精品解析：山东省枣庄市滕州市北辛街道通盛路北辛中学2024-2025学年七年级下学期6月月考数学试题

2024-2025学年度第二学期第二次学业达标测试 七年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：每题3分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分． 1. 2025年4月24日，我国神舟二十号载人飞船成功升空．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 如图，已知，再添加一个条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 3. 如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（ ） A. 三边中线的交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 4. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则（ ） A. B. C. D. 5. 如图，E，F是边，上的点，D是点A上方的一点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点是的边上任意一点．下面是“过点作”的尺规作图过程：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点，；②以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，线段的长为半径画弧，交前弧于点，作直线，则即为所求． 上述方法通过判定得到，进而得到，其中判定的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 7. 如图，G为三边中线，，的交点，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 8. 如图，，，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 9. 如图，在正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是（ ） A. B. C. D. 10. 等腰三角形底边长为，一腰上中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A. B. C. D. 或 二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在题的横线上． 11. 已知是的三边，则化简：__________． 12. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则底角的度数为____． 13. 如图，将一条长方形纸带折叠，为折痕，交于点G．若的度数是度数的2倍，则的度数为___________． 14. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D．若，，则的面积是_________． 15. 在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是_________． 16. 如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是__________． 三、解答题：共8小题，满分72分，解答应写出文字说明，说理过程或演算步骤． 17. 如图，在与中，，于点B，于点D，． （1）求证：； （2）连接，当时，求的度数． 18. 如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． （1）求证：； （2）若，， 求的长 19. 如图，顶点都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． （1）求的面积； （2）画出，使它与关于直线成轴对称； （3）在直线上找一点，使周长最小． 20. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且，的周长等于． （1）求的长； （2）若，并且，求证：． 21. 小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接，并分别延长至点B，点D，使，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点D，使，过点D作的平行线，延长至点F，连接，测得，请求出池塘宽度． 22. 如图，，平分，平分，点上，且，． （1）与垂直吗？说明你的理由； （2）若，，试求出四边形的面积． 23. 如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，与相交于点M，与相交于点N． 求证： （1）； （2）是等边三角形． 24. 发现问题 （1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点，使，连接，得到，他用到的判定定理是______；（用字母表示） 解决问题 （2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”， “中线”字样，可以考虑构造全等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图②，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：； 拓展应用 （3）如图③，在中，分别以，为边向外作和，使，，，点是的中点，连接，，当时，求的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期第二次学业达标测试 七年级数学 （考试时间：120分钟 试卷满分：120分） 一、选择题：每题3分，共30分．在每小题的四个选项中，只有一项是符合题目要求的，请把正确的选项选出来．每小题选对得3分，选错、不选或选出的答案超过一个均计零分． 1. 2025年4月24日，我国神舟二十号载人飞船成功升空．中国航天取得了举世瞩目的成就，为人类和平贡献了中国智慧和中国力量．下面有关我国航天领域的图标中，是轴对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了轴对称图形的识别，解题关键是熟练掌握如果一个平面图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形就叫做轴对称图形，这条直线叫对称轴． 根据轴对称图形的定义逐项判断即可． 【详解】解：A、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； B、是轴对称图形，故此选项符合题意； C、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； D、不是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 如图，已知，再添加一个条件，仍不能判定的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用，加上公共边，然后利用全等三角形判定方法对各选项进行判断即可；本题考查了全等三角形的判定；熟练掌握全等三角形的5种判定方法是解决问题的关键． 【详解】解：， 当添加时，不能证明，故A选项符合题意； 当添加时，可根据“”证明，故B选项不符合题意； 当添加时，可根据“” 证明，故C选项不符合题意； 当添加时，可根据“” 证明，故D选项不符合题意； 故选：A． 3. 如图，小明用铅笔可以支起一张质地均匀的三角形卡片，则他支起的这个点应是三角形的（ ） A. 三边中线交点 B. 三条角平分线的交点 C. 三边高的交点 D. 三边垂直平分线的交点 【答案】A 【解析】 【分析】由题意可知支撑点应是三角形的重心，根据三角形的重心是三角形三边中线的交点即可判断． 【详解】解：∵支撑点应是三角形的重心， ∴三角形的重心是三角形三边中线的交点． 故选：． 【点睛】此题考查了三角形重心这一知识点，知道三角形重心是三角形三边中线的交点是解题的关键． 4. 如图，在中，，，以点为圆心，的长为半径画弧，交于点，连接，则（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了作图和等腰三角形的性质，根据等腰三角形两底角相等求出，再求出，然后根据计算即可得解，利用了等腰三角形两底角相等，熟记性质是解题的关键． 【详解】解：，， ， 以为圆心，的长为半径圆弧，交于点， ， ， ． 故选：B． 5. 如图，E，F是的边，上的点，D是点A上方的一点，若，，则的度数为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了三角形内角和定理，掌握三角形内角和定理是解题的关键．连接，根据三角形内角和定理得出，，进而即可求解． 【详解】解：如图，连接， ∵， ∴， ∵， 即， ∵， ∴， 故选：A． 6. 如图，点是的边上任意一点．下面是“过点作”的尺规作图过程：①以点为圆心，适当的长为半径画弧，分别交，于点，；②以点为圆心，线段的长为半径画弧，交于点；③以点为圆心，线段的长为半径画弧，交前弧于点，作直线，则即为所求． 上述方法通过判定得到，进而得到，其中判定的依据是（ ） A. SSS B. SAS C. ASA D. AAS 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查尺规作图-作一个角等于一个角、全等三角形的判定，根据作图痕迹和全等三角形的判定可得结论． 【详解】解：由作图痕迹，得，， ∴， 故选：A． 7. 如图，G为三边中线，，的交点，，则阴影部分的面积为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】此题考查三角形的中线．根据三角形的中线把三角形的面积分成相等的两部分，知的面积即为阴影部分的面积的3倍． 【详解】解：∵G为三边中线，，的交点， ∴，， ∴， ∵，， ∴， ∴， 同理， ∵， ∴， ∴， 故选：A． 8. 如图，，，，点P在线段上以1cm/s的速度由点A向点B运动，同时，点Q在线段上由点B向点D运动，当其中一点到达终点时，另一点也随之停止运动，设运动时间为t（s），若存在某一时刻使与全等，则点Q的运动速度为（ ） A. B. C. 或 D. 或 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查全等三角形的性质，设点Q的运动速度是，有两种情况：①；②，列出方程，然后求出方程的解即可． 【详解】解：设点Q的运动速度是， ∵点P的运动速度为，点Q的运动速度为，它们运动的时间为， 又∵， ∴， ∵， ∴当与全等时，有两种情况： ①， ∴， 解得：； ②， 则：， 解得：； ∴当与全等时，点Q的运动速度为或． 故选D． 9. 如图，在的正方形网格中，线段，的端点均在格点上，则和的数量关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形判定和性质，熟记全等三角形的判定定理与性质定理是解题的关键． 根据，可以知道，再用邻补角定义求解即可． 【详解】如图 在和中 ， ∴， ∴， ∵， ∵， 故选：A． 10. 等腰三角形底边长为，一腰上的中线把这个三角形的周长分为两部分，其差为，则该等腰三角形的腰长为（　　） A. B. C. D. 或 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，设腰长为x，得出方程或，求出x后根据三角形三边关系进行验证即可． 【详解】解：如图， 设腰长为，一腰的中线为， 则或， 解得：， ∴或1， ①三边长为9、9、1，符合三角形三边关系定理； ②三边是1、1、9，，不符合三角形三边关系定理； 所以，该等腰三角形的腰长为， 故选：C． 二、填空题：每题3分，共18分，将答案填在题的横线上． 11. 已知是的三边，则化简：__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了三角形三边关系，整式化简，熟练掌握三角形三边关系是解题的关键． 根据三角形的三边关系“两边之和大于第三边，两边之差小于第三边”，判断式子的符号，再根据绝对值的意义去掉绝对值即可． 【详解】解：是的三边， ， ， 故答案为：． 12. 若等腰三角形一腰上的高与另一腰的夹角为，则底角的度数为____． 【答案】或 【解析】 【分析】分三角形为钝角三角形和锐角三角形两种情况，结合条件可求得顶角或顶角的外角，再结合三角形内角和定理可求得其底角． 【详解】解：当该三角形为锐角三角形时，如图1， ∴其顶角为， 则底角为：， 当该三角形为钝角三角形时，如图2， ∴由图可知顶角的外角为， ∴顶角为， ∴底角为， 综上可知该三角形的底角为或， 故答案为：或． 【点睛】本题主要考查等腰三角形的性质和三角形内角和定理，掌握等边对等角和三角形内角和为是解题的关键． 13. 如图，将一条长方形纸带折叠，为折痕，交于点G．若的度数是度数的2倍，则的度数为___________． 【答案】 【解析】 【分析】设，则，由平行线的性质可得，，则，进而得到，由折叠的性质可得，则由平角的定义可得，解方程即可得到答案． 【详解】解：设，则 ∵， ∴，， ∴， ∴， 由折叠的性质可得， ∵， ∴， 解得， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题主要考查折叠的性质，平行线的性质，熟知平行线的性质是解题的关键． 14. 如图，在中，，以顶点为圆心，适当长为半径画弧，分别交，于点M，N，再分别以点M，N为圆心，大于的长为半径画弧，两弧交于点P，作射线交边于点D．若，，则的面积是_________． 【答案】35 【解析】 【分析】本题考查的是角平分线的性质、基本作图，根据角平分线的性质得到，根据三角形的面积公式计算即可． 【详解】解：作于H， 由作图可知是的角平分线， ∵， ∴， ∵，， ∴， ∴的面积， 故答案为：35． 15. 在平面镜里看到背后墙上的电子钟示数如图所示，这时的实际时间应是_________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查镜面反射的原理与性质．根据镜面对称的性质求解，在平面镜中的像与现实中的事物恰好左右或上下顺序颠倒，且关于镜面对称． 【详解】根据镜面对称的性质，题中所显示的时刻与成轴对称，所以此时实际时刻为：． 故答案为：． 16. 如图，在中，，，，，是的平分线．若P，Q分别是和上的动点，则的最小值是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了等腰三角形的性质，垂直平分线的性质和判定，最短路径问题，解题的关键是通过转化思想，利用轴对称，把较难求的最值问题通过两点之间线段最短转化为求线段的最值问题；在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H，根据等腰三角形的性质可证是的垂直平分线，可得，根据两点之间线段最短可知，的最小值即为的最小值，再根据垂线段最短求解即可． 【详解】解：在上取一点，使，连接， 交于E，过点C作于点H， ，是的平分线， ， 是的垂直平分线， ， ， 当C，P，三点共线，且时，的值最小，即为的值， ， ， ， 的最小值是， 故答案为：． 三、解答题：共8小题，满分72分，解答应写出文字说明，说理过程或演算步骤． 17. 如图，在与中，，于点B，于点D，． （1）求证：； （2）连接，当时，求的度数． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的性质和判定，平行线的性质，等腰三角形的性质，三角形的内角和定理，熟练掌握相关知识是解决问题的关键． （1）由角的和差证得，根据定理即可证得结论； （2）根据全等三角形的性质和等腰三角形的性质求得，由平行线的性质求得，即可求得答案． 【小问1详解】 证明：， ， ，  在和中， ， ∴ 【小问2详解】 解：如图所示，连接 ∵， ， ， ∵，， ， ， ． 18. 如图，中，，垂足为D，，垂足为E，与相交于点F，． （1）求证：； （2）若，， 求的长 【答案】（1）见解析 （2）7 【解析】 【分析】本题主要考查的是全等三角形的判定与性质，掌握“利用证明两个三角形全等”是解本题的关键． （1）先证明，，然后根据证明； （2）根据，，得出，根据得出，，最后根据线段的和差关系，得出答案即可． 【小问1详解】 证明：∵， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴； 【小问2详解】 解：∵，， ∴， ， ∴，， ∴． 19. 如图，的顶点都在小正方形的顶点上，利用网格线按下列要求画图． （1）求的面积； （2）画出，使它与关于直线成轴对称； （3）在直线上找一点，使周长最小． 【答案】（1） （2）见解析 （3）见解析 【解析】 【分析】（）用一个矩形的面积分别减去三个直角三角形的面积去计算的面积； （）利用网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点即可； （）连接交于，利用，得到，则根据两点之间线段最短可判断此时点满足条件； 本题考查了作图-轴对称变换，轴对称最短问题等知识，解题的关键是掌握轴对称变换的性质，正确作出图形． 【小问1详解】 的面积； 【小问2详解】 如图，由网格特点和轴对称的性质画出关于的对称点， ∴即为所求； 【小问3详解】 如上图，连接交于，利用，得到，则根据两点之间线段最短可判断此时点满足条件； ∴点即为所求． 20. 如图，在中，的垂直平分线交于点，交于点，且，的周长等于． （1）求的长； （2）若，并且，求证：． 【答案】（1） （2）证明见解析 【解析】 【分析】（1）由线段垂直平分线性质可得，然后利用线段的和与差及已知条件即可求出的长； （2）由等边对等角可得，由三角形的内角和定理及已知条件可得，由（1）可得，由等边对等角可得，进而可得，由三角形的内角和定理可得，于是可得，据此结论得证． 【小问1详解】 解：是的垂直平分线， ， ，的周长等于， ， ； 【小问2详解】 证明：， ， ， ， 由（1）可得：， ， ， ， ， ． 【点睛】本题主要考查了线段垂直平分线的性质，线段的和与差，等边对等角，三角形的内角和定理，等角对等边等知识点，熟练掌握等腰三角形的判定与性质是解题的关键． 21. 小亮想测量屋前池塘的宽度，他结合所学的数学知识，设计了如图1的测量方案：先在池塘外的空地上任取一点O，连接，并分别延长至点B，点D，使，，连接． （1）如图1，求证：； （2）如图2，但在实际测量中，受地形条件的影响，于是小亮采取以下措施：延长至点D，使，过点D作的平行线，延长至点F，连接，测得，请求出池塘宽度． 【答案】（1）见详解 （2）池塘宽度为 【解析】 【分析】本题主要考查了对顶角相等、平行线的性质、全等三角形的判定与性质、含30度角的直角三角形的性质等知识，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解题关键． （1）利用“”证明，由全等三角形的性质可证明结论； （2）延长交于点，根据“两直线平行，内错角相等”可知，进而利用“”证明，得；然后证明为含30度角的直角三角形，，根据“直角三角形中30度角所对的直角边等于斜边的一半”可得，进而可解得，即可获得答案． 【小问1详解】 证明：和中， ， ， ； 【小问2详解】 解：延长交于点， ， ， 在和中， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， ， 答：池塘宽度为． 22. 如图，，平分，平分，点在上，且，． （1）与垂直吗？说明你的理由； （2）若，，试求出四边形的面积． 【答案】（1）垂直，理由见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了全等三角形的判定和性质，解决本题的关键是要熟练掌握全等三角形的判定和性质； （1）由平行线的性质得出，由角平分线的性质得出，，由三角形内角和定理可得出答案； （2）证明，得出，同理得出，则可求出答案． 【小问1详解】 解：结论：； 理由：， ， 又平分，平分， ，， ， ， ， ； 【小问2详解】 解：，， ， 在和中， ， ， ， 在和中， ， ， ． 23. 如图，和都是等边三角形，且点A、C、E在一条直线上，与相交于点M，与相交于点N． 求证： （1）； （2）是等边三角形． 【答案】（1）证明见解析 （2）证明见解析 【解析】 【分析】本题考查了等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质，熟练掌握等边三角形的判定与性质，全等三角形的判定与性质是解题的关键． （1）证明，则； （2）由（1）得：，即，证明，则，进而可证是等边三角形． 【小问1详解】 证明：∵和都是等边三角形， ∴，，， ∴，， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴； 【小问2详解】 证明：由（1）得：， ∴， 在和中， ∵， ∴， ∴， ∵， ∴是等边三角形． 24. 发现问题 （1）课外兴趣小组活动时，老师提出了如下问题：如图①，在中，若，，求边上的中线的取值范围．小亮在组内经过合作交流，得到了如下解决方法：延长到点，使，连接，得到，他用到的判定定理是______；（用字母表示） 解决问题 （2）小刚发现，解题时，条件中若出现“中点”， “中线”字样，可以考虑构造全等三角形，要学好数学一定要多思考，做到举一反三，于是他又提出了一个新的问题：如图②，在中，点是的中点，点在边上，点在边上，若，求证：； 拓展应用 （3）如图③，在中，分别以，为边向外作和，使，，，点是的中点，连接，，当时，求的长． 【答案】（1）；（2）证明见解析；（3） 【解析】 【分析】本题考查了全等三角形的判定与性质，三角形的三边关系，熟练掌握全等三角形的判定与性质是解答本题的关键． （1）延长至，使得，连接，由是的中线，得到，进而得到． （2）延长到点，使得，连接，，通过证明，得到，再由，，得到，在中，，得到． （3）延长到点，使得，连接，由，得到，，再通过，得到，由此得到答案． 【详解】（1）解：如图①，延长至，使得，连接， 是的中线， ， 在和中， ， ， 故答案为：． （2）证明：如图，延长到点，使得，连接，， 是的中线， ， 在和中， ， ， ， ，， ， 在中，， ． （3）如图，延长到点，使得，连接， 由（1）知，， ，， ， ， ， ， ， ， ， ， 和中， ， ， ， ， ， ， ． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$