第7章 第4节 数列求和-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案全书word（基础版）

享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 第四节 数列求和 课标解读 考向预测 数列求和是高考考查的重点知识，预计2026年高考会考 1.熟练掌握等差、等比数列的前 查等差、等比数列的前n项和公式以及其他求和公式， n项和公式， 可能与通项公式相结合，也有可能与函数、方程、不等 2.掌握数列求和的几种常见方法 式等相结合，难度中档。 必备知识一强基础 知识梳理的 数列求和的几种常用方法 1.公式法 (1)等差数列的前n项和公式 ①已知等差数列的第1项和第n项求前n项和S。=: ②已知等差数列的第1项和公差求前n项和Sn=na,十d. (2)等比数列的前n项和公式 当g=1时，Sn=na:当g≠1时， ①已知等比数列的第1项和第n项求前n项和S.=: ②已知等比数列的第1项和公比求前n项和S。=. 2.分组求和法与并项求和法 ()若一个数列是由若干个等差数列或等比数列或可求和的数列组成，则求和时可用分组求 和法，分别求和后相加减。 (2)形如an=(一1)y)类型，常采用两项合并求解.。 3.裂项相消法 把数列的通项拆成两项之差，在求和时中间的一些项可以相互抵消，从而求得其和。 4.错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列和一个等比数列的对应项之积构成的，那么这个数列 的前n项和即可用此法来求，如等比数列的前项和公式就是用此法推导的， 5.倒序相加法 如果一个数列{n}的前n项中与首末两端等“距离”的两项的和相等或等于同一个常数，那 么求这个数列的前n项和即可用倒序相加法求解，如等差数列的前n项和公式就是用此法推 导的. 常用结论的 1.1+2+3+4+…+n=. 2.12+22+…+2= 1 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 3.裂项求和常用的变形 (1)分式型：=， =, =等. (2)指数型：=一，=一 等 (3)根式型：=（一）等. (4)对数型：logm=loga+1一log a,am>0,m>0且m≠1. 诊断自测的 题组一走出误区一判一判 (1)设数列{am}的前n项和为Se,若ae= ，则S=2.() (2=-.() (3)求Sn=a+22+3+十n时只要把上式等号两边同时乘以a即可根据错位相减法求和. () (4)若数列a1,a2一a1,…,am一an-1是首项为1，公比为3的等比数列，则数列{a的通项公 式是a=() 答案：(1)×(2)×(3)×(4)√ 题组二回归教材—练一练 (1)(人教A选择性必修第二册4.4练习T2改编)数列{a}的前n项和为S,若a.=，则S,=( A.1 B. C. 0: 答案：B 解析：，an==-,,∴S=a1+a2+…+as=1-+-+…+-=故选B (2)(人教A选择性必修第二册4.4练习T1改编)数列{a}的通项公式为an=(一1)yr(2n一1)，则 该数列的前100项和为( A.-200 B.-100 C.200 D.100 答案：D 解析：S1w=(-1+3)+(-5+7++(-197+199)=2×50=100.故选D. (3)(人教A选择性必修第二册习题4.3T3改编)若数列{a}的通项公式为aw=2+2n一1，则数 列{an}的前n项和为( A.2"+n2-1 B.2"+1+m2-1 2 夏学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 C.2+1+m2-2 D.2"+n-2 答案：C 解析：a1+a2+a+…+an=(2+2×1-1)+(22+2X2-1)+(23+2×3-1)+…+(2"+2n-1) =(2+22+…+2"+2(1+2+3+…+n)-n=+2×-n=2(2"-1)+m2+n-n=2m+1+-2故 选C. (4)(人教A选择性必修第二册复习参考题4T11改编)已知数列{c}的通项公式为cm=(2n I)3",则数列{c}的前n项和Sn= 答案：3十（一1）×3+ 解析：因为Sn=1×3+3×32+5×33+…+(2n-1)×3",所以3S=1×32+3×33+5×3 +…+(2n-1)×3"',则-2Sn=1×3+2×32+2X33+…+2×3"-(2n-1)×3m*l=2X3+ 2×32+2×33+…+2×3m-3-(2n-1)×3"*1=2×(3+32+33+…+3)-3-(2n-1)×30+1= 2×-3-(2n-1)×3m+1=3×(3"-1)-3-(2n-1)×30+1=3m+1-3-3-(2n-1)X3+1=-6- 2(n-1)×3*,所以Sn=3+(n-1)×3+ 考点探究一提素养 考点Θ 分组求和 圆1已知等比数列{a}的前n项和为S,其公比9≠-1，=，且S=a+93. (1)求数列{a}的通项公式： (2)已知bn=\f(1,3求数列{bm}的前n项和Tm 解：(1)因为{a}是等比数列，公比g≠-1， 则a4=ag,as=a1g，a=a1g,as=a1g, 所以===， 解得q=3, 由S4=a+93,可得=9a1+93, 解得a1=3, 所以数列{an}的通项公式为a.=3” (2)由(1)得b.= 当n为偶数时，Tm=b1+b2+…+bn=(b1+b3+…+b.-)+(b2+b+…+b)=-(1+3+…+n -1)+(32+3+…+3 =-+=(3”-1)-; 当n为奇数时，Tn=Tn+1-bw+1=(3+1-1)-·31=X3”+1-·, 综上所述 3 享学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 Ta= 【通性通法】 分组求和的常见类型 求 la a=b士c.,b.l,lc.l为等差或等比数列 的 项和 b,n为奇数， b,l,{c1为等差 分组求和 1c.,n为偶数， 或等比数列 【巩固迁移】1.(2024东北三省高三二模)已知数列{a,}的前n项和为S,且，≥3，S,一n= (a-1(an+1). (1)求数列{a}的通项公式： (2)求数列{a.十2”n}的前n项和T 解：(1)因为S。-n=(a。-1)(a.+1), 即4Sn-4n=a-1, 当n=1时，4S,-4=a-1, 解得a1=3或a1=1(舍去)， 当n≥2时，4Sm-1-4(n-1)=a-1, 所以4Sn-4n-4Sn1+4(m-1)=a-1-a+1, 即4an-4=a-a, 即a-4an+4=a,即(an-2)}2=a, 又am≥3，所以aa-2=aa, 即aa-an-1=2, 所以{an}是以3为首项，2为公差的等差数列，所以an=2n+1. (2)由(1)问得an+2n=2n+1+221=21+1+2×4", 所以Tn=3+2×4+5+2×42+…+2n+1+2×4=(3+5+…+2n+1)+(2×4+2×42+… +2×4)=+=n2+2n+. 考点● 并项求和 例2在等差数列{a}中，已知a。=12,as=36, (I)求数列{a}的通项公式： (2)若bnm=(一1Pa,求数列{b.}的前n项和S. 解：(1)由题意，设等差数列{am}的公差为d, 则解得 ∴.aa=2+(n-1)X2=2n. 4 夏学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (2)由(1)，得bn=(-1y°4n=(-1y2n, (i)当n为偶数时，S=b1+b2+…+bn=-2+4-6+8-…+(-1)y2n=(-2+4)+(-6+8) +…+[-2(n-1)+2n=×2=n; (i)当n为奇数时，n+1为偶数， Sn=S+1-bw+1=n+1-2(n+l)=-n-1. S= 【通性通法】 并项求和的定义、适用条件及注意事项 定义 一个数列的前n项和中，可两两或几个相结合求解，则称之为并项求和 适用条件 an=(-1))类型或周期型数列可采用并项求和法 注意 一般对n分奇偶进行讨论，结果一般用分段形式表示 【巩固迁移丁2.(2024浙江台州中学质检)已知数列{a}满足a1+2a十…十ma,=2,数列b,} 满足对任意正整数m≥2均有bm-1十bm十bm+1=成立. (I)求数列{a}的通项公式： (2)求数列{b}的前99项和 解：(1)因为a1+2a2+…+nan=2n, 所以当n≥2时，a1+2a2+…+(n-1)am-1=2(n-1): 两式相减，得na.=2,所以am=(n≥2). 又当n=1时，a1=2,也符合上式，所以an=. (2)由(1)知=. 因为对任意的正整数m≥2， 均有bn-1+bm+bm+1==, 故数列{bn}的前99项和b1+b2+b+b+bs+bs+…+b,+bg+bg=(b,+b2+b)+(b+b+ b6)+…+(b7+b%+bg)=++…+=++…+==825. 考点目 裂项相消法求和 例3已知数列{a}的前n项和为S,且=， (1)证明：数列{aw}是等差数列： (2)若a2十1，+1，as成等比数列.从下面三个条件中选择一个，求数列{b}的前n项和Tnm ①bn=；②bn=: ③b.= 注：如果选择多个条件分别解答，按第一个解答计分。 解：(1)证明：因为=， 即n(a.+1)=2Sn, 5 夏学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 当n=1时，a1+1=2S,解得a1=1, 当n≥2时，(n-1(am-1+1)=2S.- 所以n(an+1)-(n-1(am-1+1)=2Sn-2Sn-, 即n(a.+1)-(n-1)(an1+1)=2an 所以(n-2)aw-(n-1)aw-1+1=0, 当n=2时，上述式子恒成立， 当>2时，两边同除以(n-2)(n~1)并整理，得 -=-=-, 即-=-， 所以为常数列，即=a2~1, 所以an-1=(n-1(a2-1), 即a。=(n-1)a2-1)+1, 当n=1时，也适合上式， 所以a+1-am=(a2-1)+1-(n-1(a2-1)-1=a2-1, 所以数列{an}是以1为首项，a,-1为公差的等差数列. (2)设等差数列{am}的公差为d. 因为a2+1,a+1,a成等比数列， 所以(a+1)2=as(a2+1), 即2+2d0=(1+4d02+d, 解得d=2,所以am=2n-1. 若选①bn=, 则bn==, 所以T==. 若选②bn=, 则b= = =(-) 所以Tm=(-+-+…+-)=(-1). 若选③bn=, 则bn==-,所以Tn=-+-+…+·=- 【通性通法】利用裂项相消法求和的注意事项 6 夏学科网书城国 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 (1)抵消后并不一定只剩下第一项和最后一项，也有可能前面剩两项，后面也剩两项；或者 前面剩几项，后面也剩几项， (2)将通项裂项后，有时需要调整前面的系数，使裂开的两项之差和系数之积与原通项相等， 如：若{an}是公差为dd≠0)的等差数列，则=，= 【巩固迁移】3.2025山东德州高三开学考试)已知数列{a的前n项和为S,满足6S,=(3n +2)an十2 (I)求数列{a}的通项公式： (2)若bn=,求数列{bw}的前100项和T 解：(1)因为6Sn=(3n+2)am+2,当n=1时，6S,=6a1=5a1+2,所以a1=2, 当n≥2时，6Sn.1=(3n-1)an-1+2, 所以6Sn-6Sn-1=6an=(3n+2)a。-(3n-1)aa-1, 所以=，=，…，=，=， 累乘得…=XX…XX, 所以an=3n-1(n≥2)， 当n=1时，a1=2也成立，所以a=3n-1. (2)由(1)得b= ==(-1), 所以Tm=+·-+…++。-=-=, 考点四 错位相减法求和 圆4(2024全国甲卷)记S,为数列{a}的前n项和，已知4S,=3a,+4 (1)求{a}的通项公式 (2)设bn=(一1ynan,求数列{bn}的前n项和T 解：(1)当n=1时，4S1=4a1=3a1+4, 解得a1=4. 当n≥2时，有4S.1=3a。.1+4, 所以4Sn-4Sn-1=4am=3am-3awe-1 即an=-3an-1,而a=4≠0，故am≠0， 故=-3， 所以数列{a}是以4为首项，-3为公比的等比数列， 所以a。=4×(-3y-1 (2)由(1)可得bn=(-1y1×n×4×(-3y1=4n×3, 享学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 所以T=b1+b2+b+…+bn=4×3°+8×3+12×32+…+4n3”, 故3T.=4×3+8×32+12×33+…+4nX3", 两式相减，得-2T=4+4×3+4×32+…+4×3"1-4n×3 =4+4×-4n×3 =4+2×3×(3m1-1)-4n×3 =(2-4n)×3-2, 所以T。=(2n-1)×3”+1. 【通性通法】 1。错位相减法求和的适用条件 若{a}是公差为d(d≠0)的等差数列，{b}是公比为g(g≠1)的等比数列，求数列{abn}的前n 项和S 2.错位相减法求和的步骤 展开 S=a1b+a2·b2+…+nw-t·bn- +a.·bD 第二步 乘公 gS=u1*b+a3·b3++·+a.-1·bn 比 +an·b1② <第三 错位相减 ①-2，得(1-gS=a1·b +d6+b+…+ban·b 第四 a1…b1+db+b+…+b)-a.b… 和 1-g 3.错位相减法求和的注意事项 注意 在写出S与gS的表达式时，应特别注意将两式“错位对齐”，以便下一步准确写 点 出S。-9S,特别是等比数列公比为负数的情形 注意 等式右边由第一项、中间n·1项的和式、最后一项三部分组成 点二 注意 经常把b2+b+…+bn这n-1项和看成n项和，把-ab.+写成+anb.+1导致错误 点三 【巩固迁移】4(2025江苏淮安、连云港高三第一次调研)已知等比数列{，}为递增数列，其 前n项和为Sn,a2=4,S3=14. (I)求数列{a}的通项公式： (2)求1×an+3×am-1+5×aa-2+…+(2n-1)Xa. 解：(1)设等比数列{a}的公比为q 8 夏学科网书城画 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 由2=4，S3=14,得+4+4g=14, 解得q=2或q=, 当q=2时，a1=2<a2i当g=时，a1=8>a2, 由于{an}为递增数列，因此a1=2,q=2, 所以数列{a}的通项公式为a.=2×2"1=2 (2)令Tn=1×an+3Xan1+5Xaa-2+…+(2n-1)Xa, 由(1)知，an=2", 则T.=1×2"+3×2-1+5×2-2+…+(2n-1)X2, 于是=1×2-1+3×202+5×23+…+(2n-1)X1, 两式相减，得=2+2(21+2"-2+23+…+2-(2n-1)=2"+2×-(2n-1)=2+(2*1-4) -(2n-1)=3×2”-(2n+3), 所以Tn=3×2"+1-(4n+6). 考点面 倒序相加法求和 圆5已知数列{a,{b.}满足a=,2a+1一a.=16a+1a,b.=一16， (1)证明{b}为等比数列，并求{b}的通项公式： (2)求ab+ab2+ab3+…+ab. 解：(1)由2a+1~an=16an+1a,可得=-16， 于是-16=2，即b.1=2b, 而b1=-16=2, 所以{b}是首项为2，公比为2的等比数列 所以b.=2×2-1=2” (2)由1)知an=,所以abn=. 因为ab:+as-bs-t=+=+=1, 所以2(ab1+ab2+ab3+…+ab)=(ab1+ab)+(ab2+ab)+…+(ab,+ab)=7, 因此ab1+ab2+ab+…+ab,=. 【通性通法】 倒序相加法的使用策略 将一个数列倒过来排列，当它与原数列相加时，若有规律可循，并且容易求 策略一 和，则这样的数列求和时可用倒序相加法（等差数列前项和公式的推导即用此 方法) 策略二 和对称性有关求和时可用倒序相加，比如函数图象关于点对称，组合数中C=C 【巩固迁移丁 5.已知函数x)对任意的x∈R,都有x)十1一)=1，数列{a}满足a,=O) 十f什f什…十f什I),则数列{a}的通项公式为 9 享学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 答案：an 解析：x)+1-x)=1,∴f+f=1,又an=0)+f+f+…+f+1)①，am=1)+f+f +…+f+f0)②，①+②，得2an=n+1,,∴an=,∴，数列{an}的通项公式为an=, 课时作业 基础题（占比50%）中档题（占比30%） 拔高题（占比20%） 题号 1 2 4 6 7 8 9 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★ 倒 序 裂项 并 裂项 分组 求和 相消 相消 相 并项 分组 项 考向 法求 求和 分组求和 求 法求 加 与并 并项求和 求和 布 和 法 和 项求 求 和 和 d.= betce 周 d= {b} 分式 期 考点 型 col 1)n 根式 a。=(-1r 数 {b,{c为等 型 n)型 为等 )型 差或 列 差或等比数列 等比 数列 题号 10 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 ★★ ★★ ★★ 难度 ★★ ★★ ★ ★ ★★★ ★★ ★ ★ 倒序 错 分组 相加 裂项 错位 并 位 法求 求 相 和： 错位 相消 相减 分组 项 裂项相消法求 分组 和 考向 并项 相诚 法求 法求 求和 求 诚 裂项 和 求和 裂项 求和 法求 布 法 和 和 相消 相消 和 求 法求 法求 和 袋 考点 分式 dn= 指数型；与数 dn= 分式 分式 型 b士cu 列有关的恒成 b.+ce 型 型 (-1r 立问题 n)型 {b} ibai fc. tc. 为等 为等 差或 差或 10