第3章 第8节 函数与方程-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案全书word（基础版）

第八节　函数与方程 课标解读 考向预测 1.理解函数的零点与方程解的关系，能进行函数的零点、方程的根、图象交点(横坐标)三者之间的灵活转化. 2.理解函数零点存在定理，并能简单应用. 3.会用二分法求方程的近似解. 从近三年高考情况来看，函数零点(方程的根)个数的判断、由零点存在定理判断零点(方程的根)是否存在、利用函数零点(方程的根)确定参数的取值范围等是考查的热点．本节内容也可与导数结合考查，难度较大．预计2026年高考函数与方程仍会出题，可能以选择题或填空题考查三种形式的灵活转化，也可能与导数结合考查，难度较大. 必备知识—强基础 1．函数的零点 对于函数y＝f(x)，我们把使f(x)＝0的实数x叫做函数y＝f(x)的零点． 2．方程的根与函数零点的关系 方程f(x)＝0有实数解⇔函数y＝f(x)有零点⇔函数y＝f(x)的图象与x轴有公共点． 3．函数零点存在定理 如果函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是一条连续不断的曲线，且有f(a)f(b)<0，那么，函数y＝f(x)在区间(a，b)内至少有一个零点，即存在c∈(a，b)，使得f(c)＝0，c也就是方程f(x)＝0的解． 4．二分法 对于在区间[a，b]上连续不断且f(a)f(b)<0的函数y＝f(x)，通过不断地把它的零点所在区间一分为二，使所得区间的两个端点逐步逼近零点，进而得到零点近似值的方法叫做二分法．求方程f(x)＝0的近似解就是求函数y＝f(x)零点的近似值． (1)若连续函数f(x)在定义域上是单调函数，则f(x)至多有一个零点． (2)连续不断的函数f(x)，其相邻的两个零点之间的所有函数值同号． (3)连续不断的函数f(x)通过零点时，函数值不一定变号． (4)连续不断的函数f(x)在闭区间[a，b]上有零点，不一定能推出f(a)f(b)<0. 题组一　走出误区——判一判 (1)函数的零点是一个点．(　　) (2)任何函数都有零点．(　　) (3)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上有零点，则一定有f(a)f(b)<0.(　　) (4)若函数y＝f(x)在区间(a，b)上满足f(a)·f(b)>0，则函数无零点．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 题组二　回归教材——练一练 (1)(人教A必修第一册4.5.1例1改编)已知函数f(x)＝＋a的零点为1，则实数a的值为(　　) A．－2 B．－ C. D．2 答案：B (2)(人教A必修第一册习题4.5 T1改编)下列函数图象与x轴都有公共点，其中不能用二分法求图中函数零点近似值的是(　　) 答案：A 解析：根据题意，利用二分法求函数零点的条件是函数在零点的左、右两侧的函数值符号相反，即图象穿过x轴，据此分析，知A中的函数不能用二分法求零点．故选A. (3)(人教A必修第一册习题4.5 T2改编)已知函数y＝f(x)的图象是一条连续不断的曲线，部分对应关系如表所示，则该函数的零点个数至少为(　　) x 1 2 3 4 5 6 y 126.1 15.15 －3.92 16.78 －45.6 －232.64 A.2 B．3 C．4 D．5 答案：B 解析：由表可知，f(2)f(3)<0，f(3)f(4)<0，f(4)f(5)<0，所以函数f(x)在区间[1，6]上至少有3个零点．故选B. (4)(人教A必修第一册习题4.5 T13改编)若函数f(x)＝kx＋1在[1，2]上有零点，则实数k的取值范围是________． 答案： 考点探究—提素养 　函数零点所在区间的判断 (1)(2025·广东湛江联考)函数f(x)＝ln (2x)－的一个零点所在的区间是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 答案：B 解析：因为函数f(x)的定义域为(0，＋∞)，且y＝ln (2x)，y＝－在(0，＋∞)上单调递增，可知f(x)在(0，＋∞)上单调递增，且f(1)＝ln 2－1<0，f(2)＝ln 4－>0，所以函数f(x)的唯一一个零点所在的区间是(1，2)．故选B. (2)用二分法求函数f(x)＝3x－x－4的一个零点，其参考数据如下： f(1.6000)≈0.200 f(1.5875)≈0.133 f(1.5750)≈0.067 f(1.5625)≈0.003 f(1.5562)≈－0.029 f(1.5500)≈－0.060 据此数据，可得方程3x－x－4＝0的一个近似解为________(精确度为0.01)． 答案：1.56(答案不唯一，在[1.5562，1.5625]上即可) 解析：注意到f(1.5562)≈－0.029和f(1.5625)≈0.003，显然f(1.5562)f(1.5625)＜0，又|1.5562－1.5625|＝0.0063<0.01，所以近似解可取1.56. 确定函数零点所在区间的常用方法 (1)利用函数零点存在定理：首先看函数y＝f(x)在区间[a，b]上的图象是否连续，再看是否有f(a)f(b)<0.若有，则函数y＝f(x)在区间(a，b)内必有零点． (2)数形结合法：通过画函数图象，观察图象与x轴在给定区间上是否有交点来判断． 　1.用二分法求方程log4x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(　　) A．(0，1) B．(1，2) C．(2，3) D．(3，4) 答案：B 解析：令f(x)＝log4x－，因为函数y＝log4x，y＝－在(0，＋∞)上都是增函数，所以函数f(x)＝log4x－在(0，＋∞)上是增函数，又f(1)＝－<0，f(2)＝log42－＝－＝>0，所以函数f(x)＝log4x－在区间(1，2)上有唯一零点，所以用二分法求方程log4x－＝0的近似解时，所取的第一个区间可以是(1，2)．故选B. 2．已知2<a<3<b<4，函数y＝logax与y＝－x＋b图象的交点为(x0，y0)，且x0∈(n，n＋1)，n∈N*，则n＝________． 答案：2 解析：依题意，x0为方程logax＝－x＋b的解，即为函数f(x)＝logax＋x－b的零点，∵2<a<3<b<4，∴f(x)在(0，＋∞)上单调递增，又f(2)＝loga2＋2－b<0，f(3)＝loga3＋3－b>0，∴x0∈(2，3)，即n＝2. 　函数零点个数的判断 (1)已知函数f(x)＝则函数y＝f(x)的零点个数为________． 答案：2 解析：当x≤1时，由f(x)＝x2－4＝0，可得x＝2(舍去)或x＝－2；当x>1时，由f(x)＝log2(x－1)＝0，可得x＝2.综上所述，函数y＝f(x)的零点个数为2. (2)(2025·浙江台州适应性考试)已知函数h(x)＝sinx＋xcosx，则函数h(x)在区间(0，3π)内零点的个数为________． 答案：3 解析：令sinx＋xcosx＝0，可得sinx＝－xcosx.当cosx≠0时，则有tanx＝－x，画出函数y＝tanx与y＝－x在(0，3π)上的图象如图所示，由图可得，在(0，3π)内两函数图象有三个交点．当cosx＝0时，在(0，3π)内解得x＝，，，不是方程的解．故函数h(x)在区间(0，3π)内零点的个数为3. 求解函数零点个数的基本方法 (1)直接法：令f(x)＝0，方程有多少个解，则f(x)有多少个零点． (2)构造函数法：判断函数的性质，并结合零点存在定理判断． (3)图象法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后观察求解，此时需要根据零点个数合理寻找“临界”情况，特别注意边界值的取舍． 　3.函数f(x)＝的零点个数为________． 答案：2 解析：当x≤0时，f(x)＝x2－2，根据二次函数的性质可知，此时f(x)单调递减，零点为x＝－；当x>0时，f(x)＝2x－6＋lg x，因为y＝2x－6单调递增，y＝lg x单调递增，所以f(x)＝2x－6＋lg x单调递增．又f(1)＝－4<0，f(3)＝lg 3>0，由零点存在定理知，在区间(1，3)内必有唯一零点．综上所述，函数f(x)的零点个数为2. 4．(2025·湖南岳阳模拟)函数f(x)＝－|log2x|的零点有________个． 答案：2 解析：f(x)＝－|log2x|的零点的个数即＝|log2x|的根的个数，即为函数y＝与y＝|log2x|图象交点的个数，画出这两个函数的大致图象如图所示，则由图象可知交点有2个，即函数f(x)的零点有2个． 　函数零点的应用(多考向探究) 考向1　利用零点比较大小 已知函数f(x)＝3x＋x，g(x)＝log2x＋x，h(x)＝x3＋x的零点分别为a，b，c，则a，b，c的大小关系为(　　) A．a<c<b B．a<b<c C．b<a<c D．b<c<a 答案：A 解析：解法一：因为函数y＝3x，y＝x均为R上的增函数，故函数f(x)＝3x＋x为R上的增函数，因为f(－1)＝－1<0，f(0)＝1>0，所以－1<a<0.因为函数y＝log2x，y＝x在(0，＋∞)上均为增函数，故函数g(x)＝log2x＋x在(0，＋∞)上为增函数，因为g＝－1＋<0，g(1)＝1>0，所以<b<1.由h(c)＝c(c2＋1)＝0可得c＝0，因此a<c<b.故选A. 解法二：由题设，得3a＝－a，log2b＝－b，c3＝－c，所以问题可转化为直线y＝－x与y＝3x，y＝log2x，y＝x3的图象的交点问题，函数图象如图所示，由图可知a<c＝0<b.故选A. (1)直接利用方程研究零点． (2)利用图象交点研究零点． (3)利用零点存在定理研究零点． 　5.(2025·江西南昌豫章中学模拟)若＝log2a，＝b2，c＝2－c，则正数a，b，c的大小关系是(　　) A．c<a<b B．c<b<a C．a<c<b D．a<b<c 答案：B 解析：由题意，得a为y＝与y＝log2x图象交点的横坐标，b为y＝与y＝x2(x>0)图象交点的横坐标，c为y＝与y＝x图象交点的横坐标，作出y＝，y＝log2x，y＝x2，y＝x的图象如图所示，由图可知，c<b<a.故选B. 考向2　根据零点个数求参数 已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，则实数b的取值范围为(　　) A．(0，1] B．[0，1] C．(0，1) D．(1，＋∞) 答案：A 解析：依题意，函数g(x)＝f(x)－b有四个不同的零点，即f(x)＝b有四个解，转化为函数y＝f(x)与y＝b的图象有四个交点，由函数y＝f(x)的图象可知，当x∈(－∞，－1]时，函数单调递减，y∈[0，＋∞)；当x∈(－1，0]时，函数单调递增，y∈(0，1]；当x∈(0，1)时，函数单调递减，y∈(0，＋∞)；当x∈[1，＋∞)时，函数单调递增，y∈[0，＋∞)．结合图象，可知实数b的取值范围为(0，1]．故选A. 根据零点个数求参数的方法 (1)直接法：直接根据题设条件构建关于参数的不等式(组)，再通过解不等式(组)确定参数范围． (2)分离参数法：先将参数分离，转化成求函数值域问题加以解决． (3)数形结合法：先对解析式变形，在同一平面直角坐标系中，画出函数的图象，然后数形结合求解．一是转化为两个函数y＝g(x)，y＝h(x)的图象的交点个数问题，画出两个函数的图象，其交点的个数就是函数零点的个数，二是转化为y＝a，y＝g(x)的图象的交点个数问题． 　6.已知函数f(x)＝2|x|＋x2＋a有唯一的零点，则实数a的值为(　　) A．1 B．－1 C．0 D．－2 答案：B 解析：因为函数f(x)＝2|x|＋x2＋a的定义域为R，且f(－x)＝2|－x|＋(－x)2＋a＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，当x≥0时，f(x)＝2x＋x2＋a，则f(x)在[0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，则当x＝0时，f(x)min＝a＋1，由函数f(x)＝2|x|＋x2＋a有唯一的零点，得a＋1＝0，解得a＝－1，所以实数a的值为－1.故选B. 7．(2025·海南儋州模拟)若函数f(x)＝4x－(a－1)2x＋a2－5有两个零点，则实数a的取值范围为(　　) A. B．(－1，) C. D. 答案：C 解析：由函数f(x)＝4x－(a－1)2x＋a2－5有两个零点可知，方程4x－(a－1)2x＋a2－5＝0有两个不相等的实根．不妨设t＝2x，则t>0，依题意，方程t2－(a－1)t＋a2－5＝0有两个不相等的正实根，故有解得<a<，即实数a的取值范围为.故选C. 考向3　根据零点范围求参数 已知函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1，3]上有零点，则实数m的取值范围为________． 答案： 解析：由于函数y＝log2(x＋1)，y＝m－在区间(1，3]上单调递增，所以函数f(x)在(1，3]上单调递增，由于函数f(x)＝log2(x＋1)－＋m在区间(1，3]上有零点，则即 解得－≤m<0.因此实数m的取值范围是. 根据零点范围求参数的方法 (1)利用零点存在定理构建不等式(组)求解． (2)分离参数后转化为函数的值域(最值)问题求解． (3)转化为两个熟悉的函数图象的上下关系问题，从而构建不等式(组)求解． 　8.已知f(x)是定义在R上且周期为3的函数，当x∈[0，3)时，f(x)＝，若函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点(互不相同)，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：作出函数f(x)＝，x∈[0，3)的图象，可见f(0)＝，当x＝1时，f(x)极大值＝ ，函数y＝f(x)－a在区间[－3，4]上有10个零点，即函数y＝f(x)的图象与直线y＝a在区间[－3，4]上有10个交点，由于函数f(x)的周期为3，因此直线y＝a与函数f(x)＝，x∈[0，3)的图象有4个交点，则有a∈.故实数a的取值范围是. 课时作业 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ 考向 函数的零点 函数的零点 函数的零点 方程的解 函数零点的应用 方程的解 函数零点的应用 函数零点的应用 函数的零点 考点 函数零点所在区间的判断 求函数的零点 函数零点个数的判断 根据方程的解求参数的取值范围 利用零点比较大小 根据方程解的个数求参数的取值范围 根据零点的个数求参数的取值范围 根据零点求代数式的取值范围 二分法求函数零点的步骤 题号 10 11 12 13 14 15 16 17 18 难度 ★★ ★★ ★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ 考向 函数的零点 函数的零点 函数零点的应用 函数零点的应用 方程的解 方程的解 方程的解 函数零点的应用 函数的零点 考点 二次函数的零点问题 函数零点个数的判断 根据零点的范围求参数的取值范围 根据零点的个数求参数的取值范围 方程解的和 判断方程解的个数 方程解的分布问题 根据零点求代数式的取值范围 函数零点个数的判断 一、单项选择题 1．函数f(x)＝2x＋3x的零点所在的一个区间是(　　) A．(－2，－1) B．(－1，0) C．(0，1) D．(1，2) 答案：B 解析：因为函数f(x)＝2x＋3x在定义域内单调递增，且f(－1)＝－3＝－<0，f(0)＝1＋0＝1>0，所以由函数零点存在定理可知，函数f(x)的零点所在的区间为(－1，0)．故选B. 2．已知函数f(x)＝则函数f(x)的零点为(　　) A．2 B．－2，0 C. D．0 答案：D 解析：当x≤1时，令f(x)＝2x－1＝0，解得x＝0；当x>1时，令f(x)＝1＋log2x＝0，解得x＝(舍去)．综上所述，函数f(x)的零点为0.故选D. 3．函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数是(　　) A．1 B．2 C．3 D．4 答案：B 解析：令f(x)＝ex|ln x|－1＝0，得|ln x|＝e－x，则函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数等价于函数y＝e－x与y＝|ln x|图象的交点个数，y＝e－x与y＝|ln x|的图象如图所示，由图可知，两个函数的图象有2个交点，故函数f(x)＝ex|ln x|－1的零点个数是2.故选B. 4．若关于x的方程logx＝在区间上有解，则实数m的取值范围是(　　) A. B. C.∪ D.∪(1，＋∞) 答案：B 解析：因为y＝logx在区间上为减函数，则1<y<2，即1<<2，解得<m<.故选B. 5．已知三个函数f(x)＝2x－1＋x－1，g(x)＝ex－1－1，h(x)＝log2(x－1)＋x－1的零点依次为a，b，c，则a，b，c的大小关系是(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a 答案：D 解析：∵函数f(x)＝2x－1＋x－1为增函数，又f(0)＝2－1－1＝－<0，f(1)＝1>0，∴a∈(0，1)；由g(x)＝ex－1－1＝0，得x＝1，即b＝1；∵h(x)＝log2(x－1)＋x－1在(1，＋∞)上单调递增，又h＝log2＋－1＝－<0，h(2)＝log2(2－1)＋2－1＝1>0，∴<c<2.综上，c>b>a.故选D. 6．若方程mx－x－m＝0(m>0，且m≠1)有两个不同的实数根，则实数m的取值范围是(　　) A．(0，1) B．(2，＋∞) C．(0，1)∪(2，＋∞) D．(1，＋∞) 答案：D 解析：方程mx－x－m＝0有两个不同的实数根等价于函数y＝mx与y＝x＋m的图象有两个不同的交点，当m>1时，如图1所示，由图可知，当m>1时，函数y＝mx与y＝x＋m的图象有两个不同的交点，满足题意；当0<m<1时，如图2所示，由图可知，当0<m<1时，函数y＝mx与y＝x＋m的图象有且仅有一个交点，不满足题意．综上所述，实数m的取值范围为(1，＋∞)．故选D. 7．已知函数f(x)＝若函数g(x)＝f(x)＋x－m恰有两个不同的零点，则实数m的取值范围是(　　) A．[0，1] B．(－1，1) C．[0，1) D．(－∞，1] 答案：D 解析：由题意，函数f(x)＝当x≤0时，函数f(x)＝ex为增函数，其中f(0)＝1，当x>0时，函数f(x)＝ln x为增函数，且f(1)＝0，又由函数g(x)＝f(x)＋x－m恰有两个不同的零点，即为g(x)＝0有两个不等的实数根，即y＝f(x)与y＝－x＋m的图象有两个不同的交点，如图所示，当y＝－x＋m恰好过点(1，0)，(0，1)时，两函数的图象有两个不同的交点，结合图象，要使得函数g(x)＝f(x)＋x－m恰有两个不同的零点，实数m的取值范围是(－∞，1]．故选D. 8．已知函数f(x)＝若a，b，c均不相等，且f(a)＝f(b)＝f(c)，则abc的取值范围是(　　) A．(1，10) B．(5，6) C．(10，12) D．(20，24) 答案：C 解析：函数f(x)的图象如图所示，不妨设a<b<c，则－lg a＝lg b＝－c＋6∈(0，1)，所以ab＝1，0<－c＋6<1，所以ab＝1，10<c<12，所以10<abc<12.故选C. 二、多项选择题 9．(2025·辽宁沈阳实验中学模拟)已知函数f(x)＝ex－x＋a，其中x∈R，a为某确定常数，运用二分法研究函数f(x)的零点时，若第一次经计算f(0)<0且f(1)>0，则(　　) A．可以确定f(x)的一个零点x0，满足x0∈(0，1) B．第二次应计算f，若f>0，第三次应计算f C．第二次应计算f，若f<0，第三次应计算f D．第二次应计算f，若f>0，第三次应计算f 答案：AB 解析：对于A，由题意第一次经计算f(0)<0且f(1)>0，因此由零点存在定理可知存在x0∈(0，1)满足f(x0)＝0，故A符合题意；对于B，第二次应计算f，若f>0，又f(0)<0，所以有f(0)f<0，满足零点存在定理，所以第三次应计算f，故B符合题意；对于C，第二次应计算f，若f<0，又f(1)>0，所以有ff(1)<0，满足零点存在定理，所以第三次应计算f，故C不符合题意；对于D，第二次应计算f，而不是计算f，故D不符合题意．故选AB. 10．若关于x的一元二次方程(x－2)(x－3)＝m有实数根x1，x2，且x1<x2，则下列结论正确的是(　　) A．当m＝0时，x1＝2，x2＝3 B．m>－ C．当m>0时，2<x1<x2<3 D．二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零点为2和3 答案：ABD 解析：对于A，易知当m＝0时，(x－2)(x－3)＝0的根为2，3，故A正确；对于B，设y＝(x－2)(x－3)，则y＝x2－5x＋6＝－≥－，因为y＝(x－2)(x－3)的图象与直线y＝m有两个交点，所以m>－，故B正确；对于C，当m>0时，因为y＝(x－2)(x－3)－m的图象由y＝(x－2)(x－3)的图象向下平移m个单位长度得到，所以x1<2<3<x2，故C错误；对于D，由(x－2)(x－3)＝m展开，得x2－5x＋6－m＝0，由根与系数的关系，得x1＋x2＝5，x1x2＝6－m，代入y＝(x－x1)(x－x2)＋m，得y＝(x－x1)(x－x2)＋m＝(x－2)(x－3)－m＋m＝(x－2)(x－3)，所以二次函数y＝(x－x1)(x－x2)＋m的零点为2和3，故D正确．故选ABD. 11．(2025·贵州毕节模拟)函数f(x)＝g(x)＝af(x)＋b，下列关于函数g(x)的叙述正确的是(　　) A．∃b∈R，使得g(x)的图象关于原点对称 B．若a＝－1，－1<b<0，则方程g(x)＝0有大于2的实根 C．若0<a≤1，b＝1，则方程g(x)＝0至少有两个实根 D．若a≥1，b<1，则方程g(x)＝0有三个实根 答案：AB 解析：由f(x)＝可得f(x)为奇函数，图象如图所示．对于A，当b＝0时，g(x)＝af(x)为奇函数，故∃b∈R，使得g(x)的图象关于原点对称，故A正确；对于B，若a＝－1，－1<b<0，则g(x)＝－f(x)＋b，由g(x)＝0，可得f(x)＝b，由图象，知y＝f(x)的图象与直线y＝b有三个交点，存在交点的横坐标大于2，所以方程g(x)＝0有大于2的实根，故B正确；对于C，若0<a≤1，b＝1，则由y＝f(x)图象上每个点的横坐标不变，纵坐标变为原来的a倍可得y＝af(x)的图象，由g(x)＝0，可得af(x)＝－1，由图象，知y＝af(x)的图象与直线y＝－1至多有两个交点，所以方程g(x)＝0至多有两个实根，故C错误；对于D，当a＝1，b＝－3时，由g(x)＝0，可得f(x)＝3，由图象可知，y＝f(x)的图象与直线y＝3只有一个交点，故方程g(x)＝0只有一个实根，故D错误．故选AB. 三、填空题 12．已知函数f(x)＝log2(x－1)＋a在区间(2，3)上有且仅有一个零点，则实数a的取值范围为________． 答案：(－1，0) 解析：由对数函数的性质，可得f(x)为增函数，又函数f(x)在区间(2，3)上有且仅有一个零点，所以f(2)f(3)<0，即a(a＋1)<0，解得－1<a<0，所以实数a的取值范围是(－1，0)． 13．已知函数f(x)＝若函数y＝f(x)－kx－1有m个零点，函数y＝f(x)－x－1有n个零点，且m＋n＝7，则非零实数k的取值范围是________． 答案：∪[3，＋∞) 解析：由题意可得，f(x)的图象与直线y＝kx＋1和y＝x＋1共有7个交点，因为f(x)的图象如图所示，所以非零实数k应满足：①解得0<k≤；或②解得k≥3.综上所述，非零实数k的取值范围是∪[3，＋∞)． 14．已知定义在R上的奇函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，当－1≤x<0时，f(x)＝x2，则方程f(x)＋＝0在[－2，6]内的所有根之和为________． 答案：12 解析：因为f(1＋x)＝f(1－x)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝1对称，又函数y＝f(x)在R上为奇函数，且当－1≤x<0时，f(x)＝x2，由此画出f(x)在区间[－2，6]上的图象如图所示．因为f(x)＋＝0，即f(x)＝－，由图可知，y＝－与f(x)的图象有4个交点，其中2个关于直线x＝1对称，2个关于直线x＝5对称，所以方程f(x)＋＝0在[－2，6]内的所有根之和为2×1＋2×5＝12. 15．已知函数f(x)＝则方程f(f(x))＋3＝0的解的个数为(　　) A．3 B．4 C．5 D．6 答案：C 解析：已知函数f(x)＝∴令f(x)＝－3，则当x>0时，ln x＝－3，解得x＝；当x<0时，x＋＝－3，解得x＝.∵f(f(x))＋3＝0，即f(f(x))＝－3，则f(x)＝或f(x)＝.由f(x)＝，得ln x＝，此方程只有一个根，∵当x<0时，f(x)＝x＋≤－2，当且仅当x＝－1时，等号成立，∴f(x)＝仅在x>0时有一个根，f(x)＝在x<0时有两个根，在x>0时有一个根．综上，方程f(f(x))＋3＝0的解的个数为5.故选C. 16．(多选)(2025·山东青岛高三期末)已知函数f(x)＝若方程f(x)＝m有四个不等的实根x1，x2，x3，x4，且x1<x2<x3<x4，则下列结论正确的是(　　) A．0<m<2 B．x1x2＝ C．x3x4∈(48，55) D．x1x3∈(1，5) 答案：ACD 解析：对于A，当0<x<1时，logx>0，则f(x)＝logx，易得f(x)在(0，1)上单调递减，且f(x)>f(1)＝0，当1≤x<4时，logx≤0，则f(x)＝－logx，易得f(x)在[1，4)上单调递增，且f(1)≤f(x)<f(4)，即0≤f(x)<2，当4≤x≤14时，f(x)＝4cos＝4sin，则由f(x)＝4sin，x∈[4，14]的图象，可知f(x)在[4，8)上单调递减，在[8，14]上单调递增，且f(4)＝4sin＝2，f(5)＝4sin＝0，f(8)＝4sin＝－4，f(11)＝4sin＝0，f(14)＝4sin＝4，从而利用对数函数与正弦函数的性质，画出f(x)的图象，如图所示，因为方程f(x)＝m有四个不等实根，所以f(x)与y＝m的图象有四个交点，所以0<m<2，故A正确；对于B，结合A项分析可得logx1＝－logx2，所以log(x1x2)＝0，则x1x2＝1，故B错误；对于C，D，由正弦函数的性质并结合图象可知(x3，m)与(x4，m)关于直线x＝8对称，所以x3＋x4＝16，又当0<x<1时，f(x)＝logx，令f(x)＝2，得x＝，所以<x1<1，4<x3<5，所以x1x3∈(1，5)，x3x4＝x3(16－x3)＝－x＋16x3＝－(x3－8)2＋64，因为x3∈(4，5)，所以x3x4∈(48，55)，故C，D正确．故选ACD. 17．已知函数f(x)＝若x1<x2，x1<x3，且f(x1)＝f(x2)，f(x1)＋f(x3)＝4，则的取值范围是________． 答案： 解析：对于f(x)＝当x>3时，f(x)>2；当－9≤x≤3时，0≤f(x)≤2，并且其图象关于直线x＝－3对称，故函数f(x)的图象如图所示， 如果x1>3，则f(x1)＝f(x2)不成立，所以x1∈[－9，3]，x2∈[－9，3]，并且有x1＋x2＝－6，0<f(x1)≤2.当x2≠x3时，由f(x1)＋f(x3)＝4可知，2<f(x3)<4，所以2<log2(x3＋1)<4，3<x3<15.所以＝－x3∈.当x2＝x3时，由f(x1)＋f(x3)＝4可得x3＝x2＝3，则x1＝－6－x2＝－9，＝－.综上所述，的取值范围是. 18．(2025·河南郑州模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，且∀x∈R，都有f(x)－f(2－x)＝0.当x∈(0，1]时，f(x)＝ln x＋2x－1，则函数f(x)在区间上有________个零点． 答案：6 解析：∵f(x－1)的图象关于点(1，0)对称，∴函数f(x)是定义域为R的奇函数，∴f(－x)＝－f(x)，且f(0)＝0，又f(x)－f(2－x)＝0，即f(x)＝f(2－x)，∴函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，且f(2＋x)＝f(－x)＝－f(x)，∴f(4＋x)＝－f(2＋x)＝f(x)，∴4是函数f(x)的一个周期，∴f(0)＝f(2)＝f(4)＝0.∵当x∈(0，1]时，f′(x)＝＋2>0，∴f(x)在(0，1]上单调递增，且f＝ln ＋1－1＝－ln 2<0，f(1)＝ln 1＋2－1＝1>0，∴函数f(x)在区间(0，1)上仅有1个零点，且零点在区间上，由对称性，知函数f(x)在区间(1，2)上有且仅有1个零点，∵f(x)是定义域为R的奇函数且4是它的一个周期，∴f(4－x)＋f(x)＝0，∴函数f(x)的图象关于点(2，0)中心对称，∴函数f(x)在区间(2，4)上有且仅有2个零点，∵函数f(x)在区间上没有零点，∴函数f(x)在区间上没有零点，结合f(2)＝f(4)＝0，得函数f(x)在区间上有6个零点． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$