第4章 微专题(2) 两曲线的公切线问题-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案全书word（基础版）

重点解读　两曲线的公切线问题是高考的热点题型之一，相对单一曲线的切线问题，两曲线的公切线问题相对较复杂，解公切线问题应根据两个函数图象在切点处的斜率相等，且切点既在切线上又在曲线上，列出有关切点横坐标的方程组，通过解方程组解决问题．或者分别求出两曲线的切线，利用两切线重合列方程组解决问题． 类型一　求两曲线的公切线 求两曲线的公切线方程，不论切点是否相同，都可转化为求某曲线的切线方程问题． (1)已知函数f(x)＝ln x－ax，g(x)＝－3.若曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在它们的交点(1，c)处有公共切线，则切线方程为____________． 答案：x＋y＋1＝0 解析：因为f′(x)＝－a，g′(x)＝－，所以f′(1)＝1－a，g′(1)＝－b，由曲线y＝f(x)与曲线y＝g(x)在交点(1，c)处有公共切线，得1－a＝－b，又c＝－a＝b－3，即解得故切线方程为y＝－x－1，即x＋y＋1＝0. (2)(2025·江西抚州高三联考)与曲线f(x)＝ex－1和g(x)＝ex－1都相切的直线l的方程为________． 答案：x－y＝0 解析：设直线l：y＝kx＋b与曲线f(x)相切于点P1(x1，y1)，与曲线g(x)相切于点P2(x2，y2)，又f′(x)＝ex－1，g′(x)＝ex，且y1＝ex1－1，y2＝e x2－1.曲线f(x)在点P1(x1，y1)处的切线方程为y－e x1－1＝e x1－1(x－x1)，曲线g(x)在点P2(x2，y2)处的切线方程为y－e x2＋1＝e x2(x－x2)，故 解得x1－x2＝1，e x2(x1－x2)＝1，故x2＝0，x1＝1，故k＝＝＝1，故直线l的方程为y＝x，即x－y＝0. 　解决两曲线的公切线问题的两种方法 (1)利用其中一曲线在某点处的切线与另一曲线相切，列出关系式求解． (2)设公切线l在曲线y＝f(x)上的切点P1(x1，f(x1))，在曲线y＝g(x)上的切点P2(x2，g(x2))，利用f′(x1)＝g′(x2)＝列出关系式求解． 　1.曲线y＝－(x<0)与曲线y＝ln x的公切线的条数为(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：A 解析：设点(x1，y1)是公切线和曲线y＝－(x<0)的切点，则x1<0，切线的斜率k1＝′|x＝x1＝，切线的方程为y＋＝(x－x1)，整理，得y＝·x－.设点(x2，y2)是公切线和曲线y＝ln x的切点，则x2>0，切线的斜率k2＝(ln x)′|x＝x2＝，切线的方程为y－ln x2＝(x－x2)，整理，得y＝·x＋ln x2－1.令消去x2，得－＝ln x－1.设t＝－x1>0，则2ln t－－1＝0，只需探究此方程解的个数．易知函数f(t)＝2ln t－－1在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝－3<0，f(e)＝1－>0，于是f(t)＝0有唯一解，于是两曲线的公切线的条数为1.故选A. 2．(2025·江苏南通高三第一次质量监测)与曲线y＝和曲线y＝－ln x－2都相切的直线的方程为________． 答案：ex＋y＝0 解析：设曲线y＝在点A处的切线与曲线y＝－ln x－2在点B(x1，－ln x1－2)处的切线重合，又′＝－，(－ln x－2)′＝－，故－＝－，即ex0＝x1，x0＝ln x1，在点A处的切线方程为y－＝－(x－x0)，将B(x1，－ln x1－2)代入，得－ln x1－2－＝－(x1－x0)，即－ln x1－2－＝－(x1－ln x1)，所以－(x1＋1)ln x1＝x1＋1，又x1>0，故x1＝，则x0＝ln ＝－1，故所求切线方程为y－e＝－e(x＋1)，即ex＋y＝0. 类型二　切点相同的公切线求参数 若两曲线的公切线有相同的切点，可设出切点坐标，然后利用两曲线在该点处的函数值和切线斜率相同列方程(组)，解方程(组)求参数即可． (2025·广东深圳高三第一次调研)已知曲线f(x)＝x2－m与曲线g(x)＝ln x＋x在公共点处的切线相同，则实数m的值为________． 答案：0 解析：设曲线f(x)与g(x)的公共点为(a，b)(a>0)，则f′(x)＝2x，g′(x)＝＋1，则f′(a)＝2a＝g′(a)＝＋1，解得a＝1或a＝－(舍去)，所以b＝f(a)＝g(a)＝1，即1＝1－m，故m＝0. 　切点相同的公切线求参数的一般步骤 (1)设两曲线f(x)，g(x)的公共切点为P0(x0，y0)； (2)由f′(x0)＝g′(x0)求出x0； (3)由f(x0)＝g(x0)求出参数的值． 　3.(2025·广东佛山高三调研)已知曲线f(x)＝与曲线g(x)＝aln x(a∈R)相交，且在交点处有相同的切线，则a＝________． 答案： 解析：因为曲线f(x)与曲线g(x)相交，且在交点处有相同的切线，所以a>0.设两曲线的交点为P(x0，y0)，又f′(x)＝，g′(x)＝(x>0)，由题意，得两式相除，得2x0＝x0ln x0，因为x0>0，所以ln x0＝2，故x0＝e2，代入＝aln x0，得e＝2a，解得a＝. 类型三　切点不同的公切线求参数 若两曲线的公切线切点不同，要分别设出切点坐标后，利用导数的几何意义解决问题，关键是抓住切线的斜率进行转化和过渡，通常根据曲线、切线、切点的三个关系：①切点处的导数是切线的斜率；②切点在切线上；③切点在曲线上，列方程(组)求解． (1)(2024·新课标Ⅰ卷)若曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线也是曲线y＝ln (x＋1)＋a的切线，则a＝________． 答案：ln 2 解析：设f(x)＝ex＋x，则f′(x)＝ex＋1，f′(0)＝e0＋1＝2，故曲线y＝ex＋x在点(0，1)处的切线方程为y＝2x＋1.设g(x)＝ln (x＋1)＋a，则g′(x)＝，设切线与曲线y＝ln (x＋1)＋a相切的切点为(x0，ln (x0＋1)＋a)，由两曲线有公切线，得＝2，解得x0＝－，则切点为，切线方程为y＝2＋a＋ln ＝2x＋1＋a－ln 2，因为两切线重合，所以a－ln 2＝0，解得a＝ln 2. (2)(2025·福建泉州一中高三适应性测试)若曲线y＝x2与y＝tex(t≠0)恰有两条公切线，则t的取值范围为________． 答案： 解析：设曲线y＝tex的切点为M(m，tem)，曲线y＝x2的切点为N(n，n2)，又(tex)′＝tex，则曲线y＝tex在点M(m，tem)处的切线方程为y－tem＝tem(x－m)，即y＝tem(x－m)＋tem，同理可得，曲线y＝x2在点N(n，n2)处的切线方程为y＝2nx－n2，根据y＝tex与y＝x2恰有两条公切线，得所以tem－mtem＝－，化简，得t＝，则t＝有两个解，构造函数f(x)＝，则f′(x)＝，当x<2时，f′(x)>0，f(x)单调递增；当x>2时，f′(x)<0，f(x)单调递减，故f(x)在x＝2时有极大值也是最大值，故f(2)＝，当x→－∞时，f(x)→－∞，当x→＋∞时，f(x)→0，故t的取值范围为. 　切点不同的公切线求参数的一般步骤 (1)分别设出两曲线的切点P1(x1，y1)，P2(x2，y2)； (2)分别求两曲线的切线方程y1＝h1(x)，y2＝h2(x)； (3)由公切线转化为两切线方程对应项的系数相同，列方程组消元求参数即可． 　4.(2025·广东深圳中学高三模拟)若直线y＝kx＋b与函数y＝ex－1和y＝ex－2的图象都相切，则b＝(　　) A．2 B．ln 2 C．1＋ln 2 D．－2ln 2 答案：D 解析：设两个切点分别为P1(x1，ex1－1)，P2(x2，ex2－2)，又(ex－1)′＝ex－1，(ex－2)′＝ex，故曲线y＝ex－1在点P1处的切线方程为y－e x1－1＝e x1－1(x－x1)，整理，得y＝ex1－1x＋(1－x1)ex1－1，曲线y＝ex－2在点P2处的切线方程为y－(ex2－2)＝ex2(x－x2)，整理，得y＝ex2x＋(1－x2)ex2－2，因为直线y＝kx＋b是两函数图象的公切线，所以 由①，得x1－1＝x2，代入②，得－x2ex2＝(1－x2)e x2－2，整理，得e x2＝2，所以x2＝ln 2，代入②，得b＝(1－ln 2)eln 2－2＝－2ln 2.故选D. 5．(2024·广东茂名高三第一次模拟)若曲线y＝ln x与曲线y＝x2＋2ax有公切线，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：因为(ln x)′＝，(x2＋2ax)′＝2x＋2a，设公切线与曲线y＝ln x，y＝x2＋2ax的切点分别为(x1，ln x1)，(x2，x＋2ax2)，则以这两点为切点的切线方程分别为y＝＋ln x1－1，y＝(2x2＋2a)x－x，则＝2x2＋2a，ln x1－1＝－x，所以2a＝ex－1－2x2，设f(x)＝ex2－1－2x，则f′(x)＝2(xex2－1－1)，f′(1)＝0，令g(x)＝f′(x)＝2(xex2－1－1)，则g′(x)＝2(2x2＋1)e x2－1>0，所以g(x)在R上单调递增，又f′(1)＝0，所以当x<1时，f′(x)<0，当x>1时，f′(x)>0，则f(x)在(－∞，1)上单调递减，在(1，＋∞)上单调递增，所以2a≥f(1)＝－1，解得a≥－.故选B. 5 学科网（北京）股份有限公司 $$