第2章 第2节 基本不等式-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案全书word（基础版）

第二节　基本不等式 课标解读 考向预测 1.掌握基本不等式≤(a>0，b>0)，了解其证明过程. 2.结合具体实例，能用基本不等式解决简单的最大值或最小值问题. 基本不等式是高考考查的重点，基本不等式具有将“和式”转化为“积式”及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，常用于比较数(式)的大小或证明不等式．从近几年高考来看，基本不等式考查的内容、频率、题型难度均变化不大.2026年备考仍以选择题、解答题为主，重点关注利用基本不等式进行大小判断、与解三角形、圆锥曲线、导数等知识相结合求最值或求取值范围的问题. 必备知识—强基础 1．基本不等式：≤. (1)基本不等式成立的条件：a>0，b>0． (2)等号成立的条件：当且仅当a＝b时，等号成立． (3)其中叫做正数a，b的算术平均数，叫做正数a，b的几何平均数． 2．几个重要的不等式 (1)a2＋b2≥2ab(a，b∈R)． (2)＋≥2(a，b同号)． (3)ab≤(a，b∈R)． (4)≥(a，b∈R)． 以上不等式等号成立的条件均为a＝b． 3．利用基本不等式求最值 (1)已知x，y都是正数，如果积xy等于定值P，那么当x＝y时，和x＋y有最小值2．(简记：积定和最小) (2)已知x，y都是正数，如果和x＋y等于定值S，那么当x＝y时，积xy有最大值S2．(简记：和定积最大) 注意：(1)利用基本不等式求最值应满足三个条件：“一正、二定、三相等”，其中“一正”指正数，“二定”指求最值时和或积为定值，“三相等”指满足等号成立的条件． (2)形如y＝x＋(a>0)或y＝ax＋(a＞0，b＞0)的函数求最值时，首先考虑用基本不等式，若等号取不到，再利用该函数的单调性求解． 1．常见求最值的模型 模型一：mx＋≥2(m>0，n>0，x>0)，当且仅当x＝时，等号成立； 模型二：mx＋＝m(x－a)＋＋ma≥2＋ma(m>0，n>0，x>a)，当且仅当x－a＝时，等号成立； 模型三：＝≤(a>0，c>0，x>0)，当且仅当x＝时，等号成立； 模型四：x(n－mx)＝≤·＝，当且仅当x＝时，等号成立． 2．权方和不等式 已知正数a，b，x，y，则＋≥，当且仅当ay＝bx时，等号成立． 题组一　走出误区——判一判 (1)y＝x＋的最小值是2.(　　) (2)≥2.(　　) (3)已知0<x<，则x(1－2x)的最大值为.(　　) (4)函数f(x)＝cosx＋的最小值为4.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)√　(4)× 题组二　回归教材——练一练 (1)(人教B必修第一册2.2.4练习A T1改编)设a＞0，则9a＋的最小值为(　　) A．4 B．5 C．6 D．7 答案：C 解析：9a＋≥2＝6，当且仅当9a＝，即a＝时，等号成立． (2)(人教A必修第一册2.2例3(2)改编)矩形两边长分别为a，b，且a＋2b＝6，则矩形面积的最大值是(　　) A．4 B. C. D．2 答案：B 解析：依题意，可得a＞0，b＞0，则6＝a＋2b≥2＝2×，当且仅当a＝2b时取等号，所以ab≤＝，即矩形面积的最大值为.故选B. (3)(人教A必修第一册习题2.2 T1(2)改编)函数y＝x(3－2x)(0≤x≤1)的最大值是________． 答案： 解析：因为0≤x≤1，所以3－2x＞0，所以y＝×2x(3－2x)≤＝，当且仅当2x＝3－2x，即x＝时取等号． (4)(人教A必修第一册复习参考题2 T5改编)已知a>0，b>0，且ab＝a＋b＋3，则ab的取值范围为________． 答案：[9，＋∞) 解析：因为a＞0，b>0，所以ab－3＝a＋b≥2，于是ab－2－3≥0，解得≤－1(舍去)或≥3，所以ab≥9，当且仅当a＝b＝3时，等号成立，所以ab的取值范围是[9，＋∞)． 考点探究—提素养 　利用基本不等式求最值(多考向探究) 考向1　配凑法求最值 (1)已知0<x<2，则y＝x的最大值为(　　) A．2 B．4 C．5 D．6 答案：A 解析：因为0<x<2，所以y＝x＝≤＝2，当且仅当x2＝4－x2，即x＝时，等号成立，即y＝x的最大值为2.故选A. (2)已知5x2y2＋y4＝1(x，y∈R)，则x2＋y2的最小值是(　　) A. B. C. D．2 答案：B 解析：因为5x2y2＋y4＝1，所以y2＝，所以x2＋y2＝＋y2≥2＝2＝，当且仅当x2＋y2＝y2，即x＝±，y＝±时，等号成立．故选B. 配凑法求最值的关键点 　1.函数y＝3x＋的最小值为(　　) A．8 B．7 C．6 D．5 答案：D 解析：因为x>，所以3x－1>0，所以y＝3x＋＝(3x－1)＋＋1≥2＋1＝5，当且仅当3x－1＝，即x＝1时，等号成立，故函数y＝3x＋的最小值为5.故选D. 2．已知a>1，b>1，且log2＝logb4，则ab的最小值为(　　) A．4 B．8 C．16 D．32 答案：C 解析：∵log2＝logb4，∴log2a＝logb4，即log2a＝，∴log2a·log2b＝4.∵a>1，b>1，∴log2a>0，log2b>0，∴log2(ab)＝log2a＋log2b≥2＝4，当且仅当log2a＝log2b＝2，即a＝b＝4时取等号，∴ab≥24＝16，当且仅当a＝b＝4时取等号，故ab的最小值为16.故选C. 考向2　常数代换法求最值 (1)已知a>0，b>0，a＋2b＝3，则＋的最小值为(　　) A. B. C．1＋ D．1＋ 答案：C 解析：因为a＋2b＝3，所以a＋b＝1，所以＋＝＝＋＋＋≥1＋2＝1＋，当且仅当＝，即a＝3(－1)，b＝时，等号成立．故选C. (2)已知0<x<1，则＋的最小值为(　　) A．50 B．49 C．25 D．7 答案：B 解析：因为0<x<1，所以＋＝(x＋1－x)＝25＋＋≥25＋2＝49，当且仅当＝，即x＝时，等号成立，所以＋的最小值为49.故选B. 常数代换法求最值的基本步骤 　3.已知实数a，b满足lg a＋lg b＝lg (a＋2b)，则2a＋b的最小值是(　　) A．5 B．9 C．13 D．18 答案：B 解析：由lg a＋lg b＝lg (a＋2b)，可得lg (ab)＝lg (a＋2b)，所以ab＝a＋2b，即＋＝1，且a>0，b>0，则2a＋b＝(2a＋b)＝5＋＋≥5＋2＝9，当且仅当＝，即a＝b＝3时，等号成立，所以2a＋b的最小值为9.故选B. 4．若直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，2)，则2a＋b的最小值为________． 答案：8 解析：因为直线＋＝1(a＞0，b＞0)过点(1，2)，所以＋＝1，因为a＞0，b＞0，所以2a＋b＝(2a＋b)＝2＋＋＋2≥4＋2＝8，当且仅当＝，即a＝2，b＝4时取等号，所以2a＋b的最小值为8. 考向3　消元法、换元法求最值 (1)函数y＝(x<－1)的最大值为(　　) A．3 B．2 C．1 D．－1 答案：D 解析：令t＝x＋1(t＜0)，则y＝＝－＋1≤－2＋1＝－1，当且仅当t＝＝－1，即x＝－2时，等号成立．故选D. (2)若x>0，y>0，且＋＝1，则2x＋y的最小值为(　　) A．2 B．2 C.＋ D．4＋2 答案：C 解析：设x＋1＝a，x＋2y＝b，则x＝a－1，y＝，且a>0，b>0，则＋＝1，2x＋y＝2(a－1)＋＝－，而3a＋b＝(3a＋b)＝4＋＋≥4＋2＝4＋2，当且仅当＝，即a＝，b＝＋1时，等号成立，则2x＋y≥－＝＋.故选C. 当所求最值的代数式中变量比较多时，通常考虑利用已知条件消去部分变量后，凑出“和为常数”或“积为常数”的形式，最后利用基本不等式求最值． 　5.设a≥0，b≥0，且2＋b＝1，则的最小值为__________． 答案：0 解析：因为2＋b＝1，所以a＝＝，所以＝＝＋－≥2－＝0，当且仅当a＝0，b＝1时取等号． 6．若正数a，b满足2a＋b＝1，则＋的最小值是________． 答案：－ 解析：设u＝2－2a，v＝2－b，则a＝，b＝2－v，则u＋v＝3(u>0，v>0)，所以＋＝＋＝＋－＝(u＋v)－＝－≥－＝1＋－＝－，当且仅当v＝6－3，u＝3－3时，等号成立，所以＋的最小值为－. 考向4　“和”“积”互化求最值 (多选)设a>1，b>1，且ab－(a＋b)＝1，那么(　　) A．a＋b有最小值2＋2 B．a＋b有最大值2－2 C．ab有最大值3－2 D．ab有最小值3＋2 答案：AD 解析：解法一：∵a>1，b>1，∴ab－1＝a＋b≥2，当a＝b时取等号，即ab－2－1≥0，解得≥＋1，∴ab≥(＋1)2＝3＋2，∴ab有最小值3＋2.又ab≤，当a＝b时取等号，∴1＝ab－(a＋b)≤－(a＋b)，即(a＋b)2－4(a＋b)≥4，则[(a＋b)－2]2≥8，解得a＋b－2≥2，即a＋b≥2＋2，∴a＋b有最小值2＋2.故选AD. 解法二：由ab－(a＋b)＝1，得(a－1)(b－1)＝2，所以a＋b＝(a－1)＋(b－1)＋2≥2＋2＝2＋2，所以ab＝a＋b＋1≥3＋2，当且仅当a＝b时，等号成立．故选AD. “和”“积”互化求最值的方法 (1)基本不等式具有将“和式”转化为“积式”及将“积式”转化为“和式”的放缩功能，因此可以用在一些不等式的证明中，还可以用于求代数式的最值． (2)如果条件中含有两个变量的和与积的形式，可以直接利用基本不等式对两个正数的和与积进行转化，然后通过解不等式进行求解，或者通过构造一元二次方程，利用根的分布解决问题． 　7.(2025·江西宜春一中模拟)已知x>0，y>0，且满足4x2＋9y2＋6xy－3＝0，则2x＋3y的最大值为________． 答案：2 解析：解法一：由4x2＋9y2＋6xy－3＝0，可得4x2＋9y2＋12xy＝3＋6xy，由基本不等式，得(2x＋3y)2＝3＋2x·3y≤3＋，可得(2x＋3y)2≤3，所以2x＋3y≤2，当且仅当2x＝3y时取等号，联立方程解得x＝，y＝，故2x＋3y的最大值为2. 解法二：由4x2＋9y2＋6xy－3＝0，可得(x2＋9y2＋6xy)＋3x2＝3，因为x>0，y>0，由权方和不等式，得＋≥，即4≥(2x＋3y)2，所以2x＋3y≤2，当且仅当＝，即2x＝3y时取等号，联立方程解得x＝，y＝，故2x＋3y的最大值为2. 　基本不等式的综合应用 (1)已知a>0，b>0，则＋＋2的最小值是(　　) A．2 B．2 C．4 D．5 答案：C 解析：由a＞0，b＞0可知，＋≥2，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立，又2＋2≥2＝4，当且仅当2＝2，即＝，ab＝1，即a＝b＝1时，等号成立．故选C. (2)若对任意正数x，不等式≤恒成立，则实数a的取值范围为(　　) A．[0，＋∞) B. C. D. 答案：B 解析：依题意，得当x>0时，2a＋1≥＝恒成立，又x＋≥4，当且仅当x＝2时取等号，所以的最大值为，所以2a＋1≥，解得a≥－，即实数a的取值范围为.故选B. (1)利用基本不等式求参数的值或范围时，要观察题目的特点，先确定是恒成立问题还是有解问题，再利用基本不等式确定等号成立的条件，最后通过解不等式(组)得到参数的值或范围． (2)当基本不等式与其他知识相结合时，往往是为其他知识提供一个应用基本不等式的条件，然后利用常数代换法求最值． (3)连续使用基本不等式求最值要求每次等号成立的条件要一致． 　8.若两个正实数x，y满足＋＝1，且不等式x＋<m2－3m有解，则实数m的取值范围是(　　) A．{m|－1<m<4} B．{m|m<－4，或m>1} C．{m|－4<m<1} D．{m|m<－1，或m>4} 答案：D 解析：∵不等式x＋<m2－3m有解，∴<m2－3m，∵x>0，y>0，＋＝1，∴x＋＝＝＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当＝，即x＝2，y＝8时，等号成立，∴m2－3m>4，∴(m＋1)(m－4)>0，∴m<－1或m>4，∴实数m的取值范围是{m|m<－1，或m>4}．故选D. 9．(2025·山西太原模拟)若a>0，b>0，则＋＋b的最小值为________． 答案：2 解析：∵a>0，b>0，∴＋＋b≥2＋b＝＋b≥2＝2，当且仅当＝且＝b，即a＝b＝时，等号成立，∴＋＋b的最小值为2. 　基本不等式的实际应用 (2025·广东韶关综合测试)在工程中估算平整一块矩形场地的工程量W(单位：平方米)的计算公式是W＝(长＋4)×(宽＋4)，在不测量长和宽的情况下，若只知道这块矩形场地的面积是10000平方米，每平方米收费1元，则估算平整完这块矩形场地所需的最少费用(单位：元)是(　　) A．10000 B．10480 C．10816 D．10818 答案：C 解析：设矩形场地的长为x米，则宽为米，W＝(x＋4)＝4x＋＋10016≥2＋10016＝10816，当且仅当4x＝，即x＝100时，等号成立．所以平整完这块矩形场地所需的最少费用为1×10816＝10816元．故选C. 利用基本不等式解决实际应用问题的技巧 　10.一家商店使用一架两臂不等长的天平称黄金．一位顾客到店里购买10 g黄金，售货员先将5 g的砝码放在天平左盘中，取出一些黄金放在天平右盘中使天平平衡；再将5 g的砝码放在天平右盘中，再取出一些黄金放在天平左盘中使天平平衡；最后将两次称得的黄金交给顾客．若顾客实际购得的黄金为m g，则(　　) A．m>10 B．m＝10 C．m<10 D．以上都有可能 答案：A 解析：由于天平两臂不等长，可设天平左臂长为a，右臂长为b，则a≠b，设先称得黄金为x g，后称得黄金为y g，则bx＝5a，ay＝5b，∴x＝，y＝，∴x＋y＝＋＝5≥5×2＝10，当且仅当＝，即a＝b时，等号成立，但a≠b，等号不成立，即x＋y>10.因此顾客实际购得的黄金克数m>10.故选A. 课时作业 基础题(占比50%)　中档题(占比30%)　拔高题(占比20%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★ 考向 基本不等式求最值 基本不等式求最值 基本不等式求最值 基本不等式求最值 基本不等式的实际应用 基本不等式求最值 基本不等式求最值 考点 配凑法求最值 配凑法求最值 “和” “积”互化求最值 常数代换法求最值 利用基本不等式求参数的最值 换元法求最值 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★★ ★★ ★ ★ ★★ 考向 基本不等式求最值 基本不等式 基本不等式求最值 基本不等式 基本不等式 基本不等式求最值 基本不等式求最值 考点 “和” “积”互化求最值 基本不等式成立的条件 “和” “积”互化、消元法、常数代换法求最值 利用几何图形证明不等式 基本不等式成立的条件 常数代换法求最值 “和” “积”互化求最值 题号 15 16 17 18 19 20 难度 ★★ ★★ ★★★ ★★★ ★★★ ★★★ 考向 基本不等式求最值 基本不等式求最值 基本不等式求最值 基本不等式求最值 基本不等式求最值 基本不等式的实际应用 考点 “和” “积”互化求最值 常数代换法求最值 “和” “积”互化求最值 “和” “积”互化、常数代换法求最值 配凑法求最值 消元法、配凑法求最值 一、单项选择题 1．当x＜0时，函数y＝x＋(　　) A．有最大值－4 B．有最小值－4 C．有最大值4 D．有最小值4 答案：A 解析：y＝x＋＝－≤－2×＝－4，当且仅当x＝－2时，等号成立．故选A. 2．(2024·河北唐山一模)已知函数f(x)＝，则f(x)的最小值为(　　) A．0 B．2 C．2 D．3 答案：C 解析：由已知，得x>2，所以f(x)＝＝＝＋≥2，当且仅当＝，即x＝4时，等号成立，则f(x)的最小值为2.故选C. 3．已知F1，F2是椭圆C：＋＝1的两个焦点，点M在C上，则|MF1|·|MF2|的最大值为(　　) A．13 B．12 C．9 D．6 答案：C 解析：由椭圆的定义可知，|MF1|＋|MF2|＝2a＝6.由基本不等式可得|MF1|·|MF2|≤＝＝9，当且仅当|MF1|＝|MF2|＝3时，等号成立．故选C. 4．已知直线ax＋by－1＝0(ab>0)过圆(x－1)2＋(y－2)2＝2026的圆心，则＋的最小值为(　　) A．3＋2 B．3－2 C．6 D．9 答案：A 解析：由圆的方程知，圆心为(1，2)．∵直线ax＋by－1＝0(ab>0)过圆的圆心，∴a＋2b＝1(ab>0)，∴＋＝(a＋2b)＝3＋＋≥3＋2＝3＋2，∴＋的最小值为3＋2.故选A. 5．(2025·黑龙江哈三中模拟)已知某商品近期价格起伏较大，假设第一周和第二周该商品的单价分别为m元和n元(m≠n)，甲、乙两人购买该商品的方式不同，甲每周购买100元的该商品，乙每周购买20件该商品，若甲、乙两次购买平均单价分别为a1，a2，则(　　) A．a1＝a2 B．a1<a2 C．a1>a2 D．a1，a2的大小无法确定 答案：B 解析：由题意，得a1＝＝，a2＝＝，因为m>0，n>0，m≠n，所以>，<＝，即a1<a2.故选B. 6．若对任意m，n∈(0，＋∞)，都有m2－amn＋2n2≥0，则实数a的最大值为(　　) A．4 B. C. D．2 答案：D 解析：由m2－amn＋2n2≥0，得m2＋2n2≥amn，即a≤＝＋恒成立，因为＋≥2＝2，当且仅当＝，即m＝n时取等号，所以a≤2，故实数a的最大值为2.故选D. 7．设x，y为正实数，若2x＋y＋2xy＝，则2x＋y的最小值是(　　) A．4 B．3 C．2 D．1 答案：D 解析：因为x，y为正实数，且＝2x＋y＋2xy＝(2x＋1)(y＋1)－1，令m＝2x＋1，n＝y＋1，则mn＝，所以2x＋y＝m＋n－2≥2－2＝1，当且仅当m＝n，即y＝，x＝时取等号．故选D. 8．若a，b，c均为正数，且满足a2＋2ab＋3ac＋6bc＝1，则2a＋2b＋3c的最小值是(　　) A．2 B．1 C. D．2 答案：A 解析：因为a2＋2ab＋3ac＋6bc＝1，所以a(a＋2b)＋3c(a＋2b)＝(a＋2b)(a＋3c)＝1，又a，b，c均为正数，所以(a＋2b)(a＋3c)≤＝，当且仅当a＋2b＝a＋3c＝1时取等号，所以≥1，即2a＋2b＋3c≥2.故选A. 二、多项选择题 9．下列四个函数中，最小值为2的是(　　) A．y＝sinx＋ B．y＝ln x＋(x＞0，x≠1) C．y＝ D．y＝4x＋4－x 答案：AD 解析：对于A，因为0＜x≤，所以0＜sinx≤1，则y＝sinx＋≥2，当且仅当sinx＝，即sinx＝1时取等号，故y＝sinx＋的最小值为2，A符合题意；对于B，当0＜x＜1时，ln x＜0，此时y＝ln x＋为负值，无最小值，B不符合题意；对于C，y＝＝＋，设t＝，则t≥，则y≥＋＝，其最小值不是2，C不符合题意；对于D，y＝4x＋4－x＝4x＋≥2＝2，当且仅当x＝0时取等号，故y＝4x＋4－x的最小值为2，D符合题意．故选AD. 10．已知正实数a，b满足ab＋a＋b＝8，则下列说法正确的是(　　) A．ab的最大值为2 B．a＋b的最小值为4 C．a＋2b的最小值为6－3 D.＋的最小值为 答案：BCD 解析：对于A，因为ab＋a＋b＝8≥ab＋2，即()2＋2－8≤0，解得0<≤2，则ab≤4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故A错误；对于B，ab＋a＋b＝8≤＋(a＋b)，即(a＋b)2＋4(a＋b)－32≥0，解得a＋b≤－8(舍去)，a＋b≥4，当且仅当a＝b＝2时取等号，故B正确；对于C，由题意可得b(a＋1)＝8－a，所以b＝>0，解得0<a<8，a＋2b＝a＋2×＝a＋－2＝a＋1＋－3≥2－3＝6－3，当且仅当a＋1＝，即a＝3－1时取等号，故C正确；对于D，因为＋＝[a(b＋1)＋b]＝≥×(2＋2)＝，当且仅当＝，即b＝4，a＝时取等号，故D正确．故选BCD. 11．《几何原本》中的几何代数法是以几何方法研究代数问题，这种方法是后来西方数学家处理问题的重要依据，通过这一原理，很多的代数公理或定理都能够通过图形实现证明，也称之为无字证明．现有图形如图所示，C为线段AB上的点，且AC＝a，BC＝b(a>0，b>0)，O为AB的中点，以AB为直径作半圆，过点C作AB的垂线，交半圆于点D，连接OD，AD，BD，过点C作OD的垂线，垂足为E，取弧的中点F，连接FC，则该图形可以完成的所有无字证明为(　　) A.≥ B．a2＋b2≥2ab C.≥ D.≥ 答案：ACD 解析：由题意知，AC＝a，BC＝b，∠ADB＝，在Rt△ADB中，由三角形相似，得CD2＝AC·BC，即CD2＝ab，又OD≥CD且OD＝＝，所以≥，当且仅当a＝b时，等号成立，所以A符合题意；在Rt△OCD中，同理可得CD2＝DE·OD，所以DE＝＝＝，因为CD≥DE，所以≥＝，当且仅当a＝b时，等号成立，所以C符合题意；由OC＝OB－BC＝－b＝，连接OF，因为F为弧的中点，所以OF⊥OC，在Rt△OCF中，可得FC2＝OC2＋OF2＝＋＝，即FC＝，因为FC≥OF，所以≤，当且仅当a＝b时，等号成立，所以D符合题意．故选ACD. 三、填空题 12．若函数f(x)＝x＋(x>2)在x＝a处取得最小值，则a＝________． 答案：3 解析：当x>2时，x－2>0，f(x)＝(x－2)＋＋2≥2＋2＝4，当且仅当x－2＝(x>2)，即x＝3时取等号，即当f(x)取得最小值时，x＝3，即a＝3. 13．(2025·广西河池适应性测试)若实数a>1>b>0，且a2＋2b＝b2＋2a，则＋的最小值为________． 答案：4 解析：由a2＋2b＝b2＋2a可得(a－b)(a＋b－2)＝0，因为a>1>b>0，所以a－b≠0，即a＋b－2＝0，则a－1＋b＝1，则＋＝(a－1＋b)＝2＋＋≥2＋2＝4，当且仅当＝，即a＝，b＝时，等号成立，故＋的最小值为4. 14．设x>0，y>0，x＋2y＝4，则的最小值为________． 答案： 解析：由x＋2y＝4，得x＋2y＝4≥2，故xy≤2，＝＝＝2＋≥2＋＝，当且仅当x＝2y，即x＝2，y＝1时，等号成立．故所求式子的最小值为. 15．已知正实数x，y满足＋＋4＝x＋y，则x＋y的最小值为(　　) A.－2 B．2 C．2＋ D．2＋ 答案：C 解析：因为正实数x，y满足＋＋4＝x＋y，等式两边同时乘以x＋y，可得(x＋y)2＝4(x＋y)＋5＋＋≥4(x＋y)＋5＋2＝4(x＋y)＋9，所以(x＋y)2－4(x＋y)－9≥0，因为x＋y>0，所以x＋y≥2＋，当且仅当y＝2x时，等号成立．因此x＋y的最小值为2＋.故选C. 16．已知点E是△ABC的中线BD上的一点(不包括端点)，若＝x＋y，则＋的最小值为(　　) A．4 B．6 C．8 D．9 答案：C 解析：设＝λ(0<λ<1)，∵＝＋＝＋λ＝＋λ(－)＝(1－λ)＋，∴x＝1－λ，y＝(x>0，y>0)，∴＋＝＋＝[(1－λ)＋λ]＝4＋＋≥4＋2＝8，当且仅当＝，即λ＝时取等号，故＋的最小值为8.故选C. 17．(多选)(2022·新高考Ⅱ卷)若x，y满足x2＋y2－xy＝1，则(　　) A．x＋y≤1 B．x＋y≥－2 C．x2＋y2≤2 D．x2＋y2≥1 答案：BC 解析：由x2＋y2－xy＝1，得(x＋y)2－1＝3xy≤3，解得－2≤x＋y≤2，当且仅当x＝y＝－1时，x＋y＝－2，当且仅当x＝y＝1时，x＋y＝2，所以A错误，B正确；由x2＋y2－xy＝1，得x2＋y2－1＝xy，又x2＋y2≥2＝2|xy|，所以|x2＋y2－1|≤，即－≤x2＋y2－1≤，所以≤x2＋y2≤2，当且仅当x＝y＝±1时，x2＋y2＝2，当x＝，y＝－或x＝－，y＝时，x2＋y2＝，所以C正确，D错误．故选BC. 18．(多选)若a>b>0，且a＋b＝1，则(　　) A．2a＋2b≥2 B.＋≥2＋2 C．(a2＋1)(b2＋1)< D.＋≥ 答案：BD 解析：因为a>b>0，且a＋b＝1，所以0<b<，<a<1.对于A，因为2a＋2b≥2＝2＝2，当且仅当a＝b＝时取等号，但a>b>0，所以等号取不到，故A错误；对于B，因为>0，>0，由基本不等式，得＋＝＋＝2＋＋≥2＋2＝2＋2，当且仅当＝，即a＝2－，b＝－1时，等号成立，所以＋≥2＋2，故B正确；对于C，因为a＋b＝1，所以(a2＋1)(b2＋1)＝a2b2＋a2＋b2＋1＝a2b2＋(a＋b)2－2ab＋1＝a2b2－2ab＋2＝(ab－1)2＋1，其中ab≤＝，当且仅当a＝b时取等号，但a>b>0，所以等号取不到，所以0<ab<，(a2＋1)(b2＋1)＝(ab－1)2＋1∈，故C错误；对于D，由权方和不等式，得＋≥＝，当且仅当a(b＋1)＝b(a＋2)，即a＝2b＝时，等号成立，故D正确．故选BD. 19．(2025·辽宁鞍山育英学校高三期末)已知实数x>0，y>0，则的最大值为________． 答案：2 解析：因为＝＝1＋，x>0，y>0，由不等式的知识可得≥，即x2＋9y2≥，取等号的条件是x＝3y，所以1＋≤1＋＝1＋≤1＋＝2，取等号的条件是＝，即x＋3y＝2，结合x＝3y，可得取到最大值的条件是x＝1，y＝. 20．如图所示，为处理含有某种杂质的污水，要制造一个底面宽为2 m的无盖长方体沉淀箱，污水从A孔流入，经沉淀后从B孔流出，设箱的底面长为a m，高为b m．已知流出的水中该杂质的质量分数与a，b的乘积成反比，现有制箱材料60 m2，则当a＝________，b＝________时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小(A，B孔的面积忽略不计)． 答案：6　3 解析：设y为流出的水中杂质的质量分数，则y＝，其中k为比例系数，且k＞0，依题意，求使y值最小的a，b的值．根据题设，有4b＋2ab＋2a＝60(a＞0，b＞0)，解得b＝(0＜a＜30)　①，于是y＝＝＝＝≥ ＝，当且仅当a＋2＝，即a＝6或a＝－10(舍去)时取等号，y取得最小值，将a＝6代入①式，解得b＝3.所以当a＝6，b＝3时，经沉淀后流出的水中该杂质的质量分数最小． 5 学科网（北京）股份有限公司 $$