第2章 第3节 第1课时 二次函数及其性质-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案全书word（基础版）

第三节　二次函数与一元二次方程、不等式 第1课时　二次函数及其性质 课标解读 考向预测 1.掌握二次函数的图象与性质. 2.会结合二次函数的图象，判断一元二次方程实根的存在性及实根的个数，了解函数的零点与方程根的关系. 3.能用二次函数、一元二次方程、一元二次不等式之间的关系解决简单问题. 预计2026年高考对于二次函数的考查，还是以结合一元二次方程判断根的分布为主，也可能与其他函数复合考查与函数单调性有关的问题，难度不会太大. 必备知识—强基础 1．二次函数解析式的三种形式 (1)一般式：y＝ax2＋bx＋c(a≠0)． (2)两根式：y＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)． (3)顶点式：y＝a(x－h)2＋k(a≠0)． 2．二次函数的图象与性质 解析式 y＝ax2＋bx＋c(a>0) y＝ax2＋bx＋c(a<0) 图象 定义域 R R 值域 单调性 在上单调递减；在上单调递增 在上单调递增；在上单调递减 对称性 函数的图象关于直线x＝－对称 　二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在闭区间[m，n]上的最大、最小值的分布情况 (1)若－∈[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝f. (2)若－∉[m，n]，则f(x)max＝max{f(m)，f(n)}，f(x)min＝min{f(m)，f(n)}． 另外，当二次函数的图象开口向上时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越大；反过来，当二次函数的图象开口向下时，自变量的取值离对称轴越远，则对应的函数值越小． 题组一　走出误区——判一判 (1)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的顶点坐标为.(　　) (2)y＝－x2的单调递减区间是[－1，＋∞)．(　　) (3)二次函数y＝ax2＋bx＋c，x∈[a，b]的最值一定是.(　　) (4)若二次函数y＝ax2＋bx＋c的两个零点确定，则二次函数的解析式确定．(　　) 答案：(1)×　(2)×　(3)×　(4)× 题组二　回归教材——练一练 (1)(北师大版必修第一册习题2－2 T3改编)函数y＝x2－2x，x∈[0，3)的值域是(　　) A．[0，3) B．(－1，3) C．[－1，3) D．[0，3] 答案：C (2)(北师大版必修第一册1.4.2例4改编)若一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，则二次函数y＝ax2＋bx的图象可能是(　　) 答案：C 解析：因为一次函数y＝ax＋b的图象经过第二、三、四象限，所以a<0，b<0，所以二次函数y＝ax2＋bx的图象开口向下，对称轴为直线x＝－<0，且过原点．故选C. 考点探究—提素养 　二次函数的解析式 已知二次函数f(x)满足f(2)＝－1，f(－1)＝－1，且f(x)的最大值是8，则f(x)＝________． 答案：－4x2＋4x＋7 解析：解法一(利用“一般式”)：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0)．由题意，得解得∴所求二次函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 解法二(利用“顶点式”)：设f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)．∵f(2)＝f(－1)，∴函数图象的对称轴为直线x＝＝，∴m＝.又函数有最大值8，∴n＝8，∴f(x)＝a＋8.∵f(2)＝－1，∴a＋8＝－1，解得a＝－4，∴f(x)＝－4＋8＝－4x2＋4x＋7. 解法三(利用“两根式”)：由已知，得f(x)＋1＝0的两根为x1＝2，x2＝－1，故可设f(x)＋1＝a(x－2)(x＋1)(a≠0)，即f(x)＝ax2－ax－2a－1.又函数有最大值8，即＝8，解得a＝－4.∴所求函数的解析式为f(x)＝－4x2＋4x＋7. 根据已知条件确定二次函数的解析式，一般用待定系数法，选择规律如下： 　1.已知二次函数f(x)＝x2－bx＋c满足f(0)＝3，∀x∈R，都有f(1＋x)＝f(1－x)成立，则f(x)＝________． 答案：x2－2x＋3 解析：由f(0)＝3，得c＝3，又f(1＋x)＝f(1－x)，所以函数f(x)的图象关于直线x＝1对称，所以＝1，即b＝2，所以f(x)＝x2－2x＋3. 　二次函数的图象 (多选)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a≠0)的部分图象如图，图象过点A(－3，0)，对称轴为直线x＝－1，则下列四个结论中正确的是(　　) A．b2＞4ac B．2a－b＝1 C．a－b＋c＝0 D．5a＜b 答案：AD 解析：因为图象与x轴交于两点，所以b2－4ac＞0，即b2＞4ac，A正确；对称轴为直线x＝－1，即－＝－1，2a－b＝0，B错误；结合图象，当x＝－1时，y＞0，即a－b＋c＞0，C错误；因为2a－b＝0，即b＝2a，根据抛物线开口向下，知a＜0，所以5a＜2a，即5a＜b，D正确．故选AD. 识别二次函数图象应学会“三看” 　2.若abc>0，则二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象可能是(　　) 答案：D 解析：因为abc>0，二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c，对于A，a<0，b<0，c<0，不符合题意；对于B，a<0，b>0，c>0，不符合题意；对于C，a>0，b>0，c<0，不符合题意；对于D，a>0，b<0，c<0，符合题意．故选D. 　二次函数的性质(多考向探究) 考向1　二次函数的单调性 (2024·广东揭阳二模)已知函数f(x)＝－x2＋ax＋1在(2，6)上不单调，则a的取值范围为(　　) A．(2，6) B．(－∞，2]∪[6，＋∞) C．(4，12) D．(－∞，4]∪[12，＋∞) 答案：C 解析：因为f(x)＝－＋1＋，由题意可得2<<6，解得4<a<12.故选C. 解决二次函数单调性问题的基本方法 (1)二次函数的单调性在其图象对称轴的两侧不同，因此研究二次函数的单调性时要依据其图象的对称轴进行分类讨论． (2)若已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)在区间A上单调递减(单调递增)，则A⊆，即区间A一定在函数图象对称轴的左侧(右侧)． 　3.若函数f(x)＝ax2＋(a－3)x＋1在区间[－1，＋∞)上单调递减，则实数a的取值范围为(　　) A．[－3，0) B．(－∞，－3] C．[－2，0] D．[－3，0] 答案：D 解析：当a＝0时，f(x)＝－3x＋1在[－1，＋∞)上单调递减，满足题意；当a≠0时，f(x)图象的对称轴为直线x＝.由f(x)在[－1，＋∞)上单调递减，知解得－3≤a＜0.综上，实数a的取值范围为[－3，0]．故选D. 4．若函数f(x)＝x2＋a|x|＋2，x∈R在区间[3，＋∞)和[－2，－1]上均单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A. B．[－6，－4] C．[－3，－2] D．[－4，－3] 答案：B 解析：∵f(x)为偶函数，∴f(x)在[1，2]上单调递减，在[3，＋∞)上单调递增，又当x>0时，f(x)＝x2＋ax＋2，图象的对称轴为直线x＝－，∴2≤－≤3，解得－6≤a≤－4.故选B. 考向2　二次函数的值域与最值 已知函数f(x)＝ax2＋2ax＋1在区间[－1，2]上有最大值4，则实数a的值为________． 答案：或－3 解析：f(x)＝a(x＋1)2＋1－a.当a＝0时，函数f(x)在区间[－1，2]上的值为常数1，不符合题意，舍去；当a＞0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递增，最大值为f(2)＝8a＋1＝4，解得a＝；当a＜0时，函数f(x)在区间[－1，2]上单调递减，最大值为f(－1)＝1－a＝4，解得a＝－3.综上可知，实数a的值为或－3. 求二次函数在闭区间上最值的类型及策略 　5.设关于x的方程x2－2mx＋2－m＝0(m∈R)的两个实数根分别是α，β，则α2＋β2＋5的最小值为________． 答案：7 解析：由题意，得且Δ＝4m2－4(2－m)≥0，解得m≤－2或m≥1，所以α2＋β2＋5＝(α＋β)2－2αβ＋5＝4m2＋2m＋1，令f(m)＝4m2＋2m＋1，而f(m)图象的对称轴为直线m＝－，且m≤－2或m≥1，所以f(m)min＝f(1)＝7. 　根的分布 (1)若关于x的方程x2－(m－1)x＋2－m＝0的两根均为正数，则实数m的取值范围是________． 答案：[－1＋2，2) 解析：设f(x)＝x2－(m－1)x＋2－m，则解得－1＋2≤m<2.故实数m的取值范围是[－1＋2，2)． (2)已知关于x的二次方程x2＋2mx＋2m＋1＝0.若该方程有两根，且其中一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则实数m的取值范围为________；若方程两根均在区间(0，1)内，则实数m的取值范围为________． 答案：　 解析：设函数f(x)＝x2＋2mx＋2m＋1，若方程一根在区间(－1，0)内，另一根在区间(1，2)内，则函数f(x)的图象与x轴的交点分别在区间(－1，0)和(1，2)内，画出示意图如图1， 由题意，得即解得－＜m＜－.故实数m的取值范围为. 若方程两根均在区间(0，1)内，则函数f(x)的图象与x轴的交点落在区间(0，1)内，画出示意图如图2，由题意，得即解得－＜m≤1－.故实数m的取值范围为. 一元二次方程根的分布 解决一元二次方程根的分布问题，主要依据方程的根与函数的零点间的关系，借助图象，从以下四个方面建立关于系数的不等式(组)进行求解： (1)开口方向； (2)判别式的符号； (3)对称轴与所给区间的位置关系； (4)区间端点处函数值的符号． 　6.已知二次方程(2m＋1)x2－2mx＋m－1＝0有一正根和一负根，则实数m的取值范围是________． 答案： 解析：解法一：显然2m＋1≠0，令f(x)＝x2－x＋，则f(0)<0，即<0，所以(2m＋1)(m－1)<0，解得－<m<1.故实数m的取值范围是. 解法二：设x1，x2是方程(2m＋1)x2－2mx＋m－1＝0的两个根，则x1x2＝<0，解得－<m<1.故实数m的取值范围是. 7．已知关于x的方程ax2＋x＋2＝0的两个实根一个小于0，另一个大于1，则实数a的取值范围是________． 答案：(－3，0) 解析：显然a≠0，则方程ax2＋x＋2＝0可化为x2＋＋＝0，设f(x)＝x2＋＋，则 即解得－3<a<0，所以实数a的取值范围是(－3，0)． 课时作业 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ 考向 二次函数的性质 二次函数的性质 二次函数的图象 二次函数的性质 二次函数的图象 二次函数的零点问题 二次函数的性质 考点 二次函数的值域 二次函数的单调性 二次函数图象的应用 由二次函数的单调性求参数的取值范围 二次函数图象的应用 由二次函数的零点个数求参数的取值范围 由二次函数的值域求参数的最值 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ 考向 二次函数的性质 二次函数的图象 二次函数的图象与性质 二次函数的零点问题 二次函数的解析式 二次函数的图象与性质 二次函数的性质 考点 由二次函数的单调性和最值求参数的取值范围 二次函数图象的应用 二次函数图象与性质的综合 二次函数零点的应用 求二次函数的解析式 由二次函数的定义域、值域求参数的取值范围 求与二次函数相关的复合函数的值域 题号 15 16 17 18 19 20 难度 ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 考向 二次函数的性质 二次函数的性质 二次函数的图象与性质 二次函数的图象与性质 二次函数的图象与性质 二次函数的性质 考点 与二次函数相关的复合函数的值域问题 与二次函数相关的函数单调性问题 与二次函数相关的函数最值问题 已知部分函数值求参数 与二次函数相关的函数最值问题 二次函数的最值 一、单项选择题 1．函数f(x)＝2x2－x－1(x∈[－1，1])的值域是(　　) A．[0，1] B. C．[1，2] D. 答案：D 解析：f(x)＝2x2－x－1＝2－，因为x∈[－1，1]，所以f(x)在上单调递减，在上单调递增．又f(1)＝0，f＝－，f(－1)＝2，故f(x)的值域是. 2．(2025·山东济南模拟)已知函数f(x)＝2x2－mx＋1在区间[－1，＋∞)上单调递增，则f(1)的取值范围是(　　) A．[7，＋∞) B．(7，＋∞) C．(－∞，7] D．(－∞，7) 答案：A 解析：函数f(x)＝2x2－mx＋1图象的对称轴方程是x＝，因为函数f(x)在区间[－1，＋∞)上单调递增，所以≤－1，解得m≤－4，又因为f(1)＝3－m，因此3－m≥7，所以f(1)的取值范围是[7，＋∞)．故选A. 3．已知函数f(x)＝ax2＋bx＋c，其中a>0，c<0，a＋b＋c＝0，则(　　) A．∀x∈(0，1)，都有f(x)>0 B．∀x∈(0，1)，都有f(x)<0 C．∃x∈(0，1)，使得f(x)＝0 D．∃x∈(0，1)，使得f(x)>0 答案：B 解析：由a>0，c<0，a＋b＋c＝0可知函数f(x)的图象开口向上，又f(0)＝c<0，f(1)＝a＋b＋c＝0，所以∀x∈(0，1)，都有f(x)<0.故选B. 4．若函数f(x)＝ax2＋2x－1在区间(－∞，6)上单调递增，则实数a的取值范围是(　　) A. B. C. D. 答案：A 解析：当a＝0时，函数f(x)＝2x－1在R上单调递增，即a＝0符合题意；当a≠0时，由二次函数的性质知解得－≤a<0.综上，实数a的取值范围是.故选A. 5．设函数f(x)＝x2＋x＋a(a>0)，若f(m)<0，则(　　) A．f(m＋1)≥0 B．f(m＋1)≤0 C．f(m＋1)>0 D．f(m＋1)<0 答案：C 解析：因为f(x)图象的对称轴为直线x＝－，f(0)＝a>0，所以f(x)的大致图象如图所示，由f(m)<0，得－1<m<0，所以m＋1>0，所以f(m＋1)>f(0)>0.故选C. 6．(2024·四川巴中一模)若函数f(x)＝2ax2＋3x－1在区间(－1，1)上恰有一个零点，则实数a的取值集合为(　　) A．{a|－1<a<2} B. C．{a|－1≤a≤2} D. 答案：D 解析：由函数f(x)＝2ax2＋3x－1，若a＝0，可得f(x)＝3x－1，令f(x)＝0，即3x－1＝0，解得x＝，符合题意；若a≠0，令f(x)＝0，即2ax2＋3x－1＝0，可得Δ＝9＋8a，当Δ＝0，即9＋8a＝0时，解得a＝－，此时f(x)＝－x2＋3x－1，令f(x)＝0，得x＝，符合题意；当Δ>0，即a>－且a≠0时，由题意，得f(－1)f(1)＝(2a－4)(2a＋2)≤0，解得－1≤a≤2且a≠0，若a＝－1，则f(x)＝－2x2＋3x－1，令f(x)＝0，得2x2－3x＋1＝0，解得x＝1或x＝，其中x＝∈(－1，1)，符合题意；若a＝2，则f(x)＝4x2＋3x－1，令f(x)＝0，得4x2＋3x－1＝0，解得x＝－1或x＝，其中x＝∈(－1，1)，符合题意．综上可得，实数a的取值范围为.故选D. 7．已知f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)，g(x)＝f(f(x))，若g(x)的值域为[2，＋∞)，f(x)的值域为[k，＋∞)，则实数k的最大值为(　　) A．0 B．1 C．2 D．4 答案：C 解析：设t＝f(x)，由题意可得g(x)＝f(t)＝at2＋bt＋c(t≥k)，函数y＝at2＋bt＋c，t≥k的图象为y＝f(x)的图象的一部分，即g(x)的值域为f(x)的值域的子集，即[2，＋∞)⊆[k，＋∞)，可得k≤2，即实数k的最大值为2.故选C. 8．已知在(－∞，1]上单调递减的函数f(x)＝x2－2tx＋1，且对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，则实数t的取值范围是(　　) A．[－，] B．[1，] C．[2，3] D．[1，2] 答案：B 解析：由于f(x)＝x2－2tx＋1图象的对称轴为直线x＝t，又f(x)在(－∞，1]上单调递减，所以t≥1，则在区间[0，t＋1]上，f(x)max＝f(0)＝1，f(x)min＝f(t)＝t2－2t2＋1＝－t2＋1，要使对任意的x1，x2∈[0，t＋1]，都有|f(x1)－f(x2)|≤2，只需1－(－t2＋1)≤2，解得－≤t≤.又t≥1，所以1≤t≤.故选B. 二、多项选择题 9．二次函数f(x)＝ax2＋bx＋c的图象如图所示，则下列说法正确的是(　　) A．2a＋b＝0 B．4a＋2b＋c<0 C．9a＋3b＋c<0 D．abc<0 答案：ACD 解析：由二次函数图象开口向下知a<0，图象的对称轴为直线x＝－＝1，即2a＋b＝0，故b>0，又因为f(0)＝c>0，所以f(2)＝f(0)＝4a＋2b＋c>0，f(3)＝f(－1)＝9a＋3b＋c<0，abc<0.故选ACD. 10．(2025·河南名校模拟)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，(a－1)2－4b<0，则下列结论正确的是(　　) A．∃x∈R，f(x)≤x B．∀x∈R，f(x)>x C．∀x∈R，f(f(x))>x D．a＋b>0 答案：BCD 解析：因为f(x)－x＝x2＋(a－1)x＋b，其图象为开口向上的抛物线，Δ＝(a－1)2－4b<0，即f(x)－x＝x2＋(a－1)x＋b＝0无实数根，所以∀x∈R，x2＋(a－1)x＋b>0，即f(x)>x，故A错误，B正确；由以上分析可知，f(f(x))>f(x)>x，故C正确；因为(a－1)2－4b<0，故b>(a－1)2，所以a＋b>a＋(a－1)2＝(a＋1)2≥0，故D正确．故选BCD. 11．已知函数f(x)＝x2＋bx＋c在(0，1)上有两个零点，则f(0)f(1)的值可能为(　　) A. B. C. D. 答案：CD 解析：函数f(x)的零点即方程f(x)＝0的根，设方程f(x)＝0的两个实根为x1，x2，则x1，x2∈(0，1)，显然b＝－(x1＋x2)，c＝x1x2，此时Δ＝b2－4c＝(x1＋x2)2－4x1x2＝(x1－x2)2≥0，即方程f(x)＝0有两个实根，因此f(0)·f(1)＝c(1＋b＋c)＝x1x2(1－x1－x2＋x1x2)＝x1(1－x1)·x2(1－x2)≤·＝，当且仅当x1＝x2＝时取等号，显然f(0)f(1)>0，即f(0)f(1)∈，所以f(0)f(1)的值可能为，.故选CD. 三、填空题 12．已知二次函数f(x)的图象经过点(4，3)，其图象截x轴所得的线段长为2，且对任意x∈R，都有f(2－x)＝f(2＋x)，则f(x)的解析式为________． 答案：f(x)＝x2－4x＋3 解析：∵f(2－x)＝f(2＋x)对任意x∈R恒成立，∴f(x)图象的对称轴为直线x＝2，又f(x)的图象截x轴所得的线段长为2，∴f(x)＝0的两根为1和3，设f(x)的解析式为f(x)＝a(x－1)(x－3)(a≠0)，∵f(x)的图象过点(4，3)，∴3a＝3，∴a＝1，∴所求函数的解析式为f(x)＝(x－1)(x－3)，即f(x)＝x2－4x＋3. 13．若函数y＝x2－4x－4的定义域为[0，a)，值域为[－8，－4]，则实数a的取值范围为________． 答案：(2，4] 解析：函数y＝x2－4x－4的图象如图所示，因为函数在[0，a)上的值域为[－8，－4]，结合图象可得2<a≤4，故实数a的取值范围为(2，4]． 14．已知函数f(x)＝(x2－2x－3)(x2＋ax＋b)是偶函数，则f(x)的值域是________． 答案：[－16，＋∞) 解析：因为f(x)＝(x2－2x－3)(x2＋ax＋b)＝(x－3)(x＋1)(x2＋ax＋b)是偶函数，所以代入整理，得 解得所以f(x)＝(x2－2x－3)(x2＋2x－3)＝(x2－3)2－4x2＝x4－10x2＋9＝(x2－5)2－16≥－16，所以f(x)的值域为[－16，＋∞)． 15．(2024·四川成都二诊)已知函数f(x)＝2x2＋2x＋a的值域为M.若(1，＋∞)⊆M，则实数a的取值范围是(　　) A．(－∞，1) B．(－∞，1] C．(1，＋∞) D．[1，＋∞) 答案：B 解析：因为f(x)＝2x2＋2x＋a，令u＝x2＋2x＋a，所以f(u)＝2u，令函数u＝x2＋2x＋a的值域为N，因为(1，＋∞)⊆M，所以(0，＋∞)⊆N，所以x2＋2x＋a必须能取到(0，＋∞)上的所有值，则umin＝＝≤0，解得a≤1.故选B. 16．(2025·河南洛阳模拟)若函数f(x)＝|x2－(m－2)x＋1|在上单调，则实数m的取值范围为(　　) A.∪ B.∪ C.∪ D.∪ 答案：C 解析：令g(x)＝x2－(m－2)x＋1，则或或或解得3≤m≤或－≤m≤1，即实数m的取值范围为∪.故选C. 17．(2024·安徽淮北二模)当实数t变化时，函数f(x)＝|x2＋t|，x∈[－4，4]最大值的最小值为(　　) A．2 B．4 C．6 D．8 答案：D 解析：若t≥0，则f(x)＝x2＋t，其图象的对称轴为直线x＝0，故f(x)max＝t＋16，而g(t)＝t＋16在[0，＋∞)上单调递增，则此时g(t)min＝g(0)＝16；若t<0，由y＝x2＋t＝0可得x＝±，(ⅰ)如图1，当≤4，即－16≤t<0时，f(x)＝|x2＋t|在[－4，－]上单调递减，在[－，0]上单调递增，在[0，]上单调递减，在[，4]上单调递增，又f(±4)＝|t＋16|＝t＋16，f(0)＝|t|＝－t，①当－16≤t≤－8时，t＋16≤－t，故f(x)max＝－t，而g(t)＝－t在[－16，－8]上单调递减，则此时g(t)min＝g(－8)＝8； ②当－8<t<0时，t＋16>－t，故f(x)max＝t＋16，而g(t)＝t＋16在(－8，0)上单调递增，则此时g(t)>g(－8)＝8.(ⅱ)如图2，当>4，即t<－16时，f(x)＝|x2＋t|在[－4，0]上单调递增，在[0，4]上单调递减，则此时f(x)max＝f(0)＝|t|＝－t，而g(t)＝－t在(－∞，－16)上单调递减，则g(t)>g(－16)＝16.综上，函数f(x)＝|x2＋t|，x∈[－4，4]最大值的最小值为8.故选D. 18．(多选)(2025·浙江杭州模拟)二次函数y＝ax2＋bx＋c(a，b，c是常数，且a≠0)的自变量x与函数值y的部分对应值如下表： x … －1 0 1 2 … y … m 2 2 n … 且当x＝时，对应的函数值y<0，则下列说法正确的是(　　) A．abc>0 B．mn> C．关于x的方程ax2＋bx＋c＝0一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在－和0之间 D．若P1(t＋2，y1)和P2(t－2，y2)在该二次函数的图象上，则当实数t<时，y1>y2 答案：BCD 解析：将(1，2)，(0，2)代入y＝ax2＋bx＋c，得解得所以二次函数y＝ax2－ax＋2，因为当x＝时，对应的函数值y<0，所以a－a＋2<0，解得a<－，所以b＝－a>，所以a<0，b>0，c>0，所以abc<0，故A错误；当x＝－1时，m＝a＋a＋2＝2a＋2，当x＝2时，n＝4a－2a＋2＝2a＋2，所以mn＝(2a＋2)2＝4(a＋1)2，因为a<－，所以mn>，故B正确；因为二次函数y＝ax2－ax＋2的图象过点(0，2)，(1，2)，所以其对称轴为直线x＝，又当x＝时，对应的函数值y<0，根据二次函数图象的对称性知，当x＝－时，对应的函数值y<0，而当x＝0时，y＝2>0，所以二次函数的图象与x轴负半轴的交点的横坐标在－和0之间，所以关于x的方程ax2＋bx＋c＝0一定有一正、一负两个实数根，且负实数根在－和0之间，故C正确；因为P1(t＋2，y1)和P2(t－2，y2)在该二次函数的图象上，所以y1＝a(t＋2)2－a(t＋2)＋2，y2＝a(t－2)2－a(t－2)＋2，若y1>y2，则a(t＋2)2－a(t＋2)＋2>a(t－2)2－a(t－2)＋2，因为a<0，所以(t＋2)2－(t＋2)<(t－2)2－(t－2)，解得t<，故D正确．故选BCD. 19．(2025·清华附中模拟)已知函数f(x)＝|x2＋ax＋b|在区间[0，4]上的最大值为M，当实数a，b变化时，M的最小值为________． 答案：2 解析：f(x)＝|x2－4x＋(a＋4)x＋b|＝|x2－4x－[－(a＋4)x－b]|，上述函数可理解为当 横坐标相同时，函数g(x)＝x2－4x，x∈[0，4]与函数h(x)＝－(a＋4)x－b，x∈[0，4]图象上点的纵向距离，则M即为函数g(x)＝x2－4x与函数h(x)＝－(a＋4)x－b图象上点的纵向距离的最大值中的最小值，作出函数g(x)与h(x)的图象，如图，由图象可知，当函数h(x)的图象刚好为直线y＝－2，即a＝－4，b＝2时，M取得最小值，为2. 20．(2025·全国新高考改革适应性练习)已知函数f(x)＝x2＋ax＋b，若对任意x∈[1，5]，|f(x)|≤2，则所有满足条件的有序数对(a，b)是________． 答案：(－6，7) 解析：因为f(x)＝x2＋ax＋b，对任意x∈[1，5]，|f(x)|≤2，所以必须满足 即由得－4≤8＋2a≤4，解得－6≤a≤－2　①，再由得－4≤16＋2a≤4，解得－10≤a≤－6　②，由①②，得a＝－6，所以即解得b＝7，检验：当a＝－6，b＝7时，f(x)＝x2－6x＋7＝(x－3)2－2，则f(x)的最大值为f(1)＝f(5)＝2，f(x)的最小值为f(3)＝－2，满足对任意x∈[1，5]，|f(x)|≤2，所以满足条件的有序数对(a，b)只有(－6，7)． 13 学科网（北京）股份有限公司 $$