精品解析：江西省2025年初中学业水平考试数学试卷（黑）

江西省2025年初中学业水平考试 数学试题卷 说明： 1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 若把气温零上记为，则表示气温为（ ） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 2. 下列国际货币符号中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 4. 如图，，点E在上，点F在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 5. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站如图，某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律拼接得到火箭模型图，按照此规律，则第n个图案需要基本图形的个数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，二次函数的图象与反比例函数的图象交于三点，且点与点关于原点对称，则下列结论中正确的有（ ） ①；②；③；④当时，；⑤点所在直线与点所在直线互相垂直． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 写出一个比小的正整数___________． 8. 当前，我国新能源汽车产业实现了快速发展，产销量和出口量均居世界第一，形成完整且竞争力强的产业链，成长起一批具有国际竞争力的企业．某汽车制造公司对旗下四款新型新能源汽车进行续航性能测试，测试结果记录了A，B，C，D四款车型在满电状态下的平均续航里程（单位：）与续航里程的方差： 车型 A B C D 平均续航里程 420 420 410 400 方差 0.03 0.06 0.03 0.05 根据表中数据，要选择一款平均续航里程长且续航表现稳定的车型投入市场，应该选择__________． 9. 在显微镜的结构中，对物体起放大作用的是目镜与物镜，物像的放大倍数是目镜的放大倍数乘以物镜的放大倍数．如目镜的放大倍数是倍，物镜的放大倍数是倍，那么看到的物像放大倍数是a倍，则数据a用科学记数法表示为________． 10. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题的大意为：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长为x尺，则绳子长尺，则可以列出方程为__________． 11. 如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，点C的对应点D恰好落在边上，若，则的长为________． 12. 如图，是半圆的直径，半径，是半圆的切线，且，点是半圆上的动点，连接，，，，当为直角三角形时，则的值为______． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，点B，E，C，F在一条直线上，．求证：． 14. 有一道题：“A，B在数轴上的位置如图所示，分别表示实数x与，且满足，求x的取值范围．”甲、乙两位同学解决此问题的过程分别如下： 甲同学： 解： ，① ， ， ，② 点A在原点左侧， ． 乙同学： 解：， ，③ ， ，④ 点A在原点左侧， ， ． （1）不考虑其他因素，这两人在解各自所列不等式的过程中，由上一步变形得到的①②③④这四步中，错误的是________；（填写序号） （2）请写出正确的解答过程． 15. 某校组织学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因"为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A．中央红军长征出发地纪念园，B．南昌八一起义纪念馆，C．秋收起义修水纪念馆，D．井冈山革命博物馆，小佳、小文、小雨三位同学各自随机选择一条研学线路． （1）小佳同学选择线路D的概率为 ； （2）请用画树状图法或列表法，求小文、小雨两位同学选择不同线路的概率． 16. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C，E均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，过点E作的平行线，交于点F； （2）如图2，在（1）的条件下，作点A关于的对称点． 17. 如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，过点D作的垂线，交于点F，交的延长线于点G，连接． （1）求证：是的切线； （2）求证：． 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，C两点，与x轴，y轴分别交于D，A两点． （1）与的数量关系为________； （2）若的面积为4． ①求线段的长； ②求k的值． 19. 如图1是我国古代的一种打击乐器和礼器——磬，据先秦文献《吕氏春秋·古乐篇》记载：尧命质击磬“以象上帝”“以致舞百兽”，描绘出一幅古老的原始社会的乐舞生活场景．如图2，从正面看，磬是一个多边形图案，已知MN为地面，测得，连接，平分． （1）求证：直线； （2）求磬的宽（即点B到点F的水平距离）．（结果精确到，参考数据：） 20. 教材重现 我们知道平行四边形是中心对称图形，由此可推出：平行四边形的对角线互相平分． （1）请你根据下面给出的“已知”和“求证”，证明该结论． 已知：如图1，的两条对角线与相交于点O． 求证：． （2）如图2，的对角线交于点O，，过点O的直线分别交于点E，F，交的延长线于点G，且，若，求的长． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 相关部门制定《江西省学校食品安全与营养健康管理方法》，进一步加强和规范中小学食堂供餐管理，保障学生在校集中用餐的食品安全与营养健康，助力守护校园“舌尖上的安全”．某学校为了解学生对学校餐厅的满意程度．随机抽取了100名学生进行满意程度评价．根据这100名学生的评价结果（百分制），绘制如下不完整的统计图表． 评价等级分数段 评价等级 分数（分） 非常满意（） 满意（） 一般（） 不满意（） 非常不满意（） C等级统计表 得分 频数 分析等级统计表数据，得到下表： 平均分 众数 中位数 请你根据图表中的信息完成下列问题： （1）表中的________，________，________； （2）补全频数分布直方图； （3）请估计该校名学生中对学校餐厅的评价不低于分的人数； （4）为提高学生的满意度，请你为该校餐厅提出一条合理化建议． 22. 某校学生为了参加学校组织的“投篮大赛”，利用课后时间积极地进行备赛训练．如图是小明训练投篮时的示意图，小明站在原地将篮球从头顶上方距地面2米处出手，已知篮筐中心到地面的距离为3.05米，当距出手处的水平距离为2.5米时，篮球达到最大高度为3.25米，篮球的轨迹示意图可近似看作抛物线的一部分，以小明站立点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）小明投出球后，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸到2.45米，则在球上升的过程中，小刚与小明的距离在什么范围内小刚才能在空中截住篮球？ （3）若小明在距篮筐水平距离3.8米的位置进行投球，且篮球飞行轨迹的形状不变的情况下，通过计算说明小明要将篮球在距地面多少米处出手才能直接投中？ 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 如图1，是由两个全等的含角的三角尺拼成的矩形，，，点与点重合，点与点重合，现将固定不动，将沿的方向平移，当点与点重合时，停止运动，设运动过程中，与相交于点，与相交于点． （1）如图2，当时，试判断四边形的形状，并证明； （2）如图3，连接，，当四边形为菱形时，请猜想和的数量关系，并加以证明； （3）若，在平移的过程中，设，与的重叠部分的面积为，求与的函数表达式及的最大值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 江西省2025年初中学业水平考试 数学试题卷 说明： 1．本试题卷满分120分，考试时间120分钟． 2．请按试题序号在答题卡相应位置作答，答在试题卷或其它位置无效． 一、单项选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分）在每小题列出的四个备选项中只有一项是最符合题目要求的，请将其代码填涂在答题卡相应位置．错选、多选或未选均不得分． 1. 若把气温零上记为，则表示气温为（ ） A. 零上 B. 零下 C. 零上 D. 零下 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查正数和负数．正数和负数是一组具有相反意义的量，据此即可求得答案． 【详解】解：若气温为零上记为，则表示气温为零下， 故选：B． 2. 下列国际货币符号中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查轴对称图形的意义和辨识，熟练掌握轴对称图形的概念是解题的关键． 根据轴对称图形的概念“如果一个图形沿一条直线对折后两部分完全重合，那么这样的图形叫做轴对称图形”逐项判断即可求解． 【详解】解：A.不是轴对称图形，不合题意； B.不是轴对称图形，不合题意； C.是轴对称图形，符合题意； D.不是轴对称图形，不合题意； 故选：C． 3. 计算的结果为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查的是分式的加法运算，准确掌握分式的加法法则是解决此题的关键． 根据分式的加法法则计算即可． 【详解】解：， 故选：A． 4. 如图，，点E在上，点F在上，且，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查平行线的性质与角度计算，解题的关键是利用平行线性质和直角建立角度关系． 先由结合得与的关系，求出，最后根据平行线性质得与的关系算出． 【详解】 ， ，即， ， ， ， 故选：D． 5. 2024年10月30日，神舟十九号载人飞船发射取得圆满成功，神舟十九号航天员乘组顺利进驻中国空间站如图，某中学科技小组的同学用形状大小相同的基本图形“”按照一定规律拼接得到火箭模型图，按照此规律，则第n个图案需要基本图形的个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了图形类规律探索．观察图形发现，第n个图案中需要个基本图形，即可得到答案． 【详解】解：第1个图案中需要个基本图形， 第2个图案中需要个基本图形， 第3个图案中需要个基本图形， …… 观察发现，第n个图案中需要个基本图形， 故选：B． 6. 如图，二次函数的图象与反比例函数的图象交于三点，且点与点关于原点对称，则下列结论中正确的有（ ） ①；②；③；④当时，；⑤点所在直线与点所在直线互相垂直． A. 2个 B. 3个 C. 4个 D. 5个 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数和反比例函数综合，待定系数法求函数解析式，求反比例函数系数，两点间距离公式，勾股定理的逆定理，熟练掌握相关知识点是解题的关键． 由函数图象得；点与点关于原点对称得到，求出，将代入求出，得到；由得到当时，；根据两点之间距离公式和勾股定理逆定理得到是直角三角形， 推出点所在直线与点所在直线互相垂直． 【详解】解：由函数图象得抛物线开口向下， ， 故结论①正确； 点与点关于原点对称， 由函数图象得， 将代入得， ， 故结论②正确； 令，则， ， 将代入得， 解得， ， 故结论③正确； ， 由函数图象得，当时，， 故结论④正确； 如图，连接， ， ， ，，， ， ， 是直角三角形， ， ， 点所在直线与点所在直线互相垂直， 故结论⑤正确； 综上所述，正确的结论有个， 故选：D． 二、填空题（本大题共6小题，每小题3分，共18分） 7. 写出一个比小的正整数___________． 【答案】2（答案不唯一） 【解析】 【分析】本题考查了无理数的估算，因为，故可得出答案，掌握无理数的估算方法是解题的关键． 【详解】解：∵， ∴比小的正整数有：2，3． 故答案为：2（答案不唯一） 8. 当前，我国新能源汽车产业实现了快速发展，产销量和出口量均居世界第一，形成完整且竞争力强的产业链，成长起一批具有国际竞争力的企业．某汽车制造公司对旗下四款新型新能源汽车进行续航性能测试，测试结果记录了A，B，C，D四款车型在满电状态下的平均续航里程（单位：）与续航里程的方差： 车型 A B C D 平均续航里程 420 420 410 400 方差 0.03 0.06 0.03 0.05 根据表中数据，要选择一款平均续航里程长且续航表现稳定的车型投入市场，应该选择__________． 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了平均数和方差，根据表格中四种车型的平均数和方差即可解答． 【详解】解：∵根据平均数可得四种车型中平均续航里程长的是A和B，根据方差可得四种车型中续航表现稳定的车型是A和C， ∴要选择一款平均续航里程长且续航表现稳定的车型投入市场，应该选择A． 故答案为：A． 9. 在显微镜的结构中，对物体起放大作用的是目镜与物镜，物像的放大倍数是目镜的放大倍数乘以物镜的放大倍数．如目镜的放大倍数是倍，物镜的放大倍数是倍，那么看到的物像放大倍数是a倍，则数据a用科学记数法表示为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查科学记数法，单项式乘法，熟练掌握相关运算法则是解题的关键． 根据题意列出算式 ，再根据同底数幂相乘的运算法则计算即可． 【详解】解：由题意，得 故答案为：． 10. 《孙子算经》是我国古代著名的数学典籍，其中有一道题的大意为：用一根绳子去量一根长木，绳子还剩余4.5尺；将绳子对折再量长木，长木还剩余1尺．问木长多少尺？设木长为x尺，则绳子长尺，则可以列出方程为__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查由实际问题抽象出一元一次方程，根据“长木长绳长的一半尺”列方程即可． 【详解】解：根据题意得：， 故答案为：． 11. 如图，在中，，将绕点A按顺时针方向旋转一定角度得到，点C的对应点D恰好落在边上，若，则的长为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查旋转的性质，等腰三角形的性质，勾股定理，证明是解题的关键． 先由旋转的性质得出，，再由等腰三角形的性质得，从而可得出，进而得，继而可得，然后由勾股定理求得，即可由求解． 【详解】解：由旋转可得：，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴， ∴． 故答案为：． 12. 如图，是半圆的直径，半径，是半圆的切线，且，点是半圆上的动点，连接，，，，当为直角三角形时，则的值为______． 【答案】或或 【解析】 【分析】本题考查了切线的性质，勾股定理，解直角三角形，直角三角形的性质等知识，由是半圆的切线，则，所以，然后分当与重合时，当时，当时三种情况分析即可，掌握知识点的应用是解题的关键． 【详解】解：∵是半圆的切线， ∴， ∴， ∴， 如图，当与重合时， ∴， ∴； 如图，当，连接， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，即， ∴， ∵是半圆的直径， ∴ ∴； 如图，当，过作于点，则， ∵，， ∴， ∴， ∴， ∴，， ∴， ∴， 综上可知：的值为或或， 故答案为：或或． 三、解答题（本大题共5小题，每小题6分，共30分） 13. （1）计算：； （2）如图，点B，E，C，F在一条直线上，．求证：． 【答案】（1） （2）证明：， ， ． 在和中， ， ， ． 【解析】 【分析】本题考查实数混合运算，全等三角形的判定与性质，熟练掌握零指数幂与特殊角的三角函数值、全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）先计算乘方与开方，并把特殊角三角函数值代入，再计算乘法，最后计算加减即可； （2）利用证明，由全等三角形的性质即可得出结论． 【详解】（1）解：原式 ； （2）略 14. 有一道题：“A，B在数轴上的位置如图所示，分别表示实数x与，且满足，求x的取值范围．”甲、乙两位同学解决此问题的过程分别如下： 甲同学： 解： ，① ， ， ，② 点A在原点左侧， ． 乙同学： 解：， ，③ ， ，④ 点A在原点左侧， ， ． （1）不考虑其他因素，这两人在解各自所列不等式的过程中，由上一步变形得到的①②③④这四步中，错误的是________；（填写序号） （2）请写出正确的解答过程． 【答案】（1）①③④ （2） 解：∵A，B在数轴上的位置如图所示，分别表示实数x与， ∴，， ∵， ∴， ， ， ∴， 点在原点左侧， ， ． 【解析】 【分析】本题主要考查解一元一次不等式，严格遵循解不等式的基本步骤是关键，尤其需要注意不等式两边都乘以或除以同一个负数，不等号方向要改变． （1）根据不等式的基本性质以及去括号的法则判断即可得； （2）根据题意列出不等式，再由解一元一次不等式基本步骤：去分母、移项、系数化为1求解，注意的取值要符合题意． 【小问1详解】 解：不考虑其他因素，这两人在解各自所列不等式的过程中，由上一步变形得到的①步中，左边漏乘了3，故①步错误； ②步，正确； ③步中，分子应作为整体加括号，故③步错误； ④步中，系数化为1时，两边同时除以一个负数，不等号要改变方向，故④步错误； ∴这两人在解各自所列不等式的过程中，由上一步变形得到的①②③④这四步中，错误的是①③④， 故答案为：①③④． 【小问2详解】 略 15. 某校组织学生开展以“讲好红色故事，传承红色基因"为主题的研学活动，策划了四条研学线路供学生选择：A．中央红军长征出发地纪念园，B．南昌八一起义纪念馆，C．秋收起义修水纪念馆，D．井冈山革命博物馆，小佳、小文、小雨三位同学各自随机选择一条研学线路． （1）小佳同学选择线路D的概率为 ； （2）请用画树状图法或列表法，求小文、小雨两位同学选择不同线路的概率． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题考查了简单概率公式的计算，列表或树状图求概率，熟悉概率公式和列表或树状图求概率是解题的关键，列表法或画树状图法可以不重复不遗漏的列出所有可能的结果数． （1）根据简单概率的公式计算即可，概率=所求情况数与总情况数之比； （2）根据列表法即可求得概率． 【小问1详解】 解：依题意，共四条研学线路，每条线路被选择的可能性相同． 小佳选择线路D的概率为； 故答案为：； 【小问2详解】 解：依题意，列表可得 小文\小雨 A B C D A B C D 由列表可得，共有16种等可能性结果，其中不同线路的可能结果有12种， 小文、小雨选择不同线路的概率为． 16. 如图，在的正方形网格中，点A，B，C，E均在格点上，请仅用无刻度的直尺按要求完成以下作图（保留作图痕迹）． （1）如图1，过点E作的平行线，交于点F； （2）如图2，在（1）的条件下，作点A关于的对称点． 【答案】（1） 如图1， 线段即为所作； （2） 如图2，点即为所作； 【解析】 【分析】本题考查作图-应用与设计作图，平行的判定与轴对称的性质，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题． （1）将线段先向上平移2个单位，再向右平移1个单位，得到线段，其与线段相交于点F，此时； （2）由轴对称的性质作出点即可． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 17. 如图，在中，，以为直径的交于点D，交于点E，过点D作的垂线，交于点F，交的延长线于点G，连接． （1）求证：是的切线； （2）求证：． 【答案】（1） 证明：如图，连接． ， ． ， ， ， ， ， ， ，即， 是的半径， 是的切线； （2） 如图，连接BD． BC是的直径， ，即． ， 根据等腰三角形“三线合一”可得，， ， ， ． ， ． 【解析】 【分析】本题考查切线的判定，圆周角定理及其推论，等腰三角形的性质，熟练掌握切线的判定和圆周角定理及其推论是解题的关键． （1）连接．利用等腰三角形的性质“等边对等角”证得，，从而得出，即可证得，进而可证得，即，即可得出结论． （2）连接BD，由直径所对圆周角是直角得出，即．再根据等腰三角形“三线合一”可得，，则，从而得出，即可得出结论． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 四、解答题（本大题共3小题，每小题8分，共24分） 18. 如图，在平面直角坐标系中，一次函数的图象与反比例函数的图象交于B，C两点，与x轴，y轴分别交于D，A两点． （1）与的数量关系为________； （2）若的面积为4． ①求线段的长； ②求k的值． 【答案】（1） （2）①；② 【解析】 【分析】（1）分别过B，C两点作y轴，x轴的垂线，交y轴，x轴于N，M两点，与的延长线交于点F，则四边形为矩形，从而可证明，再证明，即可得出结论； （2）①过点O作于点E，利用等腰三角形的性质与直角三角形的性质求得，再利用三角形的面积求解即可； ②由（1）知：，四边形MONF为正方形，可求得，设点C的纵坐标为m，则点B的横坐标也为m，，根据，得，解得：，则可求得点B的坐标为，再代入求解即可． 【小问1详解】 解：如图，分别过B，C两点作y轴，x轴的垂线，交y轴，x轴于N，M两点，与的延长线交于点F，则四边形为矩形， 设点B的坐标为，点C的坐标为， 点B，C为一次函数图象与反比例函数图象的交点， 令，化简得，即， ， ，即，则四边形为正方形， 一次函数的图象与x轴，y轴分别交于D，A两点， 令，则，令，则， ， ， ， ， ， ， ， ． 【小问2详解】 解：①如图，过点O作于点E， 由（1）知， ∴， ∴； ∵， ∴， ． 又的面积为4， ， 即， ； ②由（1）知：，四边形为正方形， ， ， 设点C的纵坐标为m，则点B的横坐标也为m， ， ， 即， 解得：， 把代入，得， 点B的坐标为， 把代入， ． 【点睛】本题考查一次函数与反比例函数交点问题，一次函数与反比例函数图象上点的坐标特征，全等三角形的判定与性质，正方形的判定与性质，勾股定理等知识，正确作出辅助线是解题的关键． 19. 如图1是我国古代的一种打击乐器和礼器——磬，据先秦文献《吕氏春秋·古乐篇》记载：尧命质击磬“以象上帝”“以致舞百兽”，描绘出一幅古老的原始社会的乐舞生活场景．如图2，从正面看，磬是一个多边形图案，已知MN为地面，测得，连接，平分． （1）求证：直线； （2）求磬的宽（即点B到点F的水平距离）．（结果精确到，参考数据：） 【答案】（1） 证明：如图，延长交于点G，过点B作于点H， ，平分， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 直线； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行线的判定与性质，解直角三角形的应用，关键是构造直角三角形． （1）延长交于点G，过点B作于点H，由角平分线的定义求得，进而求得，从而求得，得到，即可由平行线的判定得出，即可由平行线的性质得出结论； （2）过点F作于点P， 解三角形求得，，即可由求解． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：如图，过点F作于点P， ， ， ， ， ． 答：磬的宽（即点B到点F的水平距离）约为． 20. 教材重现 我们知道平行四边形是中心对称图形，由此可推出：平行四边形的对角线互相平分． （1）请你根据下面给出的“已知”和“求证”，证明该结论． 已知：如图1，的两条对角线与相交于点O． 求证：． （2）如图2，的对角线交于点O，，过点O的直线分别交于点E，F，交的延长线于点G，且，若，求的长． 【答案】（1） 证明：四边形为平行四边形 ， ． ． ； （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了平行四边形的性质，相似三角形的性质与判定，勾股定理，全等三角形的性质与判定等等，熟知相关知识是解题的关键． （1）只需要利用证明即可证明结论； （2）由勾股定理求出，由等面积法得到，证明，得到，则可求出，证明，可得，解之即可得到答案． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 解：四边形为平行四边形， ，，， ， ， ， ， ， ， ∵， ∴， ∴， ， ， ， ∴ ，即， 解得． 五、解答题（本大题共2小题，每小题9分，共18分） 21. 相关部门制定《江西省学校食品安全与营养健康管理方法》，进一步加强和规范中小学食堂供餐管理，保障学生在校集中用餐的食品安全与营养健康，助力守护校园“舌尖上的安全”．某学校为了解学生对学校餐厅的满意程度．随机抽取了100名学生进行满意程度评价．根据这100名学生的评价结果（百分制），绘制如下不完整的统计图表． 评价等级分数段 评价等级 分数（分） 非常满意（） 满意（） 一般（） 不满意（） 非常不满意（） C等级统计表 得分 频数 分析等级统计表数据，得到下表： 平均分 众数 中位数 请你根据图表中的信息完成下列问题： （1）表中的________，________，________； （2）补全频数分布直方图； （3）请估计该校名学生中对学校餐厅的评价不低于分的人数； （4）为提高学生的满意度，请你为该校餐厅提出一条合理化建议． 【答案】（1），，； （2） 补全频数分布直方图如图， （3）人； （4）增加菜品的多样性，符合更多人的口味；提升菜品的口感和味道．（答案不唯一，合理即可） 【解析】 【分析】本题考查频数分布表与频数分布直方图，中位数、众数、平均数以及用样本估计总体，掌握平均数、中位数、众数的意义是正确解答的关键． （）根据中位数、众数、平均数的定义结合题目中的图表求解即可； （）分别算出的频数，然后补全即可； （）利用样本估计总体即可； （）根据题意提出合理的建议即可． 【小问1详解】 解：∵等级的平均数为， ∴ ， 解得， ∴等级为的人数为（人），其中得分为分的人数最多， ∴众数，中位数为按从小到大（或从大到小）排列第名学生的成绩为分 ， 则中位数， 故答案为：，，； 【小问2详解】 解：由（）得等级为的人数为人， ∴等级为的人数为（人）， 【小问3详解】 解：（人）， 答：估计该校名学生中对学校餐厅的评价不低于分的人数为人； 【小问4详解】 解：合理改进建议：增加菜品的多样性，符合更多人的口味；提升菜品的口感和味道．（答案不唯一，合理即可） 22. 某校学生为了参加学校组织的“投篮大赛”，利用课后时间积极地进行备赛训练．如图是小明训练投篮时的示意图，小明站在原地将篮球从头顶上方距地面2米处出手，已知篮筐中心到地面的距离为3.05米，当距出手处的水平距离为2.5米时，篮球达到最大高度为3.25米，篮球的轨迹示意图可近似看作抛物线的一部分，以小明站立点O为原点，建立如图所示的平面直角坐标系． （1）求抛物线的表达式； （2）小明投出球后，小刚在小明与篮筐之间跳起防守，已知小刚最高能摸到2.45米，则在球上升的过程中，小刚与小明的距离在什么范围内小刚才能在空中截住篮球？ （3）若小明在距篮筐水平距离3.8米的位置进行投球，且篮球飞行轨迹的形状不变的情况下，通过计算说明小明要将篮球在距地面多少米处出手才能直接投中？ 【答案】（1） （2）小刚距离小明0.5米及以内 （3）2.138米 【解析】 【分析】本题考查二次函数的实际应用，正确的求出函数解析式，是解题的关键： （1）设出顶点式，待定系数法求出函数解析式即可； （2）令，求出的值即可； （3）求出新的函数解析式，令，求出值即可． 【小问1详解】 解：设抛物线的表达式为， 由题意，得抛物线的顶点坐标为， ， 由题意可知当时，， 把点代入， 解得， 抛物线的表达式为； 【小问2详解】 令，则， 解得． 在球上升的过程中， ， ∴小明投出球后，小刚距离小明0.5米及以内能在空中截住篮球； 【小问3详解】 篮球飞行轨迹的形状不变， 改变篮球出手位置只是对抛物线进行上下平移， 设改变篮球出手位置后的抛物线表达式为， 小明距篮筐水平距离为3.8米，篮筐中心到地面的距离为3.05米， 将点代入， 得， 解得， ， 令，得， 小明要将篮球在距地面2.138米处出手才能直接投中． 六、解答题（本大题共12分） 23. 综合与实践 如图1，是由两个全等的含角的三角尺拼成的矩形，，，点与点重合，点与点重合，现将固定不动，将沿的方向平移，当点与点重合时，停止运动，设运动过程中，与相交于点，与相交于点． （1）如图2，当时，试判断四边形的形状，并证明； （2）如图3，连接，，当四边形为菱形时，请猜想和的数量关系，并加以证明； （3）若，在平移的过程中，设，与的重叠部分的面积为，求与的函数表达式及的最大值． 【答案】（1） 解：四边形是菱形．证明： 由平移的性质可知，，， 四边形是平行四边形，，， ， ， ， 在中，，， ， ， 四边形是菱形； （2） 解：．理由如下： ， ， 四边形为菱形， ， 在中，，， ， ， 在中，； （3），最大值为 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的判定与性质，菱形的判定与性质，平行线分线段成比例，勾股定理，全等三角形的性质，含角的直角三角形的性质，二次函数的图象与性质． （1）先利用由平移的性质可知，，得出四边形是平行四边形，，，证明，再利用含角的直角三角形的性质得出，即可证明； （2）由，得出，利用四边形为菱形，得出，再证明，得出，再由勾股定理即可证明； （3）由（1）可知，与的重叠部分为平行四边形，分别利用表示出，，则可得出， 结合，且， 即可得出最值． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由（1）可知，与的重叠部分为平行四边形， ∵点B在DF上运动，与点D重合时停止运动，不会超过DF的长度， ∴， 在中，，， ， ， ， y与x的函数表达式为， ，且， 当时，有最大值为． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $