高二暑假作业(八) 排列组合 二项式定理-【步步维赢·优练必刷】2025年高二数学暑假作业

排列组合 高二暑假作业(八) 二项式定理 3.各二项式系数的和 知=识-巩-固 (1)C+C+C^{十..+C= 一、排列数、组合数的定义、公式、性质 (2)C+C+C.=C+C+C+.. 排列数 组合数 从n个不同元 一精一典一例一析 素中取出n 从”个不同元素中取 (1)在高三某班进行的演讲比赛中,共 (mn,n,n 定义 出m(mn,m,n 有5位选手参加,其中3位女生,2位男生 N*)个元素的 N')个元素的所有不 如果2位男生不能连续出场,且女生甲不 所有不同排列 同组合的个数 的个数 能排第一个,那么出场的顺序的排法种数 为 A"-n(n-1)(n A (2)大数据时代出现了滴滴打车服务,生 公式 -2)...(n-m十 n(n-1)(n-2).(n-n+1) 育政策的放开使得家庭中有两个孩子的现象 1)-__”! m! (n一n)! 普遍存在.某城市关系要好的A、B、C、D四个 (一1.C-Cm.C+ 家庭各有两个孩子共8人,他们准备使用滴滴 性质 A-n!,0!-1 c--C二1 打车软件,分乘甲、乙两辆汽车出去游玩,每车 限坐4名(乘同一辆车的4个孩子不考虑位 二、二项式系数的性质 置),其中A家庭的李生姐妹需乘同一辆车, 1.对称性 则乘坐甲车的4个孩子恰有2个来自于同一 与首末两端“等距离”的两个二项式系数相 个家庭的乘坐方式共有 ( ) A.18种 等,事实上,这一性质可直接由C*一C” B.24种 C.36种 D.48种 【解析】 2位男生不能连续出场的排 分成对称的两部分,它是图象的对称轴 法共有N 一A×A{}-72(种),女生甲排第 2.增减性与最大值 一个且2位男生不连续出场的排法共有N (1)当<+1# #. 时,C 随的增加 一A^{}xA{}一-12(种),所以出场顺序的排法 种数为N-N-N.-60. (2)根据题意,分两种情况讨论:①A 家庭的孪生姐妹在甲车上,甲车上另外的 (2)当n是偶数时,中间的一项 两个孩子要来自不同的家庭,可以在剩下 取得最大值; 的三个家庭中任选2个,再从每个家庭的2 与 当n是奇数时,中间的两项 个孩子中任选一个来乘坐甲车,有C^{}×C 相等,且同时取得最大值, XC一12(种)乘坐方式; . 23· ②A家庭的孪生姐妹不在甲车上,需 数位上的数字和为偶数,则这样的三位 ( 要在剩下的三个家庭中任选1个,让其2个 数的个数是 ) A.540 孩子都在甲车上,对于剩余的两个家庭,从 B.480 C.360 每个家庭的2个孩子中任选一个来乘坐甲 D.200 车,有C×C×C-12(种)乘坐方式,故共 6.第十九届西北医疗器械展览于5月18至 有12+12-24(种)乘坐方式,故选B 20日在兰州举行,现将5名志愿者分配 【答案】(1)60(2)B 到3个不同的展馆参加接待工作,每个 习一题一精一练 展馆至少分配一名志愿者的分配方案种 数为 ( ) 1. 某具教育局招骋了8名小学教师,其中3 A.540 B.300 名语文教师,3名数学教师,2名全科教 C.180 D.150 师,需要分配到A,B两个学校任教,其中 7.将5名巴黎奥运会志愿者分配到花样滑 每个学校都需要2名语文教师和2名数 冰、短道速滑、冰球和冰壶4个项目进行 ( 学教师,则分配方案种数为 一 培训,每名志愿者只分配到1个项目,每 A.72 B.56 个项目至少分配1名志愿者,则不同的 C.57 D.63 分配方案共有 ( ) 2.某学校为了弘扬中华传统“孝”文化,共 A.60种 B.120种 评选出2位男生和2位女生为校园“孝” C.240种 D.480种 之星,现将他们的照片展示在宣传栏中, 8.(){## 要求同性别的同学不能相邻,不同的排 的展开式中。的系数为 法种数为 ( ) ( ) A.4 B.8 A.10 B.20 C.12 D.24 C.40 D.80 3.已知参加某项活动的六名成员排成一排 9.(x十y)(2x-y)}的展开式中x的系 合影留念,且甲乙两人均在丙领导人的 数为 ( ) ( 同侧,则不同的排法共有 ) A.-80 B.-40 A.240种 B.360种 C.40 D.80 C.480种 D.600种 10.已知多项式(x-1)十(x十1)= 4.某公园花展期间,安排六名志愿者到4个展 r+ax③十ax②+ax十a,则a= 区提供服务,要求甲、乙两个展区各安排一 1#) ;a十a十a= 名志愿者,剩下两个展区各安排两名志愿 ( 者,不同的安排方案共有 ) 的展开式中的常数项是 A.90种 B.180种 C.270种 D.360种 12.(2})# 的展开式中常数项是 5.若无重复数字的三位数满足条件:①个 位数字与十位数字之和为奇数,②所有 (用数字作答). .24· 13.若(3x-1)=a+a^$}+..+a+$ 14.(2x-3y)*展开式中,求; a。,求: (1)二项式系数之和 (1)a十a十...+a; (2)各项系数之和 (2)a+a+a+a; (3)所有奇数项系数之和; (3)a。+a,+a+a: (4)各项系数绝对值的和 . 25·9.C由题意知，小孔拿了最小的一个，爷 (2)比4n=341小的数有两类： 爷、奶奶、姥爷、姥姥4位老人之一拿了 ①首位是1或2：1☒☒，2☒☒： 最大的一个的拿法有C=4种，其余人 31X ②首位是32☒故共有2×4×4十1×3 的拿法有A=120种，故梨子的不同分 33☒ 法共有4×120=480种. ×4=44(项).因此an=341是该数列 10.CA有4种涂法，B有3种涂法，C有 的第45项，即n=45. 3种涂法，D有3种涂法，共有4×3×3 高二暑假作业（八）排列组合 二项式定理 ×3=108(种)涂法. 知识巩固 11.解析：当m=1时，n=2,3,4,5,6,7,共 二，2.(1)增大减小(2)C号C号C 6个： 3.(1)2”2"-1 当m=2时，n=3,4,5,6,7,共5个； 习题精练 当m=3时，n=4,5,6,7,共4个： 1.A先将两个全科老师分给语文和数学 当m=4时，n=5,6,7,共3个； 各一个，有C2(种)，然后将新的4个语文 当m=5时，n=6,7,共2个 老师分给两个学校C2A(种)，同样的方 故共有6+5+4十3+2=20个满足条 法将新的4个数学老师分给两个学校 件的椭圆. CA(种)，所以共有CCACA=72(种) 答案：20 分配方法 12.解析：因为每个焊接点都有脱落与未脱 2.B由题意，现对两位男生全排列，共有 落两种情况，而只要有一个焊接点脱 A2=2种不同的方式，其中2个男生构成 落，则电路就不通，故共有2一1=63种 三个空隙，把2位女生排在前两个空隙 可能情况 或后两个空隙中，再进行全排列，共有2 答案：63 XA2=4种，所以满足条件的不同的排法 13.解：给3个人安排座位，要求每人左右 共有2×4=8种，故选B. 都有空位.不妨设三人为甲、乙、丙.题 3.C 中隐含条件是5个剩余空位，用○代 4.B第一步，为甲地选一名志愿者，有 表，即◎○○◎○.由题意知中间4处 C=6种选法：第二步，为乙地选一名志 空档可插入人，则第1步，甲可以有4种 愿者，有C。=5种选法：第三步、为剩下 插法；第2步，乙可以有3种插法：第3 两个展区各安排两名志愿者，有CC=6 步，丙可以有2种插法.由分步乘法计 种选法，由分步乘法计数原理，故不同的 数原理知共有4×3×2=24（种）坐法. 安排方案共有6×5×6=180种.故选B. 14.解：(1)111,112,113,114,121,122， 5.D由个位数字与十位数字之和为奇数 123,124,131,132,133. 知个位数字、十位数字1奇1偶，有 ·53· CCA号=50种排法；所有数位上的数字 10.解析：(x一1)3展开式的通项T,+1= 和为偶数，则百位数字是奇数，有C=4 Cx3-·(-1)',(x十1)展开式的通 种满足题意的选法，故满足题意的三位 项TE+1=Cx, 数共有C×CCA2=200(个). 则a1=Cg+C=1+4=5;a2=C(-1)'+ 6.D将5人分成满足题意的3组有1,1,3 C=3; 与2,2,1两种， a3=C(-1)2+C=7:a4=C8(-1)3十 分成1,1,3时，有C·A种分法： 分成2,2,1时，有 Cg·C C=0. A ·A种分法， 所以a2十a3十a,=3+7十0=10. 由分类计数原理得，共有C·A十 答案：510 CC.A=150种不同的分法，故选D, 11.解析：二项展开式的通项为C(x3) A 7.C根据题设中的要求，每名志愿者只分 (-)=C(-1)x”-“(0≤k≤4 配到1个项目，每个项目至少分配1名志 k∈N).令12一4k=0,得k=3,故展开 愿者，可分两步进行安排：第一步，将5 式中的常数项为C(一1)3=一4. 名志愿者分成4组，其中1组2人，其余 答案：一4 每组1人，共有C种分法；第二步：将分 12.解析：(2+2) 的展开式的通项为 好的4组安排到4个项目中，有A种安排 方法.故满足题意的分配方案共有C·A T,+1=C6(x2)-r =C%2x12-r =240(种).故选C. 令12-3r=0,解得r=4,得常数项为 8.C 的展开式的通其内以式为 C2=240. T+1=Cg·(x2)5- =C5·2r· 答案：240 13.解：(1)令x=0,则a。=一1， x10-3r,令10-3r=4,得r=2.故展开式 令x=1,则a,十a6十…十a1十a=22= 中x的系数为C号·22=40.故选C 128.① 9.C由(2.x-y)°展开式的通项公式：T,+1 ∴.a1+a2十…+a7=129. =C5(2x)5-(-y)可得： (2)令x=一1，则 当r=3时，x(2x-y)展开式中x3y3的 系数为C×22×(-1)3=一40 -a7+as-as十a,-a3十a2-a1十ao= 当r=2时，y(2x一y)展开式中x3y的 (-4),② 系数为C2×23×(-1)2=80, 由①，@，得a,十a十a,十a,= 2 则x3y3的系数为80-40=40. 本题选择C选项， 2128-(-4)]=8256. ·54· (3)由①十②，得 习题精练 2 1.B由x2-2.x-8≤0得-2≤x≤4， ao十a2+a4+a6= [128+(-40门= .S={-2,-1,0,1,2,3,4}, -8128. ,=m,.可取的值分别为0,1,4,9， 14.解：设(2x-3y)°=aox+a1xy+ 16,相应的概奉分别为7，号号，，7 a2x2y2+…+agy (1)二项式系数之和为C十C十C号十… 六的数学期望E(》=0X号+1×号+4 +C8=2°=512. ×号+9×号+16×=5.故选B (2)令x=1,y=1,得各项系数之和 2.B由x2-2x-8≤0得-2≤≤4， a0十a1十a2十…十ag=(2-3)9=-1. .S={-2,-1,0,1,2,3,4}, (3)令x=1,y=一1，得 ,=m2,ξ可取的值分别为0,1,4,9， a,-a1十a2-ag十…-ag=5°， 又ao十a1+a2+…十ag=-1, 16,相应的概率分到为7号号，7， 两式相加得a0十a2十a4十a6十a8 =59-1 六的数学期塑E()=0X号十1×号+4 2 ×号+9x+16×号=5.故选B. 故所有寺数项系数之和为”2 3.AEX0=-2+1=-1 2十6=-3 (4):T+1=C%(2x)°-(-3y) E(Y)=E(2X+3)=2E(X)+3= =(-1)2-3C哈x9-y, ∴.a1<0,a3<0,a5<0,a<0,ag<0. 号+8= .ao|+la1|+…+|ag|=ao-a1+a2 4.B依题意知：E(X)=1×(a十b)+2(2a +b)+3(3a+b)+4(4a+b)=a+b+4a 令x=1,y=-1,得a|+a1|+|a2 +2b+9a+3b+16a+4b=30a+10b=3, +…+|a=a-a1十a2-…-a=5. 所以3a+6= 高二暑假作业（九）离散型随机变量的 5.A根据题意得，E()=p,D()=p,(1 分布列及均值与方差 知识巩固 -A)i=1.2.0<A<n< 1.(1)P(X=x,)=p,i=1,2,…,n .E(6)<E(6).令f(x)=x(1-x), (2)①p:≥0(i=1,2,…,n)2.P(X=1) 3.ChC 则(x)在(0,2)上单调递增.…f(p)< min M,n CN f(p2),即D(6)<D(6),故选A. ·55·