精品解析：江苏省泰州市姜堰区2024-2025学年 下学期期中考试 八年级数学试题

2025年春学期期中学情调查 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一个选项符合题目要求，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 中国雕花艺术精美绝伦，下列雕花图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 2. 某校为了解全校学生做家务的时间情况，从该校各年级各班级中随机抽取100名学生进行“做家务的时间”的问卷调查，下列说法中正确的是（ ） A. 样本是从该校各年级各班级中随机抽取的100名学生． B. 个体是参与调查的每一位学生． C. 样本容量为100名． D. 总体是全校学生做家务的时间情况的全体． 3. 下列等式成立是（ ） A B. C. D. 4. 如图，矩形的对角线，相交于点，点为的中点，且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 5. 在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（ ） A. 试验次数越多，f越大 B. f与P都可能发生变化 C 试验次数越多，f越接近于P D. 当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 6. 如图，在中，，，和的角平分线分别交于点和，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 13 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 分式和的最简公分母是______． 8. 4月6日，中国载人航天发布“天宫TV”，神舟十九号进入任务尾期．神舟二十号载人飞船发射已进入倒计时，为对神舟二十号载人飞船各部件进行最后检查，宜采用的调查方式是______．（填“普查”或“抽样调查”） 9. 某校抽查了部分八年级学生近视防控知识的了解情况，据测得数据制成频数分布直方图．若图中自左至右每个小长方形的高之比为，且第一个小长方形对应的频数为50，则此次共抽查了______名学生． 10. 生活中“水涨船高”描述的事件是______．（填“不可能事件”，“随机事件”或“必然事件”） 11. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为______． 12. 如图，在中，对角线，相交于点，，垂足为点，过点，交于点，交于点．若，，则图中阴影部分的面积是______． 13. 已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式值为零．则的值为___________． 14. 千克橘子糖、千克椰子糖、千克奶糖混合成“什锦糖”．已知这3种糖的单价分别为28元／千克、32元／千克、48元／千克，则这种“什锦糖”的单价用含、、的代数式表示______元／千克． 15. 如图，点为正方形边上一动点（不与边端点A、重合），点为点A关于的对称点，与的延长线相交于点．若正方形的边长为13，，则______． 三、解答题（本大题共10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2） 17. 先化简，再求值 ，其中、满足，求值． 18. 一只不透明的袋子中装有个白球、个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出个球． （1）（摸到黑球）______； （2）估计以下事件的可能性大小：①摸到白球，②摸到黄球，③摸到红球，并将这些事件的序号按发生的可能性从大到小排序； （3）怎样改变袋子中白球、黄球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相等？ 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，，均在格点（网格线的交点）上． （1）将绕点逆时针旋转得到，画出； （2）连接，，求四边形的面积． 20. 我省中小学全面开展“2·15专项行动”后，各校大课间活动形式多样，某校在大课间中开设了（体操）、（乒乓球）、（排球）、（跑酷）四项活动．为了解学生最喜欢哪一项活动，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整统计图，请根据统计图回答下列问题： （1）这次被抽样调查的学生共有______人，扇形统计图中项目对应的扇形的圆心角是______度； （2）请将折线统计图补充完整； （3）已知该校共有学生1200人，根据调查结果估算该校喜欢体操的学生人数，写出计算过程． 21. 证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知： 求证： 证明： 22. 已知：如图，在中，、是对角线上的两点，______，______，求证：四边形是菱形． 从①，②平分，③，这三个条件中选两个填入题中横线上，将题目补充完整，并完成证明． 23. 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“阶差分式”．例如：，我们称是的“3阶差分式”， 解答下列问题： （1）分式是分式的“______阶差分式”． （2）分式是分式的“2阶差分式”．若取正整数，且的值为正整数，求的值． 24. 已知：线段，点为上一动点（不与，重合），分别以，为边，在线段的同侧作等边和等边，连接， （1）如图1，若，为边上的高， ①求的长； ②求证：四边形为矩形； （2）只用无刻度的直尺，在图2中作出的中点，不写作法，保留作图痕迹； （3）在（2）的条件下，当的长取最小值时，的长为______（直接写出结果）． 25. 【阅读材料】 我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形．“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”． 【探索实践】 【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【任务二】如图1，四边形是“垂等四边形”，，，点，分别是，的中点，连接，，以，为邻边作平行四边形． （1）求证：； （2）求证：四边形为正方形． 【任务三】如图2，在矩形中，，将沿对角线翻折至，点在上，且满足，点为中点，求证：四边形是“垂等四边形”． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2025年春学期期中学情调查 八年级数学试题 （考试时间：120分钟 总分：150分） 请注意：1．本试卷分选择题和非选择题两个部分． 2．所有试题的答案均填写在答题卡上，答案写在试卷上无效． 3．作图必须用2B铅笔，并请加黑加粗． 第一部分 选择题（共18分） 一、选择题（本大题共6小题，每小题3分，共18分．在每小题所给出的四个选项中，恰有一个选项符合题目要求，请把正确选项前的字母代号填涂在答题卡相应位置上） 1. 中国雕花艺术精美绝伦，下列雕花图案中，既是轴对称图形又是中心对称图形的是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】根据中心对称图形与轴对称图形的概念，进行判断即可．把一个图形绕某一点旋转，如果旋转后的图形能够与原来的图形重合，那么这个图形就叫做中心对称图形；如果一个图形沿一条直线折叠，直线两旁的部分能够互相重合，这个图形叫做轴对称图形． 本题考查了中心对称图形，轴对称图形的甄别，熟练掌握定义是解题的关键． 【详解】解：A．该图形不是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项不合题意； B．该图形既是中心对称图形，也是轴对称图形，故此选项合题意； C．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不合题意； D．该图形不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项不符合题意； 故选：B． 2. 某校为了解全校学生做家务的时间情况，从该校各年级各班级中随机抽取100名学生进行“做家务的时间”的问卷调查，下列说法中正确的是（ ） A. 样本是从该校各年级各班级中随机抽取的100名学生． B. 个体是参与调查的每一位学生． C. 样本容量为100名． D. 总体是全校学生做家务时间情况的全体． 【答案】D 【解析】 【分析】根据总体、个体、样本、样本容量的定义，逐一分析每个选项。本题主要考查总体、个体、样本、样本容量的概念，熟练掌握这些概念的定义是解题的关键。 【详解】解：A选项：样本是从该校各年级各班级中随机抽取的100名学生“做家务的时间”，而非100名学生，A选项错误。 B选项：个体是该校每名学生做家务的时间情况，不是参与调查的每一位学生，B选项错误。 C选项：样本容量是100，不能带“名”字，C选项错误。 D选项：总体是全校学生做家务的时间情况的全体，D选项正确。 故选：D. 3. 下列等式成立的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的基本性质，分式的分子和分母同时乘以或除以一个不为0的数或式子，分式的值不变，据此求解即可． 【详解】解：A、，原式成立，符合题意； B、，原式不成立，不符合题意； C、，原式不成立，不符合题意； D、，原式不成立，不符合题意； 故选：A． 4. 如图，矩形的对角线，相交于点，点为的中点，且，，则的长为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，等边三角形的性质与判定，勾股定理，根据平角的定义可得，由矩形的性质可得，则可证明是等边三角形，得到，，在利用勾股定理求解即可． 【详解】解：∵， ∴， ∵矩形的对角线，相交于点， ∴， ∴是等边三角形， ∴， ∵点为的中点， ∴，， ∴， 故选：C． 5. 在相同条件下的多次重复试验中，一个随机事件发生的频率为f，该事件的概率为P．下列说法正确的是（ ） A. 试验次数越多，f越大 B. f与P都可能发生变化 C. 试验次数越多，f越接近于P D. 当试验次数很大时，f在P附近摆动，并趋于稳定 【答案】D 【解析】 【分析】根据频率的稳定性解答即可． 【详解】解：在多次重复试验中，一个随机事件发生的频率会在某一个常数附近摆动，并且趋于稳定这个性质称为频率的稳定性． 故选：D． 【点睛】本题考查了频率与概率，掌握频率的稳定性是关键． 6. 如图，在中，，，和的角平分线分别交于点和，则的值为（ ） A. 6 B. 8 C. 10 D. 13 【答案】B 【解析】 【分析】设与的交点为，过点作，交与点，证得（），再证明四边形是平行四边形，，利用勾股定理即可求解． 【详解】解：如图，设与的交点为，过点作，交与点， ∵四边形是平行四边形， ∴， ∴， ∵平分，平分， ∴，， ∴， ∴， ∵， ∴， ∵， ∴， ∴， 又∵， ∴， ∴， 在和中， ， ∴（）， ∴， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴， 故选：． 【点睛】本题主要考查了平行四边形判定和性质、全等三角形的判定和性质以及勾股定理，熟练掌握这些知识点是解题的关键． 第二部分 非选择题（共132分） 二、填空题（本大题共有10小题，每小题3分，共30分．请把答案直接填写在答题卡相应位置上） 7. 分式和的最简公分母是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查的是最简公分母，熟知当各分母都是单项式时，最简公分母就是“各系数的最小公倍数，相同字母的最高次幂，所有不同字母都写在积里”是解答此题的关键．由题意直接根据最简公分母的定义，即可得出答案． 【详解】解：分式的分母，都是单项式， 分式与的最简公分母是， 故答案为：． 8. 4月6日，中国载人航天发布“天宫TV”，神舟十九号进入任务尾期．神舟二十号载人飞船发射已进入倒计时，为对神舟二十号载人飞船各部件进行最后检查，宜采用的调查方式是______．（填“普查”或“抽样调查”） 【答案】普查 【解析】 【分析】本题主要考查了全面调查与抽样调查，熟练掌握全面调查与抽样调查的特点是解题关键． 根据全面调查与抽样调查的特点，即可求解． 【详解】解：神舟二十号载人飞船发射前，调查其各部件的质量，由于事关重大，宜采用普查的调查方式． 故答案为：普查． 9. 某校抽查了部分八年级学生近视防控知识的了解情况，据测得数据制成频数分布直方图．若图中自左至右每个小长方形的高之比为，且第一个小长方形对应的频数为50，则此次共抽查了______名学生． 【答案】250 【解析】 【分析】本题主要考查了频数分布直方图，用第一个小长方形的频数除以其所占的百分比即可得到答案． 【详解】解：名， ∴此次共抽查了名学生， 故答案为；250． 10. 生活中“水涨船高”描述的事件是______．（填“不可能事件”，“随机事件”或“必然事件”） 【答案】必然事件 【解析】 【分析】本题主要考查了事件分类，在一定条件下，一定会发生的事件叫做必然事件，可能发生，可能不发生的事件叫做随机事件，一定不会发生的事件叫做不可能事件，据此求解即可． 【详解】解：生活中“水涨船高”描述的事件是必然事件， 故答案为：必然事件． 11. 如图，在中，，将在平面内绕点旋转到的位置，使，则旋转角的度数为______． 【答案】##度 【解析】 【分析】本题考查平行线性质，旋转的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，解题的关键在于熟练掌握相关知识． 根据平行线性质得到，再结合旋转的性质，等腰三角形性质，三角形内角和定理，求出，即可解题． 【详解】解：，， ， 由旋转的性质可知，， ， ， 故答案为：． 12. 如图，在中，对角线，相交于点，，垂足为点，过点，交于点，交于点．若，，则图中阴影部分的面积是______． 【答案】24 【解析】 【分析】本题考查平行四边形的性质，全等三角形的判定与性质，勾股定理，只要证明，可得，则可推出，由勾股定理求出的长，再根据平行四边形面积计算公式求解即可． 【详解】解：∵四边形是平行四边形， ∴，， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∴ ∵， ∴， ∴， 故答案为：． 13. 已知分式，当时，分式没有意义；当时，分式的值为零．则的值为___________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查分式的性质，熟练掌握分式有意义和分式的值为零的条件是解题的关键，根据分式没有意义，可得，再由分式的值为零，可得从而得到的值，代入即可得到答案． 【详解】解：时，分式没有意义， 时，分式的值为零， ． 14. 千克橘子糖、千克椰子糖、千克奶糖混合成“什锦糖”．已知这3种糖的单价分别为28元／千克、32元／千克、48元／千克，则这种“什锦糖”的单价用含、、的代数式表示______元／千克． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了列分式，分别求出三种糖的价格，求和后除以三种糖的总质量即可得到答案． 【详解】解：由题意得，这种“什锦糖”的单价为元／千克， 故答案为：． 15. 如图，点为正方形边上一动点（不与边端点A、重合），点为点A关于的对称点，与的延长线相交于点．若正方形的边长为13，，则______． 【答案】7 【解析】 【分析】本题主要考查了正方形的性质、轴对称的性质、等腰三角形的判定与性质、勾股定理等知识点，熟练掌握相关性质定理及添加合适的辅助线是解题的关键． 由正方形的性质、轴对称的性质以及折叠的性质可得、，进而得到；如图：过点B作于点M，由等腰三角形的性质可得，再根据勾股定理可得；然后证明是等腰直角三角形可得，最后根据线段的和差即可解答． 【详解】解：∵正方形的边长为13， ∴， ∵点为点A关于的对称点， ∴， ∴， 如图：过点B作于点M， ∴， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴， ∵， ∴是等腰直角三角形， ∴， ∴． 故答案为：． 三、解答题（本大题共10题，共102分．请在答题卡指定区域内作答，解答时应写出文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算： （1）； （2） 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的减法计算，熟知分式的减法计算法则求解即可； （1）先通分，再计算求解即可； （2）先通分，再把分子合并同类项即可得到答案． 【小问1详解】 解： ； 【小问2详解】 解： ． 17. 先化简，再求值 ，其中、满足，求值． 【答案】， 【解析】 【分析】本题主要考查了分式的化简求值，先通分，再把分子合并同类项化简，接着求出，进而把代入化简结果中计算求解即可． 【详解】解： ， ∵， ∴， ∴原式． 18. 一只不透明的袋子中装有个白球、个黄球和个红球，这些球除颜色外都相同，将球摇匀，从中任意摸出个球． （1）（摸到黑球）______； （2）估计以下事件的可能性大小：①摸到白球，②摸到黄球，③摸到红球，并将这些事件的序号按发生的可能性从大到小排序； （3）怎样改变袋子中白球、黄球的个数，使摸到这三种颜色的球的概率相等？ 【答案】（1） （2）摸到白球的可能性是；摸到黄球的可能性是；摸到红球的可能性是；③②① （3）加白，黄，让三种球数量相等 【解析】 【分析】本题考查概率公式，可能性的大小，熟练掌握可能性大小和概率的定义是解题的关键． （1）由袋子中黑球个数为，即可得出（摸到黑球）； （2）先求可能性的大小，再比较即可； （3）要使摸到这三种颜色的球的概率相等，则三种颜色的球数量相同，按此改变即可． 【小问1详解】 解：∵袋子中黑球个数为， ∴（摸到黑球）， 故答案为：； 【小问2详解】 解：∵袋子中装有个白球、个黄球和个红球， ∴摸到白球的可能性是；摸到黄球的可能性是；摸到红球的可能性是； ∴这些事件的序号按发生的可能性从大到小排序为③②①， 故答案为：摸到白球的可能性是；摸到黄球的可能性是；摸到红球的可能性是；③②①； 【小问3详解】 解：要使摸到这三种颜色的球的概率相等，则三种颜色的球数量相同， ∴可以加白，黄，让三种球数量相等． 19. 如图，在由边长为1个单位长度的小正方形组成的网格中，点，，，均在格点（网格线的交点）上． （1）将绕点逆时针旋转得到，画出； （2）连接，，求四边形的面积． 【答案】（1）见解析 （2） 【解析】 【分析】本题主要考查了画旋转图形，网格中秋图形面积，正确画出是解题的关键． （1）根据网格的特点和旋转方式以及旋转角度找到A、B、C对应点的位置，描出，并顺次连接即可； （2）利用割补法求解即可． 【小问1详解】 解；如图所示，即为所求； 【小问2详解】 解：． 20. 我省中小学全面开展“2·15专项行动”后，各校大课间活动形式多样，某校在大课间中开设了（体操）、（乒乓球）、（排球）、（跑酷）四项活动．为了解学生最喜欢哪一项活动，随机抽取了部分学生进行调查，并将调查结果绘制成了如下两幅不完整的统计图，请根据统计图回答下列问题： （1）这次被抽样调查的学生共有______人，扇形统计图中项目对应的扇形的圆心角是______度； （2）请将折线统计图补充完整； （3）已知该校共有学生1200人，根据调查结果估算该校喜欢体操的学生人数，写出计算过程． 【答案】（1）200，108 （2）见解析 （3）120人，过程见解析 【解析】 【分析】本题主要考查了扇形统计图，折线统计图，用样本估计总体等等，正确读懂统计图是解题的关键． （1）用B项目的人数除以求人数占比可求出参与调查的人数，用360度乘以B项目的人数占比可求出扇形统计图中项目对应的扇形的圆心角度数； （2）根据（1）所求求出C项目的人数，再补全统计图即可； （3）用1200乘以样本中A项目的人数占比即可得到答案． 【小问1详解】 解；人， ∴这次被抽样调查的学生共有200人， 扇形统计图中项目对应的扇形的圆心角是度； 【小问2详解】 解：人， ∴C项目的人数为40人， 补全统计图如下所示： 【小问3详解】 解；人， ∴该校喜欢体操的学生人数约为120人． 21. 证明：对角线互相平分的四边形是平行四边形． 已知： 求证： 证明： 【答案】见详解 【解析】 【分析】理解题意，再根据图形写出已知、求证，然后根据平行四边形的定义证明即可．本题主要考查平行四边形的判定、全等三角形的判定和性质等知识点，正确寻找全等三角形解决问题是解题的关键． 【详解】解：已知：如图，四边形中，． 求证：四边形是平行四边形． 证明：在和中， ， ∴， ∴， ∴， 在和中， ， ∴， ∴， ∴， ∴四边形是平行四边形． 22. 已知：如图，在中，、是对角线上的两点，______，______，求证：四边形是菱形． 从①，②平分，③，这三个条件中选两个填入题中横线上，将题目补充完整，并完成证明． 【答案】选①③或选①② 【解析】 【分析】本题考查了菱形的判定与性质，平行四边形的性质，解题关键是掌握菱形的判定． 选①③，可得到四边形是菱形．理由为：先判断四边形为菱形得到，，，再证明，然后利用对角线互相垂直平分的四边形为菱形得到四边形是菱形； 选①②，通过证明一组邻边相等，来判断四边形为菱形，再得到四边形是菱形； 选②③，由于不能确定、的位置，故不能判定四边形是菱形． 【详解】解：选①③可得到四边形是菱形． 证明：∵四边形为平行四边形， 而， ∴四边形为菱形， ∴， ∵， ∴， 即， ∵， ∴四边形是菱形． 选①②可得到四边形菱形． 证明：∵四边形为平行四边形， ， ， ∵平分， ， ， ， 四边形是菱形， 与互相垂直平分，，， ， 又， ， ， 又， 与互相平分， 四边形是平行四边形， ， 四边形是菱形． 选②③，由于不能确定、的位置，故不能判定四边形是菱形． 23. 定义：若分式和分式满足（为正整数），则称是的“阶差分式”．例如：，我们称是的“3阶差分式”， 解答下列问题： （1）分式是分式的“______阶差分式”． （2）分式是分式的“2阶差分式”．若取正整数，且的值为正整数，求的值． 【答案】（1）1 （2）3或6 【解析】 【分析】本题主要考查了“阶差分式”，分式的加减混合计算，分式的约分，正确理解题意是解题的关键． （1）只需要计算出的结果即可得到答案； （2）根据题意可得，则，再由是正整数，且x取正整数讨论求解即可． 【小问1详解】 解；∵， ∴分式是分式的“1阶差分式”； 故答案为：1； 【小问2详解】 解：∵分式是分式的“2阶差分式”， ∴， ∴， ∵是正整数，且x取正整数， ∴也是正整数， ∴当时，， 当时，； 综上所述，的值为3或6． 24. 已知：线段，点为上一动点（不与，重合），分别以，为边，在线段的同侧作等边和等边，连接， （1）如图1，若，为边上高， ①求的长； ②求证：四边形为矩形； （2）只用无刻度的直尺，在图2中作出的中点，不写作法，保留作图痕迹； （3）在（2）的条件下，当的长取最小值时，的长为______（直接写出结果）． 【答案】（1）①，②见详解 （2）见详解 （3） 【解析】 【分析】（1）①根据题意可得，再利用等边三角形性质可得； ②由等边三角形性质可得：，，进而证得四边形是平行四边形，再由，即可证得四边形是矩形； （2）延长、交于点G，连接交于点M，根据，，得四边形是平行四边形，结合对角线互相平分，故点M是的中点； （3）由四边形是平行四边形，则， ，当最小时，最小，当且仅当时，最小，再利用等边三角形性质和三角形中位线定理即可求得答案． 【小问1详解】 解：①如图1， ∵，， ∴， ∵是等边三角形， ∴， ∵为边上的高， ∴； ②∵和是等边三角形，， ∴，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是平行四边形， ∵为边上的高， ∴， ∴四边形是矩形； 【小问2详解】 解：如图2，点M即为所求； 【小问3详解】 解：∵和是等边三角形， ∴， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴， ， 当最小时，最小，当且仅当时，最小， ∵， ∴是等边三角形，， ∴，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：． 【点睛】本题是四边形综合题，考查了等边三角形性质，平行四边形的判定和性质，矩形的判定和性质，三角形中位线定理，垂线段最短等，熟练掌握平行四边形的判定和性质等是解题关键． 25. 【阅读材料】 我们都知道：顺次连接对角线互相垂直且相等的四边形各边中点所得的四边形是正方形．“数学大王”小组的同学对“对角线互相垂直且相等的四边形”非常感兴趣，想进一步去进行探索研究，为了方便，他们称对角线互相垂直且相等的四边形为“垂等四边形”． 【探索实践】 【任务一】下列四边形中一定是“垂等四边形”的是（ ） A．平行四边形 B．矩形 C．菱形 D．正方形 【任务二】如图1，四边形是“垂等四边形”，，，点，分别是，的中点，连接，，以，为邻边作平行四边形． （1）求证：； （2）求证：四边形为正方形． 【任务三】如图2，在矩形中，，将沿对角线翻折至，点在上，且满足，点为中点，求证：四边形是“垂等四边形”． 【答案】任务一：D；任务二：（1）见解析；（2）见解析； 【解析】 【分析】任务一：根据平行四边形、矩形、菱形和正方形的对角线的性质分析即可； 任务二：（1）由，得到，再由直角三角形斜边中线得到，则，再由角的和差证明即可； （2）由三角形中位线得到，由直角三角形斜边中线得到，结合“垂等四边形”得，故，即可证明为菱形，由三角形中位线得到，那么，而，则，由，得到； 任务三：连接，分别交于点，先根据三角形的中位线定理证明四边形是平行四边形，则，根据得到，设，则，由于点为中点，则，故，即可证明． 【详解】任务一： 解：A、平行四边形对角线仅仅互相平分，故不符合题意； B、矩形对角线相等且互相平分，故不符合题意； C、菱形对角线垂直且互相平分，故不符合题意； D、正方形对角线互相垂直且相等，故符合题意， 故选：D； 任务二： （1）如图， 证明：∵， ∴， ∵，为中点， ∴， ∴， ∴， ∴，即； （2）∵四边形是“垂等四边形”， ∴， ∵点，分别是，的中点， ∴， ∵， ∴， ∴， ∵由上已证， ∴， ∵平行四边形， ∴四边形是菱形， ∵，， ∴， ∵， ∴， ∴四边形是正方形； 任务三：连接，分别交于点， ∵四边形是矩形， ∴，， ∵折叠， ∴，，，， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴四边形是平行四边形， ∴，， ∵，即， ∴， ∵， 设，则， ∵点为中点， ∴， ∴， ∴四边形是“垂等四边形”． 【点睛】本题考查了矩形的性质，三角形的中位线定理，折叠的性质，正方形的判定与性质，直角三角形斜边的性质等知识点，熟练掌握各知识点并灵活运用是解题的关键． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$