高一暑假作业(一) 平面向量的概念与运算-【步步维赢·优练必刷】2025年高一数学暑假作业

高一暑假作业（一）平面向量的概念与运算 知识巩固 求a与b 1.向量的有关概念 的相反 (1)向量：既有大小又有 的量 向量 减 1-b a-b= 叫向量；向量的大小叫作向量的 一b的和 法 a+(-b) 的运算 法则 (2)零向量：长度等于 的向量， 叫做a 与b的差 其方向是任意的， (3)单位向量：长度等于 3.向量的数乘运算及其几何意义 的向量 (1)定义：实数入与向量a的积是一个向 (4)平行向量：方向相同或 的 量，这种运算叫向量的数乘，记作 非零向量，又叫共线向量.规定：0与任 ,它的长度与方向规定如下： 一向量共线。 ①1λa= (5)相等向量：长度相等且 相 ②当A>0时，a与a的方向 同的向量。 当λ<0时，λa与a的方向 ;当 (6)相反向量：长度相等且 相 入=0时，a= 反的向量. (2)运算律：设入以是两个实数，则 2.向量的线性运算 ①A(a)=(入4)a;②（入+）a=aa十a; 向量 法则 定义 运算律 ③λ(a十b)=a+λb. 运算 (或几何意义) 4.共线向量定理 向量a(a≠0)与b共线的充要条件是存 (1)交换律： 在唯一一个实数入，使得 atb 求两个 a+b= 精典例析 加 向量和 三角形法则 法 的运算 (2)结合律： 如图，在直角梯形ABCD中，AB= a+6 (a+b)+c 2AD=2DC,E为BC边上一点，BC= 法则 3EC,F为AE的中点，则BF=( A号A店-}A0 精典题练 B号A店-号Aò 1.给出下列5个命题，其中真命题的个数 是 C.-号A店+号Ad ①零向量没有方向. D.-号A店+号Ad ②零向量只与零向量相等. ③零向量与任何向量共线. 【解析】 解法1D ④单位向量都相等. 如图，取AB的中，点 ⑤共线的单位向量必相等. G,连接DG,CG,则易 A.0个 B.1个 知四边形DCBG为平行四边形，所以BC C.2个 D.3个 2.下列命题中正确的是 -GD-AD-AG-AD-TAB. A.若两个向量相等，则它们的起点和终 :AE=A店+B配=A店+号BC=A店+ 点分别重合 B.模相等的两个平行向量是相等向量 号(AD-A)=景A店+号AD,于是 C.若a和b都是单位向量，则a=b D.两个相等向量的模相等 -A求-A店=AE-A店 3.已知在△ABC中，角A,B,C的对边分 2号A店+号A)-A店=-号A店 别是a,b,c,P是BC边的中点，若cAC+ aPA+bPB=0,则△ABC的形状为 +A店 A.等腰三角形 解法2B示=BA+A示=BA+2A店 B.等边三角形 C.直角三角形 =-AB+号AD+2AB+C面 D.等腰直角三角形 =-A+2(Ai+名A店+号c成 4.在△ABC中，D为AC的中点，E为线 段CB上靠近B的三等分点，则DE= =-AB+2AD+A店+后(CD+Di+ ( A)=-号A店+}A西 A号A店+名AC B号a店-名AC 【答案】C C名A店+号AC D.号A店-青AC ·2· 5.如图，O是平行四边形ABCD的两条对 角线的交点，则下列等式正确的是 B/1 ( y-2 y=1 x=2 (x=3 C. D. y=0 y=-1 9.如图，在△ABC中，D为BC边上的一 A.DA-D元=A 点，且BD=2DC.若AC=mAB+nAD B.DA+DC=DO (m,n∈R),则m一= C.OA-OB+AD-DB D.AO+OB+BC=AC 6.已知平面向量a=(2,一1)，b=(1,1),c= (一5,1)，若(a十b)∥c,则实数k的值 10.在△ABC中，过中线AD的中点E任 为 作一条直线分别交AB,AC于M,N A.-11 两点.若AM=xAB,AN=yAC,则 4 4x十y的最小值为 C.2 n号 11.已知O,A,B是不共线的三点，且OP =mOA+nOB(m,n∈R). 7.（多选)下列说法正确的是 (1)若m十n=1,求证：A,P,B三点 A.相等向量的坐标相同 共线； B.平面上一个向量对应平面上唯一的 坐标 C.一个坐标对应唯一的一个向量 D.平面上一个点与以原点为起点，该点 为终点的向量一一对应 8.(多选)如图，在 △ABC中，点D,E 是线段BC上两个B方E 动点，且AD+AE=xAB+yAC,则 x,y可取 ·3… (2)若A,P,B三点共线，求证： (1)用a,b表示向量AD,AE,AF, m+=1. BE,BF: (2)求证：B,E,F三点共线 12.如图，在△ABC 中，D,F分别是 BC,AC的中点， A花-号Ad.A店-a,AC=a, ·4参考答案 高一暑假作业(一)平面向量的概念与运算 又VAM-AB,AN-yAC.(AB+AC)= 知识巩固 1.(1)方向 模 (2)零 (3)1个单位长度 (4)相反 AB+(1-)yAC.因此有 (4x-1. 4(1-)y-1. 解得:一 (5)方向 (6)方向 2.平行四边形 (1)b十a (2)a十(b十c) 三角形 3.(1)a la 相同 1 相反 0 4.b-a A 1 1。 精典题练 -十(t-1) , 4(1-) =(t-1)+- 1.C 2.D 4(-1) 3.B 如图,由cAC+。PA+ PB-0知,c(PC-PA)+ aPA-bPC-(a-c)PA+ (c-b)PC-0,而PA与P 为不共线向量,.,a一c一c一 11.解(1)若n十n-1, b-0...a-b-c. 则P=mOA+(1-m)OB=OB+m(OA-OB). '.△ABC的形状为等边三角形,故选B. :-OB-(OA-0). 4.D 如图,DE-AE-AD- 即BP-mBA..BP与BA共线. 又.BP与BA有公共点B, #4CAB+#A 'A,P,B三点共线. 3 (2)若A,P,B三点共线,则BP与BA共线, 故存在实数入,使BP-入BA. 5.D 对于A.DA-DC-CA,错误;对于B.DA+D :op-0B-a(OA-OB). -2D,错误;对于C.OA-OB+AD=BA+AD= p-mOA+nB,故有mOA+(n-1)OB- BD.错误;对于D.AO+OB+BC-AB+BC=AC a-o. 正确,故选D. 即(m-OA+(n+-1OB=0 6.B 因为a=(2,-1),b=(1,1),所以a+b=(2+ :O.A,B不共线. ,一1十),又c=(5,1),由(a十kb)/c得(2十k) l .OA,OB不共线. --5×(-1),解得 -- 2.故选B. .:{-0 'm十n-1. n十x-1-0. 7. ABD 由向量坐标的定义可知一个坐标可对应无 12.(1)解 如图延长AD到 数个相等的向量,故C错误,故选ABD. 8.AB 由图可设AD-aAB+(1-AC,AE-AB 点G,使 #4.# +(1-)AC,其中,(0.1),则AD+AE=(十 B )AB+(2--)AC.由题知,x-+,y-2-- 连接BG,CG,得到/ 7AB- n.所以有x+y-2,且0<x<2,故选A、B正确,故 GC. 选A、B. 所以AG-a+b, 9.解析 因为BD-2DC,所以BC=-3CD.因为BC -A-AB.CD-AD-AC,所以AC-AB-BC= ##&}# ##7# 则m-一 答案 -2 10.解析 由题意知AD-(AB+AC),A-AD -1(AB+AC)..M.E.N三点共线, (2)证明 由(1)可知BE-- .AE-AM+(1-)AN(其中0<<1). 因为有公共点B,所以B,E,F三点共线 .41·