第5章 微专题(5) 三角函数解析式中ω的求法-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案全书word（基础版）

学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 )微专题（五）三角函数解析式中ω的求法 重点解读在三角函数的图象与性质中，求®的值或取值范围是高考命题中的一个热点，由 于其有时涉及三角函数的零点、单调性、奇偶性、对称性、最值等性质的综合应用，所以与 其有关的问题灵活多样，历来是学习的难点，以下举例说明在不同条件下w的求法 类型一根据三角函数的周期性求 y=Asin(@x十p)的最小正周期为T=2xol,解决此类问题的关键在于结合条件弄清周期T=2x 四与所给区间的关系，从而建立不等关系！ 例1(1)2025河北省级联考高三上期末)设函数)=sin(ax+p(o>0),已知@=-2，/ (b)=12,且a-b1的最小值为，则ao=() A.2 B.1 C.12 D.14 答案：C 解析：在正弦函数gx)=six中，g)=一32，g2)=12,则k一x的最小值为π2，又π22元 =14,因为函数x)=sin(am十p)(w0),已知a)=-3)2,b)=12,且1a-b1的最小值为r, 所以πT=14,所以函数fx)的最小正周期为T=4,所以2π0=4π，解得o=12.故选C (2)为了使函数y=snwx(o>0)在区间[0,1]上至少出现50次最大值，则am的最小值为 答案：197x2 解析：由题意，至少出现50次最大值，即至少需用4914个周期，所以1974T=19742πω≤1 ,所以m≥197π2，即m的最小值为197π2 【名师点拨】本例(2)中，结合正弦函数图象，只需在区间[0，]上至少出现avs4acol(49 十14)个周期即可，进而求出ω的最小值. 【对点训练】1.(2025河南安和高三模拟)已知将函数)=-sinlaivs4 alcol(ar+a6w>0) 的图象仅向左平移π4个单位长度和仅向右平移π2个单位长度都能得到同一个函数的图象，则 ®的最小值为() A.43 B.53 C.83 D.163 答案：C 解析：解法一：函数x)=sinalvs4 alcol(eor十红6)o>0)的图象仅向左平移π4个单位长度 得到函数y=sinc blcl(rel6)=sinalvs.4 alco1(ox+Mf(orr6)的图象，函数r)=sin aws4 alcol(ax十π6(a>O)的图象仅向右平移π2个单位长度得到y=sina blelre6=sin alvs4 alcol(ox-f(oπr6的图象，则avs4 alcol0f(oxr6)-aws4acol(-f(o元r6=2kπ (k∈Z,即3wπ4=2kπ(k∈Z),即w=83kk∈ZD,由于o>0,所以当k=1时，w取得最小值 83.故选C 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZxXk.com○ 您身边的互联网+教辅专家 解法二：函数fx)=sinlalvs4acol(aox+fr6)的最小正周期为2πw,依题意有π4十x2=k 2πak∈N),则o=83k∈N,由于w>0,所以当k=1时，w取得最小值83.故选C 类型二根据三角函数的单调性求心 例2(a)2025广东湛江高三模拟)已知函数=sinvs4 acol(am+2o0)在区间 avs4 allcol(f(6上单调递增，则aw的取值范围是() A.[2,5] B.[1,14月 C.[9,10] D.[10,11] 答案：D 解析：当x∈avs4 alcol0f(πr6)时，wx十2x3∈avs4 alcol(f(2πr2r3),,x)在\ alvs4 allcol0f(元r6上单调递增，，.∴f(2r2r2元π2)十2kr(k∈Z),解得a2一14十24h,≤ 一1+12kk∈Z),又o>0, ∴.-14+24≤-1十12k,一1十12k0,)解得112k≤1312，又k∈Z,.k=1,.10≤w≤11， 即ao的取值范围为[10,11].故选D (2)(2025·湖北鄂州鄂南高三模拟)已知函数x)=si(a十p)(ω>0，中∈(0,2r)图象的一条对 称轴为直线x=一x6,且x)在lavs4alco1(π，4π3)上单调，则a的最大值为() A.53 B.2 C.83 D.103 答案：C 解析：函数x)=si(ax十o)(ow>0,中∈(0,2π)》图象的一条对称轴为直线x=一π6，，∴.一xo6 十p=kn十π2k∈Z),∴.中=r十π2十x6k∈Z),x)=sn(r十o)图象的对称轴方程可 以表示为r十所十元2十π06=k2r十π2k1,k∈Z),令k=k2一k,则x=k0一π6(k∈Z,f )在avs4 alcol(π，4元3)上单调，则3k∈Z,使得fk元π6(k+1)元n4π3)，解得67k≤ 0≤23k+1),由67张≤23k十1)，得k≤3，当=3时，w取得最大值，为83.故选C 【名师点拨】已知函教在某区间上的单调性求“时，由所给区间求出整体角的范围，由该范 固是某相应正、余弦函数的某个单调区间的子集列不等式（组）求解， 【对点训练】2.已知函数)=cos4 alcol(or-ya3j(aw>0)在fxr4)上单调递增，且当 x∈f(ππ3)时，)≥0恒成立，则aw的取值范围为 答案：avs4 alcol0,yf43)U8,f172 解析：由已知，函数fx)=coslalvs4 alcol(ox一fa3j(a>0)在fπr4)上单调递增，所以 2k1r一r≤wx-元3≤2kr(%∈ZD,解得2k1π0-2x3o≤x≤2k1π0十x3w(k1∈Z),由于1 fπI4)f2k12x2k1I元3w)k∈ZD,所以f2k1r23wπ2k1rr3w)(k1∈Z),解得 12k-4≤o≤8k十43k∈ZD①，且12k1一4≤8k+43,则k1≤43，k∈Z,又因为当x∈1 fπ下3)时，fx≥0恒成立，所以2kr一π2≤-π3≤2kr+元22∈ZD,解得2k2ro-π6@ 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.ZXXk.c0m○ 您身边的互联网+教辅专家 ≤r≤2k2πw+5π6w(∈Z),由于\fxr3)cf2k2πI2k2π5元6w)点∈Z,所以 f2k2rr6wn22π56w)(k2∈Z),解得8k-23≤o≤6k+52k∈Z)②，且8k2-23 ≤6k+52,则k2≤1912，点∈Z,又因为aw>0,当=k=0时，由①②可知o>0,43252), 解得o∈avs4alco10,f43小：当k==1时，由①②可知o>0,28322172),解得w∈8， 172).所以o的取值范围为avs4alco1(0,43U8,f172) 类型三根据三角函数的对称性求心 (I)关于已知函数y=Asin(or十o)图象的对称性求o的问题，常利用y=sir图象的对称中心为 (kr,0)k∈ZD,令ax十p=kr(k∈ZD),利用y=six图象的对称轴方程为x=kr十x2k∈Z), 令ax十o=π2十kπ(k∈Z,结合已知的对称轴或对称中心求解a@ (2)关于已知函数y=Atan(ax十p)图象的对称性求o的问题，常利用y=anx图象的对称中心为 avs4 al col(f(kπ2)，O(k∈Z)求解co 圆3（①）已知函数)=2sx,函数g)的图象可以由函数)的图象先向右平移x4个单位长 度，再将所得函数图象保持纵坐标不变，横坐标变为原来的1a(o0)得到，若直线x=π8是 函数g)图象的一条对称轴，则@的最小值为() A.3 B.6 C.9 D.15 答案：B 解析：由题意知gx)=2 sinlalvs4 alcol(ox-fπ4，因为直线x=π8是函数g图象的一条 对称轴，则π8a一4=元2十kr,k∈Z,所以o=6十8k,k∈Z,又o>0,所以o的最小值为 6. (2)已知函数fx)=3 tan aivs4 alcol0foxr3)(co>0)图象的两个相邻对称中心之间的距离为π4， 则w= 答案：4 解析：设x)的最小正周期为T,由函数fx)=3 tanalvs4acol(f(aoxr3(o>0)图象的两个相 邻对称中心之间的距离为π4，知T2=π4，T=元2，又T=rw2,所以π2=πd2,则0=4 【名师点拨】 若已知函数的对称性，可将对称轴（对称中心横坐标）代入，建立等量关系，再 根据三角函数的对称性研究其周期性，进而可以求得ω的取值 【对点训练】3(2025-河北邯郸高三调研)已知函数)=sins4 alcol(2axr+a3o>0)的 图象关于点(1,0对称，则m的最小值为 答案：3 解析：因为函数x)=sinlavs4 al col(2or十f3)的图象关于点(1,0)对称，所以sin aws4 alco.12w十fiπ3)=0，则2ω十x3=kr(k∈ZD,故o=kr2-x6k∈Z),又o>0,所以o 的最小值为3 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.2XXk.com● 您身边的互联网+教辅专家 4.(2025·内蒙古呼和浩特高三质量监测)已知函数x)=sinlalvs.4 alcol(ar-π3(ao>0)的图 象在区间[O,r]上有且仅有两条对称轴，则o的取值范围是 答案：f11176 解析：当x∈[0，r]时，ax一x3∈-fπr3)(w>0),依题意可得3π2≤d元一x3<5π2，解得 o∈f(11176,即的取值范围是f11176 类型四根据三角函数的最值（极值）求0 (I)已知函数fx)=2 sinlaws4 alcol(ox+fπ6(co>0)在avs4 alcol(-f(πn3)上恰有一个最大 值点和一个最小值点，则实数的取值范围为() A.83),7) B.alvs4lalcol(f(83),4) C.4,203) D.lalvs4alcol((203),7) 答案：B 解析：因为f)在avs4 alcol(一f(ππ3)上恰有一个最大值点和一个最小值点，所以π3- avs4 al col(-fπ4>T2,所以o>l27.令t=wx+x6,当x∈alvs4 alcol(-fxπ3)时，te\ avs4 al col(-fπrr6,于是fx)=2 sin alvs-4 allcol(ar+y(π6)在alws4 alco1(-fπr3) 上的最值点个数等价于g(0=2sint在alvs4 alcol(-fπrIr6上的最值点个数，由w>127 知，-π4w十x6-11π42，x3w十π6>31x42>x2,因为g(0在aws4 alcol(-f元rr元6上恰 有一个最大值点和一个最小值点，所以一f3πr1π2π1真3重2)，解得83<0≤4，或一 f元rπ63rrr5元2)，此方程组无解.故选B (22025·湖北七市高三联考)已知函数fx)=sinlalvs.4 alcol(ox+fπ3(am0)满足fx)≤f aws4 alcol(f2x3)恒成立，且在区间avs4 alcol(fπ3)，上无最小值，则o= 答案：14 解析：由题意可知，favs4 al col(f2π3)是函数的最大值，则2x3w+x3=π2+2kr,k∈Z, 解得o=14十3k,k∈Z,且在区间1avs4acol0fx3),上无最小值，所以2o≥r-π3，所 以0<w≤3，所以w=14 【名师点拨】若已知三角函数的最值，则利用三角函数的最值与对称轴或周期的关系列出关 于ω的不等式（组），进而求出四的值或取值范围， 【对点训练】5.若函数f)=sinlalvs4alco1(ax+a6(w>0)在aws4 alcol(f(2,上单调， 且在laps4 alcol(0,π3)存在极值点，则的取值范围为 答案：aps4 alcol(1,43) 解析：因为函数x)在lavs4 al.co1(0,/(π3)存在极值点，所以π3o十π6>π2，即ao>1,当x∈1 avs4 al col(fπ2，，wx+π6∈avs4 alcol(f(o元rr6,又fx)在ias4 alcol(f(a2,上 单调，所以alvs4 alcol0f(omrr6 Slalvs4al小colfπ3r2)+kr(k∈D,即 f(mπn2π3r2)+kr,解得23+2k≤0≤43十k,只能取k=0,即23≤o≤43综上可知，1 4 学科网书城 品牌书店·知名教辅·正版资源 b.zxxk.com 您身边的互联网+教辅专家 <w≤43，即w的取值范围为avs4 alcol(1,43) 类型五根据三角函数的零点求仙 研究函数的零点个数等问题时，往往都是采取整体换元的思想，即通过x十的取值情况确 定函数零点的情况，因此可根据函数零点情况来确定ω的值或取值范围. 己知函数fx)=2cos(ax十9(>0,0<中<π)的最小正周期为T,若T)=3,且x)在区间[0， 1]上恰有3个零点，则ω的取值范围是() A.\aws4alicol(f(1723 6) B.f17π23r6 C.avs4 alcol(f7πl0r3) D,f7π10r3) 答案：D 解析：由题意fx)=2cos(x十)(m>0,0<中<r)的最小正周期为T,则T=2πw,又T)=3, 可得cosalvs4 alicol1aof2πo)十p)=3)2,即cos中=3)2，又0<o<r,所以0=π6，fx)=2cos avs4acol(am十π6)在区间[O,1]上恰有3个零点，当x∈[0,1]时，wx+π6∈f元πO, 结合函数y=cosx的图象，如图所示，则y=cosx在原点右侧的零点依次为π2,3π2,5π2,7π2，·， 所以5π2≤w十π6<7π2，解得7π3≤w<10π3，即ao的取值范围为f(7π10r3).故选D 【名师点拨】将函数零点转化成函数与x轴的交点问题，结合图形得出x十p的范围即可求 解。 【对点训练】6(2025湖南岳和高三摸拟)已知函数)=3cos(ax+o(a>0)满足对于任意x∈ R,都有fx)≤nbuercynawvs-4 allcol(y(3》.若函数x)在区间aws4 alcol(f元r2)上有且仅 有一个零点，则aw的最大值为() A.3 B.214 C.154 D.5 答案：A 解析：因为fx)≤fb1ccas4 alcol(fπ3小，则r)在x=π3处取得最值，所以)的图 象关于直线x=π3对称，且x3∈alvs4 allcol(f(πr2),又函数fx)在区间avs4 alcol0f元r2) 上有且仅有一个零点，设x)的最小正周期为T,所以π2一π3≤T4<π3-x8,即π6≤π2w <5π24，所以125<≤3.所以)的最大值为3.故选A