第3章 第4节 幂函数与指对运算-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案全书word（基础版）

第四节　幂函数与指对运算 课标解读 考向预测 1.结合函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝ x－1的图象，理解它们的变化规律，了解幂函数. 2.通过对有理数指数幂a(a>0，且a≠1；m，n为整数，且n>0)、实数指数幂ax(a>0，且a≠1；x∈R)含义的认识，了解指数幂的拓展过程，掌握指数幂的运算性质. 3.理解对数的概念和运算性质，知道用换底公式能将一般对数转化成自然对数或常用对数. 高考对幂函数与指对运算的考查，常与指数函数、对数函数交汇命题，题型一般为选择题、填空题，难度中档．预计2026年高考对于幂函数的考查会以幂函数的图象和性质的应用为主，对于指对运算的考查会以参数的求解为主，题型一般为选择题、填空题，难度中档. 必备知识—强基础 1．幂函数 (1)幂函数的定义 一般地，函数y＝xα叫做幂函数，其中x是自变量，α是常数． (2)在同一坐标系中的五个幂函数的图象 (3)幂函数的性质 ①幂函数在(0，＋∞)上都有定义； ②当α＞0时，幂函数的图象都过点(0，0)和(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递增； ③当α＜0时，幂函数的图象都过点(1，1)，且在(0，＋∞)上单调递减； ④当α为奇数时，y＝xα为奇函数；当α为偶数时，y＝xα为偶函数． 2．根式 (1)如果xn＝a，那么x叫做a的n次方根，其中n>1，且n∈N*. (2)式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数． (3)()n＝a． 当n为奇数时，＝a； 当n为偶数时，＝|a|＝ 3．分数指数幂 正数的正分数指数幂，a＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 正数的负分数指数幂，a－＝＝(a>0，m，n∈N*，n>1)． 0的正分数指数幂等于0，0的负分数指数幂没有意义． 4．指数幂的运算性质 aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr(a>0，b>0，r，s∈R)． 5．对数的概念 (1)定义：一般地，如果ax＝N(a>0，且a≠1)，那么数x叫做以a为底N的对数，记作x＝logaN，其中a叫做对数的底数，N叫做真数． (2)常用对数和自然对数 ①常用对数：以10为底的对数叫做常用对数，并把log10N记为lg__N． ②自然对数：以e为底的对数叫做自然对数，并把logeN记为ln__N． 6．对数的性质 (1)负数和0没有对数； (2)loga1＝0； (3)logaa＝1； (4)对数恒等式：alogaN＝N；logaab＝b(a>0，且a≠1)． 7．对数的运算性质 如果a>0，且a≠1，M>0，N>0，那么 (1)loga(MN)＝logaM＋logaN； (2)loga＝logaM－logaN； (3)logaMn＝nlogaM(n∈R)． 8．换底公式 logab＝(a>0，且a≠1；b>0；c>0，且c≠1)． 1．幂函数的奇偶性 α y＝xα的奇偶性 α为整数 α为偶数 偶函数 α为奇数 奇函数 α＝，其中n≥2，m，n∈N*且m，n互质 m为奇数，n为奇数 奇函数 m为偶数，n为奇数 偶函数 m为奇数，n为偶数 非奇非偶函数 2.任意实数的奇次方根只有一个，正数的偶次方根有两个，且互为相反数． 3．对数运算的两个重要结论 (1)logab＝(a>0，且a≠1；b>0，且b≠1)． (2)logambn＝logab(a>0，且a≠1；b>0；m，n∈R，且m≠0)． 题组一　走出误区——判一判 (1)函数y＝－x是幂函数．(　　) (2)当α<0时，幂函数y＝xα在定义域内单调递减．(　　) (3)若幂函数y＝xα是偶函数，则α为偶数．(　　) (4)＝()n＝a.(　　) (5)log2x2＝2log2x.(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)×　(5)× 题组二　回归教材——练一练 (1)(人教B必修第二册习题4－4B T1改编)已知幂函数f(x)的图象过点，则f(4)的值是(　　) A．64 B．4 C. D. 答案：D (2)(人教A必修第一册习题4.3 T5改编)设lg 2＝a，lg 3＝b，则log1210＝(　　) A. B. C．2a＋b D．2b＋a 答案：A 解析：log1210＝＝＝. (3)(人教A必修第一册3.3探究改编)已知α∈，若幂函数f(x)＝xα为奇函数，且在(0，＋∞)上单调递增，则α＝________． 答案：1 解析：由y＝xα为奇函数，知α取－1，1，又y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，∴α>0，∴α＝1. (4)(人教B必修第二册4.4例1改编)已知a＝0.40.3，b＝0.30.3，c＝0.30.4，则a，b，c的大小关系是________(用“<”连接)． 答案：c<b<a 解析：由指数函数、幂函数的单调性可知，0.30.4<0.30.3，0.40.3>0.30.3，即c<b<a. 考点探究—提素养 　幂函数的图象与性质 (1)若幂函数y＝x－1，y＝xm与y＝xn在第一象限内的图象如图所示，则m与n的取值情况为(　　) A．－1<m<0<n<1 B．－1<n<0<m< C．－1<m<0<n< D．－1<n<0<m<1 答案：D 解析：幂函数y＝xα，当α>0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递增，且0<α<1时，图象上凸，∴0<m<1.当α<0时，y＝xα在(0，＋∞)上单调递减．不妨令x＝2，由图象得2－1<2n，则－1<n<0.综上，－1<n<0<m<1.故选D. (2)(2025·江苏连云港海滨中学模拟)若幂函数f(x)＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3在(0，＋∞)上是减函数，则实数m＝________． 答案：3 解析：因为幂函数f(x)＝(m2－2m－2)x－m2＋m＋3在(0，＋∞)上是减函数，所以由m2－2m－2＝1，得m＝－1或m＝3.当m＝－1时，－m2＋m＋3＝－1－1＋3＝1>0，所以m＝－1舍去；当m＝3时，－m2＋m＋3＝－9＋3＋3＝－3<0，符合题意．综上，m＝3. (1)幂函数的形式是y＝xα(α∈R)，其中只有一个参数α，因此只需一个条件即可确定其解析式． (2)对于幂函数的图象，需记住在第一象限内三条线分第一象限为六个区域，即x＝1，y＝1，y＝x所分区域．根据α＜0，0＜α＜1，α＝1，α>1的取值确定位置后，其余象限部分由奇偶性决定． (3)在比较幂值的大小时，可结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较． (4)在区间(0，1)上，幂函数中指数越大，函数图象越靠近x轴(简记为“指大图低”)，在区间(1，＋∞)上，幂函数中指数越大，函数图象越远离x轴(简记为“指大图高”)． 　1.已知a＝2ln 2，b＝3－0.5，c＝2－0.4，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a 答案：B 解析：因为2ln 2＝ln 4>ln e＝1，3－0.5<3－0.4<2－0.4<1，所以a>c>b.故选B. 2．幂函数f(x)＝xa(a∈R)满足：对任意x∈R有f(－x)＝f(x)，且f(－1)<f(2)<2.写出符合上述条件的一个函数：f(x)＝________． 答案：x(答案不唯一) 解析：取f(x)＝x，则定义域为R，且f(－x)＝(－x)＝x＝f(x)，f(－1)＝1，f(2)＝2＝，满足f(－1)<f(2)<2.故f(x)＝x满足题意． 　指数幂的运算 (1)已知x，y>0，化简 ＝__________． 答案：－10y 解析：原式＝＝－10y. (2)计算：－0.752＋6－2×－＝________． 答案：1 解析：原式＝－＋×－＝－＋×＝－＋×＝1. 　3.－×(a>0，b>0)＝________． 答案： 解析：原式＝＝. 4．若x＋x－＝3，则x2＋x－2＝________． 答案：47 解析：由x＋x－＝3，得x＋x－1＝7，再平方得x2＋x－2＝47. 　对数的运算 (1)(多选)下列各式化简运算结果为1的是(　　) A．log53×log32×log25 B．lg ＋lg 5 C．loga2(a>0，且a≠1) D．eln 3－0.125－ 答案：AD 解析：对于A，原式＝××＝1；对于B，原式＝lg 2＋lg 5＝lg (2×5)＝；对于C，原式＝2loga＝2×2＝4；对于D，原式＝3－8＝3－2＝1.故选AD. (2)已知正实数x，y，z满足3x＝4y＝(2)z，则(　　) A.＋＝ B.＋＝ C.＋＝ D.＋＝ 答案：C 解析：令3x＝4y＝(2)z＝a，则x＝log3a，y＝log4a，z＝log2a，故＝loga3，＝loga4，＝loga2，故＋＝loga12＝2loga＝.故选C. 对数运算的一般思路 转化 利用ab＝N⇔b＝logaN(a>0，且a≠1)对题目条件进行转化 利用换底公式转化为同底数的对数运算 恒等式 注意loga1＝0，logaaN＝N，alogaN＝N(a>0，且a≠1)的应用 拆分 将真数化为积、商或底数的指数幂形式，正用对数的运算法则化简 合并 将对数式化为同底数对数的和、差、倍数形式，然后逆用对数的运算法则，转化为同底对数真数的积、商、幂的运算 利用常用对数中的lg 2＋lg 5＝1. 　5.化简(2log43＋log83)(log32＋log92)的值为(　　) A．1 B．2 C．4 D．6 答案：B 解析：原式＝＝log23×log32＝2.故选B. 6．(多选)若10a＝4，10b＝25，则(　　) A．a＋b＝2 B．b－a＝1 C．ab>(lg 2)2 D．b－a>lg 6 答案：ACD 解析：由10a＝4，10b＝25，得a＝lg 4，b＝lg 25，所以a＋b＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，故A正确；因为b－a＝lg 25－lg 4＝lg <lg 10＝1，故B错误；因为ab＝lg 4×lg 25>lg 2×lg 2＝(lg 2)2，故C正确；因为b－a＝lg 25－lg 4＝lg >lg ＝lg 6，故D正确．故选ACD. 　与指对运算相关的情境问题 (2024·北京高考)生物丰富度指数d＝是河流水质的一个评价指标，其中S，N分别表示河流中的生物种类数与生物个体总数．生物丰富度指数d越大，水质越好．如果某河流治理前后的生物种类数S没有变化，生物个体总数由N1变为N2，生物丰富度指数由2.1提高到3.15，则(　　) A．3N2＝2N1 B．2N2＝3N1 C．N＝N D．N＝N 答案：D 解析：由题意，得＝2.1，＝3.15，若S不变，则2.1ln N1＝3.15ln N2，即2ln N1＝3ln N2，所以N＝N.故选D. 对于此类问题要正确理解题目信息，根据题意，列出相应的代数式或方程，灵活使用对数的运算法则和性质进行化简计算． 　7.(2025·河南重点中学高三联考)在倡导“节能环保”“低碳生活”的今天，新能源逐渐被人们所接受，进而青睐．新能源汽车作为新能源产业中的重要支柱产业之一，取得了长足的发展．为预测某省未来新能源汽车的保有量，采用阻滞型模型y＝进行估计，其中y为第t年底新能源汽车的保有量，r为年增长率，M为饱和量，y0为初始值(单位：万辆)．若该省2022年底新能源汽车的保有量为20万辆，以此作为初始值，若以后每年的增长率为0.12，饱和量为1300万辆，那么2032年底该省新能源汽车的保有量约为(采取四舍五入法，精确到1万辆)(参考数据：ln 0.887≈－0.12，ln 0.30≈－1.2)(　　) A．65万辆 B．64万辆 C．63万辆 D．62万辆 答案：B 解析：由题意知y＝＝，因为ln 0.30≈－1.2，所以e－1.2≈0.30，所以y≈≈64.故选B. 课时作业 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★ ★★ 考向 幂函数的图象 幂函数的性质 指对运算 指对运算 幂函数性质的应用 指对运算 幂函数性质的应用 幂函数的性质 指对运算 幂函数性质的应用 考点 奇偶性、单调性 对数的运算 利用单调性比较大小 对数的运算 利用奇偶性求值 幂函数的单调性 指数幂的运算 利用单调性、奇偶性比较大小 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ ★★★ ★★ ★★★ 考向 指对运算相关的情景问题 指对运算 幂函数的解析式 指对运算 幂函数性质的应用 幂函数的图象 指对运算 指对运算 指对运算 幂函数性质的应用 考点 指数幂的运算 由幂函数的解析式求值 解对数方程 利用幂函数的单调性求参数值、解不等式 利用幂函数的图象比较大小 与指对运算有关的新定义问题 与指对运算有关的新定义问题 对数的运算 由幂函数的单调性求参数的值、最值 一、单项选择题 1.如图，①②③④对应四个幂函数的图象，其中①对应的幂函数可能是(　　) A．y＝x3 B．y＝x2 C．y＝x D．y＝x 答案：D 解析：根据题中函数图象可得①对应的幂函数y＝xα在[0，＋∞)上单调递增，且增长速度越来越慢，故α∈(0，1)，故D符合要求．故选D. 2．已知幂函数y＝f(x)的图象经过点(3，)，则f(x)(　　) A．是偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 B．是偶函数，且在(0，＋∞)上是减函数 C．是奇函数，且在(0，＋∞)上是减函数 D．是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数 答案：D 解析：设幂函数的解析式为y＝xα，将点(3，)的坐标代入解析式，得3α＝，解得α＝，所以y＝x，函数的定义域为[0，＋∞)，是非奇非偶函数，且在(0，＋∞)上是增函数．故选D. 3．lg 4＋2lg 5＋log28＋8＝(　　) A．8 B．9 C．10 D．1 答案：B 解析：因为lg 4＋2lg 5＝lg 4＋lg 52＝lg 4＋lg 25＝lg 100＝2，log28＝log223＝3，8＝(23)＝22＝4，所以lg 4＋2lg 5＋log28＋8＝2＋3＋4＝9.故选B. 4．(2025·辽宁丹东模拟)若2a＝3，3b＝5，5c＝4，则log4(abc)＝(　　) A．－2 B. C. D．1 答案：B 解析：由2a＝3，3b＝5，5c＝4，可得a＝log23，b＝log35，c＝log54，所以abc＝log23×log35×log54＝××＝2，则log4(abc)＝log42＝.故选B. 5．已知a＝2，b＝4，c＝25，d＝6，则(　　) A．b<a<d<c B．b<c<a<d C．c<d<b<a D．b<a<c<d 答案：D 解析：由题意，得a＝2＝16，b＝4＝16，c＝25，d＝6＝36，因为幂函数y＝x在R上单调递增，所以a<c<d.又因为指数函数y＝16x在R上单调递增，所以b<a.故选D. 6．(2025·湘豫名校联考)若a>1，则alg (lg a)－(lg a)lg a的值是(　　) A．零 B．正数 C．负数 D．以上皆有可能 答案：A 解析：令b＝lg a，则a＝10b，由a>1，得b>0，所以alg (lg a)－(lg a)lg a＝(10b)lg b－bb＝10lg bb－bb＝0.故选A. 7．已知函数f(x)＝(m－1)xm＋1为幂函数，则f(a2－2a)＋f(2a－a2)＝(　　) A．0 B．－1 C．a2 D．a6－a4 答案：A 解析：由题意，有m－1＝1，可得m＝2，f(x)＝x3，其定义域为R，且f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，所以f(a2－2a)＋f(2a－a2)＝0.故选A. 8．已知幂函数f(x)的图象过点，则函数y＝f(x2＋2x)的单调递增区间为(　　) A．(－∞，－2) B．(－∞，－1) C．(0，＋∞) D．(1，＋∞) 答案：A 解析：设f(x)＝xα，因为f(x)的图象过点，所以2α＝，解得α＝－，即f(x)＝x－，可得f(x)在(0，＋∞)上单调递减，则函数y＝f(x2＋2x)＝(x2＋2x)－＝，由x2＋2x>0，解得x<－2或x>0，则函数y＝x2＋2x在(－∞，－2)上单调递减，在(0，＋∞)上单调递增，所以函数y＝f(x2＋2x)的单调递增区间为(－∞，－2)．故选A. 二、多项选择题 9．下列各式中成立的是(　　) A.＝n7m(n>0，m>0) B．－＝ C.＝ D．[(a3)2(b2)3]－＝a－2b－2(a>0，b>0) 答案：BCD 解析：＝＝n7m－7(n>0，m>0)，故A错误；－＝－3＝－3＝，故B正确；＝＝＝，故C正确；[(a3)2(b2)3]－＝(a6b6)－＝a－2b－2(a>0，b>0)，故D正确．故选BCD. 10．已知幂函数f(x)＝(m2－m－1)xm2＋m－3，对任意x1，x2∈(0，＋∞)，且x1≠x2，都满足>0，若a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，则下列结论可能成立的是(　　) A．a＋b>0且ab<0 B．a＋b<0且ab<0 C．a＋b<0且ab>0 D．以上都可能 答案：BC 解析：因为f(x)＝(m2－m－1)x m2＋m－3为幂函数，所以m2－m－1＝1，解得m＝2或m＝－1.依题意f(x)在(0，＋∞)上单调递增，所以m＝2，此时f(x)＝x3，因为f(－x)＝(－x)3＝－x3＝－f(x)，所以f(x)＝x3为奇函数．因为a，b∈R且f(a)＋f(b)<0，所以f(a)<f(－b)，又y＝f(x)为增函数，所以a<－b，所以a＋b<0.故选BC. 11．(2025·湖南娄底模拟)我国向国际社会的环保承诺已经超额完成，积极稳妥推进碳达峰、碳中和，我国将继续坚持贯彻落实．某工厂产生的废气经过过滤后排放，过滤过程中废气的污染物含量P(单位：mg/L)与时间t(单位：h)的关系为P＝P0e－kt，其中P0，k是常数．已知在前5 h消除了10%的污染物．则下列结论正确的是(参考数据：ln 0.5≈－0.693，ln 0.9≈－0.105)(　　) A．k＝ln 0.9 B．过滤10 h后还剩余81%的污染物 C．污染物减少50%所需要的时间为31 h D．污染物减少50%所需要的时间为33 h 答案：BD 解析：由题意知，当t＝0时，P＝P0，当t＝5时，P＝(1－10%)P0＝0.9P0，于是有0.9P0＝P0e－5k，解得k＝－ln 0.9，故A错误；当t＝10时，P＝P0e－10k＝P0e2ln 0.9＝P0×0.92＝81%P0，故B正确；当P＝50%P0＝0.5P0时，有0.5P0＝P0e－kt，解得t＝≈＝33，故C错误，D正确．故选BD. 三、填空题 12．(2025·八省联考)已知函数f(x)＝ax(a>0，a≠1)，若f(ln 2)f(ln 4)＝8，则a＝________． 答案：e 解析：由f(ln 2)f(ln 4)＝8，可得aln 2·aln 4＝8，即aln 2＋ln 4＝a3ln 2＝8，也即(aln 2)3＝23，∵a>0且a≠1，∴aln 2＝2，两边取对数得ln 2·ln a＝ln 2，解得a＝e. 13．已知函数f(x)为幂函数，且f(4)＝，则当f(a)＝4f(a＋3)时，实数a＝________． 答案： 解析：设f(x)＝xα，则4α＝，所以α＝－，因此f(x)＝x－，从而a－＝4(a＋3)－，解得a＝. 14．(2024·全国甲卷)已知a>1，－＝－，则a＝________． 答案：64 解析：由－＝－log2a＝－，整理，得(log2a)2－5log2a－6＝0，解得log2a＝－1或log2a＝6，又a>1，所以log2a＝6＝log226，故a＝26＝64. 四、解答题 15．已知幂函数f(x)＝(m2＋m－1)xm＋1在(0，＋∞)上是减函数． (1)求f(x)的解析式； (2)若(5－a)>(2a－1)，求实数a的取值范围． 解：(1)由幂函数的定义，知m2＋m－1＝1， 即m2＋m－2＝0，解得m＝－2或m＝1. 因为f(x)在(0，＋∞)上是减函数， 所以m＋1<0，即m<－1，则m＝－2. 故f(x)＝x－1＝. (2)由(1)可得m＝－2，设g(x)＝x－， 则g(x)的定义域为(0，＋∞)，且g(x)在定义域上为减函数， 因为(5－a)－>(2a－1)－， 所以解得2<a<5. 故实数a的取值范围为(2，5)． 16．设函数f(x)＝，g(x)＝ax2＋bx(a，b∈R，a≠0)，若y＝f(x)的图象与y＝g(x)的图象有且仅有两个不同的公共点A(x1，y1)，B(x2，y2)，则下列判断正确的是(　　) A．当a<0时，x1＋x2<0，y1＋y2>0 B．当a<0时，x1＋x2>0，y1＋y2<0 C．当a>0时，x1＋x2<0，y1＋y2<0 D．当a>0时，x1＋x2>0，y1＋y2>0 答案：B 解析：令f(x)＝g(x)，得＝ax＋b.设F(x)＝，y＝ax＋b，根据题意F(x)与直线y＝ax＋b只有两个交点，不妨设x1<x2，结合图形可知，当a>0时，如图1，y＝ax＋b与F(x)左支双曲线相切，与右支双曲线有一个交点，根据对称性可得|x1|>x2，即－x1>x2>0，此时x1＋x2<0，y2＝>＝－y1，所以y1＋y2>0，同理可得，当a<0时，如图2，x1＋x2>0，y1＋y2<0，故选B. 17．(2025·重庆一中模拟)已知[x]表示不超过x的最大整数，例如[1.1]＝1，[2]＝2，[－2.1]＝－3，定义：若f(x)＝n在(a，b)上恒成立，则称S＝|n|(b－a)为函数f(x)在[a，b)上的“面积”．函数f(x)＝[2x]在[0，3)上的“面积”之和与下面哪个数最接近(注意：①“面积不重复计算”；②630≈29.3)(　　) A．7.3 B．7.7 C．8.7 D．9.3 答案：C 解析：因为0≤x<3，所以1≤2x<8，当1≤2x<2，即0≤x<1时，f(x)＝1，当2≤2x<3，即1≤x<log23时，f(x)＝2，当3≤2x<4，即log23≤x<2时，f(x)＝3，当4≤2x<5，即2≤x<log25时，f(x)＝4，当5≤2x<6，即log25≤x<log26时，f(x)＝5，当6≤2x<7，即log26≤x<log27时，f(x)＝6，当7≤2x<8，即log27≤x<3时，f(x)＝7，根据“面积”的定义可知，函数f(x)＝[2x]在[0，3)上的“面积”之和为S＝1×1＋2×(log23－1)＋3×(log24－log23)＋4×(log25－log24)＋5×(log26－log25)＋6×(log27－log26)＋7×(3－log27)＝18－(log23＋log25＋log26＋log27)＝18－log2630≈8.7.故选C. 18．(多选)(2025·云南曲靖模拟)已知集合S，T，定义ST＝{xy|x∈S，y∈T}，则下列命题正确的是(　　) A．若S＝{1921，1949}，T＝{0，1}，则ST与TS的全部元素之和等于3874 B．若S＝{2021}，R表示实数集，R＋表示正实数集，则SR＝R＋ C．若S＝{2024}，R表示实数集，则RS＝R D．若S＝{2049}，R＋表示正实数集，函数f(x)＝log2024x，x∈(R＋)S，则2049属于函数f(x)的值域 答案：BD 解析：对于A，因为S＝{1921，1949}，T＝{0，1}，根据所给定义可得TS＝{0，1}，ST＝{1，1921，1949}，则ST与TS的全部元素之和等于3872，故A错误；对于B，SR＝{y|y＝2021x，x∈R}＝R＋，故B正确；对于C，RS＝{y|y＝x2024，x∈R}，表示幂函数y＝x2024(x∈R)的值域，可知幂函数y＝x2024(x∈R)的值域为[0，＋∞)，即RS＝[0，＋∞)，故C错误；对于D，因为x∈(R＋)S＝{x|x＝t2049，t>0}，当t＝2024时，则x＝20242049，可得f(20242049)＝log202420242049＝2049，故D正确．故选BD. 19．设x，y∈R，a>1，b>1，若ax＝by＝3，3a＋b＝18，则＋的最大值为________． 答案：3 解析：因为ax＝by＝3，所以x＝loga3，y＝logb3.又loga3·log3a＝·＝1，logb3·log3b＝·＝1，所以＝log3a，＝log3b.因为a>1，b>1，根据基本不等式，有3ab≤＝81，当且仅当3a＝b，即a＝3，b＝9时，等号成立，所以ab≤27，则＋＝log3a＋log3b＝log3(ab)≤log327＝3.所以＋的最大值为3. 20．已知幂函数f(x)＝(m－1)2xm2－4m＋2在(0，＋∞)上单调递增，函数g(x)＝2x－3t，对任意x1∈[1，5)，总存在x2∈[1，5)，使得f(x1)＝g(x2)，则t的取值范围是________． 答案： 解析：因为f(x)＝(m－1)2x m2－4m＋2为幂函数，则(m－1)2＝1，解得m＝0或m＝2.当m＝2时，f(x)＝x－2在(0，＋∞)上单调递减，舍去，故f(x)＝x2.当x∈[1，5)时，f(x)∈[1，25)，故g(5)＝25－3t≥25，所以t≤；g(1)＝2－3t≤1，所以t≥.综上所述，t的取值范围是. 1 学科网（北京）股份有限公司 $$