 化简可得②， ①②可得，即， 则. 【小问3详解】 ， 由可得，则， 由不等式在上恒成立， 可得在上恒成立， 且 ， 令，则， 则不等式在上恒成立， 即在上恒成立， 又，当且仅当时，即时等号成立， 所以，即， 则实数m的取值范围是. 19. 中，，，，是的中点，是的中点，是的中点.如图，将和分别沿EF，向平面的同侧翻折至和的位置，且使得. （1）证明: 平面平面； （2）证明: ，，，共面； （3）若 求三棱锥的体积. 【答案】（1） 因为，， 又，平面，， 所以平面． 因为平面， 所以平面平面． （2） 取中点，中点，连接， 则， 因为，， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 因为，， 所以四边形是平行四边形， 所以，， 所以，， 所以四边形是平行四边形， 所以，所以， 所以，，，共面． （3） 【解析】 【分析】（1）由已知易证平面，进而可证结论． （2）取中点，中点，连接连接，证明出四边形，，为平行四边形，可得出，由此得出结论成立； （3）过点作，垂足为，证明出平面，可知是三棱锥的高．求出、，利用锥体的体积公式可求得三棱锥的体积； 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 过点作，垂足为， 由（1）知，平面，因为平面，所以， 因为，平面，， 所以平面， 即是三棱锥的高． 由（1）的图，在中，由余弦定理得 ， 所以， 所以， 所以三棱锥的体积 ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江苏省启东中学2024~2025学年度第二学期第二次月考 高一数学 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. （改编：人教版必修1第219页例4（1）） 1. （ ） A. B. C. D. （改编：人教版必修2复习参考题7第95页第4题） 2. 已知复数与都是纯虚数，则（ ） A. 或 B. 或 C. D. （改编：人教版必修2复习参考题7第95页第4题） 3. 已知圆锥的表面积为，且它的侧面展开图是一个圆心角为的扇形，则这个圆锥的体积为（ ） A. B. C. D. （改编：人教版必修2第47页例8） 4. 在中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．已知，若满足条件的有两个，则b的取值范围是（ ） A. B. C. D. （改编：人教版必修2复习参考题8第171页第16题） 5. 设，是两条异面直线，，是两个平面，若，，则（ ） A. B. C. D. 与相交 （改编：人教版必修1习题5.2第186页第15题） 6. 已知，则（ ） A. B. C. D. （改编：人教版必修2习题7.1第73页第4题） 7. 从复平面的四个象限中取若干点，这些点对应的复数中，实部为正数的复数比实部为负数的多，虚部为正数的复数比虚部为负数的少，则下列对这些点的判断一定正确的是（ ） A. 第一象限点比第二象限点多 B. 第二象限点比第三象限点多 C. 第一象限点比第三象限点少 D. 第二象限点比第四象限点少 （改编：人教版必修2习题8.3第120页第3题） 8. 如图，一个正三棱柱形容器中盛有水，且底面边长和侧棱长都为，若侧面水平放置时，液面高为，若底面水平放置时，液面高为3，则（ ） A. 1 B. 2 C. 3 D. 4 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. （改编：人教版必修2第212页例6） 9. 在对某公司职员每天参加体育锻炼时间（单位：分钟）的调查中，采用样本量比例分配的分层随机抽样，抽取了男职员4人，女职员3人，其中男职员的平均数为56，女职员的平均数为42.则（ ） A. 总样本的平均数为49 B. 总样本的平均数为50 C. 总样本的方差小于48 D. 总样本的方差不小于48 （改编：人教版必修2习题8．5第143页第5题） 10. 在正四棱锥中，侧棱与底面边长相等，分别是和的中点，则（ ） A. B. 平面 C. D. 平面 11. 在斜三角形中，角A，B，C的对边分别为a，b，c．若，则（ ） A. 为锐角三角形 B. 若，则 C. 的最小值为 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分.请把答案直接填写在答题卡相应位置上. （改编：人教版必修2习题8.3第119页第1题） 12. 以棱长为2的正方体的六个面的中心为顶点的正八面体的表面积为__________. 13. 写出一个使得成立的的度数为_______. 14. 蜜蜂将窝造成正六边形是一种基于数学、物理学和生物学的综合选择，旨在最大化资源的利用，同时确保蜂巢的结构稳定性和功能性，小明作出它的部分平面图（三个全等的正六边形），若，则______________；若，则______________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤. （改编：人教版必修2第197页练习第1题、第202页例3） 15. 某地2025年4月30天的空气质量指数经过统计，并进行适当分组后（每组为左闭右开的区间），画出频率分布直方图如图所示. （1）求直方图中的值； （2）求样本数据的60%分位数； （3）计算该地2025年4月30天的空气质量指数的平均值（同一组数据用该区间的中点值作代表）. 16. 已知向量，，. （1）求与的夹角； （2）若，求的值； （3）若， 求实数的值. 17. 已知锐角满足． （1）求的值； （2）求的值． 18. 已知函数． （1）若为锐角，，求的值． （2）在中，若是的中点，且，求的面积； （3）若关于x的不等式在上恒成立，求实数m的取值范围． 19. 中，，，，是的中点，是的中点，是的中点.如图，将和分别沿EF，向平面的同侧翻折至和的位置，且使得. （1）证明: 平面平面； （2）证明: ，，，共面； （3）若 求三棱锥的体积. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $