第1章 第2节 常用逻辑用语-【金版教程】2026年高考数学一轮复习解决方案全书word（基础版）

第二节　常用逻辑用语 课标解读 考向预测 1.理解充分条件、必要条件、充要条件的意义；理解判定定理与充分条件、性质定理与必要条件、数学定义与充要条件的关系. 2.理解全称量词与存在量词的意义；能正确使用存在(或全称)量词对全称(或存在)量词命题进行否定. 新高考对常用逻辑用语直接考查的频率比较低，一般与其他知识交汇考查，难度中档偏下.2026年备考仍以选择题为主训练，常与函数、数列、三角、不等式的解法及直线与平面位置关系的判定等知识结合考查. 必备知识—强基础 1．充分条件、必要条件与充要条件的概念 p与q的关系 结论 p⇒q p是q的充分条件，q是p的必要条件 p⇒q且qp p是q的充分不必要条件 p q且q⇒p p是q的必要不充分条件 p⇔q p是q的充要条件 p q且q p p是q的既不充分也不必要条件 2.充分、必要条件与集合的子集之间的关系 设A＝{x|p(x)}，B＝{x|q(x)}，则 (1)若A⊆B，则p是q的充分条件； (2)若A⊇B，则p是q的必要条件； (3)若A＝B，则p是q的充要条件； (4)若AB，则p是q的充分不必要条件； (5)若AB，则p是q的必要不充分条件． 3．全称量词命题与存在量词命题 (1)全称量词与存在量词 短语“所有的”“任意一个”在逻辑中通常叫做全称量词，并用符号“∀”表示；短语“存在一个”“至少有一个”在逻辑中通常叫做存在量词，并用符号“∃”表示． (2)全称量词命题与存在量词命题及其否定 名称 形式 全称量词命题 存在量词命题 结构 对M中任意一个x，p(x)成立 存在M中的元素x，p(x)成立 简记 ∀x∈M，p(x) ∃x∈M，p(x) 否定 ∃x∈M，綈p(x) ∀x∈M，綈p(x) 1．在判断充分、必要条件时，小范围可以推大范围，大范围不可以推小范围． 2．含有一个量词的命题的否定规律是“改量词，否结论”．对省略了全称量词的命题否定时，要对原命题先加上全称量词再对其否定． 3．命题p与綈p真假性相反. 题组一　走出误区——判一判 (1)当q是p的必要条件时，p是q的充分条件．(　　) (2)已知集合A，B，A∪B＝A∩B的充要条件是A＝B.(　　) (3)“∃x∈M，p(x)”与“∀x∈M，綈p(x)”的真假性相反．(　　) 答案：(1)√　(2)√　(3)√ 题组二　回归教材——练一练 (1)(人教B必修第一册习题1－2A T4改编)“sinα＝sinβ”是“α＝β”的________条件．(用“充分不必要”“必要不充分”“充要”“既不充分也不必要”填空) 答案：必要不充分 解析：若α＝，β＝，则满足sinα＝sinβ，而不满足α＝β；当α＝β时，sinα＝sinβ一定成立，所以“sinα＝sinβ”是“α＝β”的必要不充分条件． (2)(人教B必修第一册习题1－2B T5改编)已知p：x>a是q：2<x<3的必要不充分条件，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，2] 解析：由已知可得{x|2<x<3}{x|x>a}，所以a≤2. (3)(人教A必修第一册习题1.5 T6改编)已知“若x＞1，则2x＋1＞λ”是假命题，则实数λ的取值范围是________． 答案：(3，＋∞) 解析：因为“若x＞1，则2x＋1＞λ”是假命题，所以“∃x＞1，使2x＋1≤λ”是真命题．因为当x＞1时，2x＋1＞3，所以实数λ的取值范围是(3，＋∞)． (4)(人教B必修第一册1.2.1练习B T4改编)设命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0；命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0，若p，q均为真命题，则实数m的取值范围为________． 答案： 解析：若命题p：∃x∈R，x2－2x＋m－3＝0为真命题，则Δ＝4－4(m－3)≥0，解得m≤4；若命题q：∀x∈R，x2－2(m－5)x＋m2＋19≠0为真命题，则Δ＝4(m－5)2－4(m2＋19)＜0，解得m∈.又p，q均为真命题，所以实数m的取值范围为{m|m≤4}∩＝. 考点探究—提素养 　充分条件、必要条件的判断 (1)(2024·天津高考)设a，b∈R，则“a3＝b3”是“3a＝3b”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：根据幂函数的性质和指数函数的性质，可知a3＝b3和3a＝3b都当且仅当a＝b时成立，所以“a3＝b3”是“3a＝3b”的充要条件．故选C. (2)(2023·全国甲卷)“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的(　　) A．充分条件但不是必要条件 B．必要条件但不是充分条件 C．充要条件 D．既不是充分条件也不是必要条件 答案：B 解析：充分性：当sin2α＋sin2β＝1时，sin2α＝1－sin2β，即sin2α＝cos2β，∴sinα＝±cosβ，即sinα＋cosβ＝0或sinα－cosβ＝0，∴充分性不成立；必要性：当sinα＋cosβ＝0时，sin2α＝cos2β，∴sin2α＝1－sin2β，即sin2α＋sin2β＝1，∴必要性成立．∴“sin2α＋sin2β＝1”是“sinα＋cosβ＝0”的必要条件但不是充分条件．故选B. (3)(多选)下列四个条件中，能成为x>y的充分不必要条件的是(　　) A．xc2>yc2 B.<<0 C．|x|>|y| D．ln x>ln y 答案：ABD 解析：对于A，若xc2>yc2，则c2≠0，则x>y，反之x>y，当c＝0时得不出xc2>yc2，所以“xc2>yc2”是“x>y”的充分不必要条件，故A符合题意．对于B，由<<0可得y<x<0，即能推出x>y，但x>y不能推出<<0(因为x，y的正负不确定)，所以“<<0”是“x>y”的充分不必要条件，故B符合题意．对于C，由|x|>|y|可得x2>y2，则(x＋y)(x－y)>0，不能推出x>y；由x>y也不能推出|x|>|y|(如x＝1，y＝－2)，所以“|x|>|y|”是“x>y”的既不充分也不必要条件，故C不符合题意．对于D，若ln x>ln y，则x>y>0，反之x>y得不出ln x>ln y，所以“ln x>ln y”是“x>y”的充分不必要条件，故D符合题意． 判断充分、必要条件的两种常用方法 　1.若xy≠0，则“x＋y＝0”是“＋＝－2”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：因为xy≠0，且＋＝－2，所以x2＋y2＝－2xy，即x2＋y2＋2xy＝0，即(x＋y)2＝0，所以x＋y＝0.所以“x＋y＝0”是“＋＝－2”的充要条件．故选C. 2．(2024·全国甲卷)已知向量a＝(x＋1，x)，b＝(x，2)，则(　　) A．“x＝－3”是“a⊥b”的必要条件 B．“x＝－3”是“a∥b”的必要条件 C．“x＝0”是“a⊥b”的充分条件 D．“x＝－1＋”是“a∥b”的充分条件 答案：C 解析：对于A，当a⊥b时，a·b＝0，所以x(x＋1)＋2x＝0，解得x＝0或x＝－3，即必要性不成立，故A错误；对于B，当a∥b时，2(x＋1)＝x2，解得x＝1±，即必要性不成立，故B错误；对于C，当x＝0时，a＝(1，0)，b＝(0，2)，故a·b＝0，所以a⊥b，即充分性成立，故C正确；对于D，当x＝－1＋时，不满足2(x＋1)＝x2，所以a∥b不成立，即充分性不成立，故D错误．故选C. 　根据充分条件、必要条件求参数的取值范围 已知p：－2≤x≤10，q：1－m≤x≤1＋m(m>0)． (1)若p是q的必要不充分条件，则实数m的取值范围为________； (2)若p是q的充分不必要条件，则实数m的取值范围为________． 答案：(1)(0，3]　(2)[9，＋∞) 解析：(1)因为p是q的必要不充分条件，所以或解得m≤3，又m>0，所以实数m的取值范围为(0，3]． (2)因为p是q的充分不必要条件， 所以或解得m≥9， 即实数m的取值范围为[9，＋∞)． 由充分、必要条件求参数范围的策略 巧用转化求参数 把充分、必要条件或充要条件转化为集合的包含、相等关系，然后根据集合之间的关系列出有关参数的不等式(组)求解，注意条件的等价变形 端点值慎取舍 在求参数范围时，要注意区间端点值的检验，从而确定取舍 考虑空集的情况． 　3.(2024·山东烟台二模)已知p：1<2x<4，q：x2－ax－1<0，若p是q的充分不必要条件，则实数a的取值范围为(　　) A. B. C．(2，＋∞) D．(0，2] 答案：A 解析：p：1<2x<4，即p：0<x<2，因为p是q的充分不必要条件，显然当x＝0时满足q：x2－ax－1<0，所以当0<x<2时，x2－ax－1<0恒成立，则a>x－在(0，2)上恒成立，又函数f(x)＝x－在(0，2)上单调递增，且f(2)＝，所以a≥.故选A. 　含有量词的命题的否定及真假判定 (1)设命题p：平行四边形对角线相等，则綈p为(　　) A．平行四边形对角线不相等 B．有的平行四边形对角线相等 C．有的平行四边形对角线不相等 D．不是平行四边形对角线就不相等 答案：C 解析：因为命题p为省略了全称量词“所有”的全称量词命题，所以綈p：有的平行四边形对角线不相等．故选C. (2)(2024·新课标Ⅱ卷)已知命题p：∀x∈R，|x＋1|>1；命题q：∃x>0，x3＝x，则(　　) A．p和q都是真命题 B．綈p和q都是真命题 C．p和綈q都是真命题 D．綈p和綈q都是真命题 答案：B 解析：对于p，取x＝－1，则有|x＋1|＝0<1，故p是假命题，綈p是真命题．对于q，取x＝1，则有x3＝13＝1＝x，故q是真命题，綈q是假命题．综上，綈p和q都是真命题．故选B. 1．含有量词命题真假判定的策略 判定全称量词命题是真命题，需证明都成立；判定存在量词命题是真命题，只要找到一个成立即可．当一个命题的真假不易判定时，可以先判定其否定的真假． 2．常用词语的否定 量词 否定 都是 不都是(至少一个不是) 必有一个 一个也没有 任意 某个 存在 不存在 至多有一个 至少有两个 至多有n个 至少有n＋1个 至少有一个 一个也没有 至少有n个 至多有n－1个 　4.(多选)命题p：∃x∈(0，2)，x3>x6；命题q：每个大于2的素数都是奇数．关于这两个命题，下列判断正确的是(　　) A．p是真命题 B．綈p：∀x∈(0，2)，x3<x6 C．q是真命题 D．綈q：存在一个大于2的素数不是奇数 答案：ACD 解析：若x＝，则x3>x6，所以p是真命题，A正确；綈p：∀x∈(0，2)，x3≤x6，B错误；每个大于2的素数都是奇数，q是真命题，C正确；綈q：存在一个大于2的素数不是奇数，D正确．故选ACD. 　根据命题的真假求参数的取值范围 (2025·湖南岳阳模拟)若命题“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命题，则实数a的取值范围是________． 答案：(－2，1) 解析：因为命题“∃x∈R，x2＋2ax＋2－a＝0”是假命题，所以命题“∀x∈R，x2＋2ax＋2－a≠0”是真命题，所以Δ＝4a2－4(2－a)<0，即a2＋a－2<0，所以－2<a<1. 由命题真假求参数范围的本质是恒成立问题或有解问题，一是直接由命题的含义，利用函数的最值求参数的范围；二是利用等价命题，即p与綈p的关系，转化成綈p的真假求参数的范围． 　5.若命题“∀x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则m的取值范围是(　　) A．[－4，－3] B．(－∞，－4) C．[－4，＋∞) D．[－4，0] 答案：D 解析：若“∀x∈[1，4]，x2－4x－m≠0”是假命题，则“∃x∈[1，4]，x2－4x－m＝0”是真命题，即m＝x2－4x，设y＝x2－4x＝(x－2)2－4，x∈[1，4]，因为y＝x2－4x在[1，2)上单调递减，在(2，4]上单调递增，所以当x＝2时，ymin＝－4；当x＝4时，ymax＝0，故当1≤x≤4时，－4≤y≤0，则－4≤m≤0. 6．已知命题p：∃x>0，x＋a－1＝0，若p为假命题，则a的取值范围是________． 答案：[1，＋∞) 解析：因为p为假命题，所以命题p的否定：∀x>0，x＋a－1≠0是真命题，所以x≠1－a，所以1－a≤0，所以a≥1. 　与“任意性和存在性”有关的双变量问题 若f(x)＝x2－2x，g(x)＝ax＋2(a>0)，∀x1∈[－1，2]，∃x2∈[－1，2]，使g(x1)＝f(x2)，则实数a的取值范围为________． 答案： 解析：问题等价于函数g(x)的值域是函数f(x)值域的子集．因为f(x)＝x2－2x＝(x－1)2－1，x∈[－1，2]，所以f(x)∈[－1，3]，即函数f(x)的值域是[－1，3]，因为a>0，所以函数g(x)的值域是[2－a，2＋2a]，则2－a≥－1且2＋2a≤3，即a≤.故实数a的取值范围是. (1)理解全称量词与存在量词的含义是求解本题的关键，此类问题求解的策略是等价转化为求值域，本题若改为∀x1∈A，∃x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)，则函数f(x)在区间A上的值域是g(x)在区间B上的值域的子集；若改为∃x1∈A，∃x2∈B，使得f(x1)＝g(x2)，则f(x)的值域与g(x)的值域有非空交集． (2)对于形如：∀x1∈A，∃x2∈B，使得f(x1)≤g(x2)，则其等价于f(x)max≤g(x)max. 　7.已知函数f(x)＝x＋，g(x)＝2x＋a，若∀x1∈，∃x2∈[2，3]，使得f(x1)≤g(x2)，则实数a的取值范围是________． 答案： 解析：依题意知f(x)max≤g(x)max.∵f(x)＝x＋在上单调递减，∴f(x)max＝f＝.又g(x)＝2x＋a在[2，3]上单调递增，∴g(x)max＝g(3)＝8＋a，因此≤8＋a，则a≥，即实数a的取值范围是. 课时作业 基础题(占比50%)　中档题(占比40%)　拔高题(占比10%) 题号 1 2 3 4 5 6 7 难度 ★ ★ ★ ★ ★ ★ ★★ 考向 全称量词与存在量词 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 全称量词与存在量词 充分条件与必要条件 考点 含有量词命题的否定 充分、必要条件的判断 充分条件的探求 充分、必要条件的判断 根据充分、必要条件求参数的取值范围 根据命题的真假求参数的取值范围 充分、必要条件的探求 题号 8 9 10 11 12 13 14 难度 ★★ ★ ★ ★★ ★ ★ ★★ 考向 全称量词与存在量词 全称量词与存在量词 全称量词与存在量词 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 全称量词与存在量词 与任意性和存在性相关的双变量问题 考点 根据命题的真假求参数的取值范围 含有量词命题的否定及真假判断 根据命题的真假求集合 充分条件的探求 充分、必要条件的探求 根据命题的真假求参数的取值范围 利用函数值域解决f(x1)＝g(x2)成立的问题 题号 15 16 17 18 19 20 难度 ★★ ★★ ★★ ★★ ★★★ ★★★ 考向 全称量词与存在量词 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 充分条件与必要条件 全称量词与存在量词 与任意性和存在性相关的双变量问题 考点 根据命题的真假求参数的取值范围 充分、必要条件的判断 充分、必要条件的判断 充分、必要条件的判断 含有量词命题的真假判断 利用最值解决f(x1)≥g(x2)成立的问题 一、单项选择题 1．(2024·浙江名校协作体模拟)设命题p：∀n∈N，n2<3n＋4，则p的否定为(　　) A．∀n∈N，n2>3n＋4 B．∀n∈N，n2≤3n＋4 C．∃n∈N，n2≥3n＋4 D．∃n∈N，n2>3n＋4 答案：C 解析：因为命题p：∀n∈N，n2<3n＋4，所以p的否定为∃n∈N，n2≥3n＋4.故选C. 2．“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：解法一：若a2＝b2，则当a＝－b≠0时，有a2＋b2＝2a2，2ab＝－2a2，即a2＋b2≠2ab，所以a2＝b2a2＋b2＝2ab；若a2＋b2＝2ab，则有a2＋b2－2ab＝0，即(a－b)2＝0，所以a＝b，则有a2＝b2，即a2＋b2＝2ab⇒a2＝b2.所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B. 解法二：因为a2＝b2⇔a＝－b或a＝b，a2＋b2＝2ab⇔a＝b，所以本题可以转化为判断a＝－b或a＝b与a＝b的关系，又“a＝－b或a＝b”是“a＝b”的必要不充分条件，所以“a2＝b2”是“a2＋b2＝2ab”的必要不充分条件．故选B. 3．下列各项中是“四边形是矩形”的充分条件的是(　　) A．四边形的对角线相等 B．四边形的两组对边分别相等 C．四边形有两个内角都为直角 D．四边形的两组对边分别平行且有一组对角互补 答案：D 解析：对于A，四边形的对角线相等且平分才是矩形，故A不符合题意；对于B，四边形的两组对边分别相等为平行四边形，故B不符合题意；对于C，四边形有三个内角为直角才是矩形，故C不符合题意；对于D，四边形的两组对边分别平行则为平行四边形，则相邻两角互补，又有一组对角互补，故相邻两角相等，又相邻两角之和为180°，故相邻两角均为直角，故该平行四边形是矩形，故D符合题意．故选D. 4．(2024·北京高考)设a，b是向量，则“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的(　　) A．必要而不充分条件 B．充分而不必要条件 C．充分且必要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：A 解析：由(a＋b)·(a－b)＝a2－b2＝0，可得a2＝b2，即|a|＝|b|，可知(a＋b)·(a－b)＝0等价于|a|＝|b|，若a＝b或a＝－b，可得|a|＝|b|，即(a＋b)·(a－b)＝0，可知必要性成立；若(a＋b)·(a－b)＝0，即|a|＝|b|，无法得出a＝b或a＝－b，例如a＝(1，0)，b＝(0，1)，满足|a|＝|b|，但a≠b且a≠－b，可知充分性不成立．综上所述，“(a＋b)·(a－b)＝0”是“a＝b或a＝－b”的必要而不充分条件．故选A. 5．已知集合A＝[－2，5]，B＝[m＋1，2m－1]．若“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，则m的取值范围是(　　) A．(－∞，3] B．(2，3] C．∅ D．[2，3] 答案：B 解析：因为“x∈B”是“x∈A”的充分不必要条件，所以BA，所以或则2<m≤3，即m的取值范围是(2，3]．故选B. 6．若命题p：“∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0”为假命题，则a的取值范围是(　　) A．(－4，0] B．[－4，0) C．[－3，0] D．[－4，0] 答案：A 解析：命题p：“∃x∈R，ax2＋2ax－4≥0”为假命题，即綈p：“∀x∈R，ax2＋2ax－4<0”为真命题．当a＝0时，－4<0恒成立，符合题意；当a≠0时，则a<0且Δ＝(2a)2＋16a<0，即－4<a<0.综上可知，－4<a≤0.故选A. 7．命题“∀1≤x≤2，x2－2a≤0”是真命题的一个必要不充分条件是(　　) A．a≥1 B．a≥3 C．a≥2 D．a≤4 答案：A 解析：因为命题“∀1≤x≤2，x2－2a≤0”是真命题，所以a≥＝2，则一个必要不充分条件是a≥1.故选A. 8．若“∃x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”为假命题，则k的取值范围为(　　) A．(－∞，－2] B．(－∞，2] C．(－∞，－2) D．(－∞，2) 答案：A 解析：由题意，知“∃x∈(0，π)，sin2x－ksinx<0”为假命题，则“∀x∈(0，π)，sin2x－ksinx≥0”为真命题，所以2sinxcosx≥ksinx，则k≤2cosx，解得k≤－2，所以k的取值范围为(－∞，－2]．故选A. 二、多项选择题 9．下列说法正确的是(　　) A．命题“∃x∈R，y＞1”的否定是“∀x∈R，y≤1” B．“至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立”是全称量词命题 C．“∃x∈R，x－2>”是真命题 D．“∀x∈R，x2>0”的否定是真命题 答案：ACD 解析：对于A，因为存在量词命题的否定为全称量词命题，所以命题“∃x∈R，y＞1”的否定是“∀x∈R，y≤1”，故A正确；对于B，“至少有一个x，使x2＋2x＋1＝0成立”是存在量词命题，故B错误；对于C，当x＝9时，9－2＝7>＝3，所以“∃x∈R，x－2>”是真命题，故C正确；对于D，因为当x＝0时，x2＝0，所以“∀x∈R，x2>0”是假命题，其否定是真命题，故D正确．故选ACD. 10．若“∀x∈M，|x|>x”为真命题，“∃x∈M，x>3”为假命题，则集合M可以是(　　) A．{x|x<－5} B．{x|－3<x<－1} C．{x|x>3} D．{x|0≤x≤3} 答案：AB 解析：因为“∃x∈M，x>3”为假命题，所以“∀x∈M，x≤3”为真命题，可得M⊆{x|x≤3}，又“∀x∈M，|x|>x”为真命题，可得M⊆{x|x<0}，所以M⊆{x|x<0}．故选AB. 11．(2024·黑龙江齐齐哈尔三模)已知a，b>0，则使得“a>b”成立的一个充分条件可以是(　　) A.< B．|a－2|>|b－2| C．a2b－ab2>a－b D．ln (a2＋1)>ln (b2＋1) 答案：AD 解析：对于A，因为a，b>0，<，所以<，即a>b，故A符合题意；对于B，取a＝1，b＝2，此时满足|a－2|>|b－2|，但a<b，故B不符合题意；对于C，由a2b－ab2>a－b，可得a2b＋b>ab2＋a，所以b(a2＋1)>a(b2＋1)，因为a，b>0，所以>，所以a＋>b＋，因为函数y＝x＋在(0，＋∞)上不单调，故C不符合题意；对于D，由ln (a2＋1)>ln (b2＋1)，可知a2>b2，因为a，b>0，所以a>b，故D符合题意．故选AD. 三、填空题 12．(2025·广东新高考改革预测卷)若p是q：|x|>1的一个充分不必要条件，请写出满足条件的一个p为________． 答案：x>1(答案不唯一) 解析：由|x|>1，得x＜－1或x>1，因为p是q的一个充分不必要条件，写出一个比q小的范围即可，所以满足条件的一个p为x>1. 13．已知命题“∀x∈R，x2－2x＋m>0”为假命题，则实数m的取值范围为________． 答案：(－∞，1] 解析：因为命题“∀x∈R，x2－2x＋m>0”为假命题，所以命题“∃x∈R，x2－2x＋m≤0”为真命题，所以Δ＝(－2)2－4m≥0，解得m≤1.故实数m的取值范围为(－∞，1]． 14．(2025·山东日照模拟)设f(x)＝x2＋ax＋b(a，b∈R)满足：对任意x1∈R，均存在x2∈R，使得f(x1)＝f(x2)－2x2，则实数a的取值范围是________． 答案：(－∞，1] 解析：令h(x)＝f(x)－2x＝x2＋(a－2)x＋b.因为对任意x1∈R，均存在x2∈R，使得f(x1)＝f(x2)－2x2，所以f(x)的值域是h(x)值域的子集，所以h(x)min≤f(x)min，即b－≤b－，解得a≤1，即实数a的取值范围是(－∞，1]． 15．若“∃x∈[1，2]，使2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则实数λ的取值范围是(　　) A．(－∞，2) B. C．(－∞，3] D. 答案：C 解析：若“∃x∈[1，2]，使2x2－λx＋1<0成立”是假命题，则“∀x∈[1，2]，2x2－λx＋1≥0成立”是真命题，即∀x∈[1，2]，λ≤2x＋，令f(x)＝2x＋，x∈[1，2]，由对勾函数的性质可知，f(x)在[1，2]上单调递增，故f(x)min＝f(1)＝3，则λ≤3.故选C. 16．(2025·辽宁鞍山鞍钢高级中学高三期末)“a>0”是“点(0，1)在圆x2＋y2－2ax－2y＋a＋1＝0外”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：B 解析：将x2＋y2－2ax－2y＋a＋1＝0化为标准方程，得(x－a)2＋(y－1)2＝a2－a.当点(0，1)在圆x2＋y2－2ax－2y＋a＋1＝0外时，有解得a>1.∴“a>0”是“点(0，1)在圆x2＋y2－2ax－2y＋a＋1＝0外”的必要不充分条件．故选B. 17．在△ABC中，“tanBtanC>1”是“△ABC为锐角三角形”的(　　) A．充分不必要条件 B．必要不充分条件 C．充要条件 D．既不充分也不必要条件 答案：C 解析：若△ABC为锐角三角形，则B＋C>，即B>－C，又0<B<，0<C<，则0<－C<，所以tanB>tan，则tanB>>0，所以tanBtanC>1；在△ABC中，若tanBtanC>1，则tanB>0，tanC>0，即B，C均为锐角，所以tanB>，即tanB>＝＝tan，所以B>－C，则B＋C>，即A<，所以△ABC为锐角三角形，故“tanBtanC>1”是“△ABC为锐角三角形”的充要条件．故选C. 18．(2023·新课标Ⅰ卷)记Sn为数列{an}的前n项和，设甲：{an}为等差数列；乙：为等差数列，则(　　) A．甲是乙的充分条件但不是必要条件 B．甲是乙的必要条件但不是充分条件 C．甲是乙的充要条件 D．甲既不是乙的充分条件也不是乙的必要条件 答案：C 解析：解法一：甲：{an}为等差数列，设其首项为a1，公差为d，则Sn＝na1＋d，＝a1＋d＝n＋a1－，－＝，因此为等差数列，则甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即－＝＝为常数，设为t，即＝t，则Sn＝nan＋1－tn(n＋1)，有Sn－1＝(n－1)an－tn(n－1)，n≥2，两式相减，得an＝nan＋1－(n－1)an－2tn，即an＋1－an＝2t，对n＝1也成立，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件．所以甲是乙的充要条件．故选C. 解法二：甲：{an}为等差数列，设数列{an}的首项为a1，公差为d，即Sn＝na1＋d，则＝a1＋d＝n＋a1－，－＝，因此为等差数列，即甲是乙的充分条件；反之，乙：为等差数列，即－＝d′，＝S1＋(n－1)d′，即Sn＝nS1＋n(n－1)d′，Sn－1＝(n－1)S1＋(n－1)(n－2)d′，当n≥2时，以上两式相减，得Sn－Sn－1＝S1＋2(n－1)d′，于是an＝a1＋2(n－1)d′，当n＝1时，上式也成立，又an＋1－an＝a1＋2nd′－[a1＋2(n－1)d′]＝2d′，为常数，因此{an}为等差数列，则甲是乙的必要条件．所以甲是乙的充要条件．故选C. 19．(多选)已知0<b<a<1，下列命题中为真命题的是(　　) A．∀x∈(0，＋∞)，ax>bx B．∀x∈(0，1)，logax>logbx C．∃x∈(0，1)，xa>xb D．∃x∈(0，b)，ax>logax 答案：AB 解析：由0<b<a<1，得>1，∀x∈(0，＋∞)，＝>＝1，则ax>bx，A为真命题；∀x∈(0，1)，logxa－logxb＝logx<logx1＝0，即0<logxa<logxb，则logax>logbx，B为真命题；函数y＝mx(0<m<1)在(0，1)上为减函数，而0<b<a<1，则ma<mb，即∀x∈(0，1)，xa<xb，C为假命题；当x∈(0，b)时，ax<1，logax>logab>logaa＝1，即ax<logax，D为假命题．故选AB. 20．已知函数f(x)＝x2－2x＋3，g(x)＝log2x＋m，若∃x1∈[2，4]，∀x2∈[8，16]，使得f(x1)≥g(x2)，则实数m的取值范围为________． 答案：(－∞，7] 解析：由题意可知f(x)max≥g(x)max，因为f(x)＝x2－2x＋3图象的对称轴为直线x＝1，x∈[2，4]，所以f(x)max＝f(4)＝11，又g(x)＝log2x＋m，x∈[8，16]，所以g(x)max＝g(16)＝4＋m，所以11≥4＋m，所以m≤7. 16 学科网（北京）股份有限公司 $$