第2章 第1节 不等式的性质-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案全书word（基础版）

第一节　不等式的性质 课标解读 考向预测 理解不等式的概念，掌握不等式的性质. 高考对不等式的性质的考查主要与其他知识及实际问题相结合进行命题，难度中档.2026年备考要重视不等式性质的运用，明确其成立的前提，灵活运用估值法，适当关注与实际问题的结合. 必备知识—强基础 1．两个实数比较大小的方法 (1)作差法 ①a－b>0⇔a>b； ②a－b＝0⇔a＝b； ③a－b<0⇔a<b. (2)作商法 ①>1(a∈R，b>0)⇔a>b(a∈R，b>0)； ②＝1(a∈R，b≠0)⇔a＝b(a∈R，b≠0)； ③<1(a∈R，b>0)⇔a<b(a∈R，b>0)． 2．不等式的性质 性质 性质内容 注意 对称性 a>b⇔b<a；a<b⇔b>a 可逆 传递性 a>b，b>c⇒a>c； a<b，b<c⇒a<c 同向 可加性 a>b⇔a＋c>b＋c 可逆 可乘性 a>b，c>0⇒ac>bc； a>b，c<0⇒ac<bc c的符号 同向可加性 a>b，c>d⇒a＋c>b＋d 同向 同向同正可乘性 a>b>0，c>d>0⇒ac>bd 同向同正 可乘方性 a>b>0，n∈N，n≥2⇒an>bn 同正 可开方性 a>b>0，n∈N，n≥2⇒> 同正 若a＞b＞0，m＞0，则 (1)＜；＞(a－m＞0)； (2)＞；＜(b－m＞0)． 题组一　走出误区——判一判 (1)a＝b⇔ac＝bc.(　　) (2)若a<b<0，则<(n∈N*)．(　　) (3)若a>b>c，则(a－b)c>(b－a)c.(　　) 答案：(1)×　(2)√　(3)× 题组二　回归教材——练一练 (1)(人教B必修第一册练习B T2改编)实数x，y满足x＞y，则下列不等式成立的是(　　) A.＜1 B．2－x＜2－y C．lg (x－y)＞0 D．x2＞y2 答案：B (2)(人教B必修第一册2.2.1例2(3)改编)若a＞b＞0，c＜d＜0，则一定有(　　) A.＞ B.＜ C.＞ D.＜ 答案：B (3)(多选)(人教A必修第一册习题2.1 T8)下列命题为真命题的是(　　) A．若a>b>0，则ac>bc B．若a>b>0，则a2>b2 C．若a<b<0，则a3<b3 D．若a<b<0，则< 答案：BC 解析：对于A，当c≤0时，ac≤bc，所以A为假命题；对于B，因为a＞b＞0，所以a2－b2＝(a＋b)(a－b)＞0，所以a2＞b2，所以B为真命题；对于C，由a＜b＜0可得，a3<b3<0，所以C为真命题；对于D，因为a＜b＜0，所以>，所以D为假命题． (4)(人教A必修第一册习题2.1 T5改编)若实数x，y满足－<x<y<，则x－y的取值范围为________． 答案：(－1，0) 解析：由题意，－<x<，－<y<，则－<－y<，－1<x－y<1，又x<y，所以－1<x－y<0，即x－y的取值范围为(－1，0)． 考点探究—提素养 　不等式的性质 (多选)已知实数a，b，c满足0<a<b<c，则下列不等式成立的是(　　) A.> B.> C.> D．ab＋c2>ac＋bc 答案：BCD 解析：因为0<a<b<c，所以c－a>b－a>0，<，故A错误；因为a＞0，b＞0，b＋c＞0，a＋c＞0，所以>⇔b(a＋c)>a(b＋c)⇔bc>ac⇔b>a，故B正确；因为a＞0，b＞0，c－a＞0，所以>⇔>⇔b>a，故C正确；ab＋c2>ac＋bc⇔c(c－b)－a(c－b)>0⇔(c－a)(c－b)>0，故D正确．故选BCD. 应用不等式的性质进行推导时，应注意紧扣不等式的性质成立的条件，且不可省略条件或跳步推导，更不能随意构造性质与法则．有时可以结合函数的单调性进行推导． 　1.(多选)(2025·福建龙岩质检)下列说法正确的是(　　) A．若a<b<0，则a2>ab>b2 B．若a<b<0，则ac2<bc2 C．若0<a<b<c，则> D．若0<a<b，则2a＋>2 答案：AC 解析：对于A，因为a<b<0，则两边同乘以a，得a2>ab，两边同乘以b，得ab>b2，则a2>ab>b2，故A正确；对于B，当c＝0时，ac2＝bc2，故B错误；对于C，因为0<a<b，所以>，又c>0，所以>，故C正确；对于D，举例a＝2，b＝8，则2a＋＝2×2＋＝8，而2＝2＝8，此时两者相等，故D错误．故选AC. 　比较两个数(式)的大小 (1)若a<0，b<0，则p＝＋与q＝a＋b的大小关系为(　　) A．p<q B．p≤q C．p>q D．p≥q 答案：B 解析：解法一(特殊值法)：令a＝b＝－1，则p＝q＝－2，排除A，C；令a＝－1，b＝－2，则p<q，排除D.故选B. 解法二(作差法)：p－q＝＋－a－b＝＋＝(b2－a2)＝＝，因为a<0，b<0，所以a＋b<0，ab>0.若a＝b，则p－q＝0，故p＝q；若a≠b，则p－q<0，故p<q.综上，p≤q.故选B. (2)若a＝，b＝，c＝，则(　　) A．a<b<c B．c<b<a C．c<a<b D．b<a<c 答案：C 解析：解法一(作差法)：因为a－b＝－＝＝＜0，所以a＜b.因为c－a＝－＝＝<0，所以c＜a，所以c＜a＜b.故选C. 解法二(构造函数法)：设f(x)＝，则f′(x)＝，当x∈(0，e)时，f′(x)>0；当x∈(e，＋∞)时，f′(x)<0，所以f(x)在(0，e)上单调递增，在(e，＋∞)上单调递减．因为a＝f(2)＝f(4)，b＝f(3)，c＝f(5)，所以c<a<b.故选C. (3)设a，b都是正数，且a≠b，则aabb与abba的大小关系是________． 答案：aabb>abba 解析：＝aa－bbb－a＝.若a>b，则>1，a－b>0，所以>1，所以aabb>abba；若a<b，则0<<1，a－b<0，所以>1，所以aabb>abba.综上，aabb>abba. 比较大小的常用方法 (1)作差法：①作差；②变形；③定号；④得出结论． (2)作商法：①作商；②变形；③判断商与1的大小关系；④得出结论． (3)构造函数法：借助函数的单调性比较大小． (4)特殊值法：适用于排除错误答案，取值应满足题设条件且便于计算，有代表性． 　2.若a，b∈[0，＋∞)，A＝＋，B＝，则A，B的大小关系是(　　) A．A≤B B．A≥B C．A＜B D．A＞B 答案：B 解析：由题意，得B2－A2＝－2≤0，所以B2≤A2.又A≥0，B≥0，所以A≥B.故选B. 3．已知c＞1，且x＝－，y＝－，则x，y的大小关系是(　　) A．x＞y B．x＝y C．x＜y D．x，y的关系随c而定 答案：C 解析：易知x>0，y＞0，又＝＝＝<1，所以x<y.故选C. 　不等式性质的综合应用 (1)已知－1<x<4，2<y<3，则x－y的取值范围是________，3x＋2y的取值范围是________． 答案：(－4，2)　(1，18) 解析：因为－1<x<4，2<y<3，所以－3<－y<－2，所以－4<x－y<2.因为－3<3x<12，4<2y<6，所以1<3x＋2y<18. (2)已知a∈(－3，－2)，b∈(2，4)，则的取值范围是________． 答案： 解析：因为a∈(－3，－2)，所以∈，故<－<，又2<b<4，所以<－<2，则－2<<－. (3)已知－1<x＋2y<4，2<2x－3y<3，则4x＋y的取值范围是________． 答案：(0，11) 解析：设4x＋y＝a(x＋2y)＋b(2x－3y)＝(a＋2b)x＋(2a－3b)y(a，b∈R)，则 解得则4x＋y＝2(x＋2y)＋(2x－3y)．因为－1<x＋2y<4，2<2x－3y<3，所以0<2(x＋2y)＋(2x－3y)<11，即0<4x＋y<11，故4x＋y的取值范围是(0，11)． 利用不等式的性质求代数式取值范围的注意点 　4.(2025·湖北宜荆荆模拟)有三个房间需要粉刷，粉刷方案要求：每个房间只用一种颜色，且三个房间颜色各不相同．已知三个房间的粉刷面积(单位：m2)分别为x，y，z，且x>y>z，三种颜色涂料的粉刷费用(单位：元/m2)分别为a，b，c，且a<b<c，在不同的粉刷方案中，最低的总费用(单位：元)是(　　) A．ax＋by＋cz B．az＋by＋cx C．ay＋bz＋cx D．ay＋bx＋cz 答案：A 解析：由x>y>z，a<b<c，得ax＋by＋cz－(az＋by＋cx)＝a(x－z)＋c(z－x)＝(x－z)(a－c)<0，故ax＋by＋cz<az＋by＋cx；ay＋bz＋cx－(ay＋bx＋cz)＝b(z－x)＋c(x－z)＝(x－z)(c－b)>0，故ay＋bz＋cx>ay＋bx＋cz；ax＋by＋cz－(ay＋bx＋cz)＝a(x－y)＋b(y－x)＝(x－y)(a－b)<0，故ax＋by＋cz<ay＋bx＋cz，故最低的总费用为ax＋by＋cz.故选A. 5．已知12<a<60，15<b<36，则a－2b的取值范围为________，的取值范围为________． 答案：(－60，30)　 解析：因为15<b<36，所以－72<－2b<－30.又12<a<60，所以－60<a－2b<30.因为12<a<60，所以24<2a<120，又15<b<36，所以<<，所以<<8.综上，a－2b的取值范围是(－60，30)，的取值范围是. 6．已知1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，则5a＋b的取值范围为________． 答案：[11，27] 解析：设5a＋b＝m(a－b)＋n(a＋b)＝(m＋n)a＋(n－m)b(m，n∈R)，所以解得则5a＋b＝2(a－b)＋3(a＋b)，又1≤a－b≤3，3≤a＋b≤7，所以2≤2(a－b)≤6，9≤3(a＋b)≤21，由不等式的性质，得11≤2(a－b)＋3(a＋b)≤27，则5a＋b的取值范围为[11，27]． 课时作业 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ 考向 不等式的性质 不等式的性质 不等式的实际应用 不等式的性质 不等式的性质 不等式的性质 不等式的实际应用 考点 比较大小 不等式性质的应用 用不等式(组)表示不等关系 作差法比较大小 比较大小 作商法比较大小 用不等式(组)表示不等关系；不等式性质的应用 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★★ 考向 不等式的性质 不等式的性质 不等式的性质 不等式的性质 不等式的性质 不等式的实际应用 不等式的性质 考点 比较大小 比较大小 比较大小 求代数式的取值范围 求代数式的取值范围 用不等式(组)表示不等关系；不等式性质的应用 不等式性质的应用 题号 15 16 17 18 19 20 难度 ★★ ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ 考向 不等式的性质 不等式的性质 不等式的实际应用 不等式的性质 不等式的性质 不等式的性质 考点 作差法比较大小 不等式性质的应用 用不等式(组)表示不等关系；不等式性质的应用 求代数式的最值 比较大小 不等式性质的应用 一、单项选择题 1．(2025·陕西西安西光中学高三期末)“a>b>0”是“a－b>ln ”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由a>b>0，得a－b>0，0<<1，则ln <0，从而a－b>ln .取a＝－1，b＝－2，满足a－b>ln ，不满足a>b>0.故“a>b>0”是“a－b>ln ”的充分不必要条件．故选A. 2．已知a，b∈R，使a>b成立的一个必要不充分条件是(　　) A．a＋1>b B．a>b＋1 C．2a>2b D．a2>b2 答案：A 解析：对于A，若a>b，则a＋1>a>b，而a＋1>b成立，不能推出a>b成立，即a＋1>b是a>b成立的必要不充分条件，故A符合题意；对于B，因为a>b＋1>b，所以a>b＋1是a>b成立的充分条件，故B不符合题意；对于C，因为函数y＝2x是R上的增函数，所以a>b⇔2a>2b，故C不符合题意；对于D，取a＝1，b＝－2，满足a>b，而a2>b2不成立，反之，取a＝－2，b＝1，满足a2>b2，而a>b不成立，故D不符合题意．故选A. 3．(2025·河南六市联考)已知b克糖水中含有a克糖(b>a>0)，再添加m(m>0)克糖(假设全部溶解)，糖水变甜了，能恰当表示这一事实的不等式为(　　) A．bm>am B．b＋m>a＋m C.> D.> 答案：D 解析：原糖水的浓度为，加入m克糖后糖水的浓度为，加入糖后糖水浓度变大了，所以>.故选D. 4．已知a＝，b＝－，c＝－，则(　　) A．a>b>c B．a>c>b C．c>a>b D．c>b>a 答案：B 解析：由a－b＝＋－，且(＋)2＝5＋2>7，得a>b；由a－c＝2－，且(2)2＝8>6，得a>c；由b－c＝(＋)－(＋)，且(＋)2＝9＋2>9＋2＝(＋)2，得c>b.所以a>c>b.故选B. 5．已知a＋b＜0，且a＞0，则(　　) A．a2＜－ab＜b2 B．b2＜－ab＜a2 C．a2＜b2＜－ab D．－ab＜b2＜a2 答案：A 解析：解法一：令a＝1，b＝－2，则a2＝1，－ab＝2，b2＝4，从而a2＜－ab＜b2.故选A. 解法二：由a＋b＜0，且a＞0可得b＜0，且a＜－b.因为a2－(－ab)＝a(a＋b)＜0，所以0＜a2＜－ab.又0＜a＜－b，所以0＜－ab＜(－b)2，所以0＜a2＜－ab＜b2.故选A. 6．若a>0，且a≠7，则(　　) A．77aa<7aa7 B．77aa＝7aa7 C．77aa>7aa7 D．77aa与7aa7的大小不确定 答案：C 解析：＝77－aaa－7＝，则当a>7时，0<<1，7－a<0，则>1，所以77aa>7aa7；当0<a<7时，>1，7－a>0，则>1，所以77aa>7aa7.综上，77aa>7aa7.故选C. 7．(2025·浙江杭州学军中学模拟)某大学在校学生中，理科生多于文科生，女生多于男生，则下述关于该大学在校学生的结论中，一定成立的是(　　) A．理科男生多于文科女生 B．文科女生多于文科男生 C．理科女生多于文科男生 D．理科女生多于理科男生 答案：C 解析：设理科女生有x1人，理科男生有x2人，文科女生有y1人，文科男生有y2人．根据题意可知x1＋x2>y1＋y2，x2＋y2<x1＋y1，根据不等式的性质有(x1＋x2)－(x2＋y2)>(y1＋y2)－(x1＋y1)，即有x1>y2，所以理科女生多于文科男生．故选C. 8．设a＝sin，b＝ln π，c＝π－，则(　　) A．c<b<a B．a<c<b C．a<b<c D．c<a<b 答案：B 解析：因为0＝sin0<sin<sin＝，所以a∈，又ln π>ln e＝1，所以b∈(1，＋∞)，又＝<＝π-<π0＝1，所以c∈，所以a<c<b.故选B. 二、多项选择题 9．已知a>b>0，则下列说法正确的是(　　) A.> B．2>＋ C．a＋>b＋ D．lg > 答案：BD 解析：因为a>b>0，所以－＝<0，故A错误；因为a>b>0，所以>，>，所以2>＋，故B正确；当a＝2，b＝时，a＋＝b＋，故C错误；因为a>b>0，所以lg >lg ＝lg ＝，故D正确．故选BD. 10．若<<0，则(　　) A．|a|<|b| B．ac<bc C.>0 D．0<<1 答案：ACD 解析：由<<0，得c≠0，当c>0时，由<<0，得<<0，即b<a<0，则|a|<|b|，ac>bc，>0，0<<1；当c<0时，由<<0，得>>0，即b>a>0，所以|a|<|b|，ac>bc，>0，0<<1，故A，C，D正确，B错误．故选ACD. 11．已知3<a<6，1<b<5，则(　　) A.∈ B.∈ C．a－2b∈(－4，1) D．a－2b∈(－7，4) 答案：BD 解析：∵1<b<5，∴－10<－2b<－2，<<1，又3<a<6，∴－7<a－2b<4，<<6，即∈，a－2b∈(－7，4)．故选BD. 三、填空题 12．已知1≤2x－y≤2，－1≤2x＋3y≤1，则6x＋5y的取值范围为________． 答案：[－1，4] 解析：因为6x＋5y＝2x－y＋2(2x＋3y)，所以1＋2×(－1)≤2x－y＋2(2x＋3y)≤2＋2×1，故6x＋5y的取值范围为[－1，4]． 13．某新农村为加强体育文化建设，购买了一批体育器材．已知在该批器材中，4个排球和5个足球的价格之和小于400元，而6个排球和3个足球的价格之和大于450元．设1个排球的价格为A元，1个足球的价格为B元，则A________B(填“>”“<”或“＝”)． 答案：> 解析：由题意，得所以所以A－B>25>0，则A>B. 14．(2025·广西南宁二中模拟)设a≥0，b≥0，a＋b＝1.将a2，b2，2ab这三者中的最大值记为M.当a，b变化时，M的最小值是________． 答案： 解析：不妨设a≥b，则只需考虑M＝a2(a2≥2ab)及M＝2ab(2ab＞a2)两种情形．若a2≥2ab，则≤a≤1，则M＝a2≥；若a2<2ab，即b≤a<2b，则≤a<，则M＝2ab＝2a(1－a)>2××＝，所以当a＝，b＝时，M取得最小值. 15．若a是实数，P＝＋a，Q＝＋，则P，Q的大小关系是(　　) A．Q>P B．P＝Q C．P>Q D．由a的取值确定 答案：A 解析：显然P，Q都是正数，又P2＝2a2＋10＋2a，Q2＝2a2＋10＋2＝2a2＋10＋2，Q2－P2＝2－2a，若a是负数，则Q2－P2>0，即Q2>P2，所以Q>P；若a是非负数，则2a＝2<2，所以Q2－P2>0，即Q2>P2，所以Q>P.故选A. 16．已知三个不等式：ab>0，bc－ad>0，－>0(其中a，b，c，d均为实数)，用其中两个不等式作为条件，余下的一个不等式作为结论组成一个命题，则可组成真命题的个数为(　　) A．0 B．1 C．2 D．3 答案：D 解析：若ab>0，bc－ad>0成立，则在不等式bc－ad>0两边同除以ab，可得－>0，即ab>0，bc－ad>0⇒－>0；若ab>0，－>0成立，则在不等式－>0两边同乘以ab，可得bc－ad>0，即ab>0，－>0⇒bc－ad>0；若－>0，bc－ad>0成立，则－＝>0，又bc－ad>0，则ab>0，即－>0，bc－ad>0⇒ab>0.综上可知，以三个不等式中任意两个为条件都可推出第三个不等式成立，故可组成3个真命题． 17．某营救小组有48人，需要乘船过河去执行营救任务，现从甲、乙两种型号的船中选择一种．甲型号的船比乙型号的船少5艘．若只选择甲型号的船，每艘船载4人，则船不够；每艘船载5人，则有船没有载满．若只选择乙型号的船，每艘船载3人，则船不够；每艘船载4人，则有多余的船．那么甲型号的船有(　　) A．9艘 B．10艘 C．11艘 D．12艘 答案：B 解析：设甲型号的船有x艘，则乙型号的船有(x＋5)艘，由题意可得 解得9.6<x<11，又因为x为正整数，所以x＝10，即甲型号的船有10艘．故选B. 18．设x，y为实数，满足2≤xy2≤3，3≤≤4，则的最大值是(　　) A．9 B．16 C．32 D．64 答案：C 解析：＝·，∵3≤≤4，∴27≤≤64，∵2≤xy2≤3，∴≤≤，根据不等式的性质，得9≤·≤32，即的最大值为32，当且仅当即时，等号成立． 19．(多选)下列不等式成立的是(　　) A．log2(sin1)>2sin1 B.<π C.－<－2 D．log43<log65 答案：BCD 解析：∵sin1∈(0，1)，∴log2(sin1)<0，2sin1>1，∴log2(sin1)<2sin1，故A不成立；∵0<<1，π>1，∴<π，故B成立；要判定－<－2，即判定＋2<＋，即(＋2)2<(＋)2，即11＋4<11＋2，即4<2，即28<30成立，故C成立；∵log34＝1＋log3，log56＝1＋log5，又log3>log3>log5，∴log34>log56>0，∴0<<，∴log43<log65，故D成立．故选BCD. 20．以maxM表示数集M中最大的数．设0<a<b<c<1，已知b≥2a或a＋b≤1，则max{b－a，c－b，1－c}的最小值为________． 答案： 解析：令b－a＝m，c－b＝n，1－c＝p，其中m>0，n>0，p>0，所以若b≥2a，则b＝1－n－p≥2(1－m－n－p)，故2m＋n＋p≥1，令M＝max{b－a，c－b，1－c}＝max{m，n，p}，则故4M≥2m＋n＋p≥1，则M≥；若a＋b≤1，则1－m－n－p＋1－n－p≤1，即m＋2n＋2p≥1，M＝max{b－a，c－b，1－c}＝max{m，n，p}，则故5M≥m＋2n＋2p≥1，则M≥，当m＝n＝p时，等号成立．综上可知，max{b－a，c－b，1－c}的最小值为. 10 学科网（北京）股份有限公司 $$