精品解析：重庆市第九十五初级中学校2024-2025学年七年级下学期期末模拟考试数学试题

重庆九十五中2024—2025学年下期2027届（七年级）期末模拟检测数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算结果正确的是（ ） A. B. C. D. 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 明天将下雨 B. 买一张电影票，座位号是奇数号 C. 小丽到达公交汽车站台时，901路公交车正在驶来 D. 一只袋子中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球 4. 小颖去水果店买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（　　） A. 金额 B. 数量 C. 金额和单价 D. 金额和数量 5. 如图，在的正方形网格中，则的度数为（ ） A B. C. D. 6. 将一条长方形纸带按如图方式折叠，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 7. 如图，在中，，垂足分别为．线段交于点，若，，则的面积为（ ） A 15 B. 14 C. 13 D. 12 8. “数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学学科中所发挥的重要价值与意义的高度概括，下图是利用割补法求图形面积的示意图，其直观揭示的公式是：（ ） A. B. C. D. 9. 如图，点在上，点在上，，且．则（ ） A. B. C. D. 10. 表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为（相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘），第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推．记，，…，第个新数组的四数之积为（为正整数）．现对于任意正整数，，下列说法： ①； ②当，，，时，在的所有因数中，能被整除但不能被整除的共有个； ③若，是大于的整数，则满足条件的的最小值为． 正确的有（ ）个 A. B. C. D. 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 一种纳米材料的厚度是0.000000083米，数据0.000000083用科学记数法表示为______． 12. 若等腰三角形的周长为13，一边长为3，则其腰长是__________. 13. 一个不透明的口袋中装有五个球，分别标有这五个号码，这些球除号码外其余都相同，从中随机摸出一个球，摸到标号为号的球的概率是_________． 14. 我国首辆火星车正式被命名为：“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率\与温度的关系如表： 温度 导热率 根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为_________． 15. 如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若，则的度数为 _________ ． 16. 若是一个完全平方式，则的值等于_________． 17. 如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为 _______． 18. 对于四位数，若百位数字与千位数字的差等于个位数字与十位数字的差的二倍，则称为“好事成双数”，将“好事成双数”的个位数字去掉记为，将千位数字去掉记为，并规定，则___________；若一个四位数，其中，均为整数）是“好事成双数”，且除以14余4，则满足条件的的最大值与最小值的差为___________． 三、解答题（本大题8个小题，19题8分，其余每题10分，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 20. 如图，已知，，，．请完成下面的作图和填空． （1）尺规作图：作的角平分线交于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） （2）在第（1）问的条件下，试说明．请将下列解题过程补充完整． 解：（已知） （①_______） （已知） ②_______（等量代换） 平分（已知） ③_______（角平分线定义） 在中，，④_______（已知） （⑤_______） （等量代换） （⑥_______） 21. 先化简，再求值：，其中． 22. 周末不仅是暂停学习的“缓冲带”，更是学生全面发展的重要窗口．理想的周末应平衡休息、社交、兴趣与自主学习，帮助学生在快节奏教育环境中保持身心健康，成长为更具适应力的个体．某校对七年级同学们喜爱的周末活动方式情况随机抽取了部分学生进行问卷调查，设置了4种选项：．电子游戏；．户外运动；．阅读学习；．影视追剧．现收集、整理、分析数据后，绘制了如下不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）参与此次调查的学生总人数为________人，请补全条形统计图． （2）在所调查的学生中随机选取一人了解活动心得，求选中周末活动方式为的学生的概率为________． （3）若该校七年级学生共有3400人，根据本次调查估计该校七年级学生中选择活动方式为和活动方式为的共有多少人？ 23. 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． （1）在图1中，请以直线l为对称轴，画出与成轴对称的图形（要求A，B，C分别与，，对应）； （2）在图2中，请在直线l上找一点P，使得的周长最小； （3）计算四边形的面积． 24. 如图，已知：，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 25. 如图1，在中，于点D，，，动点E从点B出发，沿射线BC以速度匀速运动，到达点D时停留后以原速度继续运动．如图2为的面积S（）随时间t（s）的变化图像． （1）填写图2中数据：______，______，______，______； （2）时，求t的值； （3）当动点E从点B出发时，动点F同时从点C沿边以的速度向终点B运动，当点F到达终点B后，点E也随之停止运动，当时，求t的值． 26. 如图，在等腰三角形中，，为平面内一点． （1）如图1，当点在延长线上时，连接，若，交于点，，求的长； （2）如图，当点在的延长线上时，连接，若，在的右侧有一点，连接和，若，且，若为的中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，若，点在的角平分线上运动（不与点重合），取中点，以为边向左边作等边三角形，连接，，设，当在直线上方时，请用含的式子表示的度数． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 重庆九十五中2024—2025学年下期2027届（七年级）期末模拟检测数学试题 （全卷共三个大题，满分150分，考试时间120分钟） 一、选择题（本大题10个小题，每小题4分，共40分） 1. 以下是四款常用的人工智能大模型的图标，其文字上方的图案是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了轴对称图形的识别，解题的关键在于熟练掌握：在平面内，一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够完全重合的图形叫做轴对称图形．据此即可求解． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； B、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； C、不是轴对称图形，故本选项不符合题意； D、是轴对称图形，故本选项符合题意； 故选：D． 2. 下列运算结果正确的是（ ） A B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查同底数幂乘法，除法，积的乘方，合并同类项，掌握相关运算法则是解题的关键．根据同底数幂的乘法，除法，积的乘方，合并同类项，逐一计算即可得出结果． 【详解】解：选项，，故错误，不符合题意； 选项，，故正确，符合题意； 选项，，故错误，不符合题意； 选项，，故错误，不符合题意； 故选：． 3. 下列事件中，属于必然事件的是（ ） A. 明天将下雨 B. 买一张电影票，座位号是奇数号 C. 小丽到达公交汽车站台时，901路公交车正在驶来 D. 一只袋子中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查的是确定事件和随机事件，事先能肯定它一定会发生的事件称为必然事件，事先能肯定它一定不会发生的事件称为不可能事件，必然事件和不可能事件都是确定的；在一定条件下，可能发生也可能不发生的事件，称为随机事件．根据确定事件和随机事件的概念对各个事件进行判断即可． 【详解】解：明天将下雨、买一张电影票，座位号是奇数号、小丽到达公交汽车站台时，901路公交车正在驶来，都是随机事件， 一个口袋中装有2个红球和1个白球，从中摸出2个球，其中有红球是必然事件， 故选：D． 4. 小颖去水果店买橙子，如图是称橙子所用的电子秤显示屏上的数据，则其中的变量是（　　） A. 金额 B. 数量 C. 金额和单价 D. 金额和数量 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查变量与常量，根据变化的量叫变量，恒定不变的量叫常量逐个判断即可得到答案． 【详解】解：由题意可得， 金额单价数量，单价不变，数量与金额是变化的量， ∴单价常量，数量与金额是变量， 故选：D． 5. 如图，在的正方形网格中，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，直角三角形的两个锐角互余，根据网格的特点，结合全等三角形的判定定理得出，再根据全等三角形的性质和直角三角形的两个锐角互余即可求解． 详解】解：如图： 在与中， ， ∴， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 6. 将一条长方形纸带按如图方式折叠，若，则的度数为（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质，与角平分线有关的计算，根据平行线的性质，求出，再根据平角的定义和折痕是角平分线进行求解即可． 【详解】解：∵长方形纸带的对边平行， ∴， ∵折叠， ∴； 故选A． 7. 如图，在中，，垂足分别为．线段交于点，若，，则的面积为（ ） A. 15 B. 14 C. 13 D. 12 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查全等三角形的判定和性质，掌握全等三角形的判定方法（即和）和全等三角形的性质（对应边相等、对应角相等）是解题的关键． 根据同角的余角相等可得，然后由条件可证明，根据全等三角形的性质可得，即可求解． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∵，， 则的面积． 故选：A． 8. “数缺形时少直观，形少数时难入微，数形结合百般好，隔离分家万事休”是我国著名数学家华罗庚对“数形结合思想”在研究数学学科中所发挥的重要价值与意义的高度概括，下图是利用割补法求图形面积的示意图，其直观揭示的公式是：（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了完全平方公式的几何背景，熟练掌握完全平方公式的几何背景的计算方法进行求解是解决本题的关键．左边大正方形的边长为，面积为，由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成，根据面积相等即可得出答案． 【详解】解：根据题意，大正方形的边长为，面积为， 由边长为的正方形，2个长为宽为的长方形，边长为的正方形组成， 所以． 故选：C． 9. 如图，点在上，点在上，，且．则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质、三角形的内角和定理及外角性质，掌握以上知识是解答本题的关键；本题可由可设，，根据三角形全等可得，解出的数值，进而求解得到的度数； 【详解】由可设，， ∵， ∴． ∵， ∴，． ∴． ∵， ∴，． ∴． 故选：A． 10. 表示由四个互不相等的正整数组成的数组，按以下规则生成新数组：第一个新数组为（相邻两项相乘，最后一项与第一项相乘），第二个新数组由第一个新数组按同样规则生成，以此类推．记，，…，第个新数组的四数之积为（为正整数）．现对于任意正整数，，下列说法： ①； ②当，，，时，在的所有因数中，能被整除但不能被整除的共有个； ③若，是大于的整数，则满足条件的的最小值为． 正确的有（ ）个 A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了幂的乘方，同底数幂的乘法，积的乘方等．分别求出，，，以此类推即可判断①，求出，列出能被整除但不能被整除的因数，即可判断②，根据求出，结合题意即可求出满足条件的的最小值，判断③，即可得出答案． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ， 以此类推，，故①说法错误； ∵，，，， ∴， ∴， 故能被整除但不能被整除的因数有：，，，共有个，故②说法错误； ∵，， ∴， 即， ∵是大于的整数， ∴， ∵，， ∴满足条件的的最小值为，③说法正确． 故选：B． 二、填空题（本大题8个小题，每小题4分，共32分） 11. 一种纳米材料的厚度是0.000000083米，数据0.000000083用科学记数法表示为______． 【答案】 【解析】 【分析】科学记数法的形式是： ，其中＜10，为整数．所以，取决于原数小数点的移动位数与移动方向，是小数点的移动位数，往左移动，为正整数，往右移动，为负整数．本题小数点往右移动到的后面，所以 【详解】解：， 故答案为：． 【点睛】本题考查的知识点是用科学记数法表示绝对值较小的数，关键是在理解科学记数法的基础上确定好的值，同时掌握小数点移动对一个数的影响． 12. 若等腰三角形的周长为13，一边长为3，则其腰长是__________. 【答案】5 【解析】 【分析】本题考查等腰三角形性质、三角形三边关系等知识，由题意可知，等腰三角形的腰可以是3或者等腰三角形的底边可以是3，分两种情况求解即可得到答案，熟练掌握等腰三角形性质分类讨论是解决问题的关键． 【详解】解：由题意可知， ①当等腰三角形的腰是3时， 由等腰三角形周长是13可知，三边长分别为3、3和7， 由于，根据构成三角形的三边关系可知3、3和7不能构成三角形， 此种情况不成立； ②当等腰三角形的底边是3， 由等腰三角形周长是13可知，三边长分别为3、5和5， ∴该等腰三角形的腰长为5， 故答案为：5． 13. 一个不透明的口袋中装有五个球，分别标有这五个号码，这些球除号码外其余都相同，从中随机摸出一个球，摸到标号为号的球的概率是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了概率的求法，如果一个事件有种可能，而且这些时间的可能性相同，其中事件出现种结果，那么事件的概率． 用号球的个数除以球的总数，即为摸到标号为号的球的概率． 【详解】解：∵口袋中装有五个球，分别标有这五个号码， ∴从中摸出一个号球的概率是， 故答案为：． 14. 我国首辆火星车正式被命名为：“祝融”，为应对极限温度环境，火星车使用的是新型隔温材料——纳米气凝胶，该材料导热率\与温度的关系如表： 温度 导热率 根据表格中两者的对应关系，若导热率为，则温度为_________． 【答案】 【解析】 【分析】根据表格中两个变量、的对应值以及变化规律可得答案． 【详解】解：根据题意，温度每增加，导热率增加， 所以当导热率为时，温度为． 故答案为：． 【点睛】本题考查函数及其表示方法，理解函数的意义以及变量之间的变化规律是正确解答的关键． 15. 如图，在中，，点为边上一点，将沿直线折叠后，点落在点处，若，则的度数为 _________ ． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查了折叠的性质，平行线的性质，根据平行线的性质得到，根据折叠的性质得到，根据平角的定义可得，由此可以求出的度数即可得到答案． 【详解】解：，， ， 由折叠的性质得， ，， ， ， ． 故答案为：． 16. 若是一个完全平方式，则的值等于_________． 【答案】5或 【解析】 【分析】此题考查了完全平方式，熟练掌握完全平方式特点是解题的关键，注意完全平方式有两种形式，故不要漏掉答案．根据完全平方公式的特征判断即可得到的值． 【详解】解：∵是完全平方式， ， 或， 故答案为：5或． 17. 如图，等腰三角形的底边长为6，面积是24，腰的垂直平分线分别交，边于E，F点．若点D为边的中点，点M为线段上一动点，则的最小值为 _______． 【答案】8 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，等腰三角形的性质，连接，根据“垂直平分线上的点到两端距离相等”，得出，则当点A、M、D在同一直线上时，，此时取最小值，根据“三线合一”得出，再根据三角形的面积公式得出，即可求解． 【详解】解：连接， ∵是的垂直平分线， ∴， 当点A、M、D在同一直线上时，，此时取最小值， ∵点D为边的中点，为等腰三角形， ∴， ∵长为6，面积是24， ∴， ∴的最小值为8， 故答案为：8． 18. 对于四位数，若百位数字与千位数字的差等于个位数字与十位数字的差的二倍，则称为“好事成双数”，将“好事成双数”的个位数字去掉记为，将千位数字去掉记为，并规定，则___________；若一个四位数，其中，均为整数）是“好事成双数”，且除以14余4，则满足条件的的最大值与最小值的差为___________． 【答案】 ①. ②. 【解析】 【分析】本题考查了整式的加减，不定方程求解，整除，理解题意，表示出是解题的关键，根据题意列式计算，，求得，进而根据化简得出，根据的范围确定最大值与最小值，进而求得两数差，即可求解． 【详解】解：依题意， ∵ ∴ ∴， ∵ ∴ ； ∵，其中，均为整数）是“好事成双数” ∴ ∴ 即 ∵， ∴ ∵除以14余4， ∴除以14余4， 又∵ ∴ ∴除以14余4，且是的倍数， 又∵ ∴， ∴， ∵ ∴ ∴ ∴ 即 ∵ ∴或 ∵ 当时，取得最大值，的千位为，百位为， 当时，取得最小值，的千位为，百位为， 又∵， ∴最大值为，最小值为： ∴取得最大值时，的十位为，个位为，取得最小值时，的十位为，个位为， ∴最大值为，最小值为 ∴最大值与最小值的差： 故答案为：，． 三、解答题（本大题8个小题，19题8分，其余每题10分，共78分） 19. 计算： （1）； （2）． 【答案】（1）4 （2） 【解析】 【分析】本题考查整式的运算、0指数幂和负整数指数幂，熟练掌握运算法则是解答本题的关键． （1）先化简，然后计算加减法即可； （2）先算积的乘方，再算同底数幂的乘除法，然后合并同类项即可． 【小问1详解】 ； 【小问2详解】 ． 20. 如图，已知，，，．请完成下面的作图和填空． （1）尺规作图：作的角平分线交于点F．（保留作图痕迹，不写作法，不写结论） （2）在第（1）问的条件下，试说明．请将下列解题过程补充完整． 解：（已知） （①_______） （已知） ②_______（等量代换） 平分（已知） ③_______（角平分线的定义） 在中，，④_______（已知） （⑤_______） （等量代换） （⑥_______） 【答案】（1）见解析 （2）等边对等角；；；；三线合一；内错角相等，两直线平行 【解析】 【分析】本题考查了尺规作角平分线，等腰三角形的性质，平行线的判定等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． （1）根据尺规作角平分线的步骤即可作图； （2）根据等腰三角形的性质得到平分，根据平分，得到，即可证明平行． 【小问1详解】 解：如图，射线即为所作： 【小问2详解】 解：（已知） （等边对等角） （已知） （等量代换） 平分（已知） （角平分线的定义） 在中，，（已知） （三线合一） （等量代换） （内错角相等，两直线平行） 故答案为：等边对等角；；；；三线合一；内错角相等，两直线平行． 21. 先化简，再求值：，其中． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查整式的混合运算．根据平方差公式、完全平方公式以及单项式乘多项式整式的法则运算化简，再整体代入求值即可． 详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 22. 周末不仅是暂停学习的“缓冲带”，更是学生全面发展的重要窗口．理想的周末应平衡休息、社交、兴趣与自主学习，帮助学生在快节奏教育环境中保持身心健康，成长为更具适应力的个体．某校对七年级同学们喜爱的周末活动方式情况随机抽取了部分学生进行问卷调查，设置了4种选项：．电子游戏；．户外运动；．阅读学习；．影视追剧．现收集、整理、分析数据后，绘制了如下不完整的统计图，请根据图中信息解答下列问题： （1）参与此次调查的学生总人数为________人，请补全条形统计图． （2）在所调查的学生中随机选取一人了解活动心得，求选中周末活动方式为的学生的概率为________． （3）若该校七年级学生共有3400人，根据本次调查估计该校七年级学生中选择活动方式为和活动方式为的共有多少人？ 【答案】（1）300，见解析 （2） （3）估计该校七年级学生中选择活动方式为和活动方式为的共有1700人 【解析】 【分析】本题考查了扇形和条形统计图、概率的计算、用样本估计总体，读懂统计图的信息是解题的关键． （1）根据选择活动方式为的学生人数和所占百分比求出学生总人数，得出选择活动方式为的学生人数，即可补全条形统计图； （2）根据概率的计算公式即可求解； （3）先求出选择活动方式为和活动方式为的占比，再乘以3400即可得出答案． 【小问1详解】 解：参与此次调查的学生总人数为（人）， 选择周末活动方式为的人数为（人）， 补全条形统计图如下： 故答案为：300． 【小问2详解】 解：在所调查的学生中随机选取一人了解活动心得，选中周末活动方式为的学生的概率． 故答案为：． 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校七年级学生中选择活动方式为和活动方式为的共有1700人． 23. 如图，在每个小正方形的边长均为1个单位长度的网格中，的三个顶点都在其格点上，请用无刻度直尺作图，并保留作图痕迹． （1）在图1中，请以直线l为对称轴，画出与成轴对称的图形（要求A，B，C分别与，，对应）； （2）在图2中，请在直线l上找一点P，使得的周长最小； （3）计算四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2）见解析 （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了画轴对称图形，无刻度直尺作图，轴对称最短路径问题，轴对称的性质等知识点，熟练掌握画轴对称图形的方法及轴对称的性质是解题的关键． （1）在格点中找到各顶点关于直线的对称点，再顺次连接即可； （2）作点关于直线的对称点，连接交直线于点，于是得解． （3）根据割补法求解即可． 【小问1详解】 解：如图，即为所求作； 【小问2详解】 解：如图，作点关于直线的对称点，连接交直线于点，则点即为所求作， 理由如下： 由轴对称的性质可知：， 此时最小，即最小， 最小， 即：的周长最小． 【小问3详解】 解：． 24. 如图，已知：，，． （1）求证：． （2）若，，求的长． 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的性质，全等三角形的性质和判定． （1）根据平行线的性质，得出题意得出，证明，再由全等三角形的判定定理即可证明； （2）求解，结合，据此即可求解． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ， ∵，， ； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， 即， ∴． 25. 如图1，在中，于点D，，，动点E从点B出发，沿射线BC以的速度匀速运动，到达点D时停留后以原速度继续运动．如图2为的面积S（）随时间t（s）的变化图像． （1）填写图2中数据：______，______，______，______； （2）时，求t的值； （3）当动点E从点B出发时，动点F同时从点C沿边以的速度向终点B运动，当点F到达终点B后，点E也随之停止运动，当时，求t的值． 【答案】（1），，， （2）或 （3）或 【解析】 【分析】本题是三角形的综合题，考查了三角形的面积的计算公式，一元一次方程的应用以及分类讨论，熟练掌握三角形的面积公式是解题的关键． （1）由三角形的面积公式可求出，由图2可求出，由三角形的面积公式可求出，由的长度与点运动的速度以及到达时停留以原速度继续运动即可求出； （2）先求出，，计算出，，求出，分情况：①当在上时；②当在延长线上时，分别讨论即可求出的值； （3）由三角形的面积公式可求出，分别当在的左侧时，以及在右侧时，求出的值． 【小问1详解】 解：由题意得： ， ， ， ， 故答案为：，，，； 【小问2详解】 解：由（1）得：，， ， ，， ， ， 当在上时， ， ； 当在延长线时， ， 是到达点时停留1s后以原速度继续运动， 综上所述，当或时，． 【小问3详解】 解：， 时，， ， 当在的左侧时，， ， 当在的右侧时，， ， 综上所述，当或时，． 26. 如图，在等腰三角形中，，为平面内一点． （1）如图1，当点在的延长线上时，连接，若，交于点，，求的长； （2）如图，当点在的延长线上时，连接，若，在的右侧有一点，连接和，若，且，若为的中点，连接，请猜想线段，，之间的数量关系，并证明你的猜想； （3）如图，若，点在的角平分线上运动（不与点重合），取中点，以为边向左边作等边三角形，连接，，设，当在直线上方时，请用含的式子表示的度数． 【答案】（1）； （2），理由见解析； （3）当点在上方时，；当点在与之间时，． 【解析】 【分析】（1）证即可得解； （2）见中点构造倍长中线，延长至点，使得，连接，，易证，再证，得到是等边三角形，即可得解； （3）分类讨论，当点在上方时，当点在与之间时，当点在下方时，由题易知是等边三角形，在下方作等边，连接，易证，从而得到垂直平分，即可得解． 【小问1详解】 解：在 中，， 在中，， ∴， 又∵，， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 解：，理由如下， 如图，延长至点，使得，连接，， ∵为的中点， ∴， 在和中， ， ∴， ∴，， ∴， ∴， ∵，， ∴， 又∵， ∴， ∴，， ∴，即， ∴是等边三角形， ∴， ∴； 【小问3详解】 解：∵，，点M在的角平分线上 ∴等边三角形， ∴， 当点在上方时，如图，在下方作等边，连接， ∵是等边三角形， ∴，， ∵是等边三角形， ∴，， ∴， ∴， ∴，，则平分， ∴垂直平分，则， ∴，， ∴； 当点在与之间时，如图，在下方作等边，连接， 同理可证， ∴，，则平分， ∴垂直平分，则， ∴，， ∴； 综上，当点在上方时，；当点在与之间时，． 【点睛】本题主要考查了旋转的性质，等边三角形的性质，全等三角形的判定和性质等内容，熟练掌握相关知识是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$