第3章 第7节 函数的图象-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案全书word（基础版）

第七节　函数的图象 课标解读 考向预测 1.在实际情境中，会根据不同的需要选择恰当的方法(如图象法、列表法、解析法)表示函数. 2.会画简单的函数图象. 3.会运用函数图象研究函数的性质，解决方程解的个数与不等式解的问题. 近三年高考中常常考查图象变换问题，多以给图变图、求解析式等多种形式呈现，难度较小．函数图象的应用主要是利用图象研究函数的性质，考查解决有关问题(如方程的根、解不等式)的能力，体现了数形结合的解题思想，难度较大．预计2026年高考函数的图象仍会出题，一般在选择题或填空题中出现，难度起伏较大. 必备知识—强基础 1．描点法作图 步骤：(1)确定函数的定义域；(2)化简函数解析式；(3)讨论函数的性质(奇偶性、单调性、周期性、对称性等)；(4)列表(尤其注意特殊点、零点、最大值点、最小值点、与坐标轴的交点等)，描点，连线． 2．图象变换 图象变换包括图象的平移变换、伸缩变换、对称变换、翻折变换等． (1)平移变换(左加右减，上加下减) (2)伸缩变换 ①把函数y＝f(x)图象的纵坐标不变，横坐标伸长到原来的倍，得到y＝f(wx)(0<w<1)的图象；横坐标缩短到原来的倍，得到y＝f(wx)(w>1)的图象； ②把函数y＝f(x)图象的横坐标不变，纵坐标伸长到原来的w倍，得到y＝wf(x)(w>1)的图象；纵坐标缩短到原来的w倍，得到y＝wf(x)(0<w<1)的图象． (3)对称变换 y＝f(x)的图象y＝－f(x)的图象； y＝f(x)的图象y＝f(－x)的图象； y＝f(x)的图象y＝－f(－x)的图象； y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象y＝logax(a＞0，且a≠1)的图象． 简单地记为：x轴对称y要变，y轴对称x要变，原点对称都要变． (4)翻折变换 ①把函数y＝f(x)图象上方部分保持不变，下方的图象对称翻折到x轴上方，得到函数y＝|f(x)|的图象； ②保留y轴右边的图象，擦去左边的图象，再把右边的图象对称翻折到左边，得到函数y＝f(|x|)的图象． 1．函数图象自身的对称关系 (1)若函数y＝f(x)的定义域为R，且有f(a＋x)＝f(b－x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝对称． (2)函数y＝f(x)的图象关于点(a，b)成中心对称⇔f(a＋x)＝2b－f(a－x)⇔f(x)＝2b－f(2a－x)． 2．两个函数图象之间的对称关系 (1)函数y＝f(x)与y＝f(2a－x)的图象关于直线x＝a对称． (2)函数y＝f(x)与y＝2b－f(2a－x)的图象关于点(a，b)对称． 题组一　走出误区——判一判 (1)当x∈(0，＋∞)时，函数y＝|f(x)|与y＝f(|x|)的图象相同．(　　) (2)函数y＝af(x)与y＝f(ax)(a>0，且a≠1)的图象相同．(　　) (3)若函数y＝f(x)满足f(1＋x)＝f(1－x)，则函数f(x)的图象关于直线x＝1对称．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)√ 题组二　回归教材——练一练 (1)(人教A必修第一册复习参考题3 T12改编)函数f(x)＝的大致图象是(　　) 答案：A 解析：当x>0时，f(x)>0；当x<0时，f(x)<0，可排除B，C，D.故选A. (2)(人教B必修第一册第三章复习题T3改编)已知函数f(x)的部分图象如图所示，则函数f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝－x＋1 B．f(x)＝＋x－1 C．f(x)＝xln x－x＋1 D．f(x)＝xln x＋x－1 答案：C 解析：当x＝2时，－2＋1＝ln －1<0，＋2－1＝ln ＋1>1，2ln 2＋2－1>1，故排除A，B，D.故选C. (3)(人教A必修第一册复习参考题4 T1(3)改编)为了得到函数y＝lg 的图象，只需把函数y＝lg x的图象上所有的点向左平移________个单位长度，再向下平移________个单位长度． 答案：3　1 解析：因为y＝lg ＝lg (x＋3)－1，所以y＝lg x的图象y＝lg (x＋3)的图象y＝lg (x＋3)－1的图象． (4)(人教A必修第一册复习参考题3 T7改编)若函数f(x)＝的图象如图所示，则f(－3)＝________． 答案：－1 解析：由f(－1)＝ln (－1＋a)＝0，得a＝2，又直线y＝ax＋b过点(－1，3)，则2×(－1)＋b＝3，解得b＝5.故当x<－1时，f(x)＝2x＋5，则f(－3)＝2×(－3)＋5＝－1. 考点探究—提素养 　作函数的图象 作出下列函数的图象： (1)y＝；(2)y＝|log2(x＋1)|； (3)y＝；(4)y＝x2－2|x|－1. 解：(1)因为y＝为偶函数，首先，作出y＝(x≥0)的图象，再以y轴为对称轴作出x<0部分的图象，即得y＝的图象，如图1中实线部分． (2)将函数y＝log2x的图象向左平移1个单位长度，再将x轴下方的部分沿x轴翻折上去，即可得到函数y＝|log2(x＋1)|的图象，如图2中实线部分． (3)因为y＝＝2＋，故其函数图象可由y＝的图象向右平移1个单位长度，再向上平移2个单位长度得到，如图3. (4)因为y＝且该函数为偶函数，先用描点法作出[0，＋∞)上的图象，再根据对称性作出(－∞，0)上的图象，即得函数y＝x2－2|x|－1的图象，如图4. 函数图象的画法 直接法 当函数解析式(或变形后的解析式)是熟悉的基本初等函数时，就可根据这些函数的特征找出图象的关键点直接作出图象 转化法 含有绝对值符号的函数，可脱掉绝对值符号，转化为分段函数来画图象 图象 变换法 若函数图象可由某个基本初等函数的图象经过平移、翻折、对称、伸缩得到，可利用图象变换作出，但要注意变换顺序，对不能直接找到熟悉的基本初等函数的要先变形，应注意平移变换的顺序对变换单位及解析式的影响 　1.分别画出下列函数的图象： (1)y＝|lg (x－1)|；(2)y＝2x＋1－1； (3)y＝x2－|x|－2. 解：(1)首先作出y＝lg x的图象，然后将其向右平移1个单位长度，得到y＝lg (x－1)的图象，再把所得图象在x轴下方的部分翻折到x轴上方，即得所求函数y＝|lg (x－1)|的图象，如图1中实线部分． (2)将y＝2x的图象向左平移1个单位长度，得到y＝2x＋1的图象，再将所得图象向下平移1个单位长度，得到y＝2x＋1－1的图象，如图2所示． (3)y＝x2－|x|－2＝其图象如图3所示． 　函数图象的辨别 (1)(2024·全国甲卷)函数f(x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx在区间[－2.8，2.8]的大致图象为(　　) 答案：B 解析：由题知函数f(x)的定义域为R，关于原点对称，又f(－x)＝－x2＋(e－x－ex)sin(－x)＝－x2＋(ex－e－x)sinx＝f(x)，所以函数f(x)为偶函数，所以函数f(x)在区间[－2.8，2.8]上的图象关于y轴对称，故可排除A，C；又f(1)＝－1＋sin1>－1＋·sin＝－1－>－>0，故可排除D.故选B. (2)(2025·广西柳州模拟)已知函数f(x)＝，g(x)＝log2|x|，如图为函数h(x)的图象，则h(x)可能是(　　) A．h(x)＝f(x)＋g(x) B．h(x)＝f(x)－g(x) C．h(x)＝f(x)g(x) D．h(x)＝ 答案：C 解析：依题意可知，函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝＝＝－f(x)，所以函数f(x)为奇函数．函数g(x)的定义域为{x|x≠0}，g(－x)＝log2|－x|＝g(x)，所以函数g(x)为偶函数．对于A，函数h(x)＝f(x)＋g(x)的定义域为{x|x≠0}，h(x)既不是奇函数也不是偶函数，故A不符合题意；对于B，函数h(x)＝f(x)－g(x)的定义域为{x|x≠0}，h(x)既不是奇函数也不是偶函数，故B不符合题意；对于C，函数h(x)＝f(x)g(x)的定义域为{x|x≠0}，h(－x)＝－h(x)，所以h(x)为奇函数，故C符合题意；对于D，函数h(x)＝的定义域为{x|x≠0且x≠±1}，显然D不符合题意．故选C. (1)定性分析：通常利用函数定义域、单调性(有时也借助导数)、奇偶性、周期性、极值点等进行判断． (2)定量计算：关注特殊点及特殊位置． 　2.(2025·湖北武汉模拟)已知某函数的部分图象如图所示，则下列函数中符合此图象的是(　　) A．y＝ B．y＝xcosx C．y＝x(ex－e－x) D．y＝cosx(ex＋e－x) 答案：A 解析：设题设函数为f(x)，由选项可知，A，B，C，D中函数的定义域均为R.对于D，若f(x)＝cosx(ex＋e－x)，此时f(0)＝2，不符合题意，故排除D；对于C，若f(x)＝x(ex－e－x)，此时f(－1)＝e－e－1>0，不符合题意，故排除C；对于B，若f(x)＝xcosx，此时f＝0，不符合题意，故排除B.故选A. 3.若函数y＝f(x)的图象如图所示，则函数y＝－f(x＋1)的图象大致为(　　) 答案：C 解析：y＝f(x)的图象y＝f(x＋1)的图象y＝－f(x＋1)的图象．故选C. 4．如图所示直线l和圆C，当l从l0开始在平面上绕点O按逆时针方向匀速转动(转到角不超过90°)时，它扫过的圆内阴影部分的面积S是时间t的函数，这个函数的图象大致是(　　) 答案：D 解析：观察题图，可知面积S的变化情况为“一直增加，先慢后快，过圆心后又变慢”，对应的函数的图象是变化率先变大再变小，由此知D符合要求．故选D. 　函数图象的应用(多考向探究) 考向1　根据图象研究函数的性质 (多选)某学习小组在研究函数f(x)＝的性质时，得出了如下结论，其中正确的结论是(　　) A．函数f(x)的图象关于点(2，0)中心对称 B．函数f(x)在(－2，0)上单调递增 C．函数f(x)在[0，2)上的最大值为－ D．方程f(x)－x＝0有2个不同实根 答案：BCD 解析：由y＝→y＝→y＝的路线，结合图象变换规则，可得y＝f(x)的大致图象如图所示．由函数f(x)是偶函数及图象知，函数f(x)的图象不关于点(2，0)中心对称，故A错误；由图象知，函数f(x)在(－2，0)上单调递增，故B正确；由图象知，函数f(x)在[0，2)上单调递减，因此x∈[0，2)时，f(x)max＝f(0)＝－，故C正确；当x<0时，f(x)＝，令＝x，得x2＋2x＋1＝0，故x＝－1，且由图象知，当x>0时，直线y＝x与函数y＝f(x)的图象也有一个交点，故D正确．故选BCD. 利用图象研究函数性质问题的思路 　5.(多选)对于函数f(x)＝lg (|x－2|＋1)，下列说法正确的是(　　) A．f(x＋2)是偶函数 B．f(x＋2)是奇函数 C．f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增 D．f(x)没有最小值 答案：AC 解析：作出函数f(x)的图象如图所示，将f(x)的图象向左平移2个单位长度，得f(x＋2)的图象，且f(x＋2)的图象关于y轴对称，故f(x＋2)为偶函数，故A正确，B不正确；由图象可知f(x)在(－∞，2)上单调递减，在(2，＋∞)上单调递增，故C正确；由图象可知函数f(x)存在最小值0，故D不正确．故选AC. 考向2　根据图象解决不等式问题 已知y＝f(x)是偶函数，y＝g(x)是奇函数，它们的定义域都是[－3，3]，且它们在[0，3]上的图象如图所示，则不等式<0的解集是________． 答案：{x|－2<x<－1，或0<x<1，或2<x<3} 解析：y＝f(x)是偶函数，由图象及偶函数的对称性知，在[－3，－2)上，f(x)<0，在(－2，0)上，f(x)>0；y＝g(x)是奇函数，由图象及奇函数的对称性知，在(－3，－1)上，g(x)<0，在(－1，0)上，g(x)>0.当<0时，有或故所求不等式的解集是{x|－2<x<－1，或0<x<1，或2<x<3}． 当不等式问题不能用代数法求解或用代数法求解比较困难，但其对应函数的图象可作出时，常将不等式问题转化为图象的位置关系问题，从而利用数形结合思想求解． 　6.如图为函数y＝f(x)和y＝g(x)的图象，则不等式f(x)g(x)<0的解集为(　　) A．(－∞，－1)∪(－1，0) B．(－∞，－1)∪(0，1) C．(－1，0)∪(1，＋∞) D．(0，1)∪(1，＋∞) 答案：D 解析：由图象可得，当f(x)>0时，x∈(－1，0)∪(1，＋∞)，此时需满足g(x)<0，则x∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)，故x∈(1，＋∞)；当f(x)<0时，x∈(－∞，－1)∪(0，1)，此时需满足g(x)>0，则x∈(－1，1)，故x∈(0，1)．综上所述，x∈(0，1)∪(1，＋∞)．故选D. 考向3　根据图象研究取值范围问题 函数f(x)＝若方程f(x)＝－2x＋m有且只有两个不相等的实数根，则实数m的取值范围是(　　) A．(－∞，4) B．(－∞，4] C．(－2，4) D．(－2，4] 答案：A 解析：令g(x)＝－2x＋m，画出f(x)与g(x)的图象，平移直线，当直线经过(1，2)时只有一个交点，此时m＝4，向右平移，不再符合条件，故m<4.故选A. 求解函数图象应用问题的思维流程 此类问题通常采用“以形助数”或“以数辅形”的数形结合法将问题直观化、生动化． 　7.已知函数f(x)＝无最大值，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，－1) 解析：由题意可知，当x≤a时，f(x)＝－x2－x＋，其图象的对称轴为直线x＝－1，当a≥－1时，函数f(x)＝－x2－x＋有最大值，为f(－1)＝2；当a<－1时，函数f(x)＝－x2－x＋有最大值，为f(a)＝－a2－a＋.当x>a时，f(x)＝－2x在(a，＋∞)上单调递减，故f(x)<f(a)＝－2a，因为函数f(x)无最大值，故当a≥－1时，需满足2<－2a，解得a<－1，不符合题意；当a<－1时，需满足－a2－a＋<－2a，解得a<－1或a>3(舍去)．综上，实数a的取值范围是(－∞，－1)． 课时作业 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★★ ★ 考向 函数图象的应用 函数图象的应用 函数图象的辨别 函数图象的辨别 函数图象的辨别 函数图象的应用 作函数的图象 函数图象的应用 函数图象的应用 考点 根据函数图象研究函数的性质 根据函数图象解决不等式问题 根据解析式辨别函数图象 根据解析式辨别函数图象 根据函数图象辨别函数解析式 根据函数图象研究交点问题 作具体函数的图象 根据函数图象研究方程根的个数 根据函数图象研究函数的性质 题号 10 11 12 13 14 15 16 17 18 难度 ★★ ★★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★★★ ★★★ 考向 函数图象的辨别 函数图象的应用 函数图象的变换 函数图象的变换 函数图象的应用 函数图象的辨别 函数图象的辨别 函数图象的应用 函数图象的应用 考点 根据解析式辨别函数图象 根据函数图象研究函数的性质 根据函数图象研究交点问题 根据函数图象辨别函数解析式 根据函数图象辨别点的移动轨迹 作出函数的图象研究函数的性质 根据函数图象研究函数的性质 一、单项选择题 1．已知函数f(x)＝x|x|－2x，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)是偶函数，且单调递增区间是(0，＋∞) B．f(x)是偶函数，且单调递减区间是(－∞，1) C．f(x)是奇函数，且单调递减区间是(－1，1) D．f(x)是奇函数，且单调递增区间是(－∞，0) 答案：C 解析：将函数f(x)＝x|x|－2x去掉绝对值，得f(x)＝画出函数f(x)的图象，如图所示，观察图象可知，函数f(x)的图象关于原点对称，故f(x)为奇函数，且单调递减区间是(－1，1)．故选C. 2．设奇函数f(x)在(0，＋∞)上为增函数，且f(1)＝0，则不等式<0的解集为(　　) A．(－1，0)∪(1，＋∞) B．(－∞，－1)∪(0，1) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－1，0)∪(0，1) 答案：D 解析：因为f(x)为奇函数，所以不等式<0可化为<0，f(x)的大致图象如图所示，所以原不等式的解集为(－1，0)∪(0，1)．故选D. 3．(2025·河北邢台模拟)已知函数f(x)＝|ln |x||，则函数y＝－f(－x＋1)的图象是(　　) 答案：D 解析：因为f(x)＝|ln |x||的定义域为{x|x≠0}，所以y＝－f(－x＋1)的定义域为{x|x≠1}，所以排除A，C；因为f(x)＝|ln |x||≥0，所以y＝－f(－x＋1)≤0，所以排除B.故选D. 4．(2025·江苏扬州宝应县安宜高级中学高三期末)函数f(x)＝cosx的图象大致为(　　) 答案：C 解析：因为函数f(x)＝cosx的定义域为R，f(－x)＝cos(－x)＝cosx＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，其图象关于原点对称，排除B，D；又f(2)＝cos2<0，排除A.故选C. 5.函数f(x)的图象如图所示，则f(x)的解析式可能为(　　) A．f(x)＝ B．f(x)＝ C．f(x)＝ D．f(x)＝ 答案：D 解析：解法一：由题图可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－f(x)，所以函数f(x)＝是奇函数，所以排除A；f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝－＝－f(x)，所以函数f(x)＝是奇函数，所以排除B；f(x)＝，定义域为R，f(－x)＝＝f(x)，所以函数f(x)＝是偶函数，又x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)>0恒成立，不符合题意，所以排除C.故选D. 解法二：由题图可知，函数f(x)的图象关于y轴对称，所以函数f(x)是偶函数．因为y＝x2＋2是偶函数，y＝ex－e－x是奇函数，所以f(x)＝是奇函数，故排除A；因为y＝x2＋1是偶函数，y＝sinx是奇函数，所以f(x)＝是奇函数，故排除B；因为x2＋2>0，ex＋e－x>0，所以f(x)＝>0恒成立，不符合题意，故排除C.故选D. 6．(2024·广东江门二模)若函数f(x)的图象与圆C：x2＋y2＝4恰有4个公共点，则f(x)的解析式可以为(　　) A．f(x)＝||x|－2| B．f(x)＝x2－2|x| C．f(x)＝|2x－2| D．f(x)＝|lg x2| 答案：D 解析：作出y＝||x|－2|，y＝|2x－2|的图象，如图1所示，作出y＝x2－2|x|，y＝|lg x2|的图象，如图2所示，由图可知，f(x)＝|lg x2|满足题意．故选D. 7.如图，在正方形ABCD中，AB＝2，点M从点A出发，沿A→B→C→D→A方向，以每秒2个单位的速度在正方形ABCD的边上运动；点N从点B出发，沿B→C→D→A方向，以每秒1个单位的速度在正方形ABCD的边上运动．点M与点N同时出发，运动时间为t(单位：秒)，△AMN的面积为f(t)(规定A，M，N共线时其面积为零)，则点M第一次到达点A时，y＝f(t)的图象为(　　) 答案：A 解析：①当0≤t≤1时， f(t)＝AM·BN＝·2t·t＝t2； ②当1<t≤2时， f(t)＝MN·AB＝MN＝|2(t－1)－t|＝2－t； ③当2<t≤3时， f(t)＝MN·BC＝MN＝|2(t－2)－(t－2)|＝t－2； ④当3<t≤4时， f(t)＝AM·DN＝[2－2(t－3)][2－(t－2)]＝(t－4)2. 综上，f(t)＝其图象为选项A中的图象．故选A. 8．(2025·浙江温州模拟)已知函数f(x)＝则关于x的方程f(x)＝ax＋2的根的个数不可能是(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：C 解析：作出函数f(x)的图象，如图所示，则原问题转化为直线y＝ax＋2(过定点(0，2))与函数y＝f(x)的图象交点的个数，由图可知，当a＝0时，直线y＝2与函数y＝f(x)的图象只有一个交点；当a<0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象没有交点；当a>0时，直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象有三个交点．所以直线y＝ax＋2与函数y＝f(x)的图象不可能有两个交点．故选C. 二、多项选择题 9．下列关于函数f(x)＝的性质，说法正确的是(　　) A．f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞) B．f(x)的值域为R C．f(x)在定义域上单调递减 D．点(2，2)是f(x)图象的对称中心 答案：AD 解析：f(x)＝＝＝2＋，由y＝的图象向右平移2个单位长度，再向上平移2个单位长度得到f(x)＝2＋的图象，因为y＝的图象关于点(0，0)对称，所以f(x)的图象关于点(2，2)对称，故D正确；函数f(x)的定义域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，值域为(－∞，2)∪(2，＋∞)，故A正确，B错误；函数f(x)在(－∞，2)和(2，＋∞)上单调递减，故C错误．故选AD. 10．已知a>0，函数f(x)＝xa－ax(x∈(0，＋∞))的图象可能是(　　) 答案：ABC 解析：当0<a<1时，函数y＝xa在(0，＋∞)上单调递增，函数y＝ax在(0，＋∞)上单调递减，因此函数f(x)＝xa－ax在(0，＋∞)上单调递增，当x→0时，f(x)→－1，f(a)＝0，函数图象为曲线，故A符合题意；当a＝1时，函数f(x)＝x－1在(0，＋∞)上的图象是不含端点(0，－1)的射线，故B符合题意；当a>1时，取a＝2，有f(2)＝f(4)＝0，即函数f(x)＝x2－2x，x>0的图象与x轴有两个交点，又当a>1，x>0时，随着x的无限增大，函数y＝ax呈“爆炸式”增长，其增长速度比y＝xa大，因此存在正数x0，当x>x0时，xa<ax恒成立，即f(x)<0，故C符合题意，D不符合题意．故选ABC. 11．如图所示，边长为1的正方形PABC沿x轴从左端无穷远处滚向右端无穷远处，点B恰好能经过原点．设动点P的纵坐标关于横坐标的函数解析式为y＝f(x)，则下列对函数y＝f(x)的判断正确的是(　　) A．函数y＝f(x)是偶函数 B．函数y＝f(x)是周期为4的函数 C．函数y＝f(x)在区间[10，12]上单调递减 D．函数y＝f(x)在区间[－1，1]上的值域是[1，] 答案：ABD 解析：当－2≤x<－1时，动点P的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆；当－1≤x<1时，动点P的轨迹是以B为圆心，为半径的圆；当1≤x<2时，动点P的轨迹是以C为圆心，1为半径的圆；当2≤x≤3时，动点P的轨迹是以A为圆心，1为半径的圆．故函数y＝f(x)的周期为4，因此函数y＝f(x)的图象如图所示，根据图象的对称性可知函数y＝f(x)是偶函数，故A正确；函数f(x)的周期为4，故B正确；函数y＝f(x)在区间[2，4]上为增函数，故在区间[10，12]上也是增函数，故C错误；函数y＝f(x)在区间[－1，1]上的值域是[1，]，故D正确．故选ABD. 三、填空题 12．(2025·福建泉州模拟)把函数y＝log3(x－1)的图象向右平移个单位长度，再把横坐标缩小为原来的，所得图象的函数解析式是________． 答案：y＝log3 解析：把函数y＝log3(x－1)的图象向右平移个单位长度，得到函数y＝log3＝log3的图象，再把横坐标缩小为原来的，得到函数y＝log3的图象． 13．设函数y＝f(x)的定义域为R，给出下列命题： ①若y＝f(x)是偶函数，则y＝f(x＋2)的图象关于y轴对称； ②若y＝f(x＋2)是偶函数，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称； ③若f(x－2)＝f(2－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称； ④y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称． 其中真命题的序号是________． 答案：②④ 解析：若y＝f(x)是偶函数，则y＝f(x＋2)的图象关于直线x＝－2对称，①为假命题；若y＝f(x＋2)是偶函数，则f(x＋2)＝f(－x＋2)，所以y＝f(x)的图象关于直线x＝2对称，②为真命题；f(x－2)＝f(2－x)＝f(－(x－2))，令x－2＝t，即f(t)＝f(－t)，所以f(x)是偶函数，其图象关于y轴对称，③为假命题；y＝f(x－2)的图象是将f(x)的图象向右平移2个单位长度而得，y＝f(2－x)＝f(－(x－2))的图象是将f(x)的图象沿y轴对称后再向右平移2个单位长度而得，因此y＝f(x－2)与y＝f(2－x)的图象关于直线x＝2对称，④为真命题． 14．(2024·河北石家庄三模)给定函数f(x)＝|x2＋x|，g(x)＝x＋，用M(x)表示f(x)，g(x)中的较大者，记M(x)＝max{f(x)，g(x)}．若函数y＝M(x)的图象与y＝a有3个不同的交点，则实数a的取值范围是________． 答案：∪(2，＋∞) 解析：由f(x)＝|x2＋x|＝g(x)＝x＋，作出函数f(x)与g(x)的图象如图1，因为M(x)＝max{f(x)，g(x)}，所以函数y＝M(x)的图象如图2，其中(|x2＋x|)max＝(－1≤x≤0)，当且仅当x＝－时取最大值，设两函数图象在第一象限的交点为P，即当x>0，y>0时，由解得P(1，2)，由题意y＝a与函数y＝M(x)的图象有3个不同的交点，数形结合易知，0<a<或a>2. 15．(2025·浙江台州教学质量评估)函数y＝f(x)的图象如图1所示，则如图2所示的函数图象所对应的函数解析式可能为(　　) A．y＝f(4－2x) B．y＝－f(4－2x) C．y＝f D．y＝－f 答案：C 解析：由题图1知，f(1)＝0，且当x>1时，f(x)>0，由题图2知，图象过点(0，0)，且当x<0时，y>0.对于A，当x＝0时，y＝f(4)>0，故A不可能；对于B，当x＝0时，y＝－f(4)<0，故B不可能；对于C，当x＝0时，y＝f(1)＝0，而当x<0时，1－x>1，则f>0，故C可能；对于D，当x＝0时，y＝－f(1)＝0，而当x<0时，1－x>1，则－f<0，故D不可能．故选C. 16．(2025·内蒙古赤峰模拟)在下列四个图形中，点P从点O出发，按逆时针方向沿周长为l的图形运动一周，O，P两点连线的距离y与点P走过的路程x的函数关系如图，那么点P所走的图形是(　　) 答案：D 解析：对于A，点P在第一条边上运动时，y＝x，但点P在第二条边上运动时，y是随x的增大先减小(减到最小时y即为三角形的第二条边上的高的长度)，然后再增大，对比图象可知，A不符合题意；对于B，y与x的函数图象一定不是对称的，B不符合题意；对于C，一开始y与x的关系不是线性的，C不符合题意；对于D，因为函数图象对称，所以D项应为正方形，不妨设边长为a，点P在第一条边上运动时(即0≤x≤a时)，y＝x，点P在第二条边上运动时(即a≤x≤2a时)，y＝，依然单调递增，点P在第三条边上运动时(即2a≤x≤3a时)，y＝，单调递减，点P在第四条边上运动时(即3a≤x≤4a时)，y＝4a－x，单调递减，且y与x的函数图象关于直线x＝2a＝(其中l＝4a)对称，D符合题意．故选D. 17．(多选)设函数f(x)＝min{|x－3|，3|x|－1，|x＋3|}，则下列说法正确的是(　　) A．f(f(3))＝1 B．函数f(x)为偶函数 C．函数f(x)的最小值为0 D．当x∈[－3，3]时，f(x)－1≤a，则a的取值范围为[2，＋∞) 答案：BC 解析：在同一直角坐标系中作出y＝3|x|－1，y＝|x－3|和y＝|x＋3|的图象如图所示，联立解得即得图中B(1，2)，由对称性可得A(－1，2)，则f(x)＝ 其图象是图中实线部分．则f(f(3))＝f(0)＝0，故A错误；由图象可知函数f(x)为偶函数，函数f(x)的最小值为0，B，C正确；当x∈[－3，3]时，f(x)max＝2，由于f(x)－1≤a，所以a≥2－1＝1，D错误．故选BC. 18．函数f(x)的定义域为[－1，1)，其图象如图所示．函数g(x)是定义域为R的偶函数，满足g(x＋2)＝g(x)，且当x∈[－1，0]时，g(x)＝f(x)． 给出下列四个结论： ①g(1)＝； ②函数g(x)的图象关于直线x＝－1对称； ③不等式g(x)>0的解集为R； ④函数g(x)的单调递增区间为[2k，2k＋1]，k∈Z. 其中所有正确结论的序号是________． 答案：①②④ 解析：对于①，因为函数g(x)是定义域为R的偶函数，所以g(1)＝g(－1)，又g(－1)＝f(－1)＝，所以g(1)＝，故①正确；对于②，因为函数g(x)是定义域为R的偶函数，所以g(－x)＝g(x)，又g(x＋2)＝g(x)，所以g(－x)＝g(－x－2)，所以g(－2－x)＝g(x)，所以函数g(x)的图象关于直线x＝－1对称，故②正确；对于③，由题意可知，g(0)＝f(0)＝0，故③错误；对于④，由题意可知，g(x)在[－1，0]上单调递减，又g(x)为偶函数，其图象关于y轴对称，所以g(x)在[0，1]上单调递增．又g(x＋2)＝g(x)，所以g(x)的周期为2，所以函数g(x)在[2k，2k＋1]，k∈Z上单调递增，故④正确． 24 学科网（北京）股份有限公司 $$