高二暑假作业(六) 导数的应用-【步步维赢·优练必刷】2025年高二数学暑假作业

高二暑假作业(六) 导数的应用 (3)设函数f(x)在a,b上连续,在(a,b) 一知=识-巩一固 内可导,求f(x)在a,上的最大值和最 1.函数的单调性 小值的步骤如下: 在某个区间(a,b)内,如果f'(x) 0. ①求f(x)在(a,b)内的 那么函数v三f(x)在这个区间内单调递 ②将/(x)的各极值与 进行比 增;如果f(x) 0,那么函数 较,其中最大的一个是最大值,最小的一 y-f(x)在这个区间内单调递减 个是最小值. 2.函数的极值 (1)判断f(x。)是极值的方法 精一典一例一析一 一般地,当函数f(x)在点x。处连续时 已知函数f(x)=e一a(x十2). ①如果在x。附近的左侧 ,右 (1)当a一1时,讨论f(x)的单调性; 侧 ,那么f(x。)是极大值; (2)若f(x)有两个零点,求a的取值 ②如果在x。附近的左侧 ,右 范围. 侧 ,那么f(x)是极小值 【解】 (1)当a-l时,f(x)-e-x-2 (2)求可导函数极值的步骤 xER,则/(x)-e-1. ①求f'(x); 当x 0时,f(x)<0;当x>0时,f(x)>0. ②求方程 的根; 所以f(x)在(一o,0)单调递减,在(0,十o)单 ③检查f(x)在方程 的根 调递增. 的左右两侧导数值的符号,如果左正右 (2)/'(x)-e-a. 负,那么f(x)在这个根处取得 ①当a<0时,/(x)>0. 如果左负右正,那么f(x)在这个根处取 所以f(x)在(一o,十o)单调递增 得 3.函数的最值 故。f(x)至多存在一个零点,不合题意。 (1)在闭区间[a,b]上连续的函数f(x)在 ②当a>0时,由/(x)-0,可得x=lna. [a,上必有最大值与最小值 当xE(-,lna)时,f(x) 0 (2)若函数f(x)在a,上单调递增,则 当xE(lna,十oo)时,f(x)>0. 为 为函数的最小值, 所以f(x)在(一,lna)单调递减,在 函数的最大值;若函数f(x)在[a,]上单 (lna,十)单调递增 调递减,则 为函数的最大值, 故当x一lna时,f(x)取得最小值,最小值 为函数的最小值, 为f(lna)=-a(1十lna). .16· 4.设函数f(x)是奇函数f(x)(xER)的导 函数,f(-1)=0,当x>0时,xf(x) 在(一,十)至多存在一个零点,不合 f(x)<0,则使得f(x)>0成立的x的取 题意. ( 值范围是 ) A.(-,-1)U(0,1) 因为f(一2)=e>0,所以f(x)在(-, B.(-1,0)U(1,+) lna)存在唯一零点. C.(-,-1)U(-1,0) D.(0,1)U(1,+) 由(1)知,当x>2时,e-x-2>0. 5.若x=-2是函数f(x)=(x^{}十ax-1) 所以当x>4且x>2ln(2a)时,f(x)=e^{}. f-a(x+2)(2)(2+2)-(x+2) e的极值点,则f(x)的极小值为 ( ) -2a>0. A.-1 B.-2e-3 故f(x)在(lna,十co)存在唯一零点. C.5e-3 D.1 从而f(x)在(一,十o)有两个零点 6.函数y=f(x)的导函数y=f(x)的图象 综上,a的取值范图是(,十). 如图所示,则函数y一f(x)的图象可能是 ( ) 习一题一精一练一 ## 1.若函数f(x)一kx-lnx在区间(1,十oo) 单调递增,则的取值范围是 ( #7#:4::# A.(-,-2] B.(-,-1] C.[2,十o) D.[1,十) 7.已知e为自然对数的底数,设函数 2.当x[-2,1]时,不等式ax3-x2}+4x f(x)=(e-1)(x-1)*(=1,2),则 十3>0恒成立,则实数a的取值范围是 ( _~ ) ( B.[#6.-] A.当 =1时,f(x)在x=1处取到极 A.[-5,-3] 小值 C.[-6,-2] D.[-4,-3] B.当 -1时,f(x)在x=1处取到极 3.已知函数f(x)=ax3}-3x^{}十1,若f() 大值 存在唯一的零点x,且x0,则a的取 C.当=2时,f(x)在x=1处取到极 值范围是 ( ) 小值 A.(2,十o) B.(1,十) D.当=2时,f(x)在x=1处取到极 C.(-,-2) D.(-o,-1) 大值 ·17· 8.函数f(x)--3x*+2在区间[-1,1]上的 13.已知函数f(x)=x}-x+^{}。 最大值是 _ ) (1)讨论/(x)的单调性; A.-2 B.0 C.2 D.4 9.已知函数f(x)=ax,g(x)=lnx,存在 tE(0,e,使得f(t)一g(t)的最小值为 3,则函数g(x)-lnx图象上一点P到函 数f(x)三ax图象上一点Q的最短距离 为 ( ) 一 A.- B.2#+1# e+1 C.3#+1 D.1 e十1 10.已知定义在(o,)上的函数y=f(x)的 导函数为f(x),若f'(x)cosx-1=ln (2)若f(x)有三个零点,求的取值 一f(x)sinx,则下列不等式成立的是 范围. ( ) #A.#2f#(#)<f(# .#3#()><#()# C.、3f()<2f()# D#、#3f#(#)#<#()# 11.已知f(x)=2x}-6x}+n(m为常数) 在一2,2上有最大值3,那么此函数在 [-2,2]上的最小值为 e是自然对数的底数,若f(a一1)十 f(2a^{②})<0,则实数a的取值范围是 ·18· 14.已知函数f(x)=12-2。 (2)设曲线y三f(x)在点(t,f(t))处的 (1)求曲线v三f(x)的斜率等于一2的 切线与坐标轴围成的三角形的面积为 切线方程; S(),求S())的最小值 .19.14.解：作出直线2x-y十3=0和曲线y= >0在1十©)上恒成主，由于≥ ln(2x一1)的图像可知它们无公共点，所 以平移直线1使之与曲线相切时，切，点 而0<1<1，所以k≥1，即k的取值范围 到直线（的距离就是曲线上的点到直线 为[1，+∞). l的最短距离.因为y= 2.x-(2x-1) 2.C当x=0时，a.x3-x2十4x十3≥0变 为3≥0恒成立，即a∈R. 2 2.x-1 当x∈(0,1]时，a.x3≥>x-4x-3, 2x-y+3=0 a≥-4x-3 =ln(2x-1) 设p(x)=x-4x-3 设切点为P(xo,y). p'(x)=2.x-40x2-(x2-4x-33z 所以2。气=2，所以=1. -x2-8x-9=-(x-9)(x+1D>0, 所以y=ln(2×1-1)=0, x 所以P(1,0). ·g(x)在(0,1]上递增，g(x)x=g(1)=-6. 所以曲线y=ln(2x一1)上的，点到l:2x ∴.a≥-6. 一y十3=0的最短距离为P(1,0)到直 当x∈[-2,0)时，a≤-4x-3 线l:2x一y十3=0的距离，d= 12×1-0+31=5=5. √22+1 √5 高二暑假作业（六） 导数的应用 仍设g(x)=-4x-3 知识巩固 1.><2.(1)f(x)>0f(x)<0 9'(x)=-（x-9)(x+1) x f(x)<0f(x)>0(2)f(x)=0 当x∈[-2，-1)时，9'(x)<0, ∫(x)=0极大值极小值 当x∈(-1,0)时，9'(x)>0. 3.(2)f(a)f(b)f(a)f(b)(3)极值 ∴.当x=一1时，9(x)有极小值，即为最 f(a),f(b) 小值. 习题精练 而(x)m=g(-1）=1+43-2. -1 1.D由于f)=k-子f)=虹-lnx .a≤-2. 在区间(1，十∞)单调递增台f(x)=k一 综上知一6≤a≤一2. ·48 3.Ca=0时，不将合题意.a≠0时， 是函数f(x)=(x2十a.x-1)e-的极值 f(x)=3ax2-6x,令f(x)=0, 点，所以-2是x2+(a+2)x+a-1=0 得x=0,,= 的根，所以a=一1，f(.x)=(.x2+x一2) a e-1=(x+2)(x-1)e-1.令f(x)>0, 若a>0,则由图象知f(x)有负数零，点， 解得x<-2或x>1,令(x)<0,解得 不符合题意 -2<x<1,所以f(x)在(-o∞，-2)上 则a<0,由图象结合f(0)=1>0知，此 单调递增，在（一2,1）上单调递减，在(1， 时必有（）>0.x号3x+10, 十o)上单调递增，所以当x=1时，f(x) 化简得a2>4,又a<0,所以a<一2，故 取得极小值，且f(x)小值=f1)=一1， 选择A. 选C. 6.D根据题意，已知导函数的图象有三个 4.A设y=g(x)=f八四(r≠0)，则 零，点，且每个零点的两边导函数值的符 g(x)=f)f0,当>0时. 号相反，因此函数∫(x)在这些零点处取 得极值，排除A、B;记导函数f(x)的零 xf(x)-f(.x)<0, 点从左到右分别为1，x2,x3,又在 ∴.g'(x)<0,.g(x)在(0，十∞)上为减 (-∞，x1)上f(x)<0,在(x1,x2)上 函数， f(x)>0,所以函数f(x)在（一o∞，x1)上 且g(1)=f(1)=-f(-1)=0. 单调递减，排除C,故选D. f(x)为奇函数，∴.g(x)为偶函数， 7.C当k=1时，f(x)=(e-1)(x-1), .g(x)的图象的示意图如图所示. f(x)=xe-1,f(1)≠0，故A、B错；当k =2时，f(x)=(e-1)(x-1)2,f(x)= (x2-1)e-2x+2=(x-1) [(x+1)e-2],故f(x)=0有一根为 x1=1,另一根x2∈(0,1). 当x∈(x2,1)时，f(x)<0,f(x)递减， 当x>0,g(x)>0时，f(x)>0,0<x<1, 当x∈(1，+∞)时，f(x)>0,f(x)递 当x<0,g(x)<0时，f(x)>0,x<一1， 增，.f(x)在x=1处取得极小值.故 .使得f(x)>0成立的x的取值范围是 选C. (-o∞，-1)U(0,1),故选A 8.C:f(x)=3.x2-6x,令f(x)=0,得 5.A因为f(.x)=(x2+a.x-1)e1,所以 x=0或x=2.∴.f(x)在[-1,0)上是增 f(.x)=(2.x+a)e-1+(.x2+a.x-1)e1= 函数，∫(x)在(0,1]上是减函数. [x2+(a十2)x十a-1]e-1.因为x=-2 .f(x)x=f(x)枚大位=f(0)=2. ·49 9.C h()=ax-In x,h'(x)=a-1 f(z)cos x-f(x)(-sin x)_ cos'x (1)当a≤0时，h'(x)<0.所以h(x)在 (0,e]上单调递减. 1+ln工，由 cos'r <<受解得<< e '(x)>0, A(x)m=he)=ae-1=3,a=（含去). 0∠ a(+-t) 由 解得0<1<。所以通数 (2)当a>0时，h'(.x)= g'(x)<0, ①当0a≤是时，>e,h)<0在0.e gx)在(o,)上单调递减，在（日，）上 恒成立，所以h(x)在(0，e]上单调递减. 单洞递增.因为>吾>。，所以g》 (x)n=h(e）=ae-1=3,a=（含去). >g(所以 )、】 ,即 ②当a>时，0<<e, cos 6 当0<x<时，(x)<0,所以h(x)在 3f()>f(),B错，D正确.同理因 a (0,上单调递减， 为>吾>。所以()>引所以 当上<x<e时，h'(x)>0,所以h(x)在 ) cos 0s ,即3f>2f)C (e上单调递增. 错.因为号>至>。，所以g(5)> =1+In a=3,a=e 所以 ()、f) 满足条件 π 即2f(号】 设与直线f(x)=ex平行的直线与 s3 cos g(x)=lnx相切，切，点为(xo,lnxo),则 >f()A错，故选D, e=1,所以x= 1 e. 11.解析：f(x)=6.x2-12x=6x(x-2), 所以切点为 (侵，一2)，所以最短距离为 f(x)在(-2,0)上为增函数，在(0,2) 上为减函数， e×3+2 .当x=0时，f(x)=m最大. e d= √e+1 3e+1.故选C. e+1 .m=3,从而f(-2) =-37,f(2)=-5..最小值为-37. 10.D 令g(x)=,则g(x）= cos x 答案：-37 ·50· 12解桥：由f()=2-2x十e-之得 十∞)单调递增，f(x)不可能有三个 零点 f(-x)=-x2+2x+1-e=-f(x), e 当>0时，工=-为f(x)的极大 3 所以f(x)是R上的奇函数，又f(x)= 值点， 3-2+e+>≥82-2+2· =为fx)的板小值点 3 3x2≥0，当且仅当x=0时取等号，所以 f(x)在其定义域内单调递增，所以不等 此时，一-1<-3√<k十1 3 3 式f(a-1)+f(2a2)≤0台f(a-1)≤ 且f(-k-1)<0,f(k+1)>0. -f(2a2)=f(-2a2)台a-1≤-2a2,解 3k>0. 3 得-1≤a≤2，故实数a的取值范国 根据f(x)的单调性，当且仅当f 3k <0, [-1,] 即_2k,3歌<0时，)有三个零点， 答案：[-1，] 9 13.解：(1)f(x)=3x2-k. 解得 当k=0时，f(x)=x3,故f(x)在（一∞， 因此的取值范国为0,2) 十∞)单调递增. 当k<0时，f(x)=3x2-k>0,故f(x) 14.解：(1)f(x)=-2x, 在（一∞，十∞）单调递增. 令f(x)=-2,得-2x=-2, 解得x=1,f(1)=12-1=11, 当>0时，令f()=0,得x=士 所以切点为(1,11)， 切线方程为y一11=一2(x一1)， 当x∈ 3k 时，f(x)>0: 3 即2.x+y-13=0. 当x∈ √3k3k 时，f(x)<0; (2)二次函数f(x)=12-x2为偶函数， 3'k 其图象是开口向下的抛物线，且关于y 当x∈ /3k 时，f(x)>0. 轴对称，故只需考虑一侧的情形即可. 3 不妨考虑x>0时的情形. 故f(x)在 ,+单 3 设切点为(t,12一t),t>0,可求得切线 调递增， 方程为y-(12-t2)=-21(.x-t), 得y=-2t.x十t2+12, 3k 3k 3,3 单调递减。 所以切线与坐标轴的交点分别为A(0, (2)由(1)知，当k≤0时，f(x)在（一∞， 2+12), ·51 是4时，有3个偶数.所以共有4十3十3 10(个)偶数. S)=210A·10B1=2· 1.2+12. 2t 4.A安排人员去甲地可分为两步：第一步 (2+12)=+2412+144 安排教师，有C。种方案：第二步安排学 4t 生，有C种方案，其余的教师和学生去 S()=31+24-144= 乙地，所以不同的安排方案共有C·C 42 =12种，选A. 3(2+12)(t2-4) 47 5.A确定第二象限的点，可分两步完成： t,S(t),S(t)的变化情况如下表所示： 第一步确定a,由于a<0,所以有3种 方法； (0,2) 2 (2,十c∞) S'() 0 第二步确定b,由于b>0,所以有2种 S() 极小值 方法。 故当t=2时，S(t)取得最小值，为S(2) 由分步乘法计数原理，得到第二象限的 =32. ,点的个数是3X2=6. 高二暑假作业（七） 分类加法计数原理与 6.B将4个人重排，恰有1个人站在自己 分布乘法计数原理 原来的位置，有C种站法，剩下3人不站 知识巩固 原来位置有2种站法，所以共有CX2= m+n mXn 8种站法。 习题精练 7.D法一：在物理、政治、历史中选一科的 1.C 可分三类： 选法有CC=9种；在物理、政治、历史 一类：语文、数学各1本，共有9×7 中选两科的选法有CC=9种；物理、政 63种； 治、历史三科都选的选法有1种.所以学 二类：语文、英语各1本，共有9×5= 生甲的选考方法共有9十9十1=19种，故 45种： 选D. 三类：数学、英语各1本，共有7×5= 法二：从六科中选考三科的选法有C 35种； 种，其中包括了没选物理、政治、历史中 ∴.共有63+45+35=143种不同选法. 任意一科，这种选法有1种，因此学生甲 2.D当且仅当偶数加上奇数后和为奇数， 的选考方法共有C-1=19种，故选D. 从而不同情形有5×5=25（种）. 8.C自由选择去四个工厂有43种方法， 3.C由题意，知末尾数字是0,2,4时为偶 甲工厂不去，自由选择去乙、丙、丁三个 数.当末尾数字是0时，有4个偶数；当末 工厂有3种方法，故不同的分配方案有 尾数字是2时，有3个偶数；当末尾数字 43-33=37种. ·52·