第11章 第2节 二项式定理-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案全书word（基础版）

第二节　二项式定理 课标解读 考向预测 能用多项式运算法则和计数原理证明二项式定理，会用二项式定理解决与二项展开式有关的简单问题． 近几年的高考中考查了二项展开式的通项的应用、二项式定理的正用和逆用、二项式系数的性质与各项系数的和．预计2026年高考可能会以二项式、三项式或两因式乘积的形式呈现，考查特定项或特定项的系数，难度中档. 必备知识—强基础 1．二项式定理 (1)二项式定理：(a＋b)n＝Can＋Can－1b＋…＋Can－kbk＋…＋Cbn(n∈N*)； (2)通项：Tk＋1＝Can－kbk，它表示第k＋1项； (3)二项式系数：二项展开式中各项的系数C，C，…，C. 2．二项式系数的性质 (1)对称性：与首末两端“等距离”的两个二项式系数相等． (2)增减性与最大值：当n是偶数时，中间的一项C取得最大值；当n是奇数时，中间的两项C与C相等，且同时取得最大值． 3．各二项式系数和 (1)(a＋b)n展开式的各二项式系数和：C＋C＋C＋…＋C＝2n． (2)奇数项的二项式系数的和等于偶数项的二项式系数的和，即C＋C＋C＋…＝C＋C＋C＋…＝2n－1． (a＋b)n的展开式形式上的特点： (1)项数为n＋1. (2)各项的次数都等于二项式的幂指数n，即a与b的指数的和为n. (3)字母a按降幂排列，从第一项开始，次数由n逐项减1直到零；字母b按升幂排列，从第一项起，次数由零逐项增1直到n. 题组一　走出误区——判一判 (1)Can－kbk是(a＋b)n的展开式中的第k项．(　　) (2)二项展开式中，系数最大的项为中间一项或中间两项．(　　) (3)(a＋b)n的展开式中，某项的系数与该项的二项式系数一定不同．(　　) (4)(a＋b)n的展开式中每一项的二项式系数与a，b的值无关．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)√ 题组二　回归教材——练一练 (1)(人教A选择性必修第三册6.3.1练习T4改编)(x－1)12的展开式的第6项的系数是(　　) A．C B．－C C．C D．－C 答案：D 解析：T6＝Cx5(－1)5，所以第6项的系数是－C. (2)(人教B选择性必修第二册习题3－3A T2改编)的展开式中，x2的系数为(　　) A．－45 B．－10 C．10 D．45 答案：D 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C·(－)k＝(－1)kCx，令k－10＝2，解得k＝8，所以x2的系数为(－1)8C＝45. (3)(人教A选择性必修第三册习题6.3 T8改编)已知(1＋x)n的展开式中第4项与第8项的二项式系数相等，那么此展开式中二项式系数最大的项为(　　) A．252x3 B．210x4 C．252x5 D．210x6 答案：C 解析：由题意可得，(1＋x)n的展开式的通项为Tk＋1＝Cxk，且有C＝C，因此n＝10.故二项式系数最大的项为Cx5＝252x5.故选C. (4)(人教B选择性必修第二册第三章复习题C组T3改编)已知C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝243，则C＋C＋C＋…＋C＝(　　) A．31 B．32 C．15 D．16 答案：A 解析：逆用二项式定理得C＋2C＋22C＋23C＋…＋2nC＝(1＋2)n＝243，即3n＝35，所以n＝5，所以C＋C＋C＋…＋C＝25－1＝31. (5)(人教A选择性必修第三册复习参考题6 T5(5)改编)(x2＋2x－y)5的展开式中x5y2的系数为________． 答案：60 解析：多项式(x2＋2x－y)5的展开式的通项为Tr＋1＝C(x2＋2x)5－r(－y)r，令r＝2，可得T3＝C(x2＋2x)3(－y)2，又(x2＋2x)3的展开式的通项为T′k＋1＝C(x2)3－k(2x)k＝2kCx6－k，当k＝1时，可得T′2＝21Cx5，所以展开式中x5y2的系数为C×2×C＝60. 考点探究—提素养 　二项展开式的通项及其应用(多考向探究) 考向1　求二项展开式中的特定项(或系数) (1)(2024·天津高考)在的展开式中，常数项为________． 答案：20 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C＝36－2kCx6(k－3)，k＝0，1，…，6，令6(k－3)＝0，可得k＝3，所以常数项为30C＝20. (2)在的展开式中，x2的系数是________． 答案：60 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x3)6－k＝(－1)k26－kCx18－4k，令18－4k＝2，解得k＝4，所以x2的系数为(－1)4×22×C＝60. 　求二项展开式中特定项的步骤 　1.(1＋2x)2＋(1＋2x)3＋…＋(1＋2x)7的展开式中，含x2项的二项式系数为(　　) A．84 B．56 C．35 D．21 答案：B 解析：含x2项的二项式系数为C＋C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＋C＝C＋C＋C＝C＋C＝C＝56. 2．在(＋x)9的展开式中，常数项是________；系数为有理数的项的个数是________． 答案：16　5 解析：由题意，得(＋x)9的通项为Tk＋1＝C()9－kxk(k＝0，1，2，…，9)．当k＝0时，可得常数项为T1＝C()9＝16.若展开式中项的系数为有理数，则k＝1，3，5，7，9，有T2，T4，T6，T8，T10，共5项． 考向2　已知两个因式之积求其特定项(或系数) (1)(2025·湖南益阳模拟)(1－x)6的展开式中x2的系数为(　　) A．－5 B．5 C．15 D．35 答案：A 解析：(1－x)6的展开式的通项为Tk＋1＝C(－x)k＝(－1)kCxk，所以(1－x)6的展开式中x2的系数为1×(－1)2C＋1×(－1)3C＝15－20＝－5. (2)(2022·新高考Ⅰ卷)(x＋y)8的展开式中x2y6的系数为________(用数字作答)． 答案：－28 解析：展开式中含有x2y6的项为1×Cx2y6－Cx3y5＝－28x2y6，所以展开式中x2y6的系数为－28. 　求解形如(a＋b)n(c＋d)m的展开式的特定项(或系数)问题的思路 (1)若n，m中一个比较小，可考虑把它展开，如(a＋b)2(c＋d)m＝(a2＋2ab＋b2)(c＋d)m. (2)观察(a＋b)n(c＋d)m是否可以合并，如(1＋x)5(1－x)7＝[(1＋x)(1－x)]5(1－x)2＝(1－x2)5(1－x)2. (3)利用(a＋b)n，(c＋d)m的通项，综合分析解决问题． 　3.(x3＋2)的展开式中的常数项为(　　) A．80 B．160 C．240 D．320 答案：D 解析：(x3＋2)＝x3·＋2，的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)6－k＝C26－k(－1)k·x6－3k，当6－3k＝－3时，k＝3，当6－3k＝0时，k＝2，则原展开式中的常数项为x3·C23(－1)3x－3＋2C24(－1)2＝－160＋480＝320. 考向3　已知三项式求其特定项(或系数) (1)(2025·河北沧州模拟)在(x－2y＋3z)6的展开式中，xy2z3的系数为(　　) A．6480 B．2160 C．60 D．－2160 答案：A 解析：(x－2y＋3z)6相当于6个因式(x－2y＋3z)相乘，其中一个因式取x，有C种取法，余下5个因式中有2个取－2y，有C种取法，最后3个因式中全部取3z，有C种取法，故(x－2y＋3z)6的展开式中xy2z3的系数为C×1×C×(－2)2×C×33＝6480. (2)(2025·江苏南京模拟)的展开式中的系数为(　　) A．60 B．－60 C．120 D．－120 答案：A 解析：由题意可知，＝的展开式的通项为Tr＋1＝C，r＝0，1，…，6，又的展开式的通项为Tk＋1＝Cx6－r－k＝(－2)kCx6－r－ky－k，令k＝2，6－r－k＝4，解得k＝2，r＝0，所以的系数为C(－2)2C＝60.故选A. 　求三项展开式中特定项(系数)的方法 　4.的展开式中常数项为(　　) A．－61 B．－59 C．－57 D．－55 答案：B 解析：将原式看成6个相同的因式相乘，按x的选取个数分类，得展开式中常数项为C＋CC(－2)＋CC(－2)2＝－59. 5．(2024·山西太原三模)(x－1＋y)5的展开式中xy2的系数为(　　) A．－20 B．20 C．－30 D．30 答案：D 解析：因为(x－1＋y)5的展开式的通项为Tk＋1＝C(x－1)5－kyk，当k＝2时，出现y2，即T2＋1＝C(x－1)3y2，此时(x－1)3中含x的项为Cx(－1)2，所以xy2的系数为CC(－1)2＝30. 　二项式系数和与各项的系数和问题 (1)(多选)在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，则(　　) A．二项式系数和为64 B．各项系数和为64 C．常数项为－135 D．常数项为135 答案：ABD 解析：在的展开式中，各项系数和与二项式系数和之和为128，令x＝1，得各项系数和为2n，二项式系数和为2n，则2×2n＝128，得n＝6，即二项式系数和为64，各项系数和也为64，故A，B正确；的展开式的通项为Tk＋1＝C(3x)6－k＝C(－1)k36－k·x6－k，令6－k＝0，得k＝4，因此展开式中的常数项为T5＝C(－1)4×32＝135，故D正确． (2)(2024·广东江门一模)已知(1＋x)4＋(1＋x)5＋…＋(1＋x)11＝a0＋a1(2＋x)＋a2(2＋x)2＋…＋a11(2＋x)11，则a0＋a2＋a4＋…＋a10的值是(　　) A．680 B．－680 C．1360 D．－1360 答案：B 解析：令x＝－1，则0＝a0＋a1＋a2＋…＋a11，即a0＋a1＋a2＋…＋a11＝0，令x＝－3，则(－2)4＋(－2)5＋…＋(－2)11＝a0－a1＋a2－a3＋…－a11，即a0－a1＋a2－a3＋…－a11＝＝－1360，两式相加可得a0＋a2＋a4＋…＋a10＝－＝－680. 　(1)“赋值法”普遍适用于恒等式，是一种重要的方法．对形如(ax＋b)n，(ax2＋bx＋c)m(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，常用赋值法，只需令x＝1即可；对形如(ax＋by)n(a，b∈R)的式子求其展开式的各项系数之和，只需令x＝y＝1即可． (2)若f(x)＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，则f(x)展开式中各项系数之和为f(1)，奇数项系数之和为a0＋a2＋a4＋…＝，偶数项系数之和为a1＋a3＋a5＋…＝. 　6.在(1－2x)n的展开式中，偶数项的二项式系数之和为128，则展开式的中间项的系数为(　　) A．－960 B．960 C．1120 D．1680 答案：C 解析：根据题意，奇数项的二项式系数之和也应为128，所以在(1－2x)n的展开式中，二项式系数之和为256，即2n＝256，解得n＝8，则(1－2x)8的展开式的中间项为第5项，且T5＝C(－2)4x4＝1120x4，即展开式的中间项的系数为1120.故选C. 7．已知－C(2－x)＋C(2－x)2－C(2－x)3＋…＋C(2－x)100＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100，则a1＋a2＋a3＋…＋a99的值是________． 答案：－2 解析：记f(x)＝1－C(2－x)＋C(2－x)2－C(2－x)3＋…＋C(2－x)100－1＝[1－(2－x)]100－1＝(x－1)100－1，即(x－1)100－1＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a100x100.令x＝1，得a0＋a1＋a2＋…＋a100＝－1.令x＝0，得a0＝0，又易知a100＝1，所以a1＋a2＋a3＋…＋a99＝－2. 　二项展开式中的系数最值问题 若(2＋ax)n(a≠0)的展开式中各项的二项式系数之和为512，且第6项的系数最大，则a的取值范围为________． 答案：[2，3] 解析：2n＝512，n＝9，T6＝C24(ax)5，T5＝C25(ax)4，T7＝C23(ax)6，∵第6项的系数最大，∴则2≤a≤3.故a的取值范围为[2，3]． 　 1．二项式系数最大项的确定方法 当n为偶数时，展开式中第＋1项的二项式系数最大，最大值为C；当n为奇数时，展开式中第项和第项的二项式系数最大，最大值为C或C. 2．二项展开式系数最大项的求法 如求(a＋bx)n(a，b∈R)的展开式系数最大的项，一般是采用待定系数法．设展开式各项系数分别为A1，A2，…，An＋1，且第k项系数最大，应用注意解出k后要检验首末两项． 　8.(多选)下列关于的展开式的说法中正确的是(　　) A．常数项为－160 B．第4项的系数最大 C．第4项的二项式系数最大 D．所有项的系数和为1 答案：ACD 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C(－2x)k＝(－2)kCx2k－6.对于A，令2k－6＝0，解得k＝3，∴常数项为(－2)3C＝－8×20＝－160，A正确；对于B，由通项知，若要系数最大，k的所有可能取值为0，2，4，6，∴T1＝x－6，T3＝4Cx－2＝60x－2，T5＝(－2)4Cx2＝240x2，T7＝(－2)6x6＝64x6，∴第5项的系数最大，B错误；对于C，由n＝6，得第4项的二项式系数最大，C正确；对于D，令x＝1，得所有项的系数和为(1－2)6＝1，D正确．故选ACD. 　二项式定理的综合应用 (1)已知m>0，且152025＋m恰能被14整除，则m的取值可以是(　　) A．1 B．2 C．12 D．13 答案：D 解析：∵152025＋m＝(1＋14)2025＋m＝1＋C141＋C142＋C143＋…＋C142025＋m，∴若152025＋m恰能被14整除，只需要1＋m能被14整除即可，又m>0，∴m的取值可以是13，27等．故选D. (2)1.026的近似值(精确到0.01)为(　　) A．1.12 B．1.13 C．1.14 D．1.20 答案：B 解析：1.026＝(1＋0.02)6＝1＋C×0.02＋C×0.022＋C×0.023＋…＋0.026≈1＋0.12＋0.006≈1.13.故选B. 　二项式定理应用的题型及解法 (1)在证明整除问题或求余数问题时要进行合理的变形，使被除式(数)展开后的每一项都含有除式的因式． (2)二项式定理的一个重要用途是做近似计算：当n不是很大，|x|比较小时，(1＋x)n≈1＋nx. 　9.2424被5除的余数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：由题意可知，2424＝(25－1)24，则其展开式的通项为Tk＋1＝C2524－k(－1)k(k＝0，1，2，…，24)，由通项可得，只有当k＝24时，T25＝C×250×(－1)24＝1不能被5整除，其余项均能被5整除．故2424被5除的余数为1.故选A. 10．估算C0.998＋C0.9982＋C0.9983＋C0.9984＋C0.9985的结果，精确到0.01的近似值为(　　) A．30.84 B．31.84 C．30.40 D．32.16 答案：A 解析：原式＝(1＋0.998)5－1＝(2－0.002)5－1＝C25－C24×0.002＋C23×0.0022－…－C×0.0025－1≈32－0.16－1＝30.84.故选A. 课时作业 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★ 考向 二项展开式的通项及其应用 二项展开式中的系数最值问题 二项展开式的通项及其应用 二项展开式的通项及其应用 二项式定理的综合应用 二项展开式的通项及其应用 二项式定理的应用 二项式系数和与各项的系数和问题 二项展开式的通项及其应用 二项式系数和与各项的系数和问题 考点 求二项展开式中的特定项(或系数) 已知二项式系数最大的项求参数 已知两个因式之积求其特定项(或系数) 已知三项式求其特定项(或系数) 求余数问题 已知二项展开式中的特定项的系数求参数 二项式定理的逆用 求二项式的系数和 求二项展开式中的特定项(或系数) 求二项式系数和、项的系数和 关联点 复数的四则运算 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ ★★★ ★★★ 考向 二项式系数和与各项的系数和问题 二项展开式的通项及其应用 二项式系数和与各项的系数和问题 二项展开式中的系数最值问题 二项式系数和与各项的系数和问题 二项展开式的通项及其应用 二项式定理的应用 二项展开式的通项及其应用 二项展开式的通项及其应用 杨辉三角 考点 求项的系数和 求二项展开式中的特定项(或系数) 求项的系数和 求二项式系数最大的项、系数最大的项 求二项式的系数和 求二项展开式中的特定项(或系数) 二项式定理的逆用 已知三项式求其特定项(或系数) 已知三项式求其特定项(或系数) 关联点 组合数的性质 基本不等式 数学文化 一、单项选择题 1.的展开式中x的系数为(　　) A．－80 B．－40 C．40 D．80 答案：D 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)5－k＝(－1)k25－kCx5－2k，令5－2k＝1，得k＝2，所以的展开式中x的系数为(－1)2×25－2×C＝80.故选D. 2．(2025·广东汕头模拟)(3＋2x)n的展开式中只有第4项的二项式系数最大，则n的值为(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 答案：C 解析：因为只有一项的二项式系数最大，所以n为偶数，故＋1＝4，得n＝6. 3．(2025·山西长治模拟)(x＋2y)(x－y)5的展开式中x3y3的系数是(　　) A．－10 B．0 C．10 D．30 答案：C 解析：依题意可知，含x3y3的是x×C×x2×(－y)3＋2y×C×x3×(－y)2＝－10x3y3＋20x3y3＝10x3y3，所以x3y3的系数是10.故选C. 4.的展开式中，x3的系数为(　　) A．5 B．－5 C．15 D．－15 答案：B 解析：＝(1＋x－1－x)5，(1＋x－1－x)5表示5个(1＋x－1－x)相乘，展开式中出现x3有两种情况，第一种是(1＋x－1－x)5中选出3个－x和2个1，第二种是(1＋x－1－x)5中选出4个－x和1个x－1，所以展开式中含有x3的项为C(－x)3×12＋C(－x)4×(x－1)1＝－10x3＋5x3＝－5x3，所以x3的系数为－5. 5．(2025·山东聊城模拟)设6299＝7n＋r，其中n∈N*，且0≤r<7，则r＝(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：D 解析：6299＝(63－1)99＝C6399(－1)0＋C6398·(－1)1＋…＋C631(－1)98＋C630(－1)99，在展开式中，只有C630(－1)99＝－1不能被7整除，故6299＝7n－1＝7(n－1)＋6，其中n∈N*，故r＝6. 6．(2025·贵州贵阳模拟)若的展开式的二项式系数和为32，且x－2的系数为80，则实数a的值为(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－2 答案：D 解析：因为的展开式的二项式系数和为32，所以C＋C＋C＋…＋C＝2n＝32，解得n＝5，所以展开式的通项为Tk＋1＝C()5－k＝C(－a)kx，令＝－2，解得k＝3.故C(－a)3＝80，所以a＝－2.故选D. 7．设复数x＝(i是虚数单位)，则Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2025＝(　　) A．0 B．－2 C．－1＋i D．－1－i 答案：C 解析：因为x＝＝＝－1＋i，所以Cx＋Cx2＋Cx3＋…＋Cx2025＝(1＋x)2025－1＝i2025－1＝－1＋i. 8．已知在(2x－1)n的展开式中，奇次项系数的和比偶次项系数的和小38，则C＋C＋C＋…＋C的值为(　　) A．256 B．255 C．128 D．127 答案：B 解析：设(2x－1)n＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋anxn，且奇次项系数的和为A，偶次项系数的和为B，则A＝a1＋a3＋a5＋a7＋…，B＝a0＋a2＋a4＋a6＋….由已知得，B－A＝38，令x＝－1，得a0－a1＋a2－a3＋…＋an(－1)n＝(－3)n，即(a0＋a2＋a4＋a6＋…)－(a1＋a3＋a5＋a7＋…)＝(－3)n，即B－A＝(－3)n，∴(－3)n＝(－3)8，∴n＝8，由二项式系数的性质可得C＋C＋C＋…＋C＝2n－C＝28－1＝255.故选B. 二、多项选择题 9．在的展开式中，有(　　) A．含x的项 B．含的项 C．含x4的项 D．含的项 答案：ABC 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C35－k(－2)kx10－3k，k＝0，1，2，3，4，5，结合所给的选项，知A，B，C的项都含有． 10．已知的展开式中共有8项，则下列说法正确的是(　　) A．所有项的二项式系数和为128 B．所有项的系数和为1 C．第4项和第5项的二项式系数最大 D．有理项共3项 答案：ABC 解析：由题知n＝7，则展开式的通项为Tk＋1＝C(2x)7－k＝(－1)k27－kCx7－，所有项的二项式系数和为27＝128，A正确；令x＝1，得所有项的系数和为(2－1)7＝1，B正确；对于二项式系数C，显然第4，5项对应的二项式系数C＝C最大，C正确；当7－∈Z时为有理项，即k＝0，2，4，6，共4项，D错误．故选ABC. 11．若(1－2x)2025＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a2025x2025，则下列结论正确的是(　　) A．a0＋a1＋a2＋…＋a2025＝－1 B．a0＋a2＋a4＋…＋a2024＝ C.＋＋…＋＝0 D．a1＋2a2＋3a3＋…＋2025a2025＝－4050 答案：ABD 解析：令x＝1可得a0＋a1＋a2＋…＋a2025＝(－1)2025＝－1　①，故A正确；令x＝－1可得a0－a1＋a2－a3＋…－a2025＝32025　②，①＋②可得2(a0＋a2＋a4＋…＋a2024)＝32025－1，故a0＋a2＋a4＋…＋a2024＝，故B正确；令x＝0可得a0＝12025＝1　③，令x＝可得a0＋＋＋…＋＝0　④，把③代入④，可得＋＋…＋＝－1，故C错误；两边对x求导得－4050(1－2x)2024＝a1＋2a2x＋3a3x2＋…＋2025a2025x2024.令x＝1可得a1＋2a2＋3a3＋…＋2025a2025＝－4050，故D正确．故选ABD. 三、填空题 12.的展开式中的常数项为________． 答案：15 解析：的展开式的通项为Tk＋1＝C()5－k＝C3kx，令＝0，得k＝1，所以的展开式中的常数项为C×3＝15. 13．(2025·重庆南开中学高三期末)若(3x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5，则a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝__________． 答案：240 解析：对(3x－1)5＝a0＋a1x＋a2x2＋a3x3＋a4x4＋a5x5两边同时求导，得15(3x－1)4＝a1＋2a2x＋3a3x2＋4a4x3＋5a5x4，令x＝1，得a1＋2a2＋3a3＋4a4＋5a5＝15×24＝240. 14．(1＋2x)n的展开式中第6项与第7项的系数相等，则展开式中二项式系数最大的项为________，系数最大的项为________． 答案：1120x4　1792x5和1792x6 解析：T6＝C(2x)5，T7＝C(2x)6，依题意有C×25＝C×26，得n＝8，∴在(1＋2x)8的展开式中，二项式系数最大的项为T5＝C(2x)4＝1120x4，设第k＋1项系数最大，则有 解得5≤k≤6.又k∈N*，∴k＝5或k＝6，∴系数最大的项为T6＝1792x5，T7＝1792x6. 15．(多选)(2025·山东济南模拟)下列等式中正确的是(　　) A.C＝28 B.C＝C C. ＝1－ D. (C)2＝C 答案：BCD 解析：对于A，因为(1＋x)8＝C＋Cx＋Cx2＋…＋Cx8，令x＝1，得28＝1＋C＋C＋…＋C＝1＋C，则C＝28－1，故A错误；对于B，因为C＋C＝C，所以C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋C＋…＋C＝C＋C＋…＋C＝…＝C＋C＝C，故B正确；对于C，因为－＝＝＝，所以 ＝ ＝－＋－＋…＋－＝1－，故C正确；对于D，(1＋x)16＝(1＋x)8(1＋x)8，对于(1＋x)16，其中x8的系数为C，对于(1＋x)8(1＋x)8，要得到x8，则先从第一个式子取出k(0≤k≤8，k∈N)个x，再从第二个式子取出8－k个x，然后相乘，得到x8的系数为CC＝ (C)2，所以 (C)2＝C，故D正确．故选BCD. 16．(多选)(2025·江西南昌高三模拟)已知二项式(其中a∈R)的展开式中存在常数项，且展开式的项数不超过9，则下列说法正确的是(　　) A．n的所有取值组成的集合中有且仅有3个元素 B．若当n取最大值时常数项为30，则a＝± C．若当n取最小值时函数f(x)＝的图象在点(1，f(1))处的切线与x轴平行，则a＝ D．若二项展开式中的所有项的系数和为0，则a＝－1 答案：BCD 解析：二项式的展开式的通项为Tk＋1＝C(ax2)n－k＝an－kCx2n－3k(0≤k≤n且k∈N)，因为展开式的项数不超过9，所以n＋1≤9，所以1≤n≤8，因为展开式中存在常数项，所以2n－3k＝0有解，即k＝有解，所以n能被3整除，因此n＝3或n＝6.对于A，显然n的所有取值组成的集合中有且仅有2个元素，故A错误．对于B，当n取最大值时，n＝6，此时k＝4，故a2C＝15a2＝30，解得a＝±，故B正确．对于C，当n取最小值时，n＝3，此时f(x)＝，则f(1)＝(a＋1)3，f′(x)＝3，由f′(1)＝3(a＋1)2(2a－1)＝0，解得a＝－1或a＝.当a＝－1时，f(x)＝，则f(1)＝0，则函数f(x)＝的图象在点(1，f(1))处的切线与x轴重合，不符合题意；当a＝时，f(x)＝，则f(1)＝，所以函数在点(1，f(1))处的切线为直线y＝，符合题意．综上，a＝，故C正确．对于D，对于，令x＝1，则(a＋1)n＝0，解得a＝－1，故D正确．故选BCD. 17．(多选)(2025·江西名校联合测评)为引导游客领略传统数学研究的精彩并传播中国传统文化，某景点推出了“解数学题获取名胜古迹入场码”的活动．活动规则如下：如图所示，将杨辉三角第p行第q个数记为ap，q(p，q∈N*)，并从左腰上的各数出发，引一组平行的斜线，记第n条斜线上所有数字之和为Sn(S1＝S2＝1，S3＝2)，入场码由两段数字组成，前段的数字是a4，i104－i的值，后段的数字是S2026－Si的值，则(　　) A．a2026，2＝2026 B.a4，i104－i＝1331 C．S9＝34 D．该景点的入场码为13311 答案：BCD 解析：由题意得ap，q＝C，对于A，a2026，2即为第2026行第2个数，则a2026，2＝C＝2025，故A错误；对于B，因为a4，1＝C，a4，2＝C，a4，3＝C，a4，4＝C，所以a4，i104－i＝C×103＋C×102＋C×101＋C×100＝(10＋1)3＝1331，故B正确；对于C，S1＝S2＝1，S3＝2，S4＝3，S5＝5，…，归纳可得Sn＋2－Sn＋1＝Sn，即Sn＋2＝Sn＋1＋Sn，所以S6＝S5＋S4＝5＋3＝8，S7＝S6＋S5＝8＋5＝13，S8＝S7＋S6＝13＋8＝21，S9＝S8＋S7＝21＋13＝34，故C正确；对于D，Si＝S3－S2＋S4－S3＋S5－S4＋…＋S2026－S2025＝S2026－S2，故S2026－Si＝1，所以该景点的入场码为13311，故D正确．故选BCD. 18．若(x2－x－3)5＝a0＋a1x＋a2x2＋…＋a10x10，则a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝________． 答案：－46 解析：由题意，(x2－x－3)5中含x的项为C(－x)1(－3)4＝－405x；含x2的项为C(－x)2(－3)3＋C(x2)1(－3)4＝135x2；含x3的项为C(x2)1C(－x)1(－3)3＋C(－x)3(－3)2＝450x3；含x4的项为C(x2)2(－3)3＋C(x2)1C(－x)2(－3)2＋C(－x)4(－3)1＝－15x4；含x5的项为C(x2)2C(－x)1(－3)2＋C(x2)1C(－x)3·(－3)1＋C(－x)5＝－211x5.故a1＋a2＋a3＋a4＋a5＝－405＋135＋450－15－211＝－46. 19．(2025·江西景德镇模拟)若关于x，y的三项式(1＋xcos2θ＋ysin2θ)n的展开式中各项系数之和为64，则n＝________，其中xy的系数的最大值为________． 答案：6　 解析：三项式(1＋xcos2θ＋ysin2θ)n的展开式中各项系数之和为64，则令x＝y＝1，得2n＝64，解得n＝6，所以三项式(1＋xcos2θ＋ysin2θ)n的展开式中xy的系数为Ccos2θ·Csin2θ＝30cos2θsin2θ≤30＝，当且仅当cos2θ＝sin2θ＝时，等号成立，即xy的系数的最大值为. 20．(2024·山西省际名校联考二)杨辉三角在我国南宋数学家杨辉1261年所著的《详解九章算法》一书中被记载，它的开头几行如图所示，它包含了很多有趣的组合数性质，如果将杨辉三角从第1行开始的每一个数C都换成分数，得到的三角形称为“莱布尼茨三角形”，莱布尼茨由它得到了很多定理，甚至影响到了微积分的创立，则“莱布尼茨三角形”第8行第5个数是________；若Sn＝＋＋＋＋…＋＋(n≥3)，则Sn＝________(用含n的代数式作答)． 答案：　－ 解析：由题意知，“莱布尼茨三角形”第8行第5个数为＝.由“莱布尼茨三角形”的特点可知，每个数均等于其“脚下”两个数之和，∵＋＝，＋＝，＋＝，…，＋＝，＋＝，将上述各式相加，得＋＋＋…＋＋＝，∴＋Sn＝，Sn＝－. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$