第3章 第3节 函数的奇偶性、周期性与对称性-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案全书word（基础版）

第三节　函数的奇偶性、周期性与对称性 课标解读 考向预测 1.结合具体函数，了解函数奇偶性的含义，会运用函数的图象理解和研究函数的奇偶性. 2.了解函数的周期性、最小正周期的含义，会判断、应用简单函数的周期性. 3.会利用函数的奇偶性、单调性、对称性、周期性解决函数性质的综合问题. 以理解函数的奇偶性、会用函数的奇偶性为主，常与函数的单调性、周期性交汇命题，题型以选择题、填空题为主，难度中档偏上．本节复习时应结合具体的实例和函数的图象，理解函数的奇偶性、周期性、对称性的概念，明确它们在研究函数中的作用和功能，重点是综合利用函数的性质解决有关问题．预计2026年高考会以抽象函数为载体，将函数的奇偶性、周期性、单调性、对称性等相结合来综合考查，以多选题的形式呈现. 必备知识—强基础 1．函数的奇偶性 奇偶性 定义 图象特点 偶函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝f(x)，那么函数f(x)就叫做偶函数 关于y轴对称 奇函数 一般地，设函数f(x)的定义域为D，如果∀x∈D，都有－x∈D，且f(－x)＝－f(x)，那么函数f(x)就叫做奇函数 关于原点对称 2.函数的周期性 (1)周期函数：对于函数y＝f(x)，如果存在一个非零常数T，使得当x取定义域内的任何值时，都有f(x＋T)＝f(x)，那么就称函数y＝f(x)为周期函数，称T为这个函数的周期． (2)最小正周期：如果在周期函数f(x)的所有周期中存在一个最小的正数，那么这个最小正数就叫做f(x)的最小正周期． 1．函数奇偶性的常用结论 (1)如果函数f(x)是奇函数且在x＝0处有定义，那么一定有f(0)＝0；如果函数f(x)是偶函数，那么f(－x)＝f(x)＝f(|x|)； (2)若函数f(x)不是常数函数，当f(x)是奇函数时，在两个对称的区间上具有相同的单调性；当f(x)是偶函数时，在两个对称的区间上具有相反的单调性； (3)在公共定义域内有：奇±奇＝奇，偶±偶＝偶，奇×奇＝偶，偶×偶＝偶，奇×偶＝奇． 2．函数周期性的常用结论 对f(x)定义域内任一自变量的值x(a，b为常数，a≠b)： (1)若f(x＋a)＝f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a； (2)若f(x＋a)＝－f(x)(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a； (3)若f(x)＝f(x＋a)＋f(x－a)(a≠0)，则f(x)的一个周期为6a； (4)若f(x＋a)＝(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a； (5)若f(x＋a)＝－(a≠0)，则f(x)的一个周期为2a. 3．函数图象对称性的四个常用结论 (1)若函数y＝f(x＋a)是偶函数，即f(a－x)＝f(a＋x)，则函数y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (2)若函数y＝f(x＋b)是奇函数，即f(－x＋b)＋f(x＋b)＝0，则函数y＝f(x)的图象关于点(b，0)中心对称； (3)若函数y＝f(x)满足f(a＋x)＝f(b－x)，则y＝f(x)的图象关于直线x＝对称．特别地，当a＝b，即f(a＋x)＝f(a－x)或f(x)＝f(2a－x)时，y＝f(x)的图象关于直线x＝a对称； (4)若函数y＝f(x)满足f(x)＋f(2a－x)＝2b，则y＝f(x)的图象关于点(a，b)对称．特别地，当b＝0，即f(a＋x)＋f(a－x)＝0或f(x)＋f(2a－x)＝0时，y＝f(x)的图象关于点(a，0)对称． 题组一　走出误区——判一判 (1)若函数f(x)为奇函数，则f(0)＝0.(　　) (2)若T是函数f(x)的一个周期，则nT(n∈Z，n≠0)也是函数f(x)的周期．(　　) (3)函数f(x)的定义域为R，若f(－1)＝f(1)，则f(x)一定是偶函数．(　　) (4)若函数f(x)满足关系f(a＋x)＝－f(b－x)，则函数f(x)的图象关于点对称．(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)×　(4)√ 题组二　回归教材——练一练 (1)(多选)(人教A必修第一册3.2.2例6改编)下列给出的函数是奇函数的是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝x3＋1 D．y＝sinx 答案：ABD (2)(人教A必修第一册习题5.4 T18改编)已知定义域是R的函数f(x)满足：∀x∈R，f(4＋x)＋f(－x)＝0，f(1＋x)为偶函数，f(1)＝1，则f(2027)＝(　　) A．1 B．－1 C．2 D．－3 答案：B 解析：因为f(1＋x)为偶函数，所以f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以f(2－x)＝f(x)，又由f(4＋x)＋f(－x)＝0，得f(4＋x)＝－f(－x)，所以f(8＋x)＝－f(－4－x)＝－f(6＋x)，所以f(x＋2)＝－f(x)，所以f(x＋4)＝f(x)，故f(x)的周期为4，所以f(2027)＝f(3)＝－f(1)＝－1.故选B. (3)(人教B必修第一册第三章复习题B组 T5改编)已知函数f(x)为奇函数，当x<0时，f(x)＝2x＋2，则f(1)＝________． 答案：－ (4)(北师大版必修第二册习题1.1 T3改编)已知f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(－1)＝2f(10)＋3，则f(2026)＝________． 答案：－1 解析：因为f(－1)＝2f(10)＋3，所以f(－1)＝2f(3×3＋1)＋3＝2f(1)＋3＝－2f(－1)＋3，即3f(－1)＝3，解得f(－1)＝1，故f(2026)＝f(1)＝－f(－1)＝－1. 考点探究—提素养 　函数奇偶性的判断 判断下列函数的奇偶性： (1)f(x)＝＋； (2)f(x)＝； (3)f(x)＝(x＋1)； (4)f(x)＝ 解：(1)由得x2＝3，解得x＝±， 即函数f(x)的定义域为{－，}， 从而f(x)＝＋＝0. 因此f(－x)＝－f(x)且f(－x)＝f(x)， ∴函数f(x)既是奇函数又是偶函数． (2)由得f(x)的定义域为(－1，0)∪(0，1)，关于原点对称． ∴x－2＜0，∴|x－2|－2＝－x， ∴f(x)＝. 又f(－x)＝＝－＝－f(x)，∴函数f(x)为奇函数． (3)由得－1<x≤1， ∵f(x)的定义域(－1，1]不关于原点对称， ∴f(x)既不是奇函数，也不是偶函数． (4)显然函数f(x)的定义域为(－∞，0)∪(0，＋∞)，关于原点对称． 当x<0时，－x>0，则f(－x)＝－(－x)2－x＝－x2－x＝－f(x)； 当x>0时，－x<0，则f(－x)＝(－x)2－x＝x2－x＝－f(x)． 综上可知，对于定义域内的任意x，总有f(－x)＝－f(x)成立，∴函数f(x)为奇函数． 1．判断函数奇偶性的方法 2．一些重要类型的奇偶函数模型 (1)函数f(x)＝ax＋a－x(a>0且a≠1)是偶函数． (2)函数f(x)＝ax－a－x(a>0且a≠1)是奇函数． (3)函数f(x)＝(a>0且a≠1)是奇函数． (4)函数f(x)＝loga(a>0且a≠1)是奇函数． (5)函数f(x)＝loga(±mx)(a>0且a≠1)是奇函数． 　1.(2024·天津高考)下列函数是偶函数的是(　　) A．y＝ B．y＝ C．y＝ D．y＝ 答案：B 解析：对于A，设f(x)＝，函数的定义域为R，由f(－1)＝，f(1)＝，得f(－1)≠f(1)，则f(x)不是偶函数；对于B，设g(x)＝，函数的定义域为R，且g(－x)＝＝＝g(x)，则g(x)为偶函数；对于C，设h(x)＝，函数的定义域为{x|x≠－1}，不关于原点对称，则h(x)不是偶函数；对于D，设φ(x)＝，函数的定义域为R，由φ(1)＝，φ(－1)＝，得φ(1)≠φ(－1)，则φ(x)不是偶函数．故选B. 　函数奇偶性的应用(多考向探究) 考向1　利用函数的奇偶性求解析式、函数值 (1)已知函数f(x)为奇函数且定义域为R，当x＞0时，f(x)＝x＋1，则当x＜0时，f(x)＝(　　) A．x－1 B．x＋1 C．－x－1 D．－x＋1 答案：A 解析：当x＜0时，－x＞0，f(x)＝－f(－x)＝－(－x＋1)＝x－1.故选A. (2)若函数f(x)＝为奇函数，则f(g(－1))＝________． 答案：－1 解析：∵f(x)为奇函数且f(－1)＝g(－1)，∴f(－1)＝－f(1)＝－(－1)＝1，∴g(－1)＝1，∴f(g(－1))＝f(1)＝－1. (1)求解析式：先将待求区间上的自变量转化到已知区间上，再利用奇偶性求解，或利用奇偶性构造关于f(x)的方程(组)，从而得到f(x)的解析式． (2)求函数值：将待求函数值利用函数的奇偶性转化为已知区间上的函数值求解． 　2.若f(x)为偶函数，g(x)为奇函数，且f(x)＋g(x)＝，则f(x)＝________，g(x)＝________． 答案：　 解析：由题意，得f(－x)＝f(x)，g(－x)＝－g(x)，所以 解得f(x)＝，g(x)＝. 3．已知f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，则f(1)＋g(1)＝________． 答案：1 解析：因为f(x)，g(x)分别是定义在R上的偶函数和奇函数，且f(x)－g(x)＝x3＋x2＋1，所以f(－1)＝f(1)，g(－1)＝－g(1)，所以f(1)＋g(1)＝f(－1)－g(－1)＝(－1)3＋(－1)2＋1＝1. 考向2　利用函数的奇偶性求参数的值 (2023·新课标Ⅱ卷)若f(x)＝(x＋a)·ln 为偶函数，则a＝(　　) A．－1 B．0 C. D．1 答案：B 解析：解法一：因为f(x)为偶函数，则f(1)＝f(－1)，即(1＋a)ln ＝(－1＋a)ln 3，解得a＝0.当a＝0时，f(x)＝xln ，由(2x－1)(2x＋1)>0，解得x>或x<－，则其定义域为，关于原点对称．f(－x)＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝(－x)ln ＝xln ＝f(x)，故此时f(x)为偶函数．故选B. 解法二：设g(x)＝ln ，易知g(x)的定义域为∪，且g(－x)＝ln ＝ln ＝－ln ＝－g(x)，所以g(x)为奇函数．若f(x)＝(x＋a)ln 为偶函数，则y＝x＋a也应为奇函数，所以a＝0.故选B. 对于利用函数的奇偶性求参数的问题，一是考虑定义域是否关于原点对称，若定义域含参数，求出参数；二是借助奇偶性的定义求解，对于在x＝0处有定义的奇函数，利用f(0)＝0求参数，通常也可以有效简化运算． 　4.若f(x)＝ln ＋b是奇函数，则a＝________，b＝________． 答案：－　ln 2 解析：因为函数f(x)＝ln ＋b为奇函数，所以其定义域关于原点对称．由a＋≠0，可得(1－x)(a＋1－ax)≠0，所以＝－1，解得a＝－，即函数f(x)的定义域为(－∞，－1)∪(－1，1)∪(1，＋∞)，再由f(0)＝0可得，b＝ln 2.即f(x)＝ln ＋ln 2＝ln ，在定义域内满足f(－x)＝－f(x)，符合题意． 考向3　“奇函数＋常数”模型 设函数F(x)＝ax5－bx3＋cx＋4且F(3)＝10，则F(－3)＝________． 答案：－2 解析：因为F(－x)＋F(x)＝(－ax5＋bx3－cx＋4)＋(ax5－bx3＋cx＋4)＝8，所以F(－3)＝8－F(3)＝8－10＝－2. 对于F(x)＝f(x)＋c，其中f(x)为奇函数，有 (1)F(a)＋F(－a)＝2c； (2)若F(x)的最大值与最小值分别为m，n，则m＋n＝2c. 　5.已知定义在R上的奇函数y＝f(x)，M，m分别为g(x)＝f(x)＋x＋3的最大值与最小值，则M＋m＝________． 答案：6 解析：由题意，得g(x)－3＝f(x)＋x为奇函数，所以(M－3)＋(m－3)＝0，即M＋m＝6. 　函数的周期性 已知函数f(x)满足f(x)f(x＋2)＝13，且f(2)＝2，则f(2028)＝(　　) A．1 B. C．13 D. 答案：B 解析：∵f(x)f(x＋2)＝13，∴f(x＋2)＝，∵f(x＋4)＝＝＝f(x)，∴f(x)的周期为4，∴f(2028)＝f(4)＝＝.故选B. 根据周期函数的定义判断函数的周期性，可以由函数的局部性质得到函数的整体性质，函数的周期性具有将未知区间上的问题转化到已知区间的功能，在解决具体问题时要注意结论：若T是函数的周期，则kT(k∈Z且k≠0)也是函数的周期的运用． 　6.若函数f(x)＝则f(25)＝________． 答案：－1 解析：当x>0时，f(x)＝f(x－1)－f(x－2)，∴f(x＋1)＝f(x)－f(x－1)，则f(x＋1)＝－f(x－2)，即f(x＋3)＝－f(x)，∴f(x＋6)＝－f(x＋3)＝f(x)，∴f(x)的周期为6，∴f(25)＝f(4×6＋1)＝f(1)＝f(0)－f(－1)＝20－21＝－1. 　函数图象的对称性 (1)(2025·湖南郴州高三期末)已知函数f(x)＝的图象关于直线x＝b对称，则b－a＝________． 答案：3 解析：由f(x)＝知2x－2≠0，即x≠1，所以函数的定义域为{x|x≠1}，又函数f(x)＝的图象关于直线x＝b对称，所以b＝1，且f(x)＝f(2－x)恒成立，即＝＝，所以2x－a＝2－a·2x－1，整理得(a＋2)(2x－1－1)＝0，所以a＝－2，故b－a＝1＋2＝3. (2)(2024·新课标Ⅰ卷节选)已知函数f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3，证明：曲线y＝f(x)是中心对称图形． 证明：因为f(x)＝ln ＋ax＋b(x－1)3的定义域为(0，2)，且f(1)＝a， 设点P(m，n)为y＝f(x)图象上任意一点， 则点P(m，n)关于点(1，a)的对称点为Q(2－m，2a－n)， 因为点P(m，n)在y＝f(x)的图象上， 故n＝ln ＋am＋b(m－1)3， 而f(2－m)＝ln ＋a(2－m)＋b(2－m－1)3＝－＋2a＝－n＋2a，所以点Q(2－m，2a－n)也在y＝f(x)的图象上， 由点P的任意性可得y＝f(x)的图象为中心对称图形，且对称中心为(1，a)． (1)函数图象的对称性，本质上是点的对称，即对于y＝f(x)图象上的任意一点(x，y)关于对称轴或对称中心的对称点仍在y＝f(x)上． (2)对称性与周期性的关系 ①若函数f(x)的图象关于直线x＝a与x＝b对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|； ②若函数f(x)的图象关于点(a，0)对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为2|b－a|； ③若函数f(x)的图象关于直线x＝a对称，又关于点(b，0)对称，则f(x)的一个周期为4|b－a|. 　7.(2025·湖南岳阳模拟)已知函数f(x)(x∈R)满足f(－x)＝2－f(x)，若函数y＝与y＝f(x)图象的交点为(x1，y1)，(x2，y2)，…，(xm，ym)，则 (xi＋yi)＝(　　) A．0 B．m C．2m D．4m 答案：B 解析：∵f(x)＋f(－x)＝2，y＝＝1＋，∴函数y＝f(x)与y＝的图象都关于点(0，1)对称，∴xi＝0，yi＝×2＝m，∴ (xi＋yi)＝0＋m＝m. 课时作业 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ ★★ ★ ★★ 考向 函数的奇偶性 函数的奇偶性 函数的奇偶性 函数的周期性 函数图象的对称性 函数的奇偶性 函数的奇偶性 函数的奇偶性、对称性、周期性的综合 函数的奇偶性 函数的奇偶性与周期性的综合 考点 函数奇偶性的应用 函数奇偶性的应用 函数奇偶性的判断 判断函数的周期性 判断函数图象的对称中心 由函数的奇偶性求参数的值 函数奇偶性的应用 函数奇偶性的判断 题号 11 12 13 14 15 16 17 18 19 20 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★ ★★ ★★★ ★★ ★★ ★★★ 考向 函数的奇偶性、对称性、周期性的综合 函数的奇偶性 函数的奇偶性 函数的奇偶性、对称性、周期性的综合 函数的奇偶性 函数的奇偶性、对称性、周期性的综合 函数的奇偶性 函数图象的对称性 函数的奇偶性、对称性、周期性的综合 函数的奇偶性、对称性、周期性的综合 考点 由函数的奇偶性求参数的值 函数奇偶性的应用 函数奇偶性的判断 函数奇偶性的判断 函数图象对称性的应用 一、单项选择题 1．如果奇函数f(x)在[3，7]上单调递增且最小值为5，那么f(x)在区间[－7，－3]上(　　) A．单调递增且最小值为－5 B．单调递减且最小值为－5 C．单调递增且最大值为－5 D．单调递减且最大值为－5 答案：C 解析：因为奇函数f(x)在[3，7]上单调递增且最小值为5，而奇函数的图象关于原点对称，所以f(x)在区间[－7，－3]上单调递增且最大值为－5.故选C. 2．设偶函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，则(　　) A．f<f(－1)<f(2) B．f(2)<f<f(－1) C．f(2)<f(－1)<f D．f(－1)<f<f(2) 答案：B 解析：因为f(x)为偶函数，所以f(2)＝f(－2)，又函数f(x)在区间(－∞，－1]上单调递增，且－2<－<－1，所以f(－2)<f<f(－1)，所以f(2)<f<f(－1)．故选B. 3．下列函数是奇函数的是(　　) A．g(x)＝sinx＋1 B．g(x)＝x2＋2x C．g(x)＝x3－x D．g(x)＝ex＋e－x 答案：C 解析：对于A，g(x)＝sinx＋1为非奇非偶函数，故A不符合题意；对于B，g(x)＝x2＋2x为非奇非偶函数，故B不符合题意；对于C，g(x)＝x3－x为奇函数，故C符合题意；对于D，g(x)＝ex＋e－x为偶函数，故D不符合题意．故选C. 4．已知定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，则下列函数是周期函数的是(　　) A．y＝f(x)－x B．y＝f(x)＋x C．y＝f(x)－2x D．y＝f(x)＋2x 答案：D 解析：依题意，定义在R上的函数f(x)满足f(x＋1)＝f(x)－2，所以f(x＋1)＋2(x＋1)＝f(x)＋2x，所以y＝f(x)＋2x是周期为1的周期函数．故选D. 5．(2025·河北名校联考)已知函数y＝f(x＋1)为奇函数，则函数y＝f(x)＋1的图象(　　) A．关于点(1，1)对称 B．关于点(1，－1)对称 C．关于点(－1，1)对称 D．关于点(－1，－1)对称 答案：A 解析：因为函数y＝f(x＋1)为奇函数，所以其图象关于点(0，0)对称，则函数y＝f(x)的图象关于点(1，0)对称，所以函数y＝f(x)＋1的图象关于点(1，1)对称．故选A. 6．已知f(x)＝是偶函数，则a＝(　　) A．－2 B．－1 C．1 D．2 答案：D 解析：因为f(x)＝是偶函数，所以f(x)－f(－x)＝－＝＝0，因为x不恒为0，所以ex－e(a－1)x＝0，即ex＝e(a－1)x，则x＝(a－1)x，即1＝a－1，解得a＝2.故选D. 7．设f(x)是定义在R上的奇函数，且当x≥0时，f(x)＝x2，则不等式f(x2)≥4f(x)的解集为(　　) A．(－∞，0]∪[4，＋∞) B．[0，4] C．(－∞，0]∪[2，＋∞) D．[0，2] 答案：C 解析：当x＜0时，f(x)＝－f(－x)＝－x2，∴f(x)＝x|x|，∴4f(x)＝4x|x|＝f(2x)，∴f(x2)≥4f(x)可化为f(x2)≥f(2x)，当x≥0时，f(x)＝x2在[0，＋∞)上单调递增．∵f(x)是定义在R上的奇函数，∴f(x)在R上单调递增，∴x2≥2x，解得x≥2或x≤0.故选C. 8．(2025·河南郑州部分重点高中联考)设函数f(x)的定义域为R，y＝f(x－1)＋1为奇函数，y＝f(x－2)为偶函数，若f(2028)＝1，则f(－2)＝(　　) A．1 B．－1 C．0 D．－3 答案：D 解析：因为y＝f(x－1)＋1为奇函数，所以f(－x－1)＋1＝－1－f(x－1)，所以f(x)的图象关于点(－1，－1)中心对称，则f(－1)＝－1.因为y＝f(x－2)为偶函数，所以f(－x－2)＝f(x－2)，所以f(x)的图象关于直线x＝－2轴对称．由f(－x－1)＋1＝－1－f(x－1)，得f(－x－2)＝－2－f(x)，所以f(x－2)＝－2－f(x)，则f(x－4)＝－2－f(x－2)＝－2－f(－x－2)＝f(x)，则f(x)的周期为4，f(2028)＝f(0)＝－2－f(－2)＝1，则f(－2)＝－3.故选D. 二、多项选择题 9．若f(x)是奇函数，则下列说法正确的是(　　) A．|f(x)|一定是偶函数 B．f(x)f(－x)一定是偶函数 C．f(x)f(－x)≥0 D．f(－x)＋|f(x)|＝0 答案：AB 解析：∵f(x)是奇函数，∴f(－x)＝－f(x)．对于A，|f(－x)|＝|－f(x)|＝|f(x)|，∴|f(x)|是偶函数，故A正确；对于B，令g(x)＝f(x)f(－x)，则g(－x)＝f(－x)f(x)＝g(x)，∴f(x)f(－x)是偶函数，故B正确；对于C，f(x)f(－x)＝－[f(x)]2≤0，故C错误；对于D，f(－x)＋|f(x)|＝|f(x)|－f(x)＝0不一定成立，故D错误．故选AB. 10．已知f(x)为奇函数，且f(x＋1)为偶函数，若f(1)＝0，则(　　) A．f(3)＝0 B．f(3)＝f(5) C．f(x＋3)＝f(x－1) D．f(x＋2)＋f(x＋1)＝1 答案：ABC 解析：因为f(x＋1)为偶函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)，又因为f(x)是奇函数，所以f(x＋1)＝f(1－x)＝－f(x－1)，所以f(x＋2)＝－f(x)，f(x＋4)＝－f(x＋2)＝f(x)，所以f(x)的周期为4，又因为f(1)＝0，所以f(3)＝f(－1)＝－f(1)＝0，f(5)＝f(1)＝0，故A，B正确；f(x＋3)＝f(x＋3－4)＝f(x－1)，故C正确；f(2)＝f(2－4)＝f(－2)，同时根据奇函数的性质，得f(2)＝－f(－2)，所以f(2)＝0，所以f(2)＋f(1)＝0≠1，即f(x＋2)＋f(x＋1)＝1对于x＝0不成立，故D不正确．故选ABC. 11．(2025·黑龙江哈尔滨模拟)已知定义域为R的函数f(x)，对任意x，y∈R，f(x＋y)＋f(x－y)＝2f(x)f(y)，且f(x)不恒为0，则下列说法正确的是(　　) A．f(0)＝0 B．f(x)为偶函数 C．若f(1)＝0，则f(x)的图象关于点(1，0)中心对称 D．若f(1)＝0，则 f（i）＝0 答案：BCD 解析：对于A，令x∈R，y＝0，有2f（x）＝2f（x）f（0），而f（x）不恒为0，则f（0）＝1，A错误；对于B，由A项分析知f（0）＝1，令x＝0，y∈R，有f（y）＋f（－y）＝2f（0）f（y）＝2f（y），即f（－y）＝f（y），则函数f（x）为偶函数，B正确；对于C，若f（1）＝0，令x＝1，y∈R，有f（1＋y）＋f（1－y）＝2f（1）f（y）＝0，则f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，C正确；对于D，由C项分析知f（x）的图象关于点（1，0）中心对称，又f（x）为偶函数，则f（1＋x）＝－f（1－x）＝－f（x－1），即f（x＋2）＝－f（x），因此f（x＋4）＝－f（x＋2）＝f（x），故f（x）是周期为4的周期函数，显然f（1）＋f（3）＝0，f（2）＋f（4）＝0，即f（1）＋f（2）＋f（3）＋f（4）＝0，所以 f（i）＝507×[f(1)＋f(2)＋f(3)＋f(4)]＝0，D正确．故选BCD. 三、填空题 12．若f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin为偶函数，则a＝________． 答案：2 解析：因为f(x)＝(x－1)2＋ax＋sin＝(x－1)2＋ax＋cosx为偶函数，定义域为R，所以f＝f，即－a＋cos＝＋a＋cos，则πa＝－＝2π，故a＝2，此时f(x)＝(x－1)2＋2x＋cosx＝x2＋1＋cosx，f(－x)＝(－x)2＋1＋cos(－x)＝x2＋1＋cosx＝f(x)，又定义域为R，故f(x)为偶函数，所以a＝2. 13．已知函数f(x)＝asinx＋btanx＋1，若f(a)＝－2，则f(－a)＝________． 答案：4 解析：令g(x)＝asinx＋btanx，则g(x)为奇函数，且f(x)＝g(x)＋1，∵f(a)＝g(a)＋1＝－2，∴g(a)＝－3，∴f(－a)＝g(－a)＋1＝－g(a)＋1＝4. 14．已知函数y＝f(2x＋1)为偶函数，且f(x)＋f(－x)＝2，则f(2026)＋f(2028)＝________． 答案：2 解析：因为函数y＝f(2x＋1)为偶函数，所以f(2x＋1)＝f(－2x＋1)，即f(1－x)＝f(1＋x)，即函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，则f(x)＝f(2－x)，即f(－x－2)＝f(x＋4)　①，又f(x)＋f(－x)＝2，即函数f(x)的图象关于点(0，1)对称，则f(0)＝1，且f(x＋2)＝2－f(－x－2)　②，由①②可得f(x＋2)＝2－f(x＋4)　③，所以f(x＋4)＝2－f(x＋6)，代入③，得f(x＋2)＝f(x＋6)，即f(x)＝f(x＋4)，即函数f(x)的周期是4，所以f(2026)＋f(2028)＝f(2)＋f(0)，因为f(x)＝f(2－x)，所以f(2)＝f(0)＝1，故f(2026)＋f(2028)＝f(2)＋f(0)＝2. 15．已知函数f(x)同时满足性质：①f(－x)＝－f(x)；②∀x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，>0，则函数f(x)的解析式可能是(　　) A．f(x)＝ex－e－x B．f(x)＝ C．f(x)＝sin4x D．f(x)＝x2 答案：A 解析：由函数奇偶性的定义，若函数f(x)满足f(－x)＝－f(x)，则函数f(x)为奇函数，由函数单调性的定义，若函数f(x)满足∀x1，x2∈(0，1)，且x1≠x2，>0，则函数f(x)在区间(0，1)上单调递增，选项中四个函数的定义域均为R，∀x∈R，都有－x∈R.对于A，f(－x)＝e－x－ex＝－(ex－e－x)＝－f(x)，故f(x)为奇函数，满足性质①，因为y＝ex与y＝－e－x＝－均在R上单调递增，所以f(x)＝ex－e－x在R上单调递增，满足性质②；对于B，f(x)＝为非奇非偶函数，在R上单调递减，性质①，②均不满足；对于C，f(－x)＝sin(－4x)＝－sin4x＝－f(x)，故f(x)为奇函数，满足性质①，令－＋2kπ≤4x≤＋2kπ，k∈Z，解得－＋≤x≤＋，k∈Z，所以f(x)的单调递增区间为，k∈Z，故f(x)在(0，1)上不单调，不满足性质②；对于D，f(x)＝x2为偶函数，在区间[0，＋∞)上单调递增，不满足性质①，满足性质②.故选A. 16．(多选)已知函数f(x)的定义域为R，对任意x都有f(2＋x)＝f(2－x)，且f(－x)＝f(x)，则下列结论正确的是(　　) A．f(x)的图象关于直线x＝2对称 B．f(x)的图象关于(2，0)对称 C．4是f(x)的一个周期 D．y＝f(x＋4)为偶函数 答案：ACD 解析：∵f(2＋x)＝f(2－x)，∴f(x)的图象关于直线x＝2对称，故A正确，B错误；∵f(x)的图象关于直线x＝2对称，∴f(－x)＝f(x＋4)，又f(－x)＝f(x)，∴f(x＋4)＝f(x)，∴4是f(x)的一个周期，故C正确；∵4是f(x)的一个周期且f(x)为偶函数，故y＝f(x＋4)为偶函数，故D正确．故选ACD. 17．(多选)(2024·九省联考)已知函数f(x)的定义域为R，且f≠0，若f(x＋y)＋f(x)·f(y)＝4xy，则(　　) A．f＝0 B．f＝－2 C．函数f是偶函数 D．函数f是减函数 答案：ABD 解析：令x＝，y＝0，则有f＋f×f(0)＝f[1＋f(0)]＝0，又f≠0，故1＋f(0)＝0，即f(0)＝－1，令x＝，y＝－，则有f＋ff＝4××，即f(0)＋ff＝－1，由f(0)＝－1，可得ff＝0，又f≠0，故f＝0，故A正确；令y＝－，则有f＋f(x)f＝4x×，即f＝－2x，故函数f是奇函数，故C错误；由f＝－2(x＋1)＝－2x－2，即f＝－2x－2，得函数f是减函数，故D正确；对于f＝－2x，令x＝1，有f＝－2×1＝－2，故B正确．故选ABD. 18．(2025·八省联考)已知曲线C：y＝x3－，两条直线l1，l2均过坐标原点O，l1和C交于M，N两点，l2和C交于P，Q两点，若△OPM的面积为，则△MNQ的面积为________． 答案：2 解析：由于(x，y)和(－x，－y)都符合y＝x3－，x≠0，所以曲线C的图象关于原点对称，当x>0时，函数y＝x3－单调递增，由此大致画出曲线C的图象如图所示，两条直线l1，l2均过坐标原点O，所以M，N两点关于原点对称，P，Q两点关于原点对称，根据对称性，不妨设M，N，P，Q的位置如图，可知|OP|＝|OQ|，|OM|＝|ON|，∠POM＝∠QON，所以△OPM≌△OQN，所以S△OQN＝S△OPM＝，而△OQM和△OQN等底等高，面积相同，所以S△OQM＝，所以S△MNQ＝2. 19．设g(x)是定义在R上的不恒为零的函数，且满足g(x＋1)为偶函数，g(x＋2)为奇函数，则g(k)＝________． 答案：0 解析：由g(x＋1)为偶函数，则函数g(x)的图象关于直线x＝1对称，则有g(－x)＝g(2＋x)，由函数g(x＋2)为奇函数，则函数g(x)的图象关于点(2，0)对称，则－g(－x)＝g(4＋x)，所以g(4＋x)＝－g(x＋2)，设t＝x＋2，则g(t＋2)＝－g(t)，从而函数g(x)是周期为4的函数，又由函数g(x)的图象关于点(2，0)对称，可得g(1)＋g(3)＝0且g(2)＝0，由g(2)＝－g(0)＝0可得g(0)＝0，所以g(4)＝0，因为g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)＝0，所以g(k)＝g(1)＋g(2)＋…＋g(2027)＝506×[g(1)＋g(2)＋g(3)＋g(4)]＋g(1)＋g(2)＋g(3)＝506×0＋0＝0. 20．函数y＝f(x)是定义在R上的偶函数，且对任意实数x，都有f(x＋2)＝f(－x)成立．已知当x∈[0，1]时，f(x)＝loga(2－x)(a>1)． (1)当x∈[1，2]时，求函数f(x)的解析式； (2)若函数f(x)的最大值为1，当x∈[－2，2]时，求不等式f(x)>的解集． 解：(1)由f(x＋2)＝f(－x)，可得f(x)的图象关于直线x＝1对称． 因为x∈[1，2]， 所以－x＋2∈[0，1]，f(－x＋2)＝logax， 又f(－x＋2)＝f(x)，故函数f(x)的解析式为f(x)＝logax，x∈[1，2]． (2)因为f(x)是R上的偶函数， 所以f(x＋2)＝f(x)， 即函数f(x)是以2为周期的函数． 因为a>1，由函数f(x)的最大值为1， 知f(x)max＝f(0)＝loga2＝1，即a＝2. 若x∈[0，1]，则log2(2－x)>， 所以0≤x<2－， 当x∈[－1，0]时，由f(x)是R上的偶函数， 可得－2<x≤0， 所以此时满足不等式的解集为(－2，2－)； 因为f(x)是以2为周期的周期函数， 所以当x∈[－2，－1]时，f(x)>的解集为[－2，－)； 当x∈[1，2]时，f(x)>的解集为(，2]． 综上所述，不等式f(x)>的解集为[－2，－)∪(－2，2－)∪(，2]． 1 学科网（北京）股份有限公司 $$