精品解析：黑龙江省哈尔滨市东北三省精准教学2025届高三下学期5月联考数学试卷

高三数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. 且 C. D. 或 2. 已知为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数（ ） A. B. 2 C. 1 D. 3. 记为等差数列的前项和，若的公差为，，则（ ） A. B. C. D. 4. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 5. 已知一个等腰梯形的下底边长是上底边长的3倍，两腰与下底边所成角为，面积为．若该等腰梯形是一个圆台的轴截面，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 6. 为了研究变量对变量的影响，对变量和变量的观测数据（，，，）进行研究，计算得到，，若与满足一元线性回归模型，是与之间的随机误差，则参数的最小二乘估计为（ ） A. B. C. D. 7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 1 C. D. 8. 若函数与在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“平凡区间”；若函数与在区间上的单调性相反，则把区间叫做的“非平凡区间”．下列函数既有“平凡区间”，又有“非平凡区间”的是（ ） A. B. C. D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，若的角平分线交AC于点D，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的外接圆周长为 C. D. 10. 已知曲线C由双曲线和椭圆组合而成，P是曲线C上任意一点，，则（ ） A. 曲线C是中心对称图形 B. C. 满足的点P有2个 D. 满足的点P有8个 11. 已知函数，则（ ） A. 函数仅有一个零点 B. 若函数在点处与x轴相切，则 C. D. 若为增函数，则 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在三棱锥中，平面ABC，，则三棱锥外接球的半径为________． 13. 已知函数，则在点处的切线方程为________________． 14. 互素是指两个自然数a和b的最大公因数为1．欧拉函数表示不大于且与n互素的正整数个数，若数列满足，且数列的前n项和为，则满足的n的最大值为________． 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 现需要对某人工智能芯片进行性能测试，规则如下：首次测试（测试I）通过率为，未通过测试I的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为，未通过则报废．通过任意一次测试即为合格芯片． （1）已知，若某批次生产了10万枚芯片，预估合格芯片的数量； （2）已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率（结果用p，q表示） 16. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）若是的两个极值点，且，求a的最大值． 17. 如图，在棱长为5的正方体中，点E在线段上，满足与平面ACE交于点F． （1）若，求线段EF的长度； （2）已知四边形ACEF的周长为． ①求的值； ②求二面角的余弦值． 18. 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于两个动点（可以重合） （1）求点的轨迹的方程； （2）过点的两条直线相互垂直，直线与交于两点，直线与交于两点，线段的中点分别为. ①求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 19. 将正整数1，2，3，…，n的任意一种排列得到的有限数列记作，若对，均有，则称该数列为“n元全错位数列”，记“n元全错位数列”的个数为，如正整数1，2，3所对应的“3元全错位数列”有2，3，1和3，1，2，得． （1）求； （2）求证：是等比数列； （3）求证：． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 高三数学 本试卷满分150分，考试时间120分钟. 注意事项： 1．答卷前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在答题卡上. 2．回答选择题时，选出每小题答案后，用铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑.如需改动，用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号．回答非选择题时，将答案写在答题卡上，写在本试卷上无效. 3．考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回. 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合，则（ ） A. B. 且 C. D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】先求出集合，再由交集的定义求解即可. 【详解】要使函数有意义，则，所以，所以． 因为且，所以或， 所以或或 所以或． 故选：D． 2. 已知为纯虚数，其中i为虚数单位，则实数（ ） A. B. 2 C. 1 D. 【答案】B 【解析】 【分析】利用待定系数法结合复数乘法、复数相等的充要条件即可求解. 【详解】设，则， 所以，所以，所以． 故选：B． 3. 记为等差数列的前项和，若的公差为，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】利用等差数列的求和公式可得出、的等量关系，结合等差数列的通项公式可得结果. 【详解】由，所以，故. 故选：C. 4. 已知为锐角，，则（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据同角三角函数关系式及二倍角公式化简可得解. 【详解】因为为锐角，即，则， 又，则，且， 所以． 故选：C． 5. 已知一个等腰梯形的下底边长是上底边长的3倍，两腰与下底边所成角为，面积为．若该等腰梯形是一个圆台的轴截面，则该圆台的侧面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由题意得．设等腰梯形ABCD的上、下底边长分别为a，，，分别过点D，A作，垂足分别为点G，F，判断四边形ADGF为矩形，且，再根据腰与底边的角度，求圆台的侧面积. 【详解】如图，由题意得． 设等腰梯形ABCD的上、下底边长分别为a，，，即． 分别过点D，A作，垂足分别为点G，F， 因为，则四边形ADGF为矩形，且，所以． 在中，，， 则等腰梯形的面积，解得， 则圆台的上、下底面的半径分别为，母线长为， 所以圆台的侧面积为． 故选：A． 6. 为了研究变量对变量的影响，对变量和变量的观测数据（，，，）进行研究，计算得到，，若与满足一元线性回归模型，是与之间的随机误差，则参数的最小二乘估计为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】由已知可得与经验回归方程，结合残差平方和公式化简可得，结合二次函数性质可得解. 【详解】由题意知y与x满足的经验回归方程为， 残差平方和， 上式是关于的二次函数，因此要使残差平方和取得最小值，当且仅当， 则参数的最小二乘估计为． 故选：C． 7. 已知函数的部分图象如图所示，则（ ） A. B. 1 C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据函数图象得出周期进而得出，再根据点在图象上计算求出，最后结合特殊值求解. 【详解】由题图可知，，所以， 又因为，所以． 又因为，所以， 所以，又，令，可得， 所以，故． 故选：B． 8. 若函数与在区间上的单调性相同，则把区间叫做的“平凡区间”；若函数与在区间上的单调性相反，则把区间叫做的“非平凡区间”．下列函数既有“平凡区间”，又有“非平凡区间”的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】分析可知函数与定义域必存在交集区间，且存在区间，函数在区间和上单调性相同；存在区间，函数在区间和上单调性相反，利用数形结合及题中定义逐项判断即可. 【详解】由题意可知，若函数既有“平凡区间”，又有“非平凡区间”， 则函数与定义域必存在交集区间． 若函数存在“平凡区间”，则函数在区间和上单调性相同； 若函数存在“非平凡区间”， 则函数在区间和上单调性相反， 对于A，的定义域为，的定义域为， 则与定义域的交集为，不是区间，不符合题意，故A错误； 对于B，，则的图象为： 由图①可知，在和上单调性相同，存在“平凡区间”， 在和上单调性相反，存在“非平凡区间”，故B正确； 对于C，，则的图象为： 由图②可知，在和上单调性相同，则一定存在“平凡区间”， 但不存在“非平凡区间”，故C错误； 对于D，，则的图象为： 由图③可知，在和上单调性相反，存在“非平凡区间”， 根据偶函数的性质可知，不存在“平凡区间”，故D错误． 故选：B． 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 在中，若的角平分线交AC于点D，则下列说法正确的是（ ） A. B. 的外接圆周长为 C. D. 【答案】ABD 【解析】 【分析】应用余弦定理计算求解判断A，应用正弦定理计算求出外接圆半径判断B，应用二倍角余弦公式计算求解判断C，根据向量数量积公式计算求解判断D. 【详解】在中，由余弦定理可得，所以，故A正确； 又，可得，所以的外接圆直径，所以的外接圆周长为，故B正确； 因为BD为的角平分线，所以，所以，所以， 在中，，故C错误； 又因为，所以，故D正确． 故选:ABD． 10. 已知曲线C由双曲线和椭圆组合而成，P是曲线C上任意一点，，则（ ） A. 曲线C是中心对称图形 B. C. 满足的点P有2个 D. 满足的点P有8个 【答案】ABC 【解析】 【分析】由双曲线和椭圆的对称性可判断A，由双曲线和椭圆上的点到对称中心的距离关系可判断B，由双曲线和椭圆的定义可判断C，由平面几何的知识以及圆与椭圆、双曲线的交点个数可判断D. 【详解】曲线C是由以，为焦点的等轴双曲线和长轴长为4，，为焦点的椭圆组合而成， 所以曲线C是关于原点O的中心对称图形，故A正确； 若P是曲线C上任意一点，必然，故B正确； ，为双曲线和椭圆的公共焦点， 若，则，， 由双曲线和椭圆的定义可知，点P为右支和的交点，有两个，故C正确； 若，则点P在以为直径的圆上，此时点P为圆与曲线C的交点， 因为圆与有4个公共点，与有2个公共点，且易知曲线和的交点不在圆上， 所以满足的点P有6个，故D错误． 故选：ABC． 11. 已知函数，则（ ） A. 函数仅有一个零点 B. 若函数在点处与x轴相切，则 C. D. 若为增函数，则 【答案】BCD 【解析】 【分析】对函数求导，结合求参数判断B；令并研究的单调性比较大小判断C；问题化为在上恒成立，求参数判断D；应用导数研究函数的零点判断A. 【详解】由题意得的定义域为，． 函数在点处与x轴相切，则，得，故B正确； 当时，，， 函数在上单调递增，则， 则，即，故C正确； 若为增函数，则在上恒成立， 则在上恒成立，在上恒成立， 即（当且仅当时取等），解得，故D正确； 令，则，解得或， 若，，，易知均大于0，则在上有两个零点， 不妨设，则，易知在和上单调递增，在上单调递减， 又时，时，，此时函数有三个零点，故A错误． 故选：BCD 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12. 在三棱锥中，平面ABC，，则三棱锥外接球的半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】利用补形法即可求解. 【详解】因为平面，，所以可将三棱锥放入长方体中， 如图所示，则三棱锥的外接球即是所在长方体的外接球， 长方体的体对角线就是外接球的直径，故PC为外接球直径，故半径为， 故答案为：． 13. 已知函数，则在点处的切线方程为________________． 【答案】 【解析】 【分析】由题意可知，求导，求出在点处的切线方程． 【详解】由题意可知，且， 故， 故在点处的切线方程为． 故答案为：． 14. 互素是指两个自然数a和b的最大公因数为1．欧拉函数表示不大于且与n互素的正整数个数，若数列满足，且数列的前n项和为，则满足的n的最大值为________． 【答案】10 【解析】 【分析】根据定义得，应用等比数列的前n项和公式有，再由不等式能成立求n的最大值. 【详解】因为正偶数与不互素，正奇数与互素， 所以不大于且与互素的正整数为所有不超过的正奇数， 所以，则， 令，解得，所以n的最大值为10． 故答案为：10 四、解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 现需要对某人工智能芯片进行性能测试，规则如下：首次测试（测试I）通过率为，未通过测试I的芯片进入第二次测试（测试Ⅱ），通过率为，未通过则报废．通过任意一次测试即为合格芯片． （1）已知，若某批次生产了10万枚芯片，预估合格芯片的数量； （2）已知一枚芯片合格，求其是通过测试I的概率（结果用p，q表示） 【答案】（1）88000枚 （2） 【解析】 【分析】（1）求出每个芯片通过测试的概率，判断服从二项分布，即可求解； （2）分别求出，，再利用条件概率公式求解即可． 【小问1详解】 设事件A：芯片合格，记X为该生产批次合格芯片的数量，则每个芯片通过测试的概率为 ， 于是， 则， 所以预估合格芯片的数量为88000枚． 【小问2详解】 记事件A：芯片合格，事件B：通过测试I，事件C：通过测试Ⅱ． 由题意得， ， 则， 故所求概率为． 16. 已知函数． （1）当时，求的最小值； （2）若是的两个极值点，且，求a的最大值． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）求定义域，求导，得到函数单调性，进而求出最小值； （2）求导，得到是方程的两个正根，从而得到不等式，求出，由韦达定理整理得到，结合函数单调性得到，求出答案. 【小问1详解】 当时，，定义域为， 所以， 当时，，当时，， 所以在上单调递减，在上单调递增， 所以的最小值为． 【小问2详解】 由题意知，函数的定义域为，求导得， 因为是的两个极值点， 所以是方程的两个正根， 则有 解得． 且， 而， 所以， 又，下面证明在上单调递增，理由如下： 在上恒成立，故在上单调递增， 易知，即， 所以， 故． 17. 如图，在棱长为5的正方体中，点E在线段上，满足与平面ACE交于点F． （1）若，求线段EF的长度； （2）已知四边形ACEF的周长为． ①求的值； ②求二面角的余弦值． 【答案】（1）； （2）①；②. 【解析】 【分析】（1）根据正方体结构特征易得，连接，结合中位线的性质即可求长度； （2）①首先证四边形ACEF为等腰梯形，利用求出各边长，再由周长列方程求参数即可得；②构建合适的空间直角坐标系，标注出相关点坐标，进而求出相关平面的法向量，应用向量法求二面角余弦值. 【小问1详解】 在正方体中，平面平面， 又平面平面，平面平面， 所以，连接， 又因为，所以，又，即E为的中点， 所以EF为的中位线，所以F为的中点，则． 【小问2详解】 ①由（1）知，，所以， 所以，所以四边形ACEF为等腰梯形， 由，得，则， 所以， 所以等腰梯形ACEF的周长为， 又，所以． ②以D为原点，所在直线分别为x轴、y轴、z轴，建立空间直角坐标系， 则，则． 设平面ACE的法向量为，则， 令，则，所以平面ACE的一个法向量为， 易知平面ABC的一个法向量为． 设二面角的平面角的大小为，由题图可得为钝角， 则，则， 所以二面角的余弦值为． 18. 已知圆心在轴上移动的圆经过点，且与轴，轴分别交于两个动点（可以重合） （1）求点的轨迹的方程； （2）过点的两条直线相互垂直，直线与交于两点，直线与交于两点，线段的中点分别为. ①求四边形面积的最小值； ②判断直线是否过定点，若是，求出该定点；若不是，请说明理由． 【答案】（1） （2）①； ②直线过定点，定点坐标为 【解析】 【分析】（1）根据动点具有的几何性质可得动点轨迹方程； （2）联立直线方程和抛物线方程后消元后利用韦达定理可求，从而可求四边形面积的解析式，由基本不等式可求面积的最小值； （3）设直线，则联立直线方程后可求的坐标后结合同构可求，故可得直线过定点. 【小问1详解】 根据题意，圆心坐标为． 又因为该圆经过点和，所以， 化简得，所以点的轨迹的方程为． 【小问2详解】 ①因为直线的斜率一定存在且不为0， 故设，． 联立方程消x得， 则． 所以 ， 同理， 所以， 当且仅当时，四边形的面积最小，最小值为32． ②易知当直线斜率不存在时，直线关于x轴对称， 此时①中，得直线； 当直线PQ斜率存在时，设直线， 联立方程，得， 又，得， 同理可得， 所以，是方程的两根， 所以，即，则，所以直线过定点． 综上，直线过定点． 19. 将正整数1，2，3，…，n的任意一种排列得到的有限数列记作，若对，均有，则称该数列为“n元全错位数列”，记“n元全错位数列”的个数为，如正整数1，2，3所对应的“3元全错位数列”有2，3，1和3，1，2，得． （1）求； （2）求证：是等比数列； （3）求证：． 【答案】（1） （2） 当时，为了得到“n元全错位数列”，我们分两步来完成正整数1，2，3，…，n的排列： ①将正整数n放到第m（）个位置，有种排法； ②考虑正整数m，有两种放法． 若放到第n个位置，则余下个正整数放到余下个位置，有种排法； 若不放到第n个位置，这时对于这个正整数，共有种排法． 所以 ， 所以， 又， 所以是以1为首项，为公比的等比数列． （3） 由（2）知， 等式两边同除得， 由累加法得， 则， 即， 则． 【解析】 【分析】（1）利用“n元全错位数列”的定义即可求解； （2）当时，为了得到“n元全错位数列”，我们分两步来完成正整数1，2，3，…，n的排列：①将正整数n放到第m（）个位置，有种排法；②考虑正整数m，有两种放法，得 ，代入即可得证； （3）由（2）知，等式两边同除得，由累加法即可求解. 【小问1详解】 时，显然；时，“2元全错位数列”只能是2，1，所以． 【小问2详解】 略 【小问3详解】 略 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $