第4章 第1节 导数的概念、几何意义及运算-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案全书word（基础版）

第一节　导数的概念、几何意义及运算 课标解读 考向预测 1.了解导数概念的实际背景，能通过函数图象直观理解导数的几何意义. 2.能根据导数的定义求函数y＝c(c为常数)，y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝，y＝的导数. 3.能利用导数公式和导数的运算法则求简单函数的导数，会求简单复合函数(限于形如f(ax＋b))的导数. 从近三年高考情况来看，本节是高考中的必考内容．预计2026年高考会以客观题的形式考查导数的定义、求曲线的切线方程．导数的几何意义也可能会作为解答题中的一问进行考查，难度中、低档. 必备知识—强基础 1．平均变化率 对于函数y＝f(x)，把比值，即＝叫做函数y＝f(x)从x0到x0＋Δx的平均变化率． 2．瞬时速度 一般地，如果物体的运动规律可以用函数s＝s(t)来描述，那么，物体在时刻t的瞬时速度v就是物体在t到t＋Δt这段时间内，当Δt无限趋近于0时，无限趋近的常数． 3．瞬时变化率 定义式 ＝ 实质 瞬时变化率是当自变量的改变量趋近于0时，平均变化率趋近的值 作用 刻画函数在某一点处变化的快慢 4．导数的概念 一般地，函数y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率是 ＝ ，我们称它为函数y＝f(x)在x＝x0处的导数，记作f′(x0)或y′|x＝x0，即f′(x0)＝ ＝ . 注意：函数y＝f(x)在x＝x0处的导数是y＝f(x)在x＝x0处的瞬时变化率． 5．导函数的概念 如果函数y＝f(x)在开区间(a，b)内的每一点都是可导的，则称f(x)在区间(a，b)内可导．这样，对开区间(a，b)内的每一个值x，都对应一个确定的导数f′(x)，于是在区间(a，b)内f′(x)构成一个新的函数，我们把这个函数称为函数y＝f(x)的导函数(简称导数)，记为f′(x)或y′，即f′(x)＝y′＝． 6．导数的几何意义 函数y＝f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)，就是曲线y＝f(x)在点(x0，f(x0))处的切线的斜率k0，即k0＝f′(x0)． 7．基本初等函数的导数公式 函数 导数 f(x)＝c(c为常数) f′(x)＝0 f(x)＝xα(α∈R，且α≠0) f′(x)＝αxα－1 f(x)＝sinx f′(x)＝cosx f(x)＝cosx f′(x)＝－sinx f(x)＝ax(a>0，且a≠1) f′(x)＝axln a f(x)＝ex f′(x)＝ex f(x)＝logax(a>0，且a≠1) f′(x)＝ f(x)＝ln x f′(x)＝ 8.导数的运算法则 (1)[f(x)±g(x)]′＝f′(x)±g′(x)． (2)[f(x)g(x)]′＝f′(x)g(x)＋f(x)g′(x)． (3)′＝(g(x)≠0)． 9．复合函数的导数 一般地，对于由函数y＝f(u)和u＝g(x)复合而成的函数y＝f(g(x))，它的导数与函数y＝f(u)，u＝g(x)的导数间的关系为yx′＝yu′·ux′，即y对x的导数等于y对u的导数与u对x的导数的乘积． 奇函数的导数是偶函数，偶函数的导数是奇函数，周期函数的导数还是周期函数． 题组一　走出误区——判一判 (1)f′(x0)是函数y＝f(x)在x＝x0附近的平均变化率．(　　) (2)与曲线只有一个公共点的直线一定是曲线的切线．(　　) (3)f′(x0)＝[f′(x0)]′.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)× 题组二　回归教材——练一练 (1)(人教A选择性必修第二册5.1.1 T3改编)一质点运动的方程为s＝5－3t2，若该质点在时间段[1，1＋Δt]内相应的平均速度为－3Δt－6，则该质点在t＝1时的瞬时速度是(　　) A．－3 B．3 C．6 D．－6 答案：D (2)(人教A选择性必修第二册习题5.2 T6改编)设f(x)＝e＋ln 2的导函数为f′(x)，则f′(1)的值为(　　) A．0 B．e C. D. 答案：D (3)(人教A选择性必修第二册习题5.2 T3改编)已知函数f(x)＝x(2025＋ln x)，若f′(x0)＝2026，则x0＝(　　) A．e2 B．1 C．ln 2 D．e 答案：B (4)(人教A选择性必修第二册5.2.1练习T3改编)余弦曲线y＝cosx在点处的切线方程为________． 答案：y＝－x＋ 解析：因为y＝cosx，所以y′＝－sinx，可得曲线y＝cosx在点处的切线斜率为k＝－1，则曲线y＝cosx在点处的切线方程为y＝－x＋. (5)(人教A选择性必修第二册习题5.2 T2改编)填空： (2x＋log2x)′＝____________； ′＝____________； [(3x＋1)2ln (3x)]′＝____________； (3xe－3x)′＝____________． 答案：2xln 2＋　　6(3x＋1)ln (3x)＋　3xe－3xln 3－3x＋1e－3x 解析：(2x＋log2x)′＝2xln 2＋. ′＝ ＝. [(3x＋1)2ln (3x)]′＝[(3x＋1)2]′ln (3x)＋(3x＋1)2[ln (3x)]′＝6(3x＋1)ln (3x)＋. (3xe－3x)′＝(3x)′e－3x＋3x(e－3x)′＝3xe－3xln 3－3x＋1e－3x. 考点探究—提素养 　导数的概念及运算 (1)(2025·四川内江高三模拟)已知函数f(x)＝－x2＋ln x，则 的值为(　　) A．e B．－2 C．－ D．0 答案：D 解析：因为f′(x)＝－x＋，所以f′(1)＝－1＋1＝0，所以 ＝ ＝f′(1)＝0. (2)(多选)下列结论中错误的是(　　) A．若y＝cos，则y′＝－sin B．若y＝sinx2，则y′＝2xcosx2 C．若y＝cos5x，则y′＝－sin5x D．若y＝xsin2x，则y′＝xsin2x 答案：ACD 解析：对于A，y＝cos，则y′＝sin，故A错误；对于B，y＝sinx2，则y′＝2xcosx2，故B正确；对于C，y＝cos5x，则y′＝－5sin5x，故C错误；对于D，y＝xsin2x，则y′＝sin2x＋xcos2x，故D错误．故选ACD. 　 1．根据导数的定义求函数y＝f(x)在点x0处导数的方法 (1)求函数的增量Δy＝f(x0＋Δx)－f(x0)． (2)求平均变化率＝. (3)得导数f′(x0)＝ ，简记作：一差、二比、三极限． 2．函数的导数与导数值的区别与联系 导数是原来函数的导函数，而导数值是导函数在某一点的函数值，导数值是常数． 　1.(多选)下列求导运算正确的是(　　) A.′＝ B．(x3－5x＋1)′＝3x2－5xln 5 C.′＝－ D.′＝2sin 答案：BCD 解析：对于A，′＝＝，故A错误；对于B，(x3－5x＋1)′＝3x2－5xln 5，故B正确；对于C，′＝′＝－，故C正确；对于D，′＝2sin·cos·2＝2sin，故D正确．故选BCD. 2．已知函数f(x)的导数为f′(x)，且满足f(x)＝ex－2f′(0)sinx＋1，则f′(0)＝________． 答案： 解析：因为f′(x)＝ex－2f′(0)cosx，所以f′(0)＝e0－2f′(0)cos0，解得f′(0)＝. 　导数的几何意义及其应用(多考向探究) 考向1　导数与函数的图象 (2025·福建泉州高三适应性考试)如图是函数f(x)的部分图象，记f(x)的导数为f′(x)，则下列选项中值最大的是(　　) A．f(3) B．3f′(3) C．f(－14) D．f′(8) 答案：A 解析：由图可知，f(－14)，f′(8)为负数，f(3)，3f′(3)为正数，故排除f(－14)，f′(8)，设f(x)的图象在x＝3处的点为A，显然直线OA的斜率kOA大于f′(3)，则>f′(3)，故f(3)>3f′(3)，所以f(3)的值最大．故选A. 　函数f(x)在x＝x0处的导数f′(x0)的几何意义是曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线的斜率．相应地，曲线y＝f(x)在点P(x0，y0)处的切线方程为y－y0＝f′(x0)(x－x0)． 　3.函数y＝f(x)的图象如图所示，下列不等关系正确的是(　　) A．0<f′(2)<f′(3)<f(3)－f(2) B．0<f′(2)<f(3)－f(2)<f′(3) C．0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2) D．0<f(3)－f(2)<f′(2)<f′(3) 答案：C 解析：如图所示，根据导数的几何意义，可得f′(2)表示切线l1的斜率k1>0，f′(3)表示切线l3的斜率k3>0，又由平均变化率的定义，可得＝f(3)－f(2)，表示割线l2的斜率k2，结合图象，可得0<k3<k2<k1，即0<f′(3)<f(3)－f(2)<f′(2)．故选C. 考向2　求切点的坐标 已知曲线f(x)＝x3－x＋3在点P处的切线与直线x＋2y－1＝0垂直，则点P的坐标为(　　) A．(1，3) B．(－1，3) C．(1，3)或(－1，3) D．(1，－3) 答案：C 解析：设切点P(x0，y0)，∵f′(x)＝3x2－1，直线x＋2y－1＝0的斜率为－，∴f′(x0)＝3x－1＝2，∴x＝1，∴x0＝±1，又切点P(x0，y0)在曲线y＝f(x)上，∴y0＝x－x0＋3，∴当x0＝1时，y0＝3；当x0＝－1时，y0＝3，∴切点P的坐标为(1，3)或(－1，3)． 　已知切线方程(或斜率)求切点的一般思路是先求函数的导数，再让导数等于切线的斜率，从而求出切点的横坐标，将横坐标代入函数解析式求出切点的纵坐标． 　4.已知直线y＝ex－2是曲线y＝ln x的切线，则切点坐标为(　　) A. B．(e，1) C. D．(0，1) 答案：A 解析：设切点坐标为(t，ln t)，因为(ln x)′＝，所以在点(t，ln t)处切线的斜率为，所以＝e，t＝，所以ln t＝－1，所以切点坐标为.故选A. 考向3　求切线的方程 (1)曲线y＝在点(－1，－3)处的切线方程为________． 答案：5x－y＋2＝0 解析：因为y′＝＝，所以曲线y＝在点(－1，－3)处的切线的斜率k＝5，故所求切线方程为y＋3＝5(x＋1)，即5x－y＋2＝0. (2)若经过点P(2，8)作曲线y＝x3的切线，则切线方程为________． 答案：12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0 解析：易知点P在曲线y＝x3上，y′＝3x2.当点P为切点时，切线的斜率k＝12，切线方程为12x－y－16＝0；当点P不是切点时，设切点为A(x0，y0)，由定义可求得切线的斜率为k＝3x，∵点A在曲线上，∴y0＝x，∴＝3x，∴x－3x＋4＝0，∴(x0＋1)(x0－2)2＝0，解得x0＝－1或x0＝2(舍去)，∴y0＝－1，k＝3，此时切线方程为y＋1＝3(x＋1)，即3x－y＋2＝0.故经过点P作曲线的切线有两条，方程为12x－y－16＝0或3x－y＋2＝0. (3)(2022·新高考Ⅱ卷)曲线y＝ln |x|过坐标原点的两条切线的方程为________，________． 答案：y＝x　y＝－x 解析：当x＞0时，y＝ln x，设切点为(x0，ln x0)，由y′＝，得y′|x＝x0＝，所以切线方程为y－ln x0＝(x－x0)，又切线过坐标原点，所以－ln x0＝(－x0)，解得x0＝e，所以切线方程为y－1＝(x－e)，即y＝x；当x＜0时，y＝ln (－x)，设切点为(x1，ln (－x1))，由y′＝，得y′|x＝x1＝，所以切线方程为y－ln (－x1)＝(x－x1)，又切线过坐标原点，所以－ln (－x1)＝(－x1)，解得x1＝－e，所以切线方程为y－1＝(x＋e)，即y＝－x. 　 “待定切点法”——如果已知点(x1，y1)不在曲线上，则设出切点(x0，y0)，解方程组得切点(x0，y0)，进而确定切线方程． 　5.(2025·贵州贵阳高三模拟)过点P(1，－3)作曲线f(x)＝2x3－3x的切线，写出切线的方程为________． 答案：3x＋y＝0或21x－2y－27＝0 解析：设切点为(a，2a3－3a)，而f′(x)＝6x2－3，所以切线的斜率k＝f′(a)＝6a2－3，故切线方程为y－(2a3－3a)＝(6a2－3)(x－a)，因为切线过点(1，－3)，所以－3－(2a3－3a)＝(6a2－3)(1－a)，化简并解得a＝0或a＝，则切点为(0，0)或，所以切线方程为3x＋y＝0或21x－2y－27＝0. 考向4　求参数的值或取值范围 (2025·河北保定十县一中高三期末联考)若函数f(x)＝aln x＋2x的图象在点(1，2)处的切线不经过第二象限，且该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为，则a＝(　　) A．－1 B．－ C. D．1 答案：D 解析：由f(x)＝aln x＋2x，得f′(x)＝＋2，f′(1)＝a＋2，则f(x)的图象在点(1，2)处的切线方程为y＝(a＋2)x－a.将x＝0代入切线方程，得y＝－a，将y＝0代入切线方程，得x＝.因为该切线与坐标轴所围成的三角形的面积为，所以|－a|·＝，解得a＝1或a＝－.当a＝1时，切线经过第一、三、四象限，符合题意；当a＝－时，切线经过第一、二、三象限，不符合题意．故a＝1.故选D. 　 1．利用导数的几何意义求参数的基本方法 利用切点的坐标、切线的斜率、切线的方程等得到关于参数的方程(组)或者参数满足的不等式(组)，进而求出参数的值或取值范围． 2．求解与导数的几何意义有关问题时应注意的两点 (1)注意曲线上横坐标的取值范围． (2)谨记切点既在切线上又在曲线上． 　6.(2022·新高考Ⅰ卷)若曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，则a的取值范围是________． 答案：(－∞，－4)∪(0，＋∞) 解析：因为y＝(x＋a)ex，所以y′＝(x＋a＋1)ex.设切点为A(x0，(x0＋a)ex0)，O为坐标原点，依题意得，切线斜率kOA＝(x0＋a＋1)e x0＝，化简，得x＋ax0－a＝0.因为曲线y＝(x＋a)ex有两条过坐标原点的切线，所以关于x0的方程x＋ax0－a＝0有两个不同的根，所以Δ＝a2＋4a＞0，解得a＜－4或a＞0，所以a的取值范围是(－∞，－4)∪(0，＋∞)． 课时作业 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ 考向 导数的概念 导数的运算 导数的几何意义 导数几何意义的应用 导数的运算 导数几何意义的应用 导数几何意义的应用 导数几何意义的应用 考点 求瞬时速度 导数的四则运算 求切线方程 比较导数的大小 导数的四则运算，求复合函数的导数 求参数的值 求参数的取值范围 求参数的取值范围 题号 9 10 11 12 13 14 15 16 难度 ★ ★★ ★★ ★ ★ ★★ ★★★ ★★★ 考向 导数的运算 导数的运算 导数几何意义的应用 导数的概念 导数的几何意义 导数几何意义的应用 导数几何意义的应用 导数的几何意义 考点 导数的四则运算 导数的四则运算 导数的定义式 求切线方程 求线段长度的最小值 求参数的取值范围 切线方程的求解及应用 一、单项选择题 1．(2025·重庆十一中高三月考)有一机器人的运动曲线方程为s(t)＝2＋ln (t是时间，单位：s；s是位移，单位：cm)，则该机器人在t＝4 s时的瞬时速度为(　　) A. cm/s B. cm/s C. cm/s D．1 cm/s 答案：A 解析：因为s′(t)＝－，所以v(t)＝s′(t)＝－，所以v(4)＝－＝－＝.故选A. 2．(2025·湖北高三第一次大联考)已知函数f(x)＝ex－f′(1)x，则(　　) A．f(1)＝－ B．f′(1)＝－ C．f(2)＝e2－e D．f′(2)＝e2－e 答案：C 解析：因为f(x)＝ex－f′(1)x，所以f′(x)＝ex－f′(1)，则f′(1)＝e－f′(1)，所以f′(1)＝，则f(x)＝ex－x，f′(x)＝ex－，所以f(1)＝，f′(2)＝e2－，f(2)＝e2－e.故选C. 3．(2024·江苏南京高三二模)曲线y＝ln (x－1)2在原点处的切线方程为(　　) A．y＝x B．y＝－x C．y＝2x D．y＝－2x 答案：D 解析：由题意，令y＝f(x)＝ln (x－1)2，则f′(x)＝，则f′(0)＝－2，又f(0)＝0，故切线方程为y＝－2x.故选D. 4．函数f(x)的图象如图所示，则下列结论正确的是(　　) A．f′(1)>f′(2)>0>f′(3) B．f′(1)<f′(2)<f′(3)<0 C．0<f′(1)<f′(2)<f′(3) D．f′(1)>f′(2)>f′(3)>0 答案：D 解析：如图，作出函数在x＝1，2，3处的切线l1，l2，l3，可见三条切线的斜率依次递减，但是都大于零，由导数的几何意义可知，f′(1)>f′(2)>f′(3)>0.故选D. 5．下列求导运算正确的是(　　) A.′＝cos B．(x2sin3x)′＝2xsin3x＋x2cos3x C．(tanx)′＝ D．[ln (2x－1)]′＝ 答案：C 解析：对于A，′＝0，A错误；对于B，(x2sin3x)′＝(x2)′sin3x＋x2(sin3x)′＝2xsin3x＋3x2cos3x，B错误；对于C，(tanx)′＝′＝＝，C正确；对于D，[ln (2x－1)]′＝×2＝，D错误．故选C. 6．(2025·四川宜宾高三模拟)若曲线y＝ex＋b的一条切线方程是y＝x－1，则b＝(　　) A．－2 B．1 C．－1 D．e 答案：A 解析：由y＝ex＋b，得y′＝ex，设切点坐标为(t，et＋b)，由et＝1，得t＝0，所以切点坐标为(0，1＋b)，代入y＝x－1，得1＋b＝－1，即b＝－2.故选A. 7．若函数f(x)＝ln x＋ax的图象上存在斜率为2的切线，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，2] B．[2，＋∞) C．(－∞，2) D．(2，＋∞) 答案：C 解析：由题意，函数f(x)＝ln x＋ax的定义域为(0，＋∞)，且f′(x)＝＋a.函数f(x)＝ln x＋ax的图象上存在斜率为2的切线，即＋a＝2在(0，＋∞)上有解，即a＝2－在(0，＋∞)上有解．因为x>0，所以>0，则－<0，2－<2，所以a<2，即实数a的取值范围是(－∞，2)．故选C. 8．已知函数f(x)＝ex，直线y＝kx与函数f(x)的图象有两个交点，则实数k的取值范围为(　　) A. B．(，＋∞) C．(e，＋∞) D. 答案：D 解析：当过原点的直线y＝kx与函数f(x)的图象相切时，设切点为P，由f′(x)＝ex，可得过点P的切线方程为y－em＝em(x－m)，代入点(0，0)可得－em＝－mem，解得m＝1，此时切线的斜率为e，由函数f(x)的图象可知，若直线y＝kx与函数f(x)的图象有两个交点，实数k的取值范围为.故选D. 二、多项选择题 9．函数y＝g(x)在区间[a，b]上连续，对[a，b]上任意两点x1，x2(x1≠x2)，g<时，我们称函数g(x)在[a，b]上“严格上凹”．若用导数的知识可以简单地解释为原函数的导函数的导函数(二阶导函数)在给定区间内恒为正，即g″(x)>0.下列函数在所给定义域上“严格上凹”的是(　　) A．f(x)＝log2x B．f(x)＝2e－x＋x C．f(x)＝－x3＋2x(x∈(－∞，0)) D．f(x)＝sinx－x2(x∈(0，π)) 答案：BC 解析：由题意可知，若函数f(x)在所给定义域上“严格上凹”，则满足f″(x)>0在定义域内恒成立．对于A，f(x)＝log2x，则f″(x)＝′＝－·<0在(0，＋∞)上恒成立，故A不符合题意；对于B，f(x)＝2e－x＋x，则f″(x)＝(－2e－x＋1)′＝2e－x>0恒成立，故B符合题意；对于C，f(x)＝－x3＋2x(x∈(－∞，0))，则f″(x)＝(－3x2＋2)′＝－6x>0在(－∞，0)上恒成立，故C符合题意；对于D，f(x)＝sinx－x2(x∈(0，π))，则f″(x)＝(cosx－2x)′＝－sinx－2<0在(0，π)内恒成立，故D不符合题意．故选BC. 10．已知函数f(x)的导数为f′(x)，若存在x0，使得f(x0)＝f′(x0)，则称x0是f(x)的一个“巧值点”，则下列函数中有“巧值点”的是(　　) A．f(x)＝x2 B．f(x)＝ C．f(x)＝ln x D．f(x)＝ 答案：ABC 解析：对于A，f′(x)＝2x，令x2＝2x，得x＝0或x＝2，有“巧值点”；对于B，f′(x)＝－，令＝－，得x＝－1，有“巧值点”；对于C，f′(x)＝，令ln x＝，结合y＝ln x与y＝的图象，知方程ln x＝有解，即有“巧值点”；对于D，f′(x)＝，令＝，得sin2x＝2，无解，无“巧值点”．故选ABC. 11．已知函数y＝f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，若g(x)＝xf(x)，则下列结论正确的是(　　) A．f(1)＝1 B．f′(1)＝1 C．f(x)＝x2＋ D．g′(1)＝ 答案：AD 解析：对于A，由题意知，点(1，f(1))在直线x－2y＋1＝0上，所以f(1)＝1，故A正确；对于B，因为函数f(x)的图象在点(1，f(1))处的切线方程是x－2y＋1＝0，所以f′(1)＝，故B错误；对于C，f(x)＝x2＋，虽然满足f(1)＝1，f′(1)＝，但该函数只是一种特殊情况，该函数还可以为f(x)＝，也满足f(1)＝1，f′(1)＝，故C错误；对于D，由题得g′(x)＝f(x)＋xf′(x)，所以g′(1)＝f(1)＋f′(1)＝1＋＝，故D正确．故选AD. 三、填空题 12．(2025·江苏如东高级中学高三模拟)已知函数f(x)＝cos2x，则 ＝________． 答案：－ 解析：由函数f(x)＝cos2x，可得f′(x)＝－2sin2x，所以 ＝f′＝－2sin＝－. 13．(2025·湖北鄂东南教改联盟校高三模拟)若曲线y＝＋ex在点P(0，2)处的切线为l，则l在x轴上的截距是________． 答案：－1 解析：因为y′＝＋ex，所以切线l的斜率kl＝y′|x＝0＝2.则l的方程为y＝2x＋2.令y＝0，得x＝－1，故l在x轴上的截距是－1. 14．(2025·云南昆明一中高三月考)已知A，B分别是曲线y＝ln x－和直线y＝2x上的点，则线段AB长度的最小值为________． 答案： 解析：平移直线y＝2x与曲线y＝ln x－相切，设切点坐标为，由y＝ln x－，求导，得y′＝＋，依题意，得＋＝2，即2t2－t－1＝0，又t>0，解得t＝1，因此切点坐标为(1，－1)，所以线段AB长度的最小值为＝. 15．已知函数f(x)＝|ex－1|.若存在x1，x2∈(－a，a)(x1<x2，a>0)，使得曲线y＝f(x)在x＝x1，x＝x2处的切线互相垂直，则实数a的取值范围为________． 答案：(2ln 2，＋∞) 解析：因为f(x)＝则f′(x)＝若存在x1，x2∈(－a，a)(x1<x2，a>0)，使得曲线y＝f(x)在x＝x1，x＝x2处的切线互相垂直，根据导数的几何意义可知，f′(x1)f′(x2)＝－1，且x1<x2，所以－a<x1<0<x2<a，则ex2·＝－1，即ex1＋x2＝4，因为－a<x1＋x2<a，所以e－a<e x1＋x2<ea，所以解得a>2ln 2.故实数a的取值范围为(2ln 2，＋∞)． 16．(2025·福建百校联考高三联合测评)如图，在求解一些函数零点的近似值时，常用牛顿切线法进行求解．牛顿切线法的计算过程如下：设函数f(x)的一个零点为x0，先取定一个初值x1，曲线y＝f(x)在x＝x1处的切线为l1，记l1与x轴交点的横坐标为x2，曲线y＝f(x)在x＝x2处的切线为l2，记l2与x轴交点的横坐标为x3，以此类推，每进行一次切线求解，我们就称之为进行了一次迭代，若进行足够多的迭代次数，就可以得到x0的近似值xn(n∈N*)，设函数f(x)＝x3＋x－1，令x1＝1. (1)证明：f(x)存在唯一零点x0，且<x0<1； (2)已知xn>，证明：|xn＋1－x0|<|xn－x0|2； (3)经过4次迭代后，判断x0的近似值x5与x0的差值是否小于10－7. 解：(1)证明：因为f′(x)＝3x2＋1>0， 所以f(x)单调递增， 因为f＝＋－1＝－<0，f(1)＝1＋1－1＝1>0， 所以f(x)存在唯一零点x0，且<x0<1. (2)证明：曲线y＝f(x)在点(xn，f(xn))处的切线方程为y－f(xn)＝f′(xn)(x－xn)， 令y＝0，得xn＋1＝xn－＝xn－＝， 则|xn＋1－x0|＝ ＝， 易知x＋x0＝1， 所以|xn＋1－x0|＝ ＝(xn－x0)2·， 要证|xn＋1－x0|<|xn－x0|2， 只需证<1，即证x0<3x－2xn＋1， 因为3x－2xn＋1＝3xn＋1>1>x0， 所以|xn＋1－x0|<|xn－x0|2. (3)由(2)可知，|x2－x0|<|x1－x0|2＝(1－x0)2<＝， 所以|x3－x0|<|x2－x0|2<， 所以|x4－x0|<|x3－x0|2<＝， 所以|x5－x0|<|x4－x0|2<<＝×10－7<10－7， 所以经过4次迭代后，x0的近似值x5与x0的差值小于10－7. 17 学科网（北京）股份有限公司 $$