第3章 第5节 指数函数-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案全书word（基础版）

第五节　指数函数 课标解读 考向预测 1.了解指数函数的实际意义，理解指数函数的概念． 2．会画指数函数的图象，探索并理解指数函数的单调性与特殊点. 指数函数是高考考查的重点内容之一，应当熟练掌握指数函数的概念、图象和单调性等常考知识点．在近三年的高考中，考查了指数型函数的图象和性质，或与分段函数结合，以选择题或填空题的形式出现． 预计2026年高考可能会考查利用指数函数的性质比较大小、指数型函数图象的识别与应用以及指数型函数单调性的应用，题型为选择题或填空题，难度中档. 必备知识—强基础 指数函数及其性质 (1)概念：函数y＝ax(a>0，且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，定义域是R，a是底数． (2)指数函数的图象与性质 a>1 0<a<1 图象 定义域 R 值域 (0，＋∞) 性质 图象过定点(0，1)，即当x＝0时，y＝1 当x>0时，y>1；当x<0时，0<y<1 当x<0时，y>1；当x>0时，0<y<1 在(－∞，＋∞)上是增函数 在(－∞，＋∞)上是减函数 (1)画指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，. (2)如图是指数函数①y＝ax，②y＝bx，③y＝cx，④y＝dx的图象，底数a，b，c，d与1之间的大小关系为c＞d＞1＞a＞b＞0.由此我们可得到以下规律：在第一象限内，指数函数y＝ax(a＞0，且a≠1)的图象越高，底数越大． (3)指数函数y＝ax与y＝(a>0，且a≠1)的图象关于y轴对称． 题组一　走出误区——判一判 (1)函数y＝2x－1是指数函数．(　　) (2)函数y＝3x与y＝－的图象关于原点对称．(　　) (3)指数函数的图象一定在x轴上方．(　　) (4)若指数函数y＝ax是减函数，则0＜a＜1.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)√ 题组二　回归教材——练一练 (1)(人教B必修第二册4.1.2练习A T1改编)已知指数函数y＝f(x)的图象经过点(－1，2)，那么这个函数的图象也必定经过点(　　) A. B. C．(1，2) D. 答案：D (2)(人教A必修第一册4.2.2探究改编)函数y＝2x＋1的图象是(　　) 答案：A (3)(人教A必修第一册习题4.2 T10改编)若函数y＝ax(a>0，且a≠1)在区间[0，1]上的最大值与最小值之和为3，则a的值为________． 答案：2 (4)(人教B必修第二册4.1.2尝试与发现改编)已知函数f(x)＝ax－2＋1(a>0，且a≠1)的图象恒过定点M(m，n)，则函数g(x)＝n－mx的图象不经过第________象限． 答案：三 考点探究—提素养 　指数函数的图象及其应用 (1)函数y＝ax；y＝bx；y＝cx；y＝dx的图象如图所示，a，b，c，d分别是下列四个数：，，，中的一个，则a，b，c，d的值分别是(　　) A.，，， B.，，， C.，，， D.，，， 答案：C 解析：由题图，直线x＝1与函数图象的交点的纵坐标从上到下依次为c，d，a，b，而>>>，故选C. (2)(2025·湖南长沙模拟)若直线y＝3a与函数y＝|ax－1|(a>0，且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围为________． 答案： 解析：当0<a<1时，y＝|ax－1|的图象如图1所示，由已知，得0<3a<1，∴0<a<；当a>1时，y＝|ax－1|的图象如图2所示，由已知可得0<3a<1，∴0<a<，结合a>1可得a无解．综上可知，a的取值范围为. (1)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断． (2)对于有关指数型函数的图象，可由指数函数的图象通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时，应注意分类讨论． (3)已知函数解析式判断其图象一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除． 　1.函数y＝e－|x|(e是自然对数的底数)的大致图象是(　　) 答案：C 解析：y＝e－|x|＝易得函数y＝e－|x|为偶函数，且图象过点(0，1)，y＝e－|x|>0，函数在(－∞，0)上单调递增，在(0，＋∞)上单调递减，故C符合题意．故选C. 2．(2025·东北三省四市模拟)已知函数y＝a＋b的图象经过原点，且无限接近直线y＝2，但又不与该直线相交，则ab＝(　　) A．－1 B．－2 C．－4 D．－9 答案：C 解析：因为函数y＝f(x)＝a＋b的图象过原点，所以由a＋b＝0，得a＋b＝0，又该函数的图象无限接近直线y＝2，且不与该直线相交，所以b＝2，则a＝－2，所以ab＝－4.故选C. 　指数函数的性质及其应用(多考向探究) 考向1　比较指数式的大小 若a＝1.010.5，b＝1.010.6，c＝0.60.5，则a，b，c的大小关系为(　　) A．c>a>b B．c>b>a C．a>b>c D．b>a>c 答案：D 解析：解法一：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5>0，所以1.010.6>1.010.5>1，即b>a>1.因为函数φ(x)＝0.6x是减函数，且0.5>0，所以0.60.5<0.60＝1，即c<1.综上，b>a>c.故选D. 解法二：因为函数f(x)＝1.01x是增函数，且0.6>0.5，所以1.010.6>1.010.5，即b>a.因为函数h(x)＝x0.5在(0，＋∞)上单调递增，且1.01>0.6>0，所以1.010.5>0.60.5，即a>c.综上，b>a>c.故选D. 比较两个指数式的大小时，尽量化成同底或同指． (1)当底数相同，指数不同时，构造同一指数函数，然后利用指数函数的性质比较大小． (2)当指数相同，底数不同时，构造两个指数函数，利用图象比较大小；或构造同一幂函数，然后利用幂函数的性质比较大小． (3)当底数不同，指数也不同时，常借助1，0等中间量进行比较． 　3.已知a＝－，b＝－，c＝，则(　　) A．a>b>c B．c>b>a C．c>a>b D．b>a>c 答案：C 解析：因为－＝>1，－＝<1，>1，y＝在R上是增函数，所以>，所以>－>－，即c>a>b. 考向2　解简单的指数方程或不等式 (1)(多选)若4x－4y<5－x－5－y，则下列关系式正确的是(　　) A．x<y B．y－3>x－3 C.> D.<3－x 答案：AD 解析：由4x－4y<5－x－5－y，得4x－5－x<4y－5－y，令f(x)＝4x－5－x，则f(x)<f(y)．因为g(x)＝4x，h(x)＝－5－x在R上都是增函数，所以f(x)在R上是增函数，所以x<y，故A正确；因为G(x)＝x－3在(0，＋∞)和(－∞，0)上都单调递减，所以当x<y<0时，x－3>y－3，故B错误；当x<0，y<0时，，无意义，故C错误；因为y＝在R上是减函数，且x<y，所以<，即<3－x，故D正确．故选AD. (2)已知实数a≠1，函数f(x)＝若f(1－a)＝f(a－1)，则a的值为________． 答案： 解析：当a<1时，41－a＝21，解得a＝；当a>1时，2a－(1－a)＝4a－1，无解．故a的值为. (1)解指数方程的依据：af(x)＝ag(x)(a>0，且a≠1)⇔f(x)＝g(x)． (2)解指数不等式的思路方法：对于形如ax>ab(a>0，且a≠1)的不等式，需借助函数y＝ax的单调性求解，如果a的取值不确定，则需分a>1与0<a<1两种情况讨论；而对于形如ax>b的不等式，需先将b转化为以a为底的指数幂的形式，再借助函数y＝ax的单调性求解． 　4.若当0<x<时，方程ax＝(a>0，且a≠1)有解，则实数a的取值范围是________． 答案：(4，＋∞) 解析：依题意，当x∈时，y＝ax与y＝的图象有交点，作出y＝的部分图象，如图所示，由图可知解得a>4. 5．不等式10x－6x－3x≥1的解集为________． 答案：[1，＋∞) 解析：由10x－6x－3x≥1，可得＋＋≤1.令f(x)＝＋＋，因为y＝，y＝，y＝均为R上的减函数，则f(x)在R上单调递减，且f(1)＝1，所以f(x)≤f(1)，所以x≥1，故不等式10x－6x－3x≥1的解集为[1，＋∞)． 考向3　与指数函数有关的复合函数问题 (1)函数f(x)＝3－x2＋1的值域为________． 答案：(0，3] 解析：设t＝－x2＋1，则t≤1，所以0<3t≤3，故函数f(x)的值域为(0，3]． (2)函数y＝－8×＋17的单调递增区间为________． 答案：[－2，＋∞) 解析：设t＝>0，又y＝t2－8t＋17＝(t－4)2＋1在(0，4]上单调递减，在(4，＋∞)上单调递增．由≤4，得x≥－2，由>4，得x<－2，而函数t＝在R上单调递减，所以函数y＝－8×＋17的单调递增区间为[－2，＋∞)． 解决与指数函数有关的复合函数问题时，首先要掌握指数函数的相关性质，其次要明确复合函数的构成，涉及值域、单调区间、最值等问题时，都要借助“同增异减”这一性质分析判断． 　6.(多选)已知定义在[－1，1]上的函数f(x)＝－2×9x＋4×3x，则下列结论中正确的是(　　) A．f(x)的单调递减区间是[0，1] B．f(x)的单调递增区间是[－1，1] C．f(x)的最大值是f(0)＝2 D．f(x)的最小值是f(1)＝－6 答案：ACD 解析：设t＝3x，x∈[－1，1]，则t＝3x是增函数，且t∈，又函数y＝－2t2＋4t＝－2(t－1)2＋2在上单调递增，在[1，3]上单调递减，因此f(x)在[－1，0]上单调递增，在[0，1]上单调递减，故A正确，B错误；因为f(x)max＝f(0)＝2，故C正确；因为f(－1)＝，f(1)＝－6，因此f(x)的最小值是f(1)＝－6，故D正确．故选ACD. 7．若函数f(x)＝的值域是，则f(x)的单调递增区间是________． 答案：(－∞，－1] 解析：∵y＝是减函数，且f(x)的值域是，∴t＝ax2＋2x＋3有最小值2，则a>0且＝2，解得a＝1，因此t＝x2＋2x＋3的单调递减区间是(－∞，－1]，故f(x)的单调递增区间是(－∞，－1]． 考向4　指数函数性质的综合应用 (2025·浙江杭州模拟)设集合M＝{－1，1}，N＝{x|x>0，且x≠1}，函数f(x)＝ax＋λa－x(a>0，且a≠1)，则(　　) A．∀λ∈M，∃a∈N，f(x)为增函数 B．∃λ∈M，∀a∈N，f(x)为减函数 C．∀λ∈M，∃a∈N，f(x)为奇函数 D．∃λ∈M，∀a∈N，f(x)为偶函数 答案：D 解析：当λ＝1时，f(x)＝ax＋a－x(a>0，且a≠1)，f′(x)＝axln a－a－xln a＝(ax－a－x)ln a＝a－x(a2x－1)ln a．因为a－x>0，若0<a<1，则ln a<0，当x∈(0，＋∞)时，a2x－1<0，所以f′(x)>0，当x∈(－∞，0)时，a2x－1>0，所以f′(x)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减；若a>1，则ln a>0，当x∈(0，＋∞)时，a2x－1>0，所以f′(x)>0，当x∈(－∞，0)时，a2x－1<0，所以f′(x)<0，所以f(x)在(0，＋∞)上单调递增，在(－∞，0)上单调递减，所以不存在a∈N，使得f(x)为增函数，故A错误．当λ＝－1时，f(x)＝ax－a－x(a>0，且a≠1)，当a>1时，f(x)单调递增，故B错误．当λ＝1时，f(x)＝ax＋a－x(a>0，且a≠1)，因为f(－x)＝a－x＋ax＝f(x)，所以f(x)＝ax＋a－x为偶函数，所以不存在a∈N，使得f(x)为奇函数，故C错误，D正确．故选D. 指数函数综合问题的处理策略 (1)涉及单调性的问题，一定要注意底数对指数函数单调性的影响． (2)涉及值域(或最值)的问题，通常要先对函数解析式进行变形，然后逐步求函数的值域(或最值)． 　8.(多选)已知函数f(x)＝，则下列结论正确的是(　　) A．函数f(x)的定义域为R B．函数f(x)的值域为(－1，1) C．函数f(x)是奇函数 D．函数f(x)为减函数 答案：ABC 解析：因为ex>0，所以ex＋1>1，所以函数f(x)的定义域为R，故A正确；f(x)＝＝＝1－，ex>0⇒ex＋1>1⇒0<<1，故－1<1－<1，所以函数f(x)的值域为(－1，1)，故B正确；函数f(x)的定义域为R，f(－x)＝＝＝－f(x)，所以函数f(x)是奇函数，故C正确；函数y＝ex＋1是增函数，且y＝ex＋1>1，所以函数y＝是减函数，所以函数y＝－是增函数，故f(x)＝＝1－是增函数，故D不正确．故选ABC. 课时作业 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ 考向 指数函数的性质及应用 指数函数的图象及应用 指数函数的解析式 指数函数的性质及应用 指数函数的性质及应用 指数函数的性质及应用 指数函数的性质及应用 指数函数的图象及应用 指数函数的性质及应用 指数函数的图象及应用 考点 解简单的指数不等式 由指数型函数的解析式求值 比较指数式的大小 由指数函数的单调性求参数的值 与指数函数有关的复合函数问题 解简单的指数不等式 利用图象比较大小 指数函数性质的综合应用 利用图象比较大小 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 难度 ★★ ★ ★★ ★★★ ★★ ★★★ ★★★ ★★ ★★★ 考向 指数函数的性质及应用 指数函数的性质及应用 指数函数的性质及应用 指数函数的性质及应用 指数函数的性质及应用 指数函数的性质及应用 指数函数的性质及应用 指数函数的性质及应用 指数函数的性质及应用 考点 与指数函数有关的抽象函数问题 解简单的指数方程 由函数的值域求参数的取值范围 解简单的指数不等式 指数函数性质的综合应用 与指数函数有关的复合函数问题 与指数函数有关的复合函数问题 与指数函数有关的单调性问题 与指数函数有关的新定义问题 一、单项选择题 1．已知集合A＝{x|32x－1≥1}，B＝{x|6x2－x－2<0}，则A∪B＝(　　) A. B. C. D. 答案：D 解析：因为A＝{x|32x－1≥1}＝，B＝{x|6x2－x－2<0}＝{x|(3x－2)(2x＋1)<0}＝，所以A∪B＝.故选D. 2．(2025·湖南长沙一中模拟)函数f(x)＝ax－a(a>0，且a≠1)的图象可能是(　　) 答案：C 解析：因为函数f(x)＝ax－a(a>0，且a≠1)，当a>1时，y＝ax是增函数，且图象恒过定点(0，1)，又因为f(x)＝ax－a的图象在y＝ax的基础上向下平移超过1个单位长度，故D错误，C正确；当0<a<1时，y＝ax是减函数，且图象恒过定点(0，1)，又f(x)＝ax－a的图象在y＝ax的基础上向下平移了不到1个单位长度，故A，B错误．故选C. 3．已知函数f(x)＝，则对任意实数x，有(　　) A．f(－x)＋f(x)＝0 B．f(－x)－f(x)＝0 C．f(－x)＋f(x)＝1 D．f(－x)－f(x)＝ 答案：C 解析：f(－x)＋f(x)＝＋＝＋＝1，故A错误，C正确；f(－x)－f(x)＝－＝－＝＝1－，不是常数，故B，D错误．故选C. 4．已知a＝2，b＝4，c＝5，则(　　) A．c<b<a B．a<b<c C．b<a<c D．c<a<b 答案：A 解析：因为a＝2＝4，b＝4，所以a＝4>4＝b，因为b＝4＝(46)＝4096，c＝5＝(55) ＝3125，所以b>c.综上所述，a>b>c.故选A. 5．若函数f(x)＝ax(a>0，且a≠1)在[－1，2]上的最大值为4，最小值为m，则实数m的值为(　　) A. B. C. D.或 答案：D 解析：当a>1时，f(x)＝ax在[－1，2]上单调递增，则f(x)max＝f(2)＝a2＝4，解得a＝2，此时f(x)＝2x，m＝f(x)min＝2－1＝；当0<a<1时，f(x)＝ax在[－1，2]上单调递减，所以f(x)max＝f(－1)＝a－1＝4，解得a＝，此时f(x)＝，m＝f(x)min＝f(2)＝＝.综上所述，实数m的值为或.故选D. 6．(2023·新课标Ⅰ卷)设函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则a的取值范围是(　　) A．(－∞，－2] B．[－2，0) C．(0，2] D．[2，＋∞) 答案：D 解析：函数y＝2x在R上单调递增，而函数f(x)＝2x(x－a)在区间(0，1)上单调递减，则函数y＝x(x－a)＝－在区间(0，1)上单调递减，因此≥1，解得a≥2，所以a的取值范围是[2，＋∞)．故选D. 7．已知函数f(x)满足f(x)＝若f(a)>f(－a)，则实数a的取值范围是(　　) A．(－1，0)∪(0，1) B．(－1，0)∪(1，＋∞) C．(－∞，－1)∪(1，＋∞) D．(－∞，－1)∪(0，1) 答案：B 解析：当x>0时，－x<0，f(－x)＝2－2x＝－(2x－2)＝－f(x)；当x<0时，－x>0，f(－x)＝2－x－2＝－(2－2－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，所以f(a)>f(－a)＝－f(a)，即f(a)>0，作出函数f(x)的图象，如图所示，由图象可得，实数a的取值范围为(－1，0)∪(1，＋∞)．故选B. 8．(2025·河北唐山期末)已知正数a，b，c满足2a＋＝4，3b＋＝6，4c＋＝8，则下列判断正确的是(　　) A．a<b<c B．a<c<b C．c<b<a D．c<a<b 答案：A 解析：由已知可得a＋＝2，b＋＝2，c＋＝2，则a，b，c可分别看作直线y＝2－x和y＝，y＝，y＝的图象的交点的横坐标，画出直线y＝2－x和y＝，y＝，y＝的大致图象，如图所示，由图象可知a<b<c.故选A. 二、多项选择题 9．已知函数f(x)＝，则(　　) A．函数f(x)的定义域为R B．函数f(x)的值域为(0，2] C．函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递增 D．f()>f(4) 答案：ABD 解析：令u＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1，则u∈[－1，＋∞)．对于A，函数f(x)的定义域为R，故A正确；对于B，因为y＝，u∈[－1，＋∞)的值域为(0，2]，所以函数f(x)的值域为(0，2]，故B正确；对于C，因为u＝x2＋4x＋3＝(x＋2)2－1在[－2，＋∞)上单调递增，且y＝在[－1，＋∞)上单调递减，所以根据复合函数的单调性法则，得函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，故C不正确；对于D，由于函数f(x)在[－2，＋∞)上单调递减，则f()>f(4)，故D正确．故选ABD. 10．已知实数a，b满足3a＝6b，则下列关系式可能成立的是(　　) A．a＝b B．0<b<a C．a<b<0 D．1<a<b 答案：ABC 解析：由题意，在同一直角坐标系内分别画出函数y＝3x和y＝6x的图象，如图所示，由图象知，当a＝b＝0时，3a＝6b＝1，所以A可能成立；作出直线y＝k，当k>1时，若3a＝6b＝k，则0<b<a，所以B可能成立；当0<k<1时，若3a＝6b＝k，则a<b<0，所以C可能成立．故选ABC. 11．(2025·福建厦门一中模拟)已知函数f(x)的定义域为R，f(x＋y)＝＋，且f(1)＝1，则(　　) A．f(0)＝0 B．f(－1)＝e2 C．exf(x)为奇函数 D．f(x)在(0，＋∞)上具有单调性 答案：AC 解析：对于A，令x＝y＝0，则有f(0)＝＋，即f(0)＝0，故A正确；对于B，令x＝1，y＝－1，则有f(1－1)＝＋，即f(0)＝ef(1)＋，由f(0)＝0，f(1)＝1，故0＝e＋，即f(－1)＝－e2，故B错误；对于C，令y＝－x，则有f(x－x)＝＋，即f(0)＝exf(x)＋e－xf(－x)，即exf(x)＝－e－xf(－x)，又函数f(x)的定义域为R，则函数exf(x)的定义域为R，故函数exf(x)为奇函数，故C正确；对于D，令y＝x，则有f(x＋x)＝＋，即f(2x)＝，即有＝，则当x＝ln 2时，有＝＝1，即f(2ln 2)＝f(ln 2)，故f(x)在(0，＋∞)上不具有单调性，故D错误．故选AC. 三、填空题 12．指数方程4x－6×2x－16＝0的解是________． 答案：x＝3 解析：∵4x－6×2x－16＝(2x)2－6×2x－16＝0，∴2x＝－2(舍去)或2x＝8，解得x＝3. 13．若函数f(x)＝|2x－a|－1的值域为[－1，＋∞)，则实数a的取值范围为________． 答案：(0，＋∞) 解析：令g(x)＝|2x－a|，由题意，得g(x)的值域为[0，＋∞)，又y＝2x的值域为(0，＋∞)，所以－a<0，解得a>0. 14．已知函数f(x)＝关于x的不等式f(x)≤f(2)的解集为I，若I(－∞，2]，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，－1) 解析：当a≥0时，结合图象可得f(x)≤f(2)的解集是(－∞，2]，不符合题意．当a<0时，2－a>2a，由于f(x)在区间(－∞，0]和(0，2]上单调递增，所以要使f(x)≤f(2)的解集I满足I(－∞，2]，则2－a>f(2)＝22＋a，解得a<－1.综上，实数a的取值范围是(－∞，－1)． 四、解答题 15．已知函数f(x)是定义在R上的奇函数，且函数g(x)＝f(x)＋ex是定义在R上的偶函数． (1)求函数f(x)的解析式； (2)求不等式f(x)≥的解集． 解：(1)∵g(x)＝f(x)＋ex是定义在R上的偶函数， ∴g(－x)＝g(x)，即f(－x)＋e－x＝f(x)＋ex， ∵f(x)是定义在R上的奇函数， ∴f(－x)＝－f(x)， ∴－f(x)＋e－x＝f(x)＋ex， ∴f(x)＝. (2)由(1)，知≥，得2e－x－2ex－3≥0， 即2(ex)2＋3ex－2≤0， 令t＝ex，t>0，则2t2＋3t－2≤0， 解得0<t≤， ∴0<ex≤，∴x≤－ln 2， ∴不等式f(x)≥的解集为(－∞，－ln 2]． 16．已知函数f(x)＝. (1)解关于x的不等式f(x)>，a∈R； (2)若∃x∈(1，3)，∀m∈(1，2)，f(2mnx－4)－f(x2＋nx)＋x2＋nx－2mnx＋4≤0，求实数n的取值范围． 解：(1)由>，得 x3＋x<x3＋ax＋1， 即(1－a)x<1. 当1－a＝0，即a＝1时，不等式恒成立， 则不等式f(x)>的解集为R； 当1－a>0，即a<1时，x<， 则不等式f(x)>的解集为； 当1－a<0，即a>1时，x>， 则不等式f(x)>的解集为. 综上所述，当a＝1时，原不等式的解集是R； 当a<1时，原不等式的解集是； 当a>1时，原不等式的解集是. (2)因为y＝x3和y＝x均为增函数， 所以y＝x3＋x是增函数， 因为y＝是减函数， 所以f(x)是减函数， 则g(x)＝f(x)－x是减函数． 由f(2mnx－4)－f(x2＋nx)＋x2＋nx－2mnx＋4≤0，得 g(2mnx－4)＝f(2mnx－4)－(2mnx－4)≤f(x2＋nx)－(x2＋nx)＝g(x2＋nx)， 所以2mnx－4≥x2＋nx， 又x∈(1，3)，所以2mn－n≥x＋， 又x＋≥2＝4，当且仅当x＝，即x＝2时，不等式取等号， 即∀m∈(1，2)，2mn－n≥4恒成立， 由一次函数的性质可知， 解得n≥4， 所以实数n的取值范围是[4，＋∞)． 17．(多选)(2025·浙江丽水模拟)设函数f(x)＝ecosx，则(　　) A．f(x)是偶函数 B．f(x)是周期函数 C．f(x)有最大值 D．f(x)是增函数 答案：ABC 解析：对于A，因为f(x)＝ecosx的定义域为R，又f(－x)＝ecos(－x)＝ecosx＝f(x)，所以f(x)是偶函数，A正确；对于B，易知f(x＋2π)＝ecos(x＋2π)＝ecosx＝f(x)，所以2π是f(x)的一个周期，B正确；对于C，易知cosx≤1，所以f(x)≤e，所以f(x)有最大值，C正确；对于D，因为y＝cosx在区间(0，π)上单调递减，y＝ex在R上单调递增，所以f(x)在区间(0，π)上单调递减，D错误．故选ABC. 18．(多选)(2025·八省联考)在人工神经网络中，单个神经元输入与输出的函数关系可以称为激励函数．双曲正切函数是一种激励函数．定义双曲正弦函数sinhx＝，双曲余弦函数coshx＝，双曲正切函数tanhx＝，则(　　) A．双曲正弦函数是增函数 B．双曲余弦函数是增函数 C．双曲正切函数是增函数 D．tanh(x＋y)＝ 答案：ACD 解析：对于A，令f(x)＝sinhx＝，则f′(x)＝>0恒成立，故双曲正弦函数是增函数，故A正确；对于B，令g(x)＝coshx＝，则g′(x)＝，由A项分析可知，g′(x)为增函数，又g′(0)＝＝0，故当x∈(－∞，0)时，g′(x)<0，当x∈(0，＋∞)时，g′(x)>0，故g(x)在(－∞，0)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，故B错误；对于C，tanhx＝＝＝＝＝1－，由y＝e2x＋1在R上单调递增，且y＝e2x＋1>1，得tanhx＝1－是增函数，故C正确；对于D，由C项分析可知，tanhx＝，则tanh(x＋y)＝，＝＝＝＝＝，故tanh(x＋y)＝，故D正确．故选ACD. 19．对于函数f(x)，若其定义域内存在实数x满足f(－x)＝－f(x)，则称f(x)为“准奇函数”．若函数f(x)＝，则f(x)________(是，不是)“准奇函数”；若g(x)＝2x＋m为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，则实数m的取值范围为________． 答案：不是　 解析：假设f(x)为“准奇函数”，则存在x满足f(－x)＝－f(x)，∴＝－有解，整理，得ex＝－1，显然无解，∴f(x)不是“准奇函数”．∵g(x)＝2x＋m为定义在[－1，1]上的“准奇函数”，∴2－x＋m＝－2x－m在[－1，1]上有解，∴2m＝－(2x＋2－x)在[－1，1]上有解，令2x＝t∈，∴2m＝－在t∈上有解，又函数y＝t＋在上单调递减，在(1，2]上单调递增，且t＝时，y＝，t＝2时，y＝，∴ymin＝1＋1＝2，ymax＝，∴y＝t＋的值域为，∴2m∈，解得m∈.故实数m的取值范围为. 7 学科网（北京）股份有限公司 $$