精品解析：四川省广安友谊中学2024-2025学年高一下学期六月月考数学试卷

2024-2025学年度友谊中学高2024级六月月考数学试卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据复数的模计算公式计算可得. 【详解】因为，所以. 故选：D 2. 已知四棱锥底面为正方形，平面，则（ ） A. B. C. 平面 D. 平面 【答案】B 【解析】 【分析】推导出，可判断A选项；利用线面垂直的性质可判断B选项；利用反证法可判断CD选项. 【详解】对于A选项，因为平面，平面，则， 因为四边形为正方形，则， 因为，、平面，所以，平面， 因为平面，则，故为锐角，A错； 对于B选项，因为平面，平面，则，B对； 对于C选项，若平面，且平面，则、平行或重合， 矛盾，假设不成立，C错； 对于D选项，若平面，则与平面无公共点， 这与平面矛盾，假设不成立，D错. 故选：B. 3. 石室中学校园环境优美，植物种类繁多，其中银杏树尤为漂亮.某数学学习小组为了测量校园内一棵银杏树的高度，首先在处，测得树顶的仰角为，然后沿方向行走14米至处，又测得树顶的仰角为，则树高为（ ）米． A. B. C. D. 13 【答案】A 【解析】 【分析】令杏树的高度为，借助仰角的定义，以及直角三角形的性质，用表示相应边长，然后利用勾股定理即可求出高度. 【详解】 如图，令杏树的高度为，根据题意, 所以，在中，，在中，， 所以，在中，, 即，解得， 故选：A. 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据题意，结合斜二测画法的原几何图形，进而求得其对角线长，得到答案. 【详解】由梯形的直观图，结合斜二测画法，得到原几何图形是直角梯形， 如图所示，其中，， 所以. 故选：C． 5. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 【答案】B 【解析】 【分析】由可得，再将两边平方，结合数量积的运算律计算可得. 【详解】因为，，所以， 又，所以，即， 所以， 则，解得（负值已舍去）. 故选：B 6. 在中，、、分别是内角、、所对的边，若，，，则边（ ） A. B. 或 C. 或 D. 【答案】C 【解析】 【分析】根据余弦定理可得出关于的等式，解之即可. 【详解】因为，，，由余弦定理可得， 即，即，解得或. 故选：C. 7. 若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是 A. B. C. 1 D. 【答案】D 【解析】 【分析】由题意首先求得截面半径，然后求解体积的比值即可. 【详解】由题意设上、下底面半径分别为r、4r,截面半径为x,圆台的高为2h,则有 则. 本题选择D选项. 【点睛】本题主要考查圆台的结构特征，方程思想的应用等知识，意在考查学生的转化能力和计算求解能力. 8. 在中，，，，D为AB的中点，P为CD上一点， 且，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】由向量共线定理得到，两边平方求出，得到答案. 【详解】因为D为AB的中点，所以， 又，所以， 因为三点共线，设， 即， 故，所以， 解得， 两边平方得 ， 故. 故选：A 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 下列说法正确的是（ ） A. 对于平面，若，则 B 对于平面和直线，若，则 C. 对于平面和直线，若，则 D. 对于平面和直线，若，则 【答案】AD 【解析】 【分析】对于A选项，根据线面平行的性质定理判断即可；对于B选项，根据线面垂直的判定定理可判断；对于C，结合正方体中的线面关系可判断；对于D选项，利用反证法证明. 【详解】对于A选项，因为，， 所以，所以，由于，，所以，故A正确； 对于B选项，由，可知过的平面与的交线与平行，且所有的交线互相平行， ，可得与交线垂直，但无法推出，B错误； 对于C选项，如图，在正方体中，，平面，平行与平面， 但平面平面，C错误； 对于D选项，如图，设， 假设与平面不平行，又， 所以与平面相交，设交点为， 在内过点作直线，因为，，则， 则过点有两条直线垂直于平面，矛盾， 所以假设不成立，故，D正确. 故选：AD 10. 已知圆锥的底面半径，母线长，，是两条母线，是的中点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面展开图的圆心角为 C. 当为轴截面时，圆锥表面上点到点的最短距离为 D. 面积的最大值为2 【答案】BCD 【解析】 【分析】首先求出圆锥的高，即可求出圆锥的体积，从而判断A，再由弧长公式判断B，利用余弦定理判断C，根据面积公式判断D. 【详解】对于A：因为，，所以圆锥的高， 所以圆锥的体积，故A错误； 对于B：设圆锥的侧面展开图的圆心角为，则，即， 解得，即圆锥的侧面展开图的圆心角为，故B正确； 对于C：当为轴截面时，将圆锥侧面展开可知，点到点的最小距离为，如图， 在中，， 由余弦定理得，故C正确； 对于D：当为轴截面时，在中，，因为， 所以此时为钝角，又， 当时，的面积最大，且最大值为，故D正确； 故选：BCD 11. 对非零向量，，定义运算“”：，其中为与的夹角，则（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若中，，，，则 D. 若中，，则是等腰三角形或有内角为135°的三角形 【答案】ABD 【解析】 【分析】根据题干中的定义进行求解即可得出答案. 【详解】对于A，因为，所以或， 当时，，，所以 ； 当时，，，所以 ， 所以A正确. 对于B，，， 所以，所以，所以B正确. 对于C，因为中，，，， 所以， 所以C错误. 对于D，因为，所以, 所以，所以或， 当时，等腰三角形； 当时，； 所以是等腰三角形或有内角为135°的三角形， 所以D正确. 故选：ABD. 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知和向量若，则实数m的值为_________． 【答案】## 【解析】 【分析】先根据、两点坐标求出向量的坐标，再根据两向量平行的坐标关系列出方程，进而求解的值. 【详解】； 故答案为： 13. 三棱锥中，已知两两垂直，且，则三棱锥的外接球的表面积为___________. 【答案】 【解析】 【分析】将三棱锥放在长方体中，则长方体的外接球与三棱锥的外接球相同，即可求解. 【详解】以线段为相邻的三条棱为长方体，连接,,,即为三棱锥， ∵如图所示，长方体的外接球与三棱锥的外接球相同， ∴则其外接球直径为长方体对角线的长， 设外接球的半径为，则, 解得, 则. 故答案为:. 14. 在中，内角所对的边分别是，且，，则边上的中线的取值范围是_________. 【答案】 【解析】 【分析】根据三角形内角和定理结合二倍角的正弦公式化简求值即可求，利用向量的加法运算及数量积模的运算得，利用正弦定理得，然后利用正弦函数的性质求解范围即可. 【详解】由，可得， 因为，所以，所以，所以， 所以，所以，所以，所以， 由余弦定理可得， 因为是的中点，所以， 所以， 由正弦定理可得， 所以， 因为，所以，所以， 所以，所以，所以. 故答案为：. 【点睛】方法点睛：求三角形有关代数式的取值范围也是一种常见的类型，主要方法有两类：（1）找到边与边之间的关系，利用基本不等式来求解；（2）利用正弦定理，转化为关于某个角的三角函数，利用函数思想求解. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）若，求的取值范围． 【答案】（1） （2）. 【解析】 【分析】（1）由图可知，再结合周期公式可求出，由可求出的值，再由可求出的值，从而可求出的解析式； （2）由求出的范围，再利用正弦函数的性质可求出的取值范围． 【小问1详解】 由的部分图象可知，所以， 所以，解得， 因为的图象过点， 所以， 所以，解得， 因为，所以， 所以， 因为的图象过点， 所以，得，解得， 所以， 【小问2详解】 因为， 所以， 所以， 所以， 所以， 所以的取值范围为. 16 已知，． （1）若且，求在方向上的投影向量； （2）若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据模长的坐标运算求得，再结合投影向量的定义分析求解； （2）根据题意可知且与不共线，结合向量的坐标运算分析求解. 【小问1详解】 因为，，则， 若且，则，解得， 则，，可得， 所以在方向上的投影向量. 【小问2详解】 因为，． 若与的夹角为钝角，则且与不共线， 则，解得且， 所以实数m的取值范围为. 17. 如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求异面直线与所成角的余弦值. 【答案】（1）证明见解析 （2） 【解析】 【分析】（1）取的中点，连接，，即可证明四边形为平行四边形，从而得到，即可得证； （2）取的中点，连接、，则（或其补角）为异面直线与所成角，再由余弦定理计算可得. 【小问1详解】 取中点，连接，， 因为为的中点，为的中点，所以且， 又且， 所以且， 所以四边形为平行四边形，所以， 又平面，平面，所以平面； 【小问2详解】 取的中点，连接、，则， 则（或其补角）为异面直线与所成角， 在直三棱柱中，， 平面，平面，所以，， 在中，，， 所以， 所以异面直线与所成角的余弦值为. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求； （2）若，，设为延长线上一点，且，求线段的长. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用正弦定理将边化角，再由两角和的正弦公式求出，即可得解； （2）利用正弦定理求出，即可求出，从而求出，再由锐角三角函数求出，即可求出. 【小问1详解】 因为， 由正弦定理可得， 即， 又，所以，所以，则. 【小问2详解】 在中，由正弦定理得 ∴，又，所以 ∴， ∴， ∵，则， 又，即， 所以 ， ∴. 19. 如图，已知三棱台下底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，，平面平面. （1）证明：平面； （2）求点B到平面的距离； （3）若P为BC的中点，Q为的中点，点F在侧面内，且平面APQ，当的面积最小时，求平面ACF与平面夹角的余弦值. 【答案】（1）证明过程见解析 （2） （3） 【解析】 【分析】（1）作出辅助线，证明出四边形为平行四边形，为等边三角形，⊥，由面面垂直得到线面垂直，故⊥，又⊥，从而得到线面垂直； （2）作出辅助线，利用等体积法求解点到平面的距离； （3）作出辅助线，证明面面平行，从而得到点F的运动轨迹，并确定何时的面积最小，并求出点到平面的距离和点到的距离为，相比得到面面角的正弦值，从而求出余弦值. 【小问1详解】 因为，所以， 取的中点，连接， 因为且， 所以四边形为平行四边形， 故， 又， 所以为等边三角形， 故， 因为，所以， 故，故⊥， 因为平面平面，交线为，平面， 所以⊥平面， 又平面，所以⊥， 又⊥，，平面， 所以⊥平面； 【小问2详解】 延长，相交于点， 由题意知，，， 故，同理， 故为等边三角形，， 又⊥平面， 故， 因为⊥平面，平面， 所以⊥， 因为， 连接，则⊥， 由勾股定理得， 故， 设点B到平面的距离为， 故，解得 【小问3详解】 取的中点，连接，则， 因为平面，平面， 所以平面， 取的中点，连接，， 则， 同理，所以， 因为平面，平面， 所以平面， 又，平面， 所以平面平面， 故当F在上运动时，满足要求， 显然当F运动到点时，的面积最小， 由（1）知，点B到平面的距离为， 故点到平面的距离为， 故点到平面的距离为， 设点到的距离为， 其中，， 故， 故， 故， 设平面ACF与平面夹角为， 则， 则. 【点睛】方法点睛：立体几何面面角求解方法： （1）作出辅助线，找到二面角的平面角，并结合余弦定理或勾股定理进行求解； （2）建立空间直角坐标系，求出平面的法向量，利用空间向量相关公式求解. （3）利用其中一个平面上的图形在另一个平面的投影图形面积与原图形的面积之比求解面面角的余弦值； （4）求出一个平面上一点到另一个平面的距离和此点到两平面交线的距离之比进行求解. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2024-2025学年度友谊中学高2024级六月月考数学试卷 一、单选题(本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的) 1. 已知，则（ ） A. 1 B. C. 2 D. 2. 已知四棱锥底面为正方形，平面，则（ ） A B. C 平面 D. 平面 3. 石室中学校园环境优美，植物种类繁多，其中银杏树尤为漂亮.某数学学习小组为了测量校园内一棵银杏树的高度，首先在处，测得树顶的仰角为，然后沿方向行走14米至处，又测得树顶的仰角为，则树高为（ ）米． A. B. C. D. 13 4. 如图所示，梯形是平面图形用斜二测画法得到的直观图，，则平面图形中对角线的长度为（ ） A. B. C. D. 5. 已知向量，满足，，且，则（ ） A. B. C. 2 D. 1 6. 在中，、、分别是内角、、所对的边，若，，，则边（ ） A. B. 或 C. 或 D. 7. 若圆台两底面周长的比是1∶4，过高的中点作平行于底面的平面，则圆台被分成两部分的体积比是 A. B. C. 1 D. 8. 在中，，，，D为AB的中点，P为CD上一点， 且，则（ ） A. B. C. D. 二、多选题(本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分) 9. 下列说法正确的是（ ） A. 对于平面，若，则 B. 对于平面和直线，若，则 C. 对于平面和直线，若，则 D. 对于平面和直线，若，则 10. 已知圆锥的底面半径，母线长，，是两条母线，是的中点，则（ ） A. 圆锥的体积为 B. 圆锥的侧面展开图的圆心角为 C. 当为轴截面时，圆锥表面上点到点的最短距离为 D. 面积的最大值为2 11. 对非零向量，，定义运算“”：，其中为与夹角，则（ ） A. 若，则 B. 若，，则 C. 若中，，，，则 D. 若中，，则是等腰三角形或有内角为135°的三角形 三、填空题(本题共3小题，每小题5分，共15分) 12. 已知和向量若，则实数m的值为_________． 13. 三棱锥中，已知两两垂直，且，则三棱锥的外接球的表面积为___________. 14. 在中，内角所对边分别是，且，，则边上的中线的取值范围是_________. 四、解答题(本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤) 15. 已知函数的部分图象如图所示． （1）求的解析式； （2）若，求的取值范围． 16. 已知，． （1）若且，求在方向上的投影向量； （2）若与的夹角为钝角，求实数m的取值范围． 17. 如图，在直三棱柱中，，为的中点，为的中点. （1）证明：平面； （2）若，求异面直线与所成角的余弦值. 18. 在中，内角，，的对边分别为，，.已知. （1）求； （2）若，，设为延长线上一点，且，求线段的长. 19. 如图，已知三棱台下底面是以B为直角顶点的等腰直角三角形，，平面平面. （1）证明：平面； （2）求点B到平面的距离； （3）若P为BC的中点，Q为的中点，点F在侧面内，且平面APQ，当的面积最小时，求平面ACF与平面夹角的余弦值. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $