精品解析：河南省南阳市镇平县2024-2025学年下学期期中考试八年级数学试卷 -

2025年春期八年级期中调研测试 数学试卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式：，，，其中分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．某孢子体的苍蒴直径约为，将数据用科学记数法表示为，则的值是（ ） A. 6 B. C. D. 3. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A、B两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 4. 数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，已知一次函数和的图象交于点，根据图象可得，关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 5. 均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状可以是（ ） A. B. C. D. 6. 若点、、都在反比例函数的图象上，则a与b的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 7. 《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为54cm，宽为27cm的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是11：20，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少cm？设边框的宽度为xcm，下列符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 8. 如图，某一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于和两点，则下列说法错误的是（ ） A. 此函数的表达式为 B. 当时， C. 当时，y随x的增大而增大 D. 将此直线向下平移2个单位所得到的直线必过原点 9. 血药浓度（）指药物吸收后在血浆内的总浓度，已知药物在体内的浓度随着时间而变化．某成人患者在单次口服1单位某药后，体内血药浓度及相关信息如图所示，根据图中提供的信息，有以下关于成人患者使用该药物的有关说法：①从开始，随着时间逐渐延长，血药浓度逐渐增大；②当时，血药浓度达到最大为；③每间隔服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用；④首次服用该药物1单位3.8小时时，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒．以上说法中，正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 10. 如图1，在中，动点P从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点，则的高的长为（ ） A. 6 B. 7.2 C. 8 D. 10 二．填空题：（每小题3分，共15分） 11. 已知当时，分式 有意义，则a的值为_______． 12. “早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，________随________的变化而变化，其中因变量是________． 13. 在描述同一反比例函数的图象时，小乐说：“这个反比例函数图象上任意一点到两坐标轴的距离之积是24”，小丽说：“这个反比例函数图象与直线有两个交点”．你认为这两个同学所描绘的反比例函数对应的表达式是_______． 14. 如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为__________． ． 15. 如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是____________________ ． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 17. 德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为，则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．请认真观察图象，回答下列问题： （1）y_____关于x的函数（填“是”或“不是”）； （2）请说明点D的实际意义． （3）由图可知，知识记忆遗忘先___后___，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐____．（填序号） ①快 ②慢 ③增多 ④减少 （4）根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议． 18. 上课时老师在黑板上书写了一个关于分式计算的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如下： （1）请求出所捂部分化简后的结果； （2）当，x为何值时，原分式计算结果为3． 19. 如图，等腰的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，腰的中点为D，反比例函数的图象经过点D． （1）求这个反比例函数的解析式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点D的另外2个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将等腰沿y轴方向向上平移，当点C落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为_______． 20. 我们知道一次函数在日常生活中的应用极其广泛．如：某出租车的收费标准是：起步价10元，每公里加收3元．若行驶x公里，总费用y可用一次函数模型刻画：．善于思考的小强通过类比探究，发现了快速确定一次函数中k值的方法：如图所示的一次函数图象中，x从1变成2时，函数值从3变为5，增加了2，因此该一次函数中k的值是2，又因为直线与y轴的交点为，所以．所以此一次函数的解析式为． （1）请验证小强所求的解析式的正确性； （2）已知一次函数的图象经过两点，下面运用两种方法求了这个一次函数的表达式，请你将过程补充完整． 方法一：设该一次函数的表达式为， ∵一次函数的图象经过两点， ∴_____， ∵x从0变成1时，增加了1，函数值从3变为1，增加了， ∴_____， ∴该一次函数的表达式为_______________， 方法二：设该一次函数的表达式为 ∵一次函数的图象经过两点,把代入得________________，解得______________， ∴该一次函数的表达式为________________． （3）由（2）中的方法一可得出结论：一次函数中，每增加1，y增加______． 像（2）中的方法二，先设出函数的表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做__________（填序号即可）； ①解析式法 ②待定系数法 ③数形结合法 ④描点法 21. 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征，某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 23 24 25 26 27 28 身高 156 163 170 177 184 191 （1）在图1中描出表中数据对应的点． （2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的表达式（不要求写出x的取值范围）； （3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数表达式估计这个人的身高是________；若小王的身高是，请估计他的脚长是________． 22. 如图，反比例函数y= 的图象与一次函数的图象交于点P，轴于点C，直线交x轴于点，交y轴于点B，若． （1）求a和k的值； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）点D是x轴上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出符合题意的点D的坐标． 23. 下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价=20 任务： （1）解法一所列方程中的x表示______，解法二所列方程中的x表示_______．（填序号） ①甲种商品每件进价x元； ②乙种商品每件进价x元； ③甲种商品购进x件； （2）根据以上解法可求出甲种商品的进价为_______元/件，乙种商品的进价为_______元/件； （3）若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1420元的资金购进甲、乙两种商品共40件，若购进的甲、乙两种商品全部售出，请求出该商店获得最大的利润W．（利润=售价一进价） 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025年春期八年级期中调研测试 数学试卷 一．选择题（每小题3分，共30分） 1. 下列各式：，，，其中分式有（ ） A. 1个 B. 2个 C. 3个 D. 4个 【答案】B 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的定义，一般地，如果（不等于零）表示两个整式，且中含有字母，那么式子就叫做分式，根据分式的定义分析即可得解，熟练掌握此定义是解题的关键． 【详解】解：根据分式的定义可得，分式有，，共个， 故选：B． 2. “白日不到处，青春恰自来．苔花如米小，也学牡丹开．”这是清朝袁枚所写五言绝句《苔》，这首咏物诗启示我们身处逆境也要努力绽放自己，要和苔花一样尽自己所能实现人生价值．某孢子体的苍蒴直径约为，将数据用科学记数法表示为，则的值是（ ） A. 6 B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示绝对值较小的数，一般形式为，其中，n为由原数左边起第一个不为零的数字前面的0的个数所决定．根据中0的个数进行解答即可． 【详解】解：， 故选：D． 3. 如图是一片枫叶标本，其形状呈“掌状五裂型”，裂片具有少数突出的齿，将其放在平面直角坐标系中，表示叶片“顶部”A、B两点的坐标分别为，，则叶杆“底部”点C的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，先根据叶片“顶部”A、B两点的坐标分别为，建立平面直角坐标系，再写出坐标即可，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵表示叶片“顶部”A、B两点的坐标分别为，， ∴建立平面直角坐标系如图所示： ∴叶杆“底部”点C的坐标为， 故选：C． 4. 数形结合是数学解题中常用的思想方法，使用数形结合的方法，很多问题可迎刃而解，且解法简洁．如图，已知一次函数和的图象交于点，根据图象可得，关于x的方程的解为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了利用图象法解一元一次方程，根据一次函数和的图象交于点即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：∵一次函数和的图象交于点， ∴根据图象可得，关于x的方程的解为， 故选：A． 5. 均匀地向一个容器注水，最后把容器注满，在注水过程中，水面高度h随时间t的变化规律如图所示（图中OABC为折线），这个容器的形状可以是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【详解】解：注水量一定，函数图象的走势是稍陡，平，陡；那么速度就相应的变化，跟所给容器的粗细有关．则相应的排列顺序就为D． 故选D． 【点睛】本题考查了函数的实际应用，解决此题的关键是理解相关过程． 6. 若点、、都在反比例函数的图象上，则a与b的大小关系是（ ） A. B. C. D. 无法确定 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数的图象与性质，将点、、代入反比例函数解析式计算即可得解，熟练掌握反比例函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：∵点、、都在反比例函数的图象上， ∴，，， ∴，，， ∴， 故选：C． 7. 《步辇图》是唐朝画家阎立本的作品，如图是它的局部画面，装裱前是一个长为54cm，宽为27cm的矩形，装裱后，整幅图画宽与长的比是11：20，且四周边框的宽度相等，则边框的宽度应是多少cm？设边框的宽度为xcm，下列符合题意的方程是（　　） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式方程，分别表示装裱后的长和宽，再根据比例列出方程即可． 【详解】装裱后的长为cm，宽为cm，根据题意，得 ． 故选：D． 8. 如图，某一次函数的图象与x轴、y轴分别相交于和两点，则下列说法错误的是（ ） A. 此函数的表达式为 B. 当时， C. 当时，y随x的增大而增大 D. 将此直线向下平移2个单位所得到的直线必过原点 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了一次函数的图象与性质、求一次函数的解析式，先求出一次函数的解析式，再结合图形，逐项分析即可得解，熟练掌握一次函数的图象与性质是解此题的关键． 【详解】解：设该一次函数的解析式为， 将和代入函数解析式可得， 解得：， ∴该一次函数的解析式为，故A正确； 由图象可得，当时，，当时，y随x的增大而减小，故B正确，C错误； 将此直线向下平移2个单位所得到的直线为，经过原点，故D正确； 故选：C． 9. 血药浓度（）指药物吸收后在血浆内的总浓度，已知药物在体内的浓度随着时间而变化．某成人患者在单次口服1单位某药后，体内血药浓度及相关信息如图所示，根据图中提供的信息，有以下关于成人患者使用该药物的有关说法：①从开始，随着时间逐渐延长，血药浓度逐渐增大；②当时，血药浓度达到最大为；③每间隔服用该药物1单位，可以使药物持续发挥治疗作用；④首次服用该药物1单位3.8小时时，再次服用该药物1单位，会发生药物中毒．以上说法中，正确的是（ ） A. ①② B. ②③ C. ③④ D. ②③④ 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了从函数图象中获取信息，结合函数图象，逐项分析即可得解，采用数形结合的思想是及诶此题的关键． 【详解】解：观察图象可得，从开始，随着时间逐渐延长，血药浓度逐渐增大，再逐渐减小，故①错误； 当时，血药浓度达到最大为，故②正确； 每间隔服用该药物1单位，该药物的血药浓度应介于最低有效浓度与最低中毒浓度之间，可以使药物持续发挥治疗作用，故③正确； 首次服用该药物1单位3.8小时后，血药浓度高于最低有效浓度，立即再次服用该药物1单位，会发生药物中毒，故④正确； 综上所述，正确的有②③④， 故选：D． 10. 如图1，在中，动点P从点A出发沿折线匀速运动至点A后停止．设点P的运动路程为x，线段的长度为y，图2是y与x的函数关系的大致图象，其中点F为曲线的最低点，则的高的长为（ ） A. 6 B. 7.2 C. 8 D. 10 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了动点问题的函数图象，勾股定理，作于，当点与重合时，在图2中点，表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小，再由勾股定理计算即可得解，采用数形结合的思想是解此题的关键． 【详解】解：如图，作于， ， 当点与重合时，在图2中点，表示当时，点到达点，此时当在上运动时，最小， ∴，，， ∵在中，，， ∴， ∵， ∴， 故选：B． 二．填空题：（每小题3分，共15分） 11. 已知当时，分式 有意义，则a的值为_______． 【答案】2 【解析】 【分析】根据分母不为零的条件进行解题即可．本题考查分式有意义的条件，熟练掌握分母不为零的条件是解题的关键． 【详解】解：∵分母不为零时，分式有意义， 即，分式有意义， 所以． 又∵当时，分式有意义， 所以． 故答案为：2． 12. “早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，________随________的变化而变化，其中因变量是________． 【答案】 ①. 温度 ②. 时间 ③. 温度 【解析】 【分析】本题考查了函数的基本概念．“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜”这句谚语中早、午、晚是时间，早穿皮袄说明早上冷，午穿纱说明中午热，说明温度随着时间在变化． 【详解】解：“早穿皮袄，午穿纱，围着火炉吃西瓜．”这句谚语反映了我国新疆地区一天中，温度随时间变化而变化，其中自变量是时间，因变量是温度． 故答案为：温度；时间；温度． 13. 在描述同一反比例函数的图象时，小乐说：“这个反比例函数图象上任意一点到两坐标轴的距离之积是24”，小丽说：“这个反比例函数图象与直线有两个交点”．你认为这两个同学所描绘的反比例函数对应的表达式是_______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查反比例函数k的几何意义，判断反比例函数的象限是关键．根据反比例函数中k的几何意义，再根据图象与直线有两个交点，可知反比例函数图象在二、四象限，即可判断k的值 【详解】解：根据题意得：， ， 又∵图象与直线有两个交点， ， 故反比例函数的解析式是：， 故答案为： 14. 如图，在平面直角坐标系中，在x轴上，，点A的坐标为，将绕点A逆时针旋转，得到，则点O的对应点的坐标为__________． ． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查坐标与图形变化-旋转，正方形的判定与性质，熟练掌握旋转的性质是解答本题的关键，延长交x轴于点M，由题意得，，结合旋转的性质可得，可得四边形为正方形，则，可得，进而可得答案． 【详解】解：如图，延长交x轴于点M， ∵点A的坐标为， ∴． ∵绕点A逆时针旋转得到，， ∴． ∴四边形为正方形， ∴， ∴， ∴点O的对应点的坐标为． 故答案为：． 15. 如图，已知直线与轴、轴分别交于点和点，是上的一点，若将沿折叠，点恰好落在轴上的点处，则直线的函数解析式是____________________ ． 【答案】y 【解析】 【分析】本题考查了待定系数法求一次函数解析式、翻折变换、一次函数图象上点的坐标特征，熟练掌握以上知识点是关键．由解析式先求出点、坐标，利用勾股定理求出线段长，根据对称性质及勾股定理得到，求出坐标，利用待定系数法求出直线解析式即可． 【详解】解：直线与轴、轴分别交于点和点， ，， 在中，由勾股定理可知：， 由折叠性质可知， ， 设，则， 由勾股定理得：，解得， ， 设直线解析式为， 代入点坐标得：，解得， 直线的函数解析式是． 故答案为：． 三．解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）化简：． 【答案】（1）1；（2） 【解析】 【分析】本题考查了分式乘除加减混合运算以及实数的混合运算，正确掌握相关性质内容是解题的关键． （1）先化简算术平方根、零次幂、负整数指数幂然后运算加减，即可作答． （2）先通分括号内，再把除法转化为乘法，然后根据分式性质化简，即可作答． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 德国心理学家艾宾浩斯研究发现，遗忘在新事物学习之后立即开始，而且遗忘的进程并不是均匀的．如果把学习后的时间记为x（时），记忆留存率记为，则根据实验数据可绘制出曲线（如图所示），即著名的“艾宾浩斯遗忘曲线”．该曲线对人类记忆认知研究产生了重大影响．请认真观察图象，回答下列问题： （1）y_____关于x的函数（填“是”或“不是”）； （2）请说明点D的实际意义． （3）由图可知，知识记忆遗忘先___后___，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐____．（填序号） ①快 ②慢 ③增多 ④减少 （4）根据图中信息，对新事物学习提出一条合理的建议． 【答案】（1）是 （2）点D的实际意义是学习后第24小时，记忆留存率为 （3）①，②，④ （4）建议学习新事物新知识后要及时复习，做到温故而知新 【解析】 【分析】本题考查了函数的图象，读懂题目信息并准确识图理解函数图象的横坐标与纵坐标的实际意义是解题的关键． （1）根据函数的概念，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应，即可解答； （2）根据点的坐标的意义即可解答； （3）直接观察图象即可解答； （4）提出一条合理的建议即可． 【小问1详解】 解：根据图象知，对于自变量x的每一个值，y都有唯一的值与它对应， ∴y是关于x的函数； 故答案为：是 【小问2详解】 解：点D的实际意义是学习第24小时，记忆留存率为； 【小问3详解】 解：由图形知，知识记忆遗忘是先快后慢，记忆留存率随学习后时间的增长而逐渐减少； 故答案为：①，②，④ 【小问4详解】 解：建议学习新事物新知识后要及时复习，做到温故而知新． 18. 上课时老师在黑板上书写了一个关于分式计算的正确演算结果，随后用手掌捂住了一部分，形式如下： （1）请求出所捂部分化简后的结果； （2）当，x为何值时，原分式计算结果为3． 【答案】（1） （2）3 【解析】 【分析】本题主要考查分式加减乘除混合运算； （1）根据分式加减乘除混合运算法则进行计算即可； （2）根据题意得到，计算求解即可． 【小问1详解】 解：， ； 【小问2详解】 解：根据题意，得： ， 当时， ， ， ， ， ， ， 检验，当时，， ∴是原方程的解 ∴当时，原分式计算结果为3． 19. 如图，等腰的三个顶点都在格点（网格线的交点）上，腰的中点为D，反比例函数的图象经过点D． （1）求这个反比例函数的解析式． （2）请先描出这个反比例函数图象上不同于点D的另外2个格点，再画出反比例函数的图象． （3）将等腰沿y轴方向向上平移，当点C落在这个反比例函数的图象上时，平移的距离为_______． 【答案】（1） （2） 画出反比例函数图象，如下， （3） 【解析】 【分析】本题考查待定系数法求反比例函数解析式，反比例函数的图象，平移变换，熟练掌握反比例函数的图象和性质是解题的关键． （1）根据反比例函数图象经过点，解答即可． （2）利用描点法画图象即可； （3）求出当时，反比例函数图象上点的纵坐标，即可求解． 【小问1详解】 解：∵反比例函数的图象经过点， ∴， ∴这个反比例函数的解析式为； 【小问2详解】 解：当时，，当时，， ∴反比例函数图象经过点． 【小问3详解】 解：根据题意得：点C的坐标为， 当时，得：， ∴平移后点C所在位置的坐标为， ∴平移的距离为． 故答案为： 20. 我们知道一次函数在日常生活中的应用极其广泛．如：某出租车的收费标准是：起步价10元，每公里加收3元．若行驶x公里，总费用y可用一次函数模型刻画：．善于思考的小强通过类比探究，发现了快速确定一次函数中k值的方法：如图所示的一次函数图象中，x从1变成2时，函数值从3变为5，增加了2，因此该一次函数中k的值是2，又因为直线与y轴的交点为，所以．所以此一次函数的解析式为． （1）请验证小强所求的解析式的正确性； （2）已知一次函数的图象经过两点，下面运用两种方法求了这个一次函数的表达式，请你将过程补充完整． 方法一：设该一次函数的表达式为， ∵一次函数的图象经过两点， ∴_____， ∵x从0变成1时，增加了1，函数值从3变为1，增加了， ∴_____， ∴该一次函数的表达式为_______________， 方法二：设该一次函数的表达式为 ∵一次函数的图象经过两点,把代入得________________，解得______________， ∴该一次函数的表达式为________________． （3）由（2）中的方法一可得出结论：一次函数中，每增加1，y增加______． 像（2）中的方法二，先设出函数的表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做__________（填序号即可）； ①解析式法 ②待定系数法 ③数形结合法 ④描点法 【答案】（1）见解析 （2）3，，，，， （3），② 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的求解，理解材料提示方法，掌握待定系数法是关键． （1）运用待定系数法求解即可； （2）根据材料提示方法，待定系数法求解即可； （3）根据材料提示的信息求解即可． 【小问1详解】 解：一次函数，过点， ∴， 解得，， ∴一次函数的解析式为； 【小问2详解】 解：方法一：设该一次函数的表达式为， ∵一次函数的图象经过两点， ∴， ∵x从0变成1时，增加了1，函数值从3变为1，增加了， ∴， ∴该一次函数的表达式为； 方法二：设该一次函数的表达式为， ∵一次函数的图象经过两点,把代入得， 解得， ∴该一次函数的表达式为． 【小问3详解】 解：∵x从0变成1时，增加了1，函数值从3变为1，增加了， ∴， ∴次函数中，每增加1，y增加， 先设出函数的表达式，再根据所给条件确定表达式中未知的系数，从而得到函数表达式的方法，叫做待定系数法， 故选：②． 21. 一个人的脚印信息往往对应着这个人某些方面的基本特征，某数学兴趣小组收集了大量不同人群的身高和脚长数据，通过对数据的整理和分析，发现身高和脚长之间近似存在一个函数关系，部分数据如下表： 脚长 23 24 25 26 27 28 身高 156 163 170 177 184 191 （1）在图1中描出表中数据对应的点． （2）根据表中数据，从和中选择一个函数模型，使它能近似地反映身高和脚长的函数关系，并求出这个函数的表达式（不要求写出x的取值范围）； （3）如图2，某场所发现了一个人的脚印，脚长约为，请根据（2）中求出的函数表达式估计这个人的身高是________；若小王的身高是，请估计他的脚长是________． 【答案】（1）见解析 （2） （3）； 【解析】 【分析】本题考查了函数的实际应用，正确理解题意，选择合适的函数模型是解题关键． （1）根据表格数据即可描点； （2）选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系，将点代入即可求解； （3）将代入，令，计算即可求解． 【小问1详解】 解：如图所示： 【小问2详解】 解：由图可知：随着的增大而增大，并呈现成一条直线，符合一次函数关系， 因此选择函数近似地反映身高和脚长的函数关系， 将点代入得： ， 解得： ∴； 【小问3详解】 解：将代入得： ， ∴估计这个人的身高是； 令， 解得：， ∴估计小王的脚长是． 22. 如图，反比例函数y= 的图象与一次函数的图象交于点P，轴于点C，直线交x轴于点，交y轴于点B，若． （1）求a和k的值； （2）观察图象，直接写出不等式的解集； （3）点D是x轴上一点，当是以为腰的等腰三角形时，请直接写出符合题意的点D的坐标． 【答案】（1）， （2） （3）或或 【解析】 【分析】本题考查了反比例函数与一次函数，勾股定理等知识，解题的关键是： （1）根据待定系数法求解即可； （2）根据函数图象及函数图象的交点坐标直接写出不等式解集即可； （3）先求出，然后分；两种情况讨论即可． 【小问1详解】 解：把代入，得， 解得， ∴， ∵轴，， ∴点P的纵坐标为9， 把代入，得， 解得， ∴， 把代入，得． 【小问2详解】 解：根据函数图象及函数图象的交点坐标可知，不等式解集为：； 【小问3详解】 解：对于，当时，， ∴， ∴， 当时， ∴D的坐标为或，即或； 当时， 设， 则， 解得或（不符合题意，舍去） ∴D的坐标为， 综上，D的坐标为或或． 23. 下面是小亮学习了“分式方程的应用”后所作的课堂学习笔记，请认真阅读并完成相应的任务． 题目：某商店准备购进甲、乙两种商品，甲种商品每件的进价比乙种商品每件的进价多20元，用2000元购进甲种商品和用1200元购进乙种商品的数量相同．求甲、乙两种商品每件的进价各是多少元． 方法 分析问题 列出方程 解法一 设…… 等量关系：甲商品数量=乙商品数量 解法二 设…… 等量关系：甲商品进价乙商品进价=20 任务： （1）解法一所列方程中的x表示______，解法二所列方程中的x表示_______．（填序号） ①甲种商品每件进价x元； ②乙种商品每件进价x元； ③甲种商品购进x件； （2）根据以上解法可求出甲种商品的进价为_______元/件，乙种商品的进价为_______元/件； （3）若商店将甲种商品每件的售价定为80元，乙种商品每件的售价定为45元．商店计划用不超过1420元的资金购进甲、乙两种商品共40件，若购进的甲、乙两种商品全部售出，请求出该商店获得最大的利润W．（利润=售价一进价） 【答案】（1）①，③ （2）50，30 （3）765元 【解析】 【分析】本题主要考查一次函数的实际应用，分式方程的应用； （1）根据等量关系中代数式的含义可得答案； （2）选择第一个方程，再解方程即可得到答案； （3）设购进甲种商品m件，则购买乙种商品件，根据题意列出W与m的关系式，根据所给条件得出m的取值范围，利用一次函数的性质可得出结论． 【小问1详解】 解：由甲商品数量=乙商品数量， 可得中的x表示甲种商品每件进价x元， 由甲商品进价乙商品进价，可得中的x表示甲种商品购进 x件； 故答案为：①，③； 【小问2详解】 解： 去分母得：， 整理得：， 解得：， 经检验是原方程的解，且符合题意； ∴， 故答案为：50，30； 【小问3详解】 解：设购进甲种商品m件，则购买乙种商品件，商品所获总利润为W元， 根据题意可知，． ∵， ∴． ∵， ∴w随m的增大而增大， ∴当时，W可取得最大值，此时W的最大值为：． ∴最大利润W为765元． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $