高一暑假作业(六) 空间点、直线、平面之间的位置关系-【步步维赢·优练必刷】2025年高一数学暑假作业

高一暑假作业（六） 空间点、直线、平面之间的位置关系 知识巩固 2.空间直线与平面、平面与平面的位置关系 图形 1.平面的基本性质 符号语言 公共点 语言 图形 文字语言 符号语言 相交 如果一条直 ana=A个 线上的 直 A∈I 公 在一个 线 B∈I 理 平行 a∥a aA B 平面内，那么 →lCa 与 个 A∈a 这条直线在 平 B∈a 此平面内. 面 在平 aCa 个 面内 A,B,C三点 过不在同 不共线→有 平 公 平行 a∥3 且只有一个 个 面 理 ,有且 平面a,使 只有一个平 与 A∈a,B∈a, 面 平 C∈a. 相交 aNB-l 个 面 如果两个不 精典例析 重合的平面 若P∈a且 公 有一个公共 若异面直线m,n所成的角是60°，则 P∈B 理 点，那么它们 以下三个命题： B ap 则a∩B=a, 且P∈a. ①存在直线l,满足l与m,n的夹角 条过该点的 都是60°： 公共直线 ②存在平面a,满足mC&,n与a所成 角为60°； ·17 ③存在平面a,3,满足mCa,nCB,a 与B所成锐二面角为60. 其中正确命题的个数为 A.0个 B.1个 C.2个 D.3个 A.PA=PB>PC 【解析】异面直线m,n所成的角是 B.PA=PB<PC 60°，在①中，由异面直线m,n所成的角是 C.PA=PB=PC 60°，在m上任取一点A,过A作直线n'∥n, D.PA≠PB≠PC 在空间中过点A能作出直线(，使得（与 3.已知m,n是两条不同的直线，a,B是两 n,n'的夹角均为60°，.存在直线l,满足l 个不同的平面，若m⊥a,n⊥3，且3⊥a, 与m,n的夹角都是60°，故①正确；在 则下列结论一定正确的是 ②中，在n上取一点B,过B作直线m∥m, A.m⊥n B.m∥n 则以m,m'确定的平面a,满足mC&,n与 C.m与n相交 D.m与n异面 &所成的角是60°，故②正确；在③中，在n 4.如图，在三棱锥ABCD中，点E,H分别 上取一点C,过C作直线m∥m',m,m'确 定一个平面a,∴.过n能作出一个平面B, 是AB,AD的中点，点F,G分别是BC,CD 满足mCa,nCB,a与B所成锐二面角为 上的点需品则 ( 60°，故③正确. 【答案】D 精典题练 1.若直线l与平面a相交，则 A.平面α内存在直线与l异面 A.直线EF与GH互相平行 B.平面α内存在唯一一条直线与l平行 B.直线EF与GH是异面直线 C.平面α内存在唯一一条直线与l垂直 D.平面α内的直线与l都相交 C.直线EF与GH的交点可能在直线 2.如图，已知△ABC为直角三角形，其中 AC上，也可能不在直线AC上 ∠ACB=90°，M为AB的中点，PM垂 D.直线EF与GH的交点一定在直线 直于△ABC所在平面，那么( AC上 ·18· 5.设l,m,n表示三条不同的直线，a,B,y C.若a∩B=n,m∥n,则m∥a且m∥g 表示三个不同的平面，给出下列四个 D.若m⊥a,m⊥B,则a∥3 命题： 9.如图，在三棱锥ABCD ①若l⊥a,m⊥a,则l∥m: 中，E,F,G,H分别是 ②若mC3,n是l在平面3内的射影， 棱AB,BC.CD,DA的 ⊥m,则n⊥m; 中点，则当AC,BD满 ③若mCa,n∥m,则n∥a: 足条件 时，四 ④若Y⊥a,y⊥B,则a∥B. 边形EFGH为菱形；当AC,BD满足条 其中真命题为 件时，四边形EFGH是正方形 A.①② B.①②③ 10.如图，在正方体 C.②③④ D.①③④ ABCD-A B C D 6.如图是正四面体的平面展开图，G,H, 中，E是棱DD1的 M,N分别是DE,BE,EF,EC的中点. 中点，则异面直线 在这个正四面体中：①DE与MN平 AE与BD1所成角 行；②BD与MN为异面直线；③GH与 的余弦值为 MN成60°角；④DE与MN垂直.以上 11.如图，在三棱锥 四个命题中，正确命题的个数是() P-ABC中，PA⊥ 底面ABC,D是PC 的中点.已知∠BAC =受AB=2,AC=25,PA=2.求： A.1个 B.2个 (1)三棱锥P-ABC的体积； C.3个 D.4个 7.(多选)已知平面a⊥平面3，a∩B=l,点 A∈a,AEl,直线AB∥l,直线AC⊥l, 直线m∥a,m∥B,则下列四种位置关系 中，成立的是 ( A.AB∥m B.AC⊥m C.AB∥B D.AC⊥B 8.(多选)已知m,n是不重合的直线，a,B 是不重合的平面，则下列命题错误的是 A.若mCa,n∥a,则m∥n B.若m∥a,m∥B,则a∥3 ·19· (2)异面直线BC与AD所成角的余 (2)设l∩A1B1=P,求PB的长； 弦值. (3)求点D,到l的距离. 12.在棱长是a的正方体ABCD- A1BCD1中，M,N分别是AA1 DC的中点，过D,M,N三点的平面 与正方体的下底面相交于直线. (1)画出交线： ·20·高一暑假作业（六）空间点、直线、 A(B,C) 平面之间的位置关系 知识巩固 1.两点一位置上的三点有且只有一2.10无 数0无数 1.A当直线l与平面a相交时，这条直线与该平面内 任意一条不过交点的直线均为异面直线，故A正 确：该平面内不存在与直线1平行的直线，故B错 7.ABC:m∥a,m∥B,a∩B=l,∴.m∥l. 误：该平面内有无数条直线与直线（垂直，故C错 :AB∥L,.AB∥m.故A一定正确. 误：该平面a内的直线与I可能异面，故D错误，故 AC⊥l,m∥1，AC⊥m.故B一定正确. 选A. A∈a,AB∥l,lCa,∴.B∈a. 2.C,M为AB的中点，△ACB为直角三角形， ∴.AB吨B,lCB,.AB∥B.故C也正确」 ∴.BM=AM=CM,又PM⊥平面ABC, AC⊥l,当，点C在平面a内时，AC⊥3成立， ∴.Rt△PMB≌Rt△PMA≌Rt△PMC,故PA=PB 当点C不在平面a内时，AC⊥B不成立， =PC.故选C. 故D不一定成立.故选ABC. 3.A若B⊥a,m⊥a,则直线m与平面B的位置关系有 8.ABC若mCa,n∥a,则m与n可能平行或异面，故 A错误：若m∥a,m∥3，则a与B可能相交或平行， 两种：mCB或m∥B. 故B错误：若a∩3=n,m∥n,则m还可能在平面a 当mCB时，又n⊥B,所以m⊥n:当m∥B时，又 或3内，故C错误：若m⊥a,m⊥3，根据垂直于同一 n⊥3，所以mLn.故选A. 直线的两个平面平行，则a∥B,故D正确.故 4.D如图，连接EH,FG,在 选ABC. △ABD中，E,H分别是AB, AD的中点，∴.EH∥BD且 9.解析号知EH∥BD∥FG,且EH=是BD=FG, H EH-7 BD. 同理EF∥AC∥HG,且EF=AC=HG,显然四 在△D中，器-品是 边形EFGH为平行四边形.要使平行四边形EFGH为 菱形需满足EF-EH,即AC=BD:要使平行四边形 .FG/BD且FPG=是BD, EFGH为正方形需满足EF=EH且EF⊥EH,即 AC=BD且AC⊥BD. .EH∥FG,且EH≠FG. 答案AC=BD,AC=BD且AC⊥BD .四边形EFGH为梯形. 10.解析如图，连接BD,取 Dy ∴.直线EF与GH相交于一点，设交点为M BD的中点为F,连接EF, 又，EEF面ABC,M∈EF, AF,则EF∥BD1.所以 E B .M∈面ABC,同理，M∈面ACD. ∠AEF(或∠AEF的补角) 又，面ABC∩面ACD=AC, 是异面直线AE与BD1所 .M∈AC,直线EF与GH的交点一定在直线 成角，设正方体ABCD AC上.故选D. A1B1CD1棱长为2，则 5.A由直线与平面垂直的性质定理可得，垂直于同 AE=√5，AF=√2，EF= 一个平面的两条直线相互平行，所以①为真命题：易 3,由余弦定理得coS∠AEF=AE2+EF2-AF2 得②为真命题：根据直线与平而平行的判定定理，平 2AE·EF 面外一条直线与平面内一条直线平行，则该直线与 正，所以异面直线AE与BD1所成角的余孩值 5 此平面平行，③中缺少条件n中a,所以得到的结论 可能为n∥a,也可能为n二a,所以③为假命题：若 a⊥y,3⊥Y,则得到的结论可能为B∥a,也可能为3，a 酒 相交，所以④为假命题.故选A. 答案 15 5 6.C将正四面体的平面展开图复原为正四面体 A(B,C)DEF,如图.对于①，：M,N分别为EF, 11.解 1Sa=号×2×2v5=2, AE的中点.∴.MN∥AF,而DE与AF异面，故DE 故三棱锥P一ABC的体积为 与MN不平行，故①错误.对于②，BD与MN为异面 直线，正确（假设BD与MN共面，则A,D,E,F四点共 V=号·Sae·PA=号X2x2=4 面，与ADEF为正四面体矛盾，故假设不成立，故BD (2)如图，取PB的中 与MN异面.对于③，依题意，GH∥AD,MN∥AF, 点E, ∠DAF=60°，故GH与MN成60°角，故③正确.对 连接DE,AE. 于④，连接GF,A点在平面DEF的射影A1在GF 则DE∥BG, 上，∴.DE⊥平面AGF,∴.DE⊥AF,而AF∥MN. 所以∠ADE(或其补角)是 DE与MN垂直，故④正确.综上所述，正确命题 异面直线BC与AD所成 有3个.故选C. 的角。 ·46· 在△ADE中，DE=2,AE=√2，AD=2, 得出这条直线与第一个平面不能相交，出现矛盾，故 则cOS∠ADE= DE+AD2-AE-2+22-2 A正确：B是两个平面平行的一种判定定理，B正 2DE·AD 2×2×2 确：C中，如果平面Q内有一条直线垂直于平面B,则 、3 平面a垂直于平面B(这是面面垂直的判定定理)，故 C正确：D是错误的，事实上，直线l不平行平面a, 即异面直线BC与AD所成角的余弦值为 可能有lCa,则a内有无数条直线与l平行.故选D. 4 6.C因为裁面PQMN是正方形，所以MN∥PQ,则 12.解(1)如图，延长DM交 D MN∥平面ABC, D1A1的延长线于点Q,则点 由线面平行的性质知MN∥AC,则AC∥戴面 Q是平面DMN与平面 PQMN, A1B1C1D1的一个公共点.连 同理可得MQ∥BD,又MN⊥QM, 接QN,则直线QN就是两平 则AC⊥BD,故AB正确. 面的交线l. 又因为BD∥MQ,所以异面直线PM与BD所成的 (2):M是AA1的中点， 角等于PM与QM所成的角，即为45°，故D正确. MA1∥DD1, 故选C .A1是QD1的中点. 7.D在正方体ABCD-A1B1C1D1中， 又：AP∥D1N, 因为O为底面ABCD的中心，P是DD1的中点， AiP-7DiN. 所以PO∥BD, 当点Q为CC1的中点时， N是DC的中点， 连接PQ,则PQLAB, ∴AP=DG=是， 所以四边形ABQP是平行四边形， 所以AP∥BQ, PB=AB-AP=孚 因为AP∩PO=P,BQ∩BD1=B, AP,POC平面PAO,BQ,BD1∩平面D1BQ, (3)过点D1作D1H⊥PN于点H,则D1H的长就 所以平面D1BQ∥平面PAO.故选D. 是点D1到l的距离. 8.AA项，作如图①所示的辅助线，其中D为BC的 QD:-2A Di-2a.D:N-. 中点，则QD∥AB. 因为QD∩平面MNQ=Q,所以QD与平面MNQ DH=QD·DN 217 相交，所以直线AB与平面MNQ相交. QN 17a. B项，作如图②所示的辅助线，则AB∥CD,CD∥MQ, 所以AB∥MQ. 又AB吐平面MNQ,MQC平面MNQ,所以AB∥平 中点D到1的距离是。 面MVQ. 高一暑假作业（七）空间直线、平面的平行 知识巩固 1.a∩a=☑aCa,bta,a∥ba∥aa∥a,aC3, a∩3=b0a∥h2.a∩B=aC3,bCβ anb=Pa∥3any=a 精典题练 图① 图2 1.A若m,nCa,aB,则m∥B且n∥B:反之若m, n二a,m∥B且n∥B,则a与B相交或平行，即“a∥3"” 是“m∥B且n∥B”的充分不必要条件.故选A 2.C对于A,由面面平行的性质定理可知为真命题， 故A正确：对于B,由面面垂直的性质定理可知为真 命题，故B正确；对于C,若l⊥a,a⊥B则，l∥B或 CB,故C错误；对于D,由线面平行的性质定理可 图③ 图④ 知为真命题，故D正确.故选C. C项，作如图③所示的辅助线，则AB∥CD,CD∥MQ, 3.D选项A中，bCa或b∥a,A错误： 所以AB∥MQ 选项B中，b与B可能斜交，或b∥B,bCB,B错误. 又AB过平面MNQ,MQC平面MNQ,所以AB∥平 选项C中，a∥c,a与c异面，或a与c相交，C错误； 面MNQ.D项，作如图④所示的辅助线，则AB∥ 选项D中，利用面面平行的判定定理，D正确.故 CD,CD∥NQ,所以AB∥NQ.又ABt平面MNQ, 选D. NQC平面MNQ,所以AB∥平面MNQ.故选A. 4.D①若m∥n,mCa,nCB,则a∥3或a,B相交； 9.解析由面面平行的性质定理可知，①正确；当 ②若mCa,nC3,a∥B,l⊥m,则I⊥n或1∥n或1， n∥3，mCy时，n和m在同一平面内，且没有公共 n异面；③正确：①若a⊥B,m∥a,n∥3，则m⊥n或 点，所以平行，③正确. m∥n或m,n异面.故选D. 答案①或③ 5.DA中，如果假定直线与另一个平面不相交，则有 10.解析在正方体ABCD-A1B1C1D1中，AB=2,所 两种情形：在平面内或与平面平行，不管哪种情形都 以AC=22.又E为AD中点，EF∥平面AB1C, ·47