第3章 第9节 函数模型及其应用-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案全书word（基础版）

第九节　函数模型及其应用 课标解读 考向预测 1.了解指数函数、对数函数以及幂函数的增长特征，结合具体实例体会直线上升、指数增长、对数增长等不同函数类型增长的含义. 2.了解函数模型(如指数函数、对数函数、幂函数、分段函数等在社会生活中普遍使用的函数模型)的广泛应用. 近三年高考对函数模型及其应用的考查，一般出现在选择题和填空题中，难度中档偏上．预计2026年高考会考查指数函数模型或对数函数模型在实际生活中的应用，以选择题的形式出现. 必备知识—强基础 1．几种常见的函数模型 函数模型 函数解析式 一次函数模型 f(x)＝ax＋b(a，b为常数，a≠0) 二次函数模型 f(x)＝ax2＋bx＋c(a，b，c为常数，a≠0) 与指数函数相关的模型 f(x)＝bax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与对数函数相关的模型 f(x)＝blogax＋c(a，b，c为常数，a>0且a≠1，b≠0) 与幂函数相关的模型 f(x)＝axn＋b(a，b，n为常数，a≠0) 2.指数、对数、幂函数模型性质比较 函数 性质 y＝ax(a>1) y＝logax(a>1) y＝xn(n>0) 在(0，＋∞)上的增减性 单调递增 单调递增 单调递增 增长速度 越来越快 越来越慢 相对平稳 图象的变化 随x的增大逐渐表现为与y轴平行 随x的增大逐渐表现为与x轴平行 随n值变化而各有不同 值的比较 存在一个x0，当x>x0时，有logax<xn<ax “直线上升”是匀速增长，其增长量固定不变；“指数增长”先慢后快，其增长量成倍增加，常用“指数爆炸”来形容；“对数增长”先快后慢，其增长量越来越小． 题组一　走出误区——判一判 (1)函数y＝2x的函数值比y＝x2的函数值大．(　　) (2)在(0，＋∞)上，随着x的增大，y＝ax(a>1)的增长速度会超过并远远大于y＝xn(n>0)和y＝logax(a>1)的增长速度．(　　) (3)在选择实际问题的函数模型时，必须使所有的数据完全符合该函数模型．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 题组二　回归教材——练一练 (1)(人教B必修第二册4.5例2改编)已知f(x)＝x2，g(x)＝2x，h(x)＝log2x，当x∈(4，＋∞)时，对三个函数的增长速度进行比较，下列结论中正确的是(　　) A．f(x)>g(x)>h(x) B．g(x)>f(x)>h(x) C．g(x)>h(x)>f(x) D．f(x)>h(x)>g(x) 答案：B 解析：在同一平面直角坐标系内，根据函数图象的变化趋势，当x∈(4，＋∞)时，增长速度由大到小依次为g(x)>f(x)>h(x)．故选B. (2)(人教A必修第一册复习参考题3 T6改编)已知甲、乙两种商品在过去一段时间内的价格走势如图所示．假设某商人持有资金120万元，他可以在t1至t4的任意时刻买卖这两种商品，且买卖能够立即成交(其他费用忽略不计)．如果他在t4时刻卖出所有商品，那么他将获得的最大利润是(　　) A．40万元 B．60万元 C．80万元 D．120万元 答案：D 解析：当甲商品的价格为6元时，该商人全部买入甲商品，可以买120÷6＝20(万份)，在t2时刻全部卖出，此时获利20×2＝40(万元)；当乙商品的价格为4元时，该商人买入乙商品，可以买(120＋40)÷4＝40(万份)，在t4时刻全部卖出，此时获利40×2＝80(万元)．故该商人共获利40＋80＝120(万元)．故选D. (3)(人教A必修第一册复习参考题4 T10改编)在数学课外活动中，小明同学进行了糖块溶于水的试验，将一块质量为7克的糖块放入一定量的水中，测量不同时刻未溶解糖块的质量，得到若干组数据，其中在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，同时小明发现可以用指数型函数S＝ae－kt(a，k为常数)来描述以上糖块的溶解过程，其中S(单位：克)代表t分钟末未溶解糖块的质量，则k＝(　　) A．ln 2 B．ln 3 C. D. 答案：C 解析：由题意可得，当t＝0时，S＝a＝7，因为在第5分钟末测得的未溶解糖块的质量为3.5克，所以3.5＝7e－5k，解得k＝.故选C. (4)(人教B必修第一册3.3例1改编)某公司招聘员工，面试人数按拟录用人数分段计算，计算公式为y＝x∈N*，其中x代表拟录用人数，y代表面试人数，若面试人数为160，则该公司拟录用人数为________． 答案：75 解析：令y＝160，若4x＝160，则x＝40＞10，不符合题意；若2x＋10＝160，则x＝75，符合题意；若1.5x＝160，则x＝∉N*，不符合题意．故拟录用人数为75. 考点探究—提素养 　用函数图象刻画实际问题 中国茶文化博大精深，茶水的口感与茶叶类型和水的温度有关．经验表明，某种绿茶用85 ℃的水泡制，再等到茶水温度降至60 ℃时饮用，可以产生最佳口感．为分析泡制一杯最佳口感茶水所需时间，某研究人员每隔1 min测量一次茶水的温度，根据所得数据做出如图所示的散点图．观察散点图的分布情况，下列哪个函数模型可以近似地刻画茶水温度y随时间x变化的规律？(　　) A．y＝mx2＋n(m>0) B．y＝max＋n(m>0，0<a<1) C．y＝max＋n(m>0，a>1) D．y＝mlogax＋n(m>0，a>0，a≠1) 答案：B 解析：由函数图象可知符合条件的只有指数函数模型，并且m>0，0<a<1.故选B. (1)构建函数模型法：当根据题意易构建函数模型时，先建立函数模型，再结合模型选图象；当根据题意不易建立函数模型时，则根据实际问题中两变量的变化快慢等特点，结合图象的变化趋势，验证是否吻合，从中排除不符合实际的情况，选出符合实际情况的答案． (2)图形、表格能直观刻画两变量间的依存关系，考查了数学直观想象核心素养． 　1.(多选)某医药研究机构开发了一种新药，据监测，如果患者每次按规定的剂量注射该药物，注射后每毫升血液中的含药量y(单位：微克)与时间t(单位：小时)之间的关系近似满足如图所示的曲线．据进一步测定，当每毫升血液中含药量不少于0.125微克时，治疗该病有效，则下列说法正确的是(　　) A．a＝3 B．注射一次治疗该病的有效时间长度为6小时 C．注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为0.5微克 D．注射一次治疗该病的有效时间长度为5小时 答案：ACD 解析：将点M的坐标代入y＝kt，可得k＝4，将点M的坐标代入y＝可得＝4，解得a＝3，所以y＝A正确；当0<t≤1时，由y＝4t≥可得t≥，此时≤t≤1；当t>1时，由y＝≥可得t≤6，此时1<t≤6.故不等式y≥的解为≤t≤6，所以注射一次治疗该病的有效时间长度为6－＝5小时，B错误，D正确；注射该药物小时后每毫升血液中的含药量为4×＝0.5(微克)，故C正确．故选ACD. 　给定函数模型解决实际问题 (2025·四川凉山州模拟)血氧饱和度是呼吸循环的重要生理参数．人体的血氧饱和度正常范围是95%～100%，当血氧饱和度低于90%时，需要吸氧治疗，在环境模拟实验室的某段时间内，可以用指数模型S(t)＝S0eKt描述血氧饱和度S(t)随着给氧时间t(单位：小时)的变化而变化的规律，其中S0为初始血氧饱和度，K为参数．已知S0＝60%，给氧1小时后， 血氧饱和度为80%.若使得血氧饱和度达到90%，则至少还需要的给氧时间为(精确到0.1，参考数据：ln 2≈0.69，ln 3≈1.10)(　　) A．0.3小时 B．0.5小时 C．0.7小时 D．0.9小时 答案：B 解析：设使得血氧饱和度达到正常值，给氧时间至少需要t－1小时，由题意可得60eK＝80，60eKt＝90，两边同时取自然对数并整理，得K＝ln ＝ln ＝ln 4－ln 3＝2ln 2－ln 3，Kt＝ln ＝ln ＝ln 3－ln 2，则t＝≈≈1.5，则给氧时间至少还需要t－1＝0.5(小时)．故选B. (1)认清所给函数模型，弄清哪些量为待定系数． (2)根据已知，利用待定系数法确定模型中的待定系数． (3)利用该函数模型，借助函数的性质、导数等求解实际问题，并进行检验． 　2.(多选)(2023·新课标Ⅰ卷)噪声污染问题越来越受到重视．用声压级来度量声音的强弱，定义声压级Lp＝20×lg ，其中常数p0(p0>0)是听觉下限阈值，p是实际声压．下表为不同声源的声压级： 声源 与声源的距离/m 声压级/dB 燃油汽车 10 60～90 混合动力汽车 10 50～60 电动汽车 10 40 已知在距离燃油汽车、混合动力汽车、电动汽车10 m处测得实际声压分别为p1，p2，p3，则(　　) A．p1≥p2 B．p2>10p3 C．p3＝100p0 D．p1≤100p2 答案：ACD 解析：解法一：由题意可知，Lp1∈[60，90]，L p2∈[50，60]，L p3＝40，对于A，L p1－L p2＝20×lg －20×lg ＝20×lg ，因为L p1≥L p2，则L p1－L p2＝20×lg ≥0，即lg ≥0，所以≥1且p1，p2>0，可得p1≥p2，故A正确；对于B，因为L p2－L p3＝20×lg －20×lg ＝20×lg ，且L p2－L p3＝L p2－40≥10，则20×lg ≥10，即lg ≥，所以≥且p2，p3>0，可得p2≥p3，当且仅当L p2＝50时，等号成立，故B错误；对于C，因为L p3＝20×lg ＝40，即lg ＝2，可得＝100，即p3＝100p0，故C正确；对于D，由选项A可知，L p1－L p2＝20×lg ，且L p1－L p2≤90－50＝40，则20×lg ≤40，即lg ≤2，可得≤100且p1，p2>0，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD. 解法二：因为Lp＝20×lg 随着p的增大而增大，且Lp1∈[60，90]，Lp2∈[50，60]，所以L p1≥Lp2，所以p1≥p2，故A正确；由Lp＝20×lg ，得p＝p010，因为Lp3＝40，所以p3＝p010＝100p0，故C正确；假设p2＞10p3，则p010＞10p010，所以10＞10，所以Lp2－L p3＞20，该式不可能成立，故B错误；因为＝＝10＋2≥1，所以p1≤100p2，故D正确．故选ACD. 　构建函数模型解决实际问题 A，B两城相距100 km，在两城之间距A城x km处建一核电站给A，B两城供电，为保证城市安全，核电站距城市距离不得小于10 km.已知供电费用等于供电距离(单位：km)的平方与供电量(单位：亿度)之积的0.25倍，若A城供电量为每月20亿度，B城供电量为每月10亿度． (1)求x的取值范围； (2)把月供电总费用y表示成x的函数； (3)核电站建在距A城多远，才能使供电总费用最少？ 解：(1)由题意，知x的取值范围为[10，90]． (2)y＝0.25×20×x2＋0.25×10×(100－x)2 ＝5x2＋(100－x)2＝x2－500x＋25000， ∴y＝x2－500x＋25000(x∈[10，90])． (3)y＝x2－500x＋25000＝＋， ∴当x＝时，ymin＝. ∴核电站建在距A城 km处，才能使供电总费用最少． 解答函数应用题的一般步骤 (1)审题：弄清题意，分清条件和结论，理顺数量关系，初步选择数学模型； (2)建模：将自然语言转化为数学语言，将文字语言转化为符号语言，利用数学知识，建立相应的数学模型； (3)求模：求解数学模型，得出数学结论； (4)还原：将数学问题还原为实际问题的意义． 以上过程用框图表示如下： 　3.某工厂拟建一个平面图形为矩形，且总面积为400 m2的三级污水处理池，如图所示，已知池外墙造价为200元/m，中间两条隔墙造价为250元/m，池底造价为80元/m2(池壁的厚度忽略不计，且污水处理池无盖)．若使污水处理池的总造价最低，那么污水处理池的长和宽分别为(　　) A．40 m，10 m B．20 m，20 m C．30 m， m D．50 m，8 m 答案：C 解析：设污水处理池的宽为x m，则长为 m，总造价为y元，则y＝200＋2×250x＋80×400＝900x＋＋32000≥2＋32000＝56000，当且仅当900x＝，即x＝时，总造价最低． 4．一种药在病人血液中的量保持1500 mg以上才有疗效；而低于500 mg病人就有危险．现给某病人静脉注射了这种药2500 mg，如果药在血液中以每小时20%的比例衰减，为了充分发挥药物的利用价值，那么从现在起经过________小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效．(附：lg 2≈0.3010，lg 3≈0.4771，精确到0.1 h) 答案：2.3 解析：设应在病人注射这种药经过x小时后再向病人的血液补充这种药，则2500(1－20%)x＝1500，整理可得＝，所以x＝log，又log＝log＝＝＝≈2.3，所以x≈2.3.故从现在起经过2.3小时向病人的血液补充这种药，才能保持疗效． 课时作业 基础题(占比60%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ 考向 通过构建函数模型解决实际问题 选择函数模型解决实际问题 根据给定函数模型解决实际问题 根据给定函数模型解决实际问题 根据给定函数模型解决实际问题 根据给定函数模型解决实际问题 根据给定函数模型解决实际问题 考点 一次函数模型 对数型函数模型 幂函数模型 分式函数模型 指数型函数模型 指数型函数模型 对数型函数模型 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ 考向 通过构建函数模型解决实际问题 根据给定函数模型解决实际问题 用函数图象刻画实际问题 根据给定函数模型解决实际问题 根据给定函数模型解决实际问题 根据给定函数模型解决实际问题 根据给定函数模型解决实际问题 考点 指数型函数模型 反比例函数模型；二次函数模型 分段函数模型 指数型函数模型 分段函数模型 指数型函数模型 指数型函数模型 一、单项选择题 1．某中学体育课对女生立定跳远项目的考核标准为：立定跳远距离1.33米得5分，每增加0.03米，分值增加5分，直到1.84米得90分后，每增加0.1米，分值增加5分，满分为120分．若某女生训练前的成绩为70分，经过一段时间的训练后，成绩为105分，则该女生训练后，立定跳远距离增加了(　　) A．0.33米 B．0.42米 C．0.39米 D．0.43米 答案：B 解析：该女生训练前立定跳远距离为1.84－0.03×＝1.72(米)，训练后立定跳远距离为1.84＋0.1×＝2.14(米)，则该女生训练后，立定跳远距离增加了2.14－1.72＝0.42(米)．故选B. 2．视力检测结果有两种记录方式，分别是小数记录与五分记录，其部分数据如下表： 小数记录x 0.1 0.12 0.15 … 1 1.2 1.5 2.0 五分记录y 4.0 4.1 4.2 … 5 5.1 5.2 5.3 现有如下函数模型：①y＝5＋lg x，②y＝5＋lg ，x表示小数记录数据，y表示五分记录数据，请选择最合适的模型解决如下问题：小明同学检测视力时，医生告诉他的视力为4.7，则小明同学的小数记录数据为(附：100.3≈2，5－0.22≈0.7，10－0.1≈0.8)(　　) A．0.3 B．0.5 C．0.7 D．0.8 答案：B 解析：由表格中的数据可知，函数单调递增，故合适的函数模型为y＝5＋lg x，令y＝5＋lg x＝4.7，解得x＝10－0.3≈0.5.故选B. 3．(2025·北京朝阳模拟)假设某飞行器在空中高速飞行时所受的阻力f满足公式f＝ρCSv2，其中ρ是空气密度，S是该飞行器的迎风面积，v是该飞行器相对于空气的速度，C是空气阻力系数(其大小取决于多种其他因素)，反映该飞行器克服阻力做功快慢程度的物理量为功率P＝fv.当ρ，S不变，v比原来提高10%时，下列说法正确的是(　　) A．若C不变，则P比原来提高不超过30% B．若C不变，则P比原来提高超过40% C．为使P不变，则C比原来降低不超过30% D．为使P不变，则C比原来降低超过40% 答案：C 解析：由题意，f＝ρCSv2，P＝fv，所以P＝ρCSv3，C＝.对于A，当ρ，S，C不变，v比原来提高10%时，则P1＝ρCS(1＋10%)3v3＝ρCS(1.1)3v3≈1.33×ρCSv3，所以P比原来提高超过30%，但不超过40%，故A，B错误；对于C，当ρ，S，P不变，v比原来提高10%时，C1＝≈≈0.75×，所以C比原来降低不超过30%，故C正确，D错误．故选C. 4．单位时间内通过道路上指定断面的车辆数被称为“道路容量”，与道路设施、交通服务、环境、气候等诸多条件相关．假设某条道路一小时通过的车辆数N满足关系N＝，其中d0(单位：m)为安全距离，v(单位：m/s)为车速．当安全距离d0取30 m时，该道路一小时“道路容量”的最大值约为(　　) A．135 B．149 C．165 D．195 答案：B 解析：由题意，得N＝＝≤≈149，当且仅当0.3v＝，即v＝10时取等号，所以该道路一小时“道路容量”的最大值约为149.故选B. 5．深度学习是人工智能的一种具有代表性的实现方法，它以神经网络为出发点，在神经网络优化中，指数衰减的学习率模型为L＝L0D，其中L表示每一轮优化时使用的学习率，L0表示初始学习率，D表示衰减系数，G表示训练迭代轮数，G0表示衰减速度．已知某个指数衰减的学习率模型的初始学习率为0.5，衰减速度为18，且当训练迭代轮数为18时，学习率衰减为0.4，则学习率衰减到0.2以下(不含0.2)所需的训练迭代轮数至少为(参考数据：lg 2≈0.3010)(　　) A．72 B．74 C．76 D．78 答案：B 解析：由题意，得L＝0.5×D，则0.4＝0.5×D，解得D＝，则L＝0.5×，由L＝0.5×<0.2，得G>18log＝＝≈73.9，所以所需的训练迭代轮数至少为74.故选B. 6．已知某类果蔬的保鲜时间y(单位：小时)与储藏温度x(单位：℃)满足函数关系y＝eax＋b(a，b为常数)，若该果蔬在6 ℃的保鲜时间为216小时，在24 ℃的保鲜时间为8小时，那么在12 ℃时，该果蔬的保鲜时间为(　　) A．72小时 B．36小时 C．24小时 D．16小时 答案：A 解析：由题意，得当x＝6时，e6a＋b＝216；当x＝24时，e24a＋b＝8，则＝＝27，整理，得e6a＝，于是eb＝216×3＝648，当x＝12时，y＝e12a＋b＝(e6a)2·eb＝×648＝72.故选A. 7．“喊泉”是一种地下水的毛细现象，人们在泉口吼叫或发出其他声音时，声波传入泉洞内的储水池，进而产生“共鸣”等作用，激起水波，形成涌泉，声音越大，涌起的泉水越高．已知听到的声强I与标准声强I0(I0约为10－12，单位：W/m2)之比的常用对数称作声强的声强级，记作L(单位：贝尔)，即L＝lg .取贝尔的10倍作为响度的常用单位，简称为分贝，已知某处“喊泉”的声音强度y(单位：分贝)与喷出的泉水高度x(单位：m)之间满足关系式y＝2x，甲、乙两名同学大喝一声激起的涌泉的最高高度分别为70 m，60 m．若甲同学大喝一声的声强大约相当于n个乙同学同时大喝一声的声强，则n的值约为(　　) A．10 B．100 C．200 D．1000 答案：B 解析：设甲同学的声强为I1，乙同学的声强为I2，则140＝10lg ，120＝10lg ，两式相减，得20＝10lg ，即lg ＝2，从而＝100，所以n的值约为100.故选B. 8．已知某品牌手机电池充满时的电量为4000(单位：毫安时)，且在待机状态下有两种不同的耗电模式可供选择．模式A：电量呈线性衰减，每小时耗电400(单位：毫安时)；模式B：电量呈指数衰减，即从当前时刻算起，t小时后的电量为当前电量的倍．现使该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，若使其在待机10小时后有超过2.5%的电量，则x的可能取值为(　　) A．4.6 B．5.8 C．7.6 D．9.9 答案：C 解析：模式A在待机t小时后电池内电量为y＝－400t＋4000，设当前电量为Q，模式B在待机t小时后电池内电量为y＝Q，则该电子产品处于满电量待机状态时开启A模式，并在x小时后，切换为B模式，其在待机10小时后的电量为(－400x＋4000)，由(－400x＋4000)>4000×2.5%＝100，得4(10－x)>210－x，根据选项，当x＝4.6时，4×(10－4.6)＝21.6<210－4.6＝25.4≈42.2；当x＝5.8时，4×(10－5.8)＝16.8<210－5.8＝24.2≈18.4；当x＝7.6时，4×(10－7.6)＝9.6>210－7.6＝22.4≈5.3；当x＝9.9时，4×(10－9.9)＝0.4<210－9.9＝20.1≈1.1.故x的可能取值为7.6. 二、多项选择题 9．在线直播带货已经成为一种重要销售方式，假设直播在线购买人数y与某产品销售单价x(单位：元)满足关系式y＝－x＋40，其中20<x<100，m为常数，当该产品销售单价为25时，在线购买人数为2015.假设该产品成本单价为20元，且每人限购1件，下列说法正确的是(　　) A．实数m的值为10000 B．销售单价越低，直播在线购买人数越多 C．当x的值为30时，利润最大 D．利润的最大值为10000 答案：ABC 解析：将x＝25，y＝2015代入y＝－x＋40，可得2015＝－25＋40，解得m＝10000，故A正确；易知y＝－x＋40(20<x<100)单调递减，故B正确；由题意可得所得利润f(x)＝(x－20)＝－x2＋60x＋9200＝－(x－30)2＋10100，所以当x＝30时，利润最大，最大利润为10100元，故C正确，D错误．故选ABC. 10.甲同学家到乙同学家的途中有一座公园，甲同学家到公园的距离与乙同学家到公园的距离都是2 km.如图所示表示甲同学从家出发到乙同学家经过的路程y(单位：km)与时间x(单位：min)的关系，下列结论正确的是(　　) A．甲同学从家出发到乙同学家走了60 min B．甲从家到公园的时间是30 min C．甲从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度快 D．当0≤x≤30时，y与x的关系式为y＝x 答案：BD 解析：甲同学在公园休息的时间是10 min，所以只走了50 min，A错误；由题中图象知，B正确；甲同学从家到公园所用的时间比从公园到乙同学家所用的时间长，而距离相等，所以甲同学从家到公园的速度比从公园到乙同学家的速度慢，C错误；当0≤x≤30时，设y＝kx(k≠0)，则2＝30k，解得k＝，D正确．故选BD. 三、填空题 11．美国科学家Peukert于1898年提出蓄电池的容量C(单位：A·h)，放电时间t(单位：h)与放电电流I(单位：A)之间关系的经验公式C＝In·t，其中n＝log2为Peukert常数．在电池容量不变的条件下，当放电电流I＝10 A时，放电时间t＝57 h，则当放电电流I＝15 A时，放电时间为________ h. 答案：28.5 解析：根据题意可得C＝57×10n，则当I＝15 A时，57×10n＝15n×t，所以t＝57×＝57×＝57×＝28.5 h，即当放电电流I＝15 A时，放电时间为28.5 h. 12．为了响应党和国家节能减排的号召，某企业在国家科研部门的支持下，进行技术攻关，把二氧化碳转化为一种可利用的化工产品，经测算，该技术处理总成本y(单位：万元)与处理量x(单位：吨)(x∈[120，500])之间的函数关系可近似表示为y＝ 为使二氧化碳每吨处理成本最低，则处理量x为________吨． 答案：400 解析：由题意，得二氧化碳每吨的平均处理成本S＝当x∈[120，144)时，S＝x2－80x＋5040，当x＝120时，S取得最小值240；当x∈[144，500]时，S＝x－200＋≥2－200＝200，当且仅当x＝，即x＝400时取等号，此时S取得最小值200.由于200<240，故所求处理量为400吨． 13．(多选)(2025·重庆模拟)放射性物质在衰变中产生的辐射污染逐步引起了人们的关注，已知放射性物质数量随时间t的衰变公式N(t)＝N0e－，N0表示物质的初始数量，τ是一个具有时间量纲的数，研究放射性物质常用到半衰期，半衰期T指的是放射性物质数量从初始数量到衰变成一半所需的时间，已知ln 2＝0.7，下表给出了铀的三种同位素τ的取值：若铀234、铀235和铀238的半衰期分别为T1，T2，T3，则(　　) 物质 τ的量纲单位 τ的值 铀234 万年 35.58 铀235 亿年 10.2 铀238 亿年 64.75 A.T＝τln 0.5 B．T与τ成正比例关系 C．T1>T2 D．T3>10000T1 答案：BD 解析：对于A，由题意，得N(t)＝N0，又N(t)＝N0e－，故N0＝N0e－，两边取对数，得ln 0.5＝－，T＝τln 2，A错误；对于B，由A项分析可知，T与τ成正比例关系，B正确；对于C，由B项可知，T与τ成正比例关系，由于铀234的τ值小于铀235的τ值，故T1<T2，C错误；对于D，因为T3＝τln 2＝6.475×109ln 2，T1＝τln 2＝3.558×105ln 2，故＝>1，D正确．故选BD. 14．(多选)牛顿曾提出了物体在常温环境下温度变化的冷却模型：若物体的初始温度是θ0(单位：℃)，环境温度是θ1(单位：℃)，其中θ0>θ1，则经过t分钟后物体的温度θ将满足θ＝f(t)＝θ1＋(θ0－θ1)e－kt(k∈R，且k>0)．现有一杯80 ℃的热红茶置于20 ℃的房间里，根据这一模型研究红茶冷却情况，下列结论正确的是(参考数据：ln 2≈0.7)(　　) A．若f(3)＝50 ℃，则f(6)＝35 ℃ B．若k＝，则红茶下降到50 ℃所需的时间大约为7分钟 C．若f′(3)＝－5，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5 ℃的速率下降 D．红茶温度从80 ℃下降到60 ℃所需的时间比从60 ℃下降到40 ℃所需的时间多 答案：ABC 解析：对于A，由题知θ＝f(t)＝20＋60e－kt，若f(3)＝50 ℃，即50＝20＋60e－3k，所以e－3k＝，则f(6)＝20＋60e－6k＝20＋60(e－3k)2＝20＋60×＝35 ℃，故A正确；对于B，若k＝，则20＋60e－t＝50，则e－t＝，两边同时取对数，得－t＝ln ＝－ln 2，所以t＝10ln 2≈7，所以红茶下降到50 ℃所需的时间大约为7分钟，故B正确；对于C，f′(3)表示t＝3处的函数值的变化情况，若f′(3)＝－5<0，则其实际意义是在第3分钟附近，红茶温度大约以每分钟5 ℃的速率下降，故C正确；对于D，解法一：因为θ＝f(t)＝θ1＋(θ0－θ1)e－kt，设红茶温度从80 ℃下降到60 ℃所需的时间为t1，则θ＝f(t)＝20＋60e－kt1＝60⇒e－kt1＝⇒t1＝－ln ，设红茶温度从80 ℃下降到40 ℃所需的时间为t2，则θ＝f(t)＝20＋60e－kt2＝40⇒e－kt2＝⇒t2＝－ln ，则红茶温度从60 ℃下降到40 ℃所需的时间为(t2－t1)．由于k>0，所以(t2－t1)－t1＝t2－2t1＝－＝－ln >0，故t2－t1>t1，可得红茶温度从80 ℃下降到60 ℃所需的时间t1比从60 ℃下降到40 ℃所需的时间(t2－t1)少，故D错误．解法二：由指数型函数的图象特征可得，函数f(t)＝20＋60e－kt的大致图象如图，由图可得，红茶温度从80 ℃下降到60 ℃所需的时间t1比从60 ℃下降到40 ℃所需的时间(t2－t1)少，故D错误．故选ABC. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$