黑龙江省哈尔滨市东北三省精准教学2025届高三下学期5月联考数学试卷

高三数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. 且 C. D. 或 2. 已知为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数（ ） A. B. 2 C. 1 D. 3. 记为等差数列的前项和，若的公差为，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个等腰梯形的下底边长是上底边长的3倍，两腰与下底边所成角为，面积为．若该等腰梯形是一个圆台的轴截面，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 为了研究变量对变量的影响，对变量和变量的观测数据（，，，）进行研究，计算得到，，若与满足一元线性回归模型，是与之间的随机误差，则参数的最小二乘估计为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 若函数与在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“平凡区间”；若函数与在区间上的单调性相反，则把区间叫做的“非平凡区间”．下列函数既有“平凡区间”，又有“非平凡区间”的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，若的角平分线交AC于点D，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的外接圆周长为 C. D. 10. 已知曲线C由双曲线和椭圆组合而成，P是曲线C上任意一点，，则（ ） A. 曲线C是中心对称图形 B. C. 满足的点P有2个 D. 满足的点P有8个 11. 已知函数，则（ ） A. 函数仅有一个零点 B. 若函数在点处与x轴相切，则 C. D. 若为增函数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在三棱锥中，平面ABC，，则三棱锥外接球的半径为________． 13. 已知函数，则在点处的切线方程为________________． 14. 互素是指两个自然数a和b的最大公因数为1．欧拉函数表示不大于且与n互素的正整数个数，若数列满足，且数列的前n项和为，则满足的n的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 现需要对某人工智能芯片进行性能测试，规则如下：首次测试（测试I）通过率为，未通过测试I的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为，未通过则报废．通过任意一次测试即为合格芯片． （1）已知，若某批次生产了10万枚芯片，预估合格芯片的数量； （2）已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率（结果用p，q表示） 16. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）若是的两个极值点，且，求a的最大值． 17. 如图，在棱长为5的正方体中，点E在线段上，满足与平面ACE交于点F． （1）若，求线段EF的长度； （2）已知四边形ACEF的周长为． ①求的值； ②求二面角的余弦值． 18. 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于两个动点（可以重合） （1）求点的轨迹的方程； （2）过点的两条直线相互垂直，直线与交于两点，直线与交于两点，线段的中点分别为. ①求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 19. 将正整数1，2，3，…，n的任意一种排列得到的有限数列记作，若对，均有，则称该数列为“n元全错位数列”，记“n元全错位数列”的个数为，如正整数1，2，3所对应的“3元全错位数列”有2，3，1和3，1，2，得． （1）求； （2）求证：是等比数列； （3）求证：． 高三数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 【1题答案】 【答案】D 【2题答案】 【答案】B 【3题答案】 【答案】C 【4题答案】 【答案】C 【5题答案】 【答案】A 【6题答案】 【答案】C 【7题答案】 【答案】B 【8题答案】 【答案】B 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，分选对的得部分分，有选错的得0分. 【9题答案】 【答案】ABD 【10题答案】 【答案】ABC 【11题答案】 【答案】BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 【12题答案】 【答案】 【13题答案】 【答案】 【14题答案】 【答案】10 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 【15题答案】 【答案】（1）88000枚 （2） 【16题答案】 【答案】（1） （2） 【17题答案】 【答案】（1）； （2）①；②. 【18题答案】 【答案】（1） （2）①； ②直线过定点，定点坐标为 【19题答案】 【答案】（1） （2） 当时，为了得到“n元全错位数列”，我们分两步来完成正整数1，2，3，…，n的排列： ①将正整数n放到第m（）个位置，有种排法； ②考虑正整数m，有两种放法． 若放到第n个位置，则余下个正整数放到余下个位置，有种排法； 若不放到第n个位置，这时对于这个正整数，共有种排法． 所以 ， 所以， 又， 所以是以1为首项，为公比的等比数列． （3） 由（2）知， 等式两边同除得， 由累加法得， 则， 即， 则． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $2025年5月东三省精准教学联考 数学 1.已知集合，则 A. B. 且 C. D. 或 2. 已知 为纯虚数，其中 为虚数单位，则实数 A. B.2 C.1 D. 3.记为等差数列的前项和，若的公差为，，则 A. B. C. D. 4.已知为锐角，,则 A. B. C. D. 5.已知一个等腰梯形的下底边长是上底边长的3倍,两腰与下底边所成角为，面积为.若该等腰梯形是一个圆台的轴截面,则该圆台的侧面积为 A. B. C. D. 6.为了研究变量对变量的影响,对变量和变量的观测数据 进行研究,计算得到，，若与满足一元线性回归模型 A. B. C. D. 7.已知函数 A. B. C. D. 8.若函数 与 在区间上的单调性相同,则把区间叫做的“平凡区间”;若函数与在区间上的单调性相反,则把区间叫做的“非平凡区间”. 下列函数既有“平凡区间”,又有“非平凡区间”的是 A. B. C. D. 9.在 中,若 ,,, 的角平分线交 于点 ,则下列说法正确的是 A. B. ABC 的外接圆周长为 C. D. 10.已知曲线由双曲 A. 曲线 C 是中心对称图形 B. |OP |≥1 C. 满足|| = 3, | | = 1 的点 P 有 2 个 D. 满足 ⊥ 的点 P 有 8 个 11.已知函数 A.函数仅有一个零点 B.若函数在点 C. D.若为增函数，则 12.在三棱锥中,,,,则三棱锥外接球的半径为 .　  13. 已知函数,,则 在点处的切线方程为 . 14.互素是指两个自然数和的最大公因数为.欧拉函数表示不大于(∈)且与互素的正整数个数,若数列{}满足,且数列{}的前项和为,则满足 的的最大值为 . 15. (13 分)现需要对某人工智能芯片进行性能测试,规则如下:首次测试(测试Ⅰ)通过率为 ,未通过测试Ⅰ的芯片进入第二次测试(测试Ⅱ),通过率为,未通过则报废. 通过任意一次测试即为合格芯片. (1)已知 ,若某批次生产了 万枚芯片,预估合格芯片的数量; (2)已知一枚芯片合格,求其是通过测试Ⅰ的概率(结果用 表示). 16.（15分）已知函数 （1）当 （2）若 17.（15分）如图，在棱长为的正方体中，点在线段上，满足），与平面交于点. （1）若 （2）已知四边形的周长为. ①求 ②求二面角的余弦值. 18. (17 分)已知圆心在 轴上移动的圆经过点 ,且与 轴,轴分别交于 两个动点(可以重合). (1)求点 的轨迹的方程; (2)过点 (1,0)的两条直线 ,相互垂直,直线与交于 两点,直线与交于两点,线段 的中点分别为. ①求四边形 面积的最小值; ②判断直线是否过定点,若是,求出该定点;若不是,请说明理由. 19. (17 分)将正整数的任意一种排列得到的有限数列记作{},若对,,均有 ,则称该数列{}为“ 元全错位数列”,记“元全错位数列”的个数为. 如正整数所对应的“ 元全错位数列”有 和得 (1)求 , ; (2)求证：是等比数列； (3)求证：. $