5.3 实践与探索 教学设计 2024-2025学年华东师大版数学 七年级下册

5.3 实践与探索 教学设计 一、内容和内容解析 1. 内容 本节课是华东师大版《义务教育教科书·数学》七年级下册第五章“一元一次方程”中的5.3节“实践与探索”，主要内容包括：通过铁丝围长方形、年级捐款分配、师徒合作工程等实际问题，引导学生分析数量关系，建立一元一次方程模型，并运用方程解决生活中的数学问题。重点涉及间接设元、等量关系提取、解方程及结果验证等知识点。 2. 内容解析 本节课是在学生已掌握一元一次方程解法的基础上，进一步学习如何将实际问题抽象为数学模型。通过铁丝围长方形问题，探究周长固定时面积与边长关系；通过捐款问题，训练多变量关系的转化能力；通过工程合作问题，理解工作效率与时间的关系。这些内容不仅强化方程的应用意识，还为后续学习二元一次方程组、分式方程及函数建模奠定基础。 二、目标和目标解析 1. 目标 (1) 能根据实际问题中的数量关系，合理设元并建立一元一次方程模型。 (2) 经历分析、抽象、验证的完整过程，提升数学建模能力和逻辑推理能力。 (3) 在合作探究中体会方程思想的普适性，增强应用意识与创新意识。 2. 目标解析 通过本节课的学习，学生需从具体问题中抽象出等量关系，选择恰当的未知量设元，体会直接设元与间接设元的区别，形成“问题→模型→求解→检验”的思维链条。在解决工程效率、比例分配等复杂问题时，发展分析能力和迁移能力，为后续学习积累经验。 三、教学问题诊断分析 1. 间接设元困难：学生习惯直接设所求量为未知数，但如“长方形面积” “工程报酬”等问题需间接设元，易产生混淆。 1. 等量关系提取不全：涉及多变量的问题（如捐款问题中三个年级的关系），学生易遗漏隐含条件。 1. 单位与实际意义忽略：解方程后忽略验证结果是否符合实际情境（如边长非负、时间合理性等）。 四、教学过程设计 （一）情景引入 问题1 用一根长60 cm的铁丝围成一个长方形。 (1) 若宽是长的 ，长和宽各是多少？ (2) 若宽比长少4 cm，面积是多少？ 问题2 新学年某校为灾区捐款，七年级占总数 ，八年级是三个年级的平均数，九年级捐1964元。七、八年级各捐款多少？ 问题3 制作广告牌，师傅独做需4天，徒弟独做需6天。若徒弟先做1天，再合作完成，共得报酬900元，如何按工作量分配？ 设计意图： 通过生活实例（几何、捐款、工程）激发兴趣，引导学生感知方程建模的广泛性，对应目标（1）和（3）。问题层层递进，为后续探究做铺垫。 （二）合作探究1 探究1 铁丝围长方形问题 教师：问题1(2)中能否直接设面积为 ？ 学生：不能，面积与长、宽相关，需先设长或宽。 追问：若设长为 cm，宽如何表示？等量关系是什么？ 学生：宽为 cm，等量关系：长宽 → 。 （三）巩固练习1 1. 习题5.3.1-A组1 · 学校用24 m围栏靠墙建花圃，长比宽多3 m，墙长10 m。求花圃面积。 · 解析：设宽 m，则长 m。分两种情况： · 长靠墙： → ，长=9 m（<10 m，合理），面积=54 m²。 · 宽靠墙： → ，长=10 m（等于墙长），面积=70 m²。 · 知识点：分类讨论、周长约束。 1. 习题5.3.2-B组4(1) · 检修180 m管道，师傅每小时15 m，徒弟每小时10 m，合作需几小时？ · 解析：设合作时间 小时，等量关系： → 小时。 · 知识点：工作效率求和、总量=效率×时间。 （四）合作探究2 探究2 工程报酬问题 教师：问题3中，师傅与徒弟的工作效率如何表示？ 学生：师傅效率 /天，徒弟效率 /天。 追问：徒弟先做1天完成多少？剩余工作量如何分配？ 猜想：剩余工作量由两人合作完成，按完成比例分配报酬。 验证： 徒弟1天完成 ，剩余 。 合作效率：/天 → 合作时间： 天。 徒弟总工作量：；师傅工作量：。 报酬各得450元。 探究3 一般化证明 若甲效率 ，乙效率 ，乙先做 天后合作，总报酬 元。 乙完成 ，剩余 。 合作时间 ， 报酬分配按工作量比例计算。 设计意图： 通过效率计算和合作时间推导，强化对分式运算和比例关系的理解，提升逻辑推理能力（目标（2））。动态验证增强直观性，突破工程问题难点。 （五）典例分析 例1 年级捐款问题（问题2） 分析：设三个年级总捐款 元。 七年级：；八年级：（平均数即总和的三分之一）；九年级：1964元。 等量关系：。 解： 。 七年级： 元；八年级： 元。 设计意图： 训练多变量关系的转化能力，掌握设总数为未知数的技巧，对应目标（1）。强调验证：，确保结果正确。 （六）巩固练习 1. 习题5.3.2-A组3 · 一年期储蓄年利率2.25%，本利和20450元，求本金。 · 解：设本金 元， → 。 · 知识点：本利和=本金×(1+利率)。 1. 习题5.3.3-A组2 · 旅客托运35kg行李，行李费按超重部分1.5%票价收，总付1323元，求机票价。 · 解：设机票价 元， → 。 · 知识点：分段计费、百分比应用。 1. 习题5.3.3-B组5(1) · 小亮与叔叔反向跑，32秒相遇。小亮2圈时叔叔跑3圈，求速度。 · 解：设小亮速度 m/s，则叔叔速度 m/s。 · 反向相遇路程和=400 m： → ，叔叔速度7.5 m/s。 · 知识点：相遇问题、速度比与路程比。 设计意图： 通过利率、行程、计费等综合题型，强化建模能力（目标（1）（2）），提升解决实际问题的灵活性。 （七）归纳总结 问题类型 等量关系 关键步骤 几何问题（长方形） 周长公式、面积公式 分类讨论靠墙情形 比例分配问题 各部分之和=总量 设总量为未知数 工程合作问题 工作量=效率×时间 求效率、分段计算工作量 经济问题 本利和=本金+利息，利润=售价-成本 注意百分比与单位统一 （八）感受中考 1. (2023·江苏) 某商品进价100元，标价150元，按标价八折出售，利润率是（　　） · A. 20%　　B. 25%　　C. 30%　　D. 50% · 答案：A · 解析：售价 元，利润 元，利润率 。 1. (2024·浙江) 甲、乙修路，甲独做10天完成，乙独做15天完成。现合作3天后甲离开，剩余由乙完成，需几天？ · 答案：7.5天 · 解析：合作3天完成 ，剩余 由乙完成需 天。 1. (2022·北京) 圆柱形水池底直径10 m，深4 m。用底直径5 m的圆柱桶运水，需运几次装满？（π取3） · 答案：12次 · 解析：水池容积 ，桶容积 ，次数 。 1. (2023·福建) 学校购课桌椅60套，每套成本 元。售价每套200元，多购优惠：购72套时每套降价6元，利润与购60套相同。求 。 · 答案：170元 · 解析：购60套利润 ；购72套利润 。 · 等量关系： → 。 设计意图：在学习完知识后加入中考真题练习，不仅可以帮助学生明确考试方向，熟悉考试题型，检验学习成果，提升应考能力，还可以提升学生的学习兴趣和动力。 （九）小结梳理 核心思想 方法要点 应用场景 数学建模 从实际中提取等量关系 几何、经济、工程问题 间接设元 设辅助未知数简化方程 多变量比例问题 结果验证 检验解是否符合实际意义 边长非负、时间合理等 （十）布置作业 必做题： 1. 习题5.3.1-A组1（花圃问题）。 1. 习题5.3.2-A组3（储蓄本金问题）。 1. 习题5.3.3-A组2（行李费问题）。 选做题： 1. 习题5.3.3-B组5(2)（同向追及问题）：小亮与叔叔同向跑，预测相遇时间。 · 提示：速度差为 m/s，路程差400 m，时间 秒。 五、教学反思 （课后填写） 学科网（北京）股份有限公司 $$