精品解析：山东省菏泽市单县2024-2025学年九年级下学期4月期中数学试题

2024－2025学年度第二学期期中质量检测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试题共23道题，满分120分，考试时间120分钟， 2．请把答案写在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0．5mm的黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其它区域不得分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项涂在答题卡的相应位置） 1. 下列三角比值是有理数的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据特殊角的三角函数值解答即可． 本题考查了特殊角的三角函数值，熟练掌握函数值是解题的关键． 【详解】解：A. ，不是有理数，不符合题意； B. ，不是有理数，不符合题意； C. ，是有理数，符合题意， D. ，不是有理数，不符合题意； 故选：C． 2. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：根据三视图可得，这个图形的左视图为两个矩形合在一起的一个大矩形． 故选：D 【点睛】本题考查三视图． 3. 2024年巴黎奥运会将于2024年7月26日开幕，8月11日闭幕．巴黎奥运会设定的参赛名额为10500人．数据10500可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查科学记数法，熟练掌握科学记数法是解题的关键；科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于或等于10时，n是正整数；当原数的绝对值小于1时，n是负整数． 【详解】解：将数据10500用科学记数法表示为； 故选B． 4. 如图，直线．若，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据平行线的性质，得，继而得到根据平分，利用平行线的性质得到解答即可． 本题考查了平行线的性质，平角的定义，角的平分线，熟练掌握性质是解题的关键． 【详解】解：∵，， ∴， ∴， ∵平分， ∴， ∵， ∴． 故选：A． 5. 琪琪在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了幂的计算，单项式乘以多项式，多项式乘以多项式，熟知相关计算法则是解题的关键．根据运算法则计算即可得到答案． 【详解】解：，故①计算正确； ，故②计算错误； ，故③计算正确； ，故④计算错误； ，故⑤计算正确； ∴计算正确的有3个， 故选：B． 6. 某班30位同学阅读课外读物的本数统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于阅读课外读物的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） 本数 2 3 4 5 6 7 8 人数 ■ ■ 2 3 5 8 9 A. 平均数，方差 B. 平均数，众数 C. 中位数，众数 D. 中位数，方差 【答案】C 【解析】 【分析】平均数计算必须知道每个数据，去掉了两个数据，平均数可能会发生变化；根据方差的计算公式，必须清楚平均数，平均数发生变化，方差也会变化的；众数是数据出现次数最多的数，遮住的数的和为3，故9是最大的数，众数不会变化，遮住前面的数据，不影响中位数，解答即可． 【详解】解：遮住的数据，会影响平均数 根据方差的计算公式，平均数发生变化，方差也会变化的， 故A选项不符合题意；B，D选项不符合题意； 众数是数据出现次数最多的数，遮住的数的和为3，故9是最大的数， 故众数不会影响； 遮住数据，不影响中位数， 故C选项符合题意． 故选：C． 【点睛】本题考查了中位数，平均数，众数，方差的计算，熟练掌握定义是解题的关键． 7. 如图，已知是的直径，弦，垂足为，，，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 【答案】A 【解析】 【分析】连接，利用圆周角定理，三线合一，勾股定理解答即可． 【详解】解：连接， ∵， ∴， ∵弦，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 【点睛】本题考查了圆周角定理，三线合一，勾股定理，圆的性质，熟练掌握定理是解题的关键． 8. 物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 【答案】C 【解析】 【分析】根据得，结合图象解答即可． 本题考查了跨学科综合，正确读取图象信息是解题的关键． 【详解】解：根据图象，得， 又， 故． 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴的正半轴上，对角线和交于点，作以下操作，（1）以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；（2）分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；（3）作射线，交于点．若，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，等腰直角三角形的判定和性质，二次根式，角平分线的性质和作图，熟练掌握这些判定和性质是解题的关键．过点作于点，先利用正方形证明，求出，利用角平分线的性质得出，即可求出，即可求解． 【详解】解：如图，过点作于点， ∵四边形是正方形， ∴，，， ∴， ∵， ∴， 根据作图，得， ∴， ∴， ∴正方形的面积为， 故选：D． 10. 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④若的取值范围是，则直线与的图象有4个公共点，则正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 【答案】B 【解析】 【分析】根据抛物线的对称性，增减性，对称轴的两种表示方法，抛物线与不等式，解答即可. 【详解】解：∵开口向上， ∴， 故①错误； ∵， ∴； ∵与y轴交于负半轴， ∴； 故， 故②正确； ∵抛物线经过两点， ∴抛物线的对称轴为直线． 故③正确； 根据的取值范围是，得， 由直线得直线与x轴的交点坐标为， 故交点在得左侧， 由直线得直线与y轴的交点坐标为， 且， 故交点在正半轴上，大致如下： 故与的图象有4个公共点， 故④正确， 故选：B． 【点睛】本题考查了抛物线的对称性，抛物线与不等式，对称轴的两种表示方法，抛物线的增减性，熟练掌握性质是解题的关键. 二、填空题（本大题共5个小题每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 分解因式：_________________ ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了因式分解，解题的关键是熟练掌握平方差公式的结构特征． 根据平方差公式进行因式分解即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 我市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图，小颖从入口进，出口出的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用树状图计算概率，正确画出树状图是解题的关键．根据题意画出树状图，即可得到答案． 【详解】解：该展览馆有A、B两个入口，C、D、E三个出口，且从每个入口进入和每个出口出去的可能性是一样的，列树状图如下： 共有6种等可能的结果，其中小颖从A入口进E出口的有1种结果， ∴小颖从A入口进E出口的概率是， 故答案为： 13. 荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是______． 【答案】 【解析】 【分析】此题考查了扇形面积，利用较大扇形面积减去较小扇形面积即可得到答案． 【详解】解：由题意可得，该环形荷花装饰挂画的面积是： ， 故答案为： 14. 如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点． 【答案】8 【解析】 【分析】由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化，则当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5，将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0；喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4，将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0，联立可求出a和b的值，设喷头高为h时，水柱落点距O点4m，则此时的解析式为y=ax2+bx+h，将（4，0）代入可求出h． 【详解】解：由题意可知，在调整喷头高度的过程中，水柱的形状不发生变化， 当喷头高2.5m时，可设y=ax2+bx+2.5， 将（2.5，0）代入解析式得出2.5a+b+1=0①， 喷头高4m时，可设y=ax2+bx+4， 将（3，0）代入解析式得9a+3b+4=0②， 联立可求出，， 设喷头高为h时，水柱落点距O点4m， ∴此时的解析式为， 将（4，0）代入可得， 解得h=8． 故答案为：8． 【点睛】本题考查了二次函数在实际生活中的运用，重点是二次函数解析式的求法，直接利用二次函数的平移性质是解题关键． 15. 任取一个正整数，若该数是奇数，就将该数乘3再加上1；若该数是偶数，就将该数除以2．对于所得结果继续进行上述运算，经过有限次反复运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”，取正整数，根据上述运算法则第一次运算后得10，将所得结果再进行上述运算，第二次得5，第三次得16，则经过2025次运算后得______． 【答案】2 【解析】 【分析】本题主要考查了数字类规律探索，有理数的四则混合运算等知识点，通过观察发现一般规律是解题的关键．通过观察可以发现，从第次开始，每次运算为一个循环，而，因而可得答案． 【详解】解：取正整数， 第次运算后得， 第次运算后得， 第次运算后得， 第次运算后得， 第次运算后得， 第次运算后得， 第次运算后得， 第次运算后得， 第次运算后得， 第次运算后得， ， 可以发现，从第次开始，每次运算为一个循环， 又， 经过次运算后得2， 故答案为：2． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答要把必要的文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题卡的相应区域内．） 16. （1）． （2）化简分式：，并求值，其中的相反数是，是大于2且小于的整数． 【答案】（1）；（2）； 【解析】 【分析】本题主要考查了实数混合运算，分式化简求值，解题的关键是熟练掌握运算法则． （1）根据零指数幂和负整数指数幂运算法则，二次根式加减运算法则进行计算即可； （2）根据分式加减运算法则进行化简，然后确定a、b的值，再代入数据求值即可． 【详解】解：（1） ； （2） ， ∵的相反数是，是大于2且小于的整数， ∴，， ∴． 17. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售个，月份销售个，且从9月份到月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）已知类头盔的进价为元/个，在销售中，该商家发现当每个售价元时，每个月可售出个；若在此基础上售价每上涨5元/个；则月销售量将减少个．设类头盔售价每个元（），表示该商家每月销售类头盔的利润（单位：元），求关于的函数解析式并求最大利润． 【答案】（1） （2），最大值为1920元 【解析】 【分析】本题主要考查了二次函数的应用、一元二次方程的应用，解题时要能读懂题意，列出方程组和函数关系式是关键． （1）设该品牌头盔销售量的月增长率为x，根据“该品牌头盔9月份销售个，月份销售个，且从9月份到月份销售量的月增长率相同”列出方程求解； （2）依据题意，该商家每月销售A类头盔的利润为，又，抛物线开口向下，对称轴为直线，故当时，w随a的增大而增大，最后结合，进而可以计算得解． 【小问1详解】 解：设该品牌头盔销售量的月增长率为x， 依题意得， 解得，（不合题意，舍去）． 答：该品牌头盔销售量的月增长率为． 【小问2详解】 解：由题意得，该商家每月销售A类头盔的利润为 ， ∵，抛物线开口向下，对称轴为直线， ∴当时，w随a的增大而增大． ∴当时，故当时，w取最大值为1920元． 18. 课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，；很好；；较好；；一般；；较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）王老师一共调查了多少名同学？ （2）类女生有______名，类男生有______名，将条形统计图补充完整； （3）为了共同进步，王老师想从被调查的类和类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率， 【答案】（1） （2）3，1，见详解 （3） 【解析】 【分析】本题考查了画条形统计图、画树状图、条形统计图与扇形统计图的综合，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）运用B类的人数除以占比，求出总人数，即可作答． （2）先求出类的人数，再求出类女生，再运用总人数分别减去各个类别的人数，即可作答． （3）先理解题意，画树状图，得出一共有种等可能的结果，符合所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果有种，再列式计算，即可作答． 【小问1详解】 解：， 王老师一共调查了名同学； 【小问2详解】 解：依题意，， ， ∴类女生有3名，类男生有1名； 将条形统计图补充完整,如图所示： 故答案为：3，1； 【小问3详解】 解：依题意，列树状图如下： 一共有种等可能的结果，符合所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的结果有种， ∴所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率为， 19. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，） （1）求屋顶到横梁的距离： （2）求房屋的高（结果精确到）． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用； （1）根据轴对称的性质可得，，再利用平行线的性质可求出的度数，然后在中，利用锐角三角函数的定义进行计算即可解答； （2）过点作，垂足为，根据题意可得，先设，在中，利用锐角三角函数定义表示出的长，从而在中，利用锐角三角函数的定义表示出，根据列出关于的方程，进行计算即可解答． 【小问1详解】 解：房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，， ，，， 在中，，， ，， ； 答：屋顶到横梁的距离约为3米 【小问2详解】 解：过点作于， 设， 在中，，， ， =， 在中，，， ， ∴， 米， ， 解得：(米)， (米)， 答：房屋的高约为米． 20. 如图，直线（为常数）与双曲线（为常数）相交于，两点． （1）求直线的解析式； （2）在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程 【答案】（1）； （2）当在双曲线的同一支上时，；当在双曲线的不同的一支上时，． 【解析】 【分析】()由点求出双曲线解析式，再求出点坐标，利用待定系数法即可求出； ()分成两种情形：一种是在双曲线的同一支上；一种是在双曲线的两一支上，然后根据反比例函数的图象及性质即可解答； 本题考查了反比例函数与一次函数的交点问题，待定系数法求函数的解析式，反比例函数的性质，掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． 【小问1详解】 解：将点代入双曲线解析式 得，， ∴， ∴双曲线解析式为， 把代入得， ， ∴， 把，代入得， ， 解得， ∴直线的解析式为； 【小问2详解】 解：由题意，可分成两种情形： 在双曲线的同一支上， ∵双曲线，在同一支上时函数值随的增大而增大， ∴当时，； 在双曲线的不同的一支上， ∵， ∴， 此时，由图象可知，，， ∴当时，； 综上，当在双曲线的同一支上时，；当在双曲线的不同的一支上时，． 21. 如图，在中，是的直径，，是上不同于，的两点，是的切线，连接．过点作，交的延长线于点，延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 【答案】（1）见详解 （2） 【解析】 【分析】（1）连接，由圆切线的定义得出，结合已知条件判定，由平行线的性质得出，由等边对等角得出，由三角形外角的定义和性质得出，等量代换可得出 （2）连接．先证明，得出，求出，由求出． 【小问1详解】 证明：如图，连接． ∵是的切线．是的半径 ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴． ∵， ∴， 即 【小问2详解】 解：连接． ∵是的直径， ， 解得 【点睛】本题考查了切线的性质，圆周角定理，解直角三角形，平行线的判定和性质等知识点．掌握这些知识是解题的关键． 22. 【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道题： （1）如图1，在等腰中，，，点，在边上，且，小红对小波说：“图中线段、和有一定的数量关系，你知道吗？” 小波毫不思索的回答道：“太简单了，把绕点逆时针转得到，连接，就能证出．”小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指． 【解决问题】 请你根据小波的叙述把图补画完整，并帮助小波证明他的结论； 【情境理解应用】 （2）小波接着对小红说：“如图2，在四边形中，度，，，若，，你知道的长吗？”，小红会意点了头．请你帮小红把求长的过程写出来． 【答案】（1）见详解（2） 【解析】 【分析】本题考查了旋转的性质、全等三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，掌握相关结论是关键． （1）绕点A逆时针转 得到 连接 ，则，，推出，；再证，得，即可求解； （2）作，由题意求得，；根据，可推出；根据，得到关于的方程，即可求解； 【详解】（1）证明：∵ ∴； ∵绕点 A逆时针旋转 得到 连接 ，如图所示： 则，， ∴，， ∴； ∵ ∴， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴； （2）解：作于G，如图所示： ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∵， ∴； ∵，， ∴， ∴， ∴； ∵， ∴， 解得：或， ∵， ∴或， 在中，，， ∴， ∴， 故答案为：． 23. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（c为常数）． （1）若该函数经过点，求出该函数图象上的“三倍点”坐标； （2）在（1）的条件下，当时，求出该函数的最小值； （3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围． 【答案】（1） （2）当时，；当时， （3） 【解析】 【分析】本题考查了二次函数图象与系数的关系：常数项决定抛物线与轴交点，抛物线与轴交于，抛物线与轴交点个数由决定．也考查了二次函数图象上点的坐标特征． （1）把代入即可求得抛物线解析式，设该函数图象上的“三倍点”坐标为，把代入抛物线解析式，即可确定“三倍点”坐标； （2）由（1）可知，分为①当即时，②当即时，分别求解即可； （3）由题意得，三倍点所在的直线为，将在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，转化为在的范围内，二次函数和至少有一个交点，即可求解． 【小问1详解】 解：把代入得， ∴抛物线解析式为， 设该函数图象上的“三倍点”坐标为， 把代入， 得， 整理得， 解得， ∴“三倍点”坐标为． 【小问2详解】 由（1）可知， 抛物线开口向下，离对称轴越远函数值越小，对称轴是直线, ①当即时， ， ②当即时， 若即， 则， 若即， 则， ③当时， ， 综上，当时，， 当时，． 【小问3详解】 由题意得，三倍点所在的直线为， 在的范围内，二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”， 即在的范围内，二次函数和至少有一个交点， 令，整理得，， 则，解得； 把代入得，代入得， ∴，解得； 把代入得，代入得， ∴，解得， 综上，的取值范围为：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024－2025学年度第二学期期中质量检测 九年级数学试题 注意事项： 1．本试题共23道题，满分120分，考试时间120分钟， 2．请把答案写在答题卡上，选择题用2B铅笔填涂，非选择题用0．5mm的黑色签字笔书写在答题卡的指定区域内，写在其它区域不得分． 一、选择题（本大题共10小题，每小题3分，共30分，在每小题给出的四个选项中，只有一个是正确的，请把正确的选项涂在答题卡的相应位置） 1. 下列三角比值是有理数的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图所示的几何体的左视图为（ ） A. B. C. D. 3. 2024年巴黎奥运会将于2024年7月26日开幕，8月11日闭幕．巴黎奥运会设定的参赛名额为10500人．数据10500可用科学记数法表示为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，直线．若，平分，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 琪琪在课堂练习中做了以下5道题，其中做对的有（ ） ①；②；③；④；⑤． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 6. 某班30位同学阅读课外读物的本数统计如表所示，其中两个数据被遮盖，下列关于阅读课外读物的统计量中，与被遮盖的数据无关的是（ ） 本数 2 3 4 5 6 7 8 人数 ■ ■ 2 3 5 8 9 A. 平均数，方差 B. 平均数，众数 C. 中位数，众数 D. 中位数，方差 7. 如图，已知是的直径，弦，垂足为，，，则的长为（ ） A. B. C. 1 D. 2 8. 物理实验中，同学们分别测量电路中经过甲、乙、丙、丁四个用电器的电流和它们两端的电压，根据相关数据，在如图的坐标系中依次画出相应的图象，根据图象及物理学知识，可判断这四个用电器中电阻最大的是（ ） A. 甲 B. 乙 C. 丙 D. 丁 9. 如图，在平面直角坐标系中，正方形的顶点在轴的正半轴上，顶点在轴的正半轴上，对角线和交于点，作以下操作，（1）以点为圆心，任意长为半径作弧，交于点，交于点；（2）分别以，为圆心，以大于的长为半径作弧，两弧交于点；（3）作射线，交于点．若，则正方形的面积为（ ） A. B. C. D. 10. 我们定义一种新函数：形如的函数叫做“鹊桥”函数．数学兴趣小组画出一个“鹊桥”函数的图象如图所示，则下列结论：①；②；③；④若的取值范围是，则直线与的图象有4个公共点，则正确的是（ ） A. ①②③ B. ②③④ C. ①③④ D. ①②③④ 二、填空题（本大题共5个小题每小题3分，共15分，只要求把最后结果填写在答题卡的相应区域内．） 11. 分解因式：_________________ ． 12. 我市举办的“喜迎党的二十大，奋进新征程——乡村振兴成果展”吸引了众多市民前来参观，如图所示的是该展览馆出入口的示意图，小颖从入口进，出口出的概率是______． 13. 荷花寓意“家庭美满，生活和谐”，图1是一幅环形荷花装饰挂画将其视为如图2的扇形环面（由扇形挖去扇形），，的长度是，的长度是，则该环形荷花装饰挂画的面积是______． 14. 如图，水池中心点O处竖直安装一水管，水管喷头喷出抛物线形水柱，喷头上下移动时，抛物线形水柱随之竖直上下平移，水柱落点与点O在同一水平面．安装师傅调试发现，喷头高时，水柱落点距O点；喷头高时，水柱落点距O点．那么喷头高_______________m时，水柱落点距O点． 15. 任取一个正整数，若该数是奇数，就将该数乘3再加上1；若该数是偶数，就将该数除以2．对于所得结果继续进行上述运算，经过有限次反复运算后，必进入循环圈，这就是“冰雹猜想”，取正整数，根据上述运算法则第一次运算后得10，将所得结果再进行上述运算，第二次得5，第三次得16，则经过2025次运算后得______． 三、解答题（本大题共8小题，共75分，解答要把必要的文字说明、证明过程或演算步骤，写在答题卡的相应区域内．） 16. （1）． （2）化简分式：，并求值，其中的相反数是，是大于2且小于的整数． 17. 公安交警部门提醒市民，骑车出行必须严格遵守“一盔一带”的规定，某头盔经销商统计了某品牌头盔9月份到11月份的销量，该品牌头盔9月份销售个，月份销售个，且从9月份到月份销售量的月增长率相同． （1）求该品牌头盔销售量的月增长率； （2）已知类头盔的进价为元/个，在销售中，该商家发现当每个售价元时，每个月可售出个；若在此基础上售价每上涨5元/个；则月销售量将减少个．设类头盔售价每个元（），表示该商家每月销售类头盔的利润（单位：元），求关于的函数解析式并求最大利润． 18. 课前预习是学习数学的重要环节，为了了解所教班级学生完成数学课前预习的具体情况，王老师对本班部分学生进行了为期半个月的跟踪调查，他将调查结果分为四类，；很好；；较好；；一般；；较差，并将调查结果绘制成以下两幅不完整的统计图，请你根据统计图解答下列问题： （1）王老师一共调查了多少名同学？ （2）类女生有______名，类男生有______名，将条形统计图补充完整； （3）为了共同进步，王老师想从被调查的类和类学生中各随机选取一位同学进行“一帮一”互助学习，请用列表法或画树形图的方法求出所选两位同学恰好是一位男同学和一位女同学的概率， 19. 脱贫攻坚工作让老百姓过上了幸福的生活．如图①是政府给贫困户新建的房屋，如图②是房屋的侧面示意图，它是一个轴对称图形，对称轴是房屋的高所在的直线，为了测量房屋的高度，在地面上点测得屋顶的仰角为，此时地面上点、屋檐上点、屋顶上点三点恰好共线，继续向房屋方向走到达点时，又测得屋檐点的仰角为房屋的顶层横梁，，交于点（点，，在同一水平线上）．（参考数据：，，，，，） （1）求屋顶到横梁的距离： （2）求房屋的高（结果精确到）． 20. 如图，直线（为常数）与双曲线（为常数）相交于，两点． （1）求直线的解析式； （2）在双曲线上任取两点和，若，试确定和的大小关系，并写出判断过程 21. 如图，在中，是的直径，，是上不同于，的两点，是的切线，连接．过点作，交的延长线于点，延长，交的延长线于点． （1）求证：； （2）当，时，求的长． 22. 【情境知识技能】学校数学兴趣小组活动时，小红给小波出了一道题： （1）如图1，在等腰中，，，点，在边上，且，小红对小波说：“图中线段、和有一定的数量关系，你知道吗？” 小波毫不思索的回答道：“太简单了，把绕点逆时针转得到，连接，就能证出．”小红微笑着点了点头，并给小波竖起了大拇指． 【解决问题】 请你根据小波的叙述把图补画完整，并帮助小波证明他的结论； 【情境理解应用】 （2）小波接着对小红说：“如图2，在四边形中，度，，，若，，你知道的长吗？”，小红会意点了头．请你帮小红把求长的过程写出来． 23. 定义：若一个点的纵坐标是横坐标的3倍，则称这个点为“三倍点”，如：，，等都是“三倍点”．已知二次函数（c为常数）． （1）若该函数经过点，求出该函数图象上的“三倍点”坐标； （2）在（1）的条件下，当时，求出该函数的最小值； （3）在的范围内，若二次函数的图象上至少存在一个“三倍点”，求出c的取值范围． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $