第3章 微专题(1) 函数性质的综合应用-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案全书word（基础版）

重点解读　函数的单调性、奇偶性、周期性与对称性等是高考的必考内容，常与函数的图象、不等式等内容相结合进行考查．解决此类问题的关键是充分运用转化思想和数形结合思想，灵活求解． 类型一　函数的奇偶性与单调性的综合 已知函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上为奇函数，则不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0的解集为(　　) A．(－2，4] B．(－3，5] C. D．(－2，2] 答案：C 解析：因为函数f(x)＝x3＋(a－2)x2＋2x＋b在[－2c－1，c＋3]上为奇函数，所以－2c－1＋c＋3＝0，解得c＝2，又f(－x)＝－f(x)，即－x3＋(a－2)x2－2x＋b＝－x3－(a－2)x2－2x－b，所以2(a－2)x2＋2b＝0，所以解得所以f(x)＝x3＋2x，x∈[－5，5]．由y＝x3与y＝2x在定义域[－5，5]上单调递增，得f(x)在定义域[－5，5]上单调递增，则不等式f(2x＋1)＋f(a＋b＋c)>0，即f(2x＋1)＋f(4)>0，等价于f(2x＋1)>f(－4)，所以解得－<x≤2，即不等式的解集为.故选C. (1)比较函数值的大小问题，可以利用奇偶性，把不在同一单调区间上的两个或多个自变量的函数值转化到同一单调区间上，再利用函数的单调性比较大小． (2)对于抽象函数不等式的求解，应变形为f(x1)>f(x2)的形式，再结合单调性，脱去“f”变成常规不等式，转化为x1<x2(或x1>x2)求解． 1.已知函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增．设a＝f(log45)，b＝f，c＝f(0.20.5)，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<b<c B．c<a<b C．a<c<b D．b<a<c 答案：A 解析：依题意，函数f(x)是定义在R上的偶函数，且在(－∞，0]上单调递增，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递减．因为b＝f＝f(－log43)＝f(log43)，0.20.5＝＝<＝，log43>log4＝，所以log45>1>log43>>0.20.5＞0，所以a<b<c.故选A. 2．设定义在[－2，2]上的函数f(x)＝＋cosx，则不等式f(2x)<f(x－1)的解集是(　　) A. B. C．[－1，3) D. 答案：B 解析：显然f(x)的定义域关于原点对称，对于定义域内任意一个x，都有f(－x)＝f(x)，所以f(x)是偶函数，当0≤x≤2时，f(x)＝＋cosx单调递减，所以当－2≤x≤0时，f(x)＝＋cosx单调递增，对于f(2x)<f(x－1)有解得<x≤1，即不等式f(2x)<f(x－1)的解集是.故选B. 类型二　奇偶性与周期性结合 已知y＝f(x)为R上的奇函数，y＝f(x＋1)为偶函数，若当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋a)，则f(2025)＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：C 解析：∵f(x)为R上的奇函数，且当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋a)，∴f(0)＝0，即log2a＝0，∴a＝1，∴当x∈[0，1]时，f(x)＝log2(x＋1)，∵f(x＋1)为偶函数，∴f(x＋1)＝f(－x＋1)，∴f(x＋2)＝f(－x)，又f(x)为R上的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，∴f(x＋2)＝－f(x)，∴f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，∴f(x)是周期为4的周期函数，∴f(2025)＝f(4×506＋1)＝f(1)＝log2(1＋1)＝1.故选C. (1)根据已知条件及相关函数的奇偶性推得函数的周期． (2)利用函数的周期性将自变量的绝对值较大的函数值转化为自变量的绝对值较小的函数值，直到自变量的值进入已知解析式的区间内或与已知的函数值相联系，必要时可再次运用奇偶性将自变量的符号进行转化． 3.(2025·贵州六盘水模拟)定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(1－x)，且当x∈[0，2]时，f(x)＝mex－1，则f(31)＝(　　) A．e＋1 B．e－1 C．1－e D．－e 答案：C 解析：因为定义在R上的奇函数f(x)满足f(x＋3)＝f(1－x)，所以f(x＋3)＝f(1－x)＝－f(x－1)＝－f(x－4＋3)＝－f(1－(x－4))＝－f(5－x)＝f(x－5)，故f(x)的周期为8，因为当x∈[0，2]时，f(x)＝mex－1，则f(0)＝m－1＝0，所以m＝1，所以f(31)＝f(－1)＝－f(1)＝1－e.故选C. 类型三　函数的单调性、奇偶性、对称性与周期性的综合 已知定义在R上的奇函数f(x)，其图象关于点(－2，0)对称，且f(x)在[0，2)上单调递增，则(　　) A．f(11)<f(12)<f(21) B．f(21)<f(12)<f(11) C．f(11)<f(21)<f(12) D．f(21)<f(11)<f(12) 答案：A 解析：∵函数f(x)的图象关于点(－2，0)对称，∴f(x－4)＝－f(－x)，又f(x)为定义在R上的奇函数，∴－f(－x)＝f(x)，∴f(x－4)＝f(x)，即函数f(x)的周期是4，则f(11)＝f(－1)，f(12)＝f(0)，f(21)＝f(1)，∵f(x)为奇函数，且在[0，2)上单调递增，则f(x)在(－2，2)上单调递增，∴f(－1)<f(0)<f(1)，即f(11)<f(12)<f(21)．故选A. 综合应用函数性质的解题技巧 (1)根据奇偶性、对称性推得周期性． (2)利用周期性转化自变量所在的区间． (3)利用单调性解决相关问题． 4.(2025·河北沧州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且函数f(x)与f(x＋1)均为偶函数，当x∈[0，1]时，f(x)是减函数，设a＝f，b＝f，c＝f，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．b>a>c 答案：C 解析：因为函数f(x)为偶函数，则f(－x)＝f(x)，又函数f(x＋1)为偶函数，则f(－x＋1)＝f(x＋1)，则f(－x)＝f(2＋x)，即f(x)＝f(2＋x)，所以函数f(x)的周期为2，则b＝f＝f，c＝f＝f(log162)＝f，又当x∈[0，1]时，f(x)是减函数，且<<，则f>f>f，即c>a>b.故选C. 类型四　类周期性 设函数f(x)的定义域为R，且满足f(x＋1)＝2f(x)，当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)．若对任意x∈(－∞，m]，都有f(x)≥－，则m的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：B 解析：∵当x∈(0，1]时，f(x)＝x(x－1)，f(x＋1)＝2f(x)，∴当x∈(－1，0]时，f(x)＝f(x＋1)，即将当x∈(0，1]时，f(x)的图象向左平移1个单位，图象上各点的纵坐标变为原来的；当x∈(1，2]时，f(x)＝2f(x－1)，即将当x∈(0，1]时，f(x)的图象向右平移1个单位，图象上各点的纵坐标变为原来的2倍，如图所示．当2＜x≤3时，f(x)＝4f(x－2)＝4(x－2)(x－3)，令4(x－2)(x－3)＝－，整理，得9x2－45x＋56＝0，∴(3x－7)·(3x－8)＝0，∴x1＝，x2＝(舍去)，∴当x∈(－∞，m]时，f(x)≥－恒成立，即m≤，∴m的取值范围是.故选B. 一是利用函数的类周期性，找到各段值域之间的关系，如涉及精细分析，则需要将函数各段的解析式求出来；二是对函数各段分类讨论，或根据函数各段的图象解决问题． 5.(2025·重庆第一中学模拟)已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)＝1－|2x－1|，则当x∈时，y＝f(x)的值域为(　　) A. B．[0，1] C. D. 答案：B 解析：由函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)，且当x∈[0，1)时，f(x)＝1－|2x－1|，当x∈[1，2)时，可得f(x)＝f(x－1)＝(1－|2x－3|)；当x∈[2，3)时，可得f(x)＝f(x－1)＝(1－|2x－5|)；…，所以在区间[n，n＋1)(n∈Z)上，可得f(x)＝[1－|2x－(2n＋1)|]，作出函数y＝f(x)的图象，如图所示，所以当x∈时，f(x)∈[0，1]．故选B. 类型五　利用函数的性质解决抽象函数问题 (多选)(2025·河南师大附中模拟)若定义在R上的函数f(x)满足f(xy＋1)＝f(x)f(y)＋f(y)＋x，则(　　) A．f(0)＝0 B．f(1)＝0 C．f(x＋1)为奇函数 D．f(x)单调递增 答案：BCD 解析：解法一：令x＝0，y＝1，则f(1)＝f(1)[f(0)＋1]，则f(1)＝0或f(0)＝0.若f(0)＝0，则f(1)＝f(x)f(0)＋f(0)＋x＝x，由x的任意性可得f(1)＝x不恒成立，故f(0)＝0不成立，故f(1)＝0，故A错误，B正确；令y＝1，则f(x＋1)＝f(x)f(1)＋f(1)＋x＝x，故f(x＋1)为奇函数，且f(x)＝x－1，它为R上的增函数，故C，D正确．故选BCD. 解法二：由条件f(xy＋1)＝f(x)f(y)＋f(y)＋x，得f(xy＋1)＝f(y)f(x)＋f(x)＋y⇒f(y)＋x＝f(x)＋y⇒f(y)－y＝f(x)－x，由x，y的任意性，得f(x)＝x＋c，c为常数，故代回去f(xy＋1)＝f(x)f(y)＋f(y)＋x，得xy＋1＋c＝(x＋c)(y＋c)＋y＋c＋x⇔(c＋1)(x＋y＋c－1)＝0，所以由x，y的任意性只能c＝－1，即f(x)＝x－1，为增函数，所以f(0)＝－1，f(1)＝0，f(x＋1)＝x为奇函数，故A错误，B，C，D正确．故选BCD. 抽象函数是指没有给出具体解析式的函数，只给出了一些体现函数特征的式子．赋值法是解决此类问题的常用思路． 6.(2025·重庆南开中学高三期末)已知函数f(x)的定义域为R，f(x)＝f(2－x)，f(x)＝f(x＋4)，则下列结论一定正确的是(　　) A．f(1)＝0 B．f(1－x)＋f(1＋x)＝0 C．f(3＋2x)＝f(3－2x) D．f(x)的图象关于直线x＝2k(k∈Z)对称 答案：C 解析：根据f(x)＝f(2－x)可得f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(1－x)－f(1＋x)＝0，故B错误；由f(x)＝f(x＋4)可得f(x)为周期函数，且周期为4.对于A，无法确定f(1)的值，故A错误；对于C，f(3＋2x)＝f(2－(3＋2x))＝f(－1－2x)＝f(－1－2x＋4)＝f(3－2x)，故C正确；对于D，由于f(x)的图象关于直线x＝1和直线x＝3对称且f(x)的周期为4，故f(x)的图象关于直线x＝2k＋1(k∈Z)对称，故D错误．故选C. 7．(多选)(2025·新疆喀什地区模拟)已知函数f(x)的定义域为R，且f(1)＝0，若f(x＋y)＝f(x)＋f(y)＋2，则下列说法正确的是(　　) A．f(－1)＝－4 B．f(x)有最大值 C．f(2026)＝4048 D．函数f(x)＋2是奇函数 答案：AD 解析：对于A，令x＝y＝0，可得f(0)＝－2，令x＝1，y＝－1，则f(1－1)＝f(－1)＋f(1)＋2，解得f(－1)＝－4，所以A正确；对于B，令x＝x1，y＝x2－x1，且x1<x2，则f(x1＋x2－x1)＝f(x1)＋f(x2－x1)＋2，可得f(x2)－f(x1)＝f(x2－x1)＋2，若x>0，f(x)>－2，则f(x2)－f(x1)>0，此时函数f(x)为增函数；若x>0，f(x)<－2，则f(x2)－f(x1)<0，此时函数f(x)为减函数，所以函数f(x)不一定有最大值，所以B错误；对于C，令y＝1，可得f(x＋1)＝f(x)＋f(1)＋2＝f(x)＋2，即f(x＋1)－f(x)＝2，所以f(2026)＝[f(2026)－f(2025)]＋[f(2025)－f(2024)]＋…＋[f(3)－f(2)]＋[f(2)－f(1)]＋f(1)＝2025×2＋0＝4050，所以C错误；对于D，令y＝－x，得f(0)＝f(x)＋f(－x)＋2，又f(0)＝－2，所以f(x)＋2＋f(－x)＋2＝0，即f(x)＋2＝－[f(－x)＋2]，所以函数f(x)＋2是奇函数，所以D正确．故选AD. 6 学科网（北京）股份有限公司 $$