高二暑假作业(十) 二项分布与正态分布-【步步维赢·优练必刷】2025年高二数学暑假作业

高二暑假作业（十）二项分布与正态分布 ⑥当以一定时，曲线的形状由σ确定，G 知识巩固 ,曲线越“瘦高”，表示总体的分 1.二项分布 布越集中；o ,曲线越“矮胖”， (1)独立重复试验是指在相同条件下可重 表示总体的分布越分散， 复进行的，各次之间相互独立的一种试验. 3.正态分布 (2)一般地，在n次独立重复试验中，用 (1)正态分布的定义及表示 X表示事件A发生的次数，设每次试验 如果对于任何实数a,b(a<b),随机变量 中事件A发生的概率为p,则事件A发 X满足P(a<X≤b)= 生k次的概率为 ,则称X的分布为正态分布，记作 ,此时称随机变量X服从二项分布， 记为 (2)正态分布的三个常用数据 2.正态曲线及性质 ①P(:-<X≤十G)≈ ②P(u-2a<X≤u十2a)≈ (1)正态曲线的定义 ③P(4-3o<X≤4+3σ)≈ 对于函数9，（x)= x∈(-∞，十o∞)，其中实数4和。(a>0) 精典例析 为参数，我们称。（x)的图象（如图）为 从某企业生产的某种产品中抽取500 正态分布密度曲线，简称正态曲线， 件，测量这些产品的一项质量指标值，由测 量结果得如下频率分布直方图： 率 组距 0.033 0.024 0.022 (2)正态曲线的性质 8888 0.002- ①曲线位于x轴 ,与x轴不相交， 0165175185195205215225235质量批标值 ②曲线是单峰的，它关于直线 (1)求这500件产品质量指标值的样 对称. 本平均数x和样本方差s2(同一组中的数据 ③曲线在 处达到峰值1 用该组区间的中点值作代表)； /2π (2)由直方图可以认为，这种产品的质 ④曲线与x轴之间的面积为1. 量指标值Z服从正态分布N(4,o2),其中 ⑤当。一定时，曲线随着 的变化而 近似为样本平均数x,。2近似为样本方 沿x轴平移. 差2 ·30· ①利用该正态分布，求P(187.8<Z< 2.已知随机变量X~N(0,1),则X在区间 212.2): (一∞，一2)内取值的概率约为 ( ②某用户从该企业购买了100件这种 A.0.954 B.0.046 产品，记X表示这100件产品中质量指标 C.0.977 D.0.023 值位于区间(187.8,212.2)的产品件数，利 3.若随机变量X~N(1,2),则D( 2X)等 用①的结果，求E(X) 于 附：√/150≈12.2. A.4 B.2 若Z~N(4,a),则P(-o<Z<十a)= c号 D.1 0.6826. 4.设两个正态分布N(4,)(o1>0)和 P(u~2<Z<u+2a)=0.9544. V(2,o)(o2>0)的密度函数图象如图所 【解】(1)抽取产品的质量指标值的 示，则有 ( 样本平均数x和样本方差s2分别为 x=170×0.02+180×0.09+190×0.22+ N(.3/ 2 10A Mu2,) 200×0.33+210×0.24+220×0.08+230 04 ×0.02=200, 0.2 -10-050051.0x 2=(-30)2×0.02+(-20)2×0.09+ A.41<201<02 (-10)2×0.22+0×0.33+102×0.24+ B.h1<h01<2 20×0.08+30×0.02=150. C.h1>201<0 (2)①由(1)知，Z~N(200,150), D.h1>201>o2 即ZN(200,12.22). 5.某市教学质量检 人数 从而P(187.8<Z<212.2) 测，甲、乙、丙三科 =P(200-12.2<Z200+12.2)=0.6826. 考试成绩的正态分 ②由①知，一件产品的质量指标值位于区 布图如图所示( x/分数 间(187.8,212.2)的概率为0.6826， 于人数众多，成绩分布的直方图可视为 依题意知X~B(100,0.6826) 正态分布)，下列说法正确的是( A.甲科总体的标准差最小 所以E(X)=100×0.6826=68.26. B.丙科总体的平均数最小 习题一精练 C.乙科总体的标准差及平均数都居中 D.甲、乙、丙总体的平均数不相同 1.设随机变量服从正态分布N(2,9),若 6.已知随机变量X服从正态分布N(2,o), P(>c+1)=P(<c一1)，则c=( P(X<4)=0.84,则P(X≤0)=() A.1 B.2 A.0.16 B.0.32 C.3 D.4 C.0.68 D.0.84 ·31 7.在某项测量中，测量结果服从正态分布 13.已知随机变量X~N(4,G),且其正态曲 N(1,o)(σ>0)，若在(0,2)内取值的概 线在（一∞，80）上是增函数，在(80，十∞) 率为0.8，则在(0,1)内取值的概率为 上为减函数，且P(72<X≤88)=0.6827. ( (1)求参数，o的值； A.0.1 B.0.2 C.0.4 D.0.8 8.已知随机变量X服从正态分布N(a,4), 且P(X>1)=0.5,则实数a的值为 A.1 B.3 C.2 D.4 9.若随机变量X的密度函数为f(x) 1 √2元 e一X在区间(2，-1)和1,2》 内取值的概率分别为p,p2,则p1,p2的 关系为 () A.p>p: B.p<p2 C.pP2 D.不确定 10.某校有1000人参加某次模拟考试，其 中数学考试成绩近似服从正态分布N (2)求P(64<x≤72). (105,62)(g>0),试卷满分150分，统计 结果显示数学成绩优秀（高于120分） 的人数占总人数的，则此次数学考试 成绩在90分到105分之间的人数约为 ( A.150 B.200 C.300 D.400 11.已知正态分布落在区间(0.2，十∞)内 的概率为0.5，那么相应的正态曲线 f(x)在x= 时达到最高点， 12.若随机变量服从正态分布N(9,16), 则P(一3<≤13)= (参考数据：若~N(,),则P(以 o<≤u十a=0.6827:P(4-2o<u +2g)=0.9545;P(4-36<≤4+36) =0.9973) ·32· 14.已知从某批材料中任取一件，取得的这 (2)如果所用的材料需以95%的概率保 件材料的强度X服从N(200,182) 证强度不低于164，问这批材料是否符 (1)计算取得的这件材料的强度不低于 合这个要求？ 182的概率： ·33·高二暑假作业（十）二项分布与正态分布 又P(0<<2)=0.8, 知识巩固 ∴P(0<1)=号P(0<×2)=0.4. 1.(2)Cp(1-p)"-(k=0,1,2,…,n) X一B(n,p) 8.A因为随机变量X服从正态分布 2.01e N(a,4),所以P(X>a)=0.5.由P(X>1) (2)上方x=4x=4 =0.5,可知a=1. 4越小越大3.(1)J9(x)dx X 9.C由正态曲线的对称性及题意知以=0， N(4,g2)(2)0.62870.95450.997.3 6=1,所以曲线关于直线x=0对称，所 习题精练 以p1=p2 1.B由正态曲线的对称性可知C十1十 10.CP(X≤90)=P(X≥120)=0.2， C-1=2×2,得C=2. .P(90≤X≤120)=1-0.4=0.6， 2.D由题可得N=0,o=1,P(X<-2)= ÷P(90≤X≤105)=2P(90≤X≤120) 2PN-2a<X<N+2o≈0.023. =0.3, 3.D因为X~N(1,2),所以D(X)=4, ∴.此次数学考试成绩在90分到105分 所以D(2X)=D(X)=1. 之间的人数约为1000×0.3=300.故 4.A以反映的是正态分布的平均水平， 选C. x=以是正态密度曲线的对称轴，由题图 11.解析：由正态曲线关于直线x=:对称 可知凸<；6反映的是正态分布的离散 且在x=以处达到峰值和其落在区间 程度，0越大，越分散，曲线越“矮胖”，G越 (0.2,+∞)内的概率为0.5，得μ=0.2. 小，越集中，曲线越“瘦高”，由题图可知 答案：0.2 01<02 12.解析：，·随机变量服从正态分布 5.A本题考查，o的意义以及它们在正 N(9,16), 态曲线中的作用.由正态曲线的性质知， ∴.对称轴方程为x=4=9,0=4, 曲线的形状由参数σ确定，0越大，曲线 则P(-3<×13)=P(-3a<≤4十a) 越“矮胖”；0越小，曲线越“瘦高”，且G是 =2[P-3<≤+3a)+Pg-g<+o)] 标准差，故选A, 6.A由X~N(2,o),可知其 =70.9973+0.68270=0.81. 正态曲线如图所示，对称轴 答案：0.84 为直线x=2,则P(X≤0)=P(x≥4)=1 13.解：(1)由于正态曲线在（一○，80）上是 -P(X<4)=1-0.84=0.16. 增函数，在(80，十∞)上是减函数，所以 7.C服从正态分布N(1,o)(a>0), 正态曲线关于直线x=80对称，即参数 ∴=1， μ=80.又P(72<X≤88)=0.6827. ·58· 结合P(4-o<X≤4十σ)=0.6827，可 164)=P(X>236),且P(X<164)+ 知6=8. P(164≤X≤236)+P(X>236)=1, (2)因为P(4-2a<X≤u十2a)= PX<164)=2×1-0,954)=0.023. P(X<64)=2×(1-0.9545) .P(X>164)=1-P(X<164)= 又因为P(X≤64)=P(X>96),所以 0.977>0.95. P(X<64)=2×(1-0.9545)=2× 故这批材料符合这个要求. 高二暑假作业（十一）成对数据的统计分析 0.0455=0.02275. 知识巩固 所以P(X>64)=0.97725, 1.(1)增加(2)减少2.正负性相关的 又P(X≤72)=21-P(72<X≤8] 程度一条直线3.(1)经验回归方程 经验回归直线y=x(2)观测值预测 2×(1-0.6827)=0.15865,所以 值观测值预测值(3)越差越好 P(X>72)=0.84135. 4.现象性质6.频率特征是否相互 14.解：(1)X~N(4,a2),其中4= 影响 200,o=18, 习题精练 而182=200-18=4-0,218=200+18 1.Dy与x具有负的线性相关关系，所以 =十0， A选项错误；当销售价格为10元时，销 .P(182≤X≤218)=0.683. 售量在100件左右，所以C选项错误，D 又.1=P(X182)+P(182≤X≤218)+ 选项正确；B选项中一10是经验回归直 P(X>218), 线的斜率，不是相关系数. 由正态曲线的对称性可知P(X<182)= 2.B因为x2=7.069,结合表格可知 P(X>218), 7.069>6.635,所以认为“性别与是否喜 .P(X<182)= 2×(1-0.683)= 欢数学有关”犯错误的概率不超过 0.010,故选B. 0.1585. 3.Bx=9,=4,代入y=0.7x+a中，得 ∴.P(x≥182)=1-P(X<182)= a=一2.3，所以经验回归方程为y=0.7x 1-0.1585=0.8415. -2.3,把x=14代入，得y=7.5. 故所求的概率为0.8415. 4.A:两个分类变量A和B没有任何 (2)由(1)知164=4-2g,236=4+2g, 关系 ∴.P(164≤X≤236)=0.954. . (144十a)(30a-90×24)2 又由正态曲线的对称性可知P(X< 120×(24+a)×54×(90十a=0,则 ·59·