高二暑假作业(三) 等比数列及其前n项和-【步步维赢·优练必刷】2025年高二数学暑假作业

高二暑假作业（三） 等比数列及其前n项和 A.12 B.24 知-识巩固 C.30 D.32 1.等比数列的定义 (2)记Sn为等比数列{an}的前n项和. 如果一个数列从第 项起，每一项与它 的前一项的比等于 常数，那么这 若4，-a,=12,a。-a,=24,则=( ) 4 个数列叫做等比数列，这个常数叫做等比 A.2"-1 B.2-21-” 数列的 ,通常用字母 表示. C.2-2"-1 D.21-w-1 2.等比数列的通项公式 【解析】 (1)设等比数列{an}的公比 设等比数列{an}的首项为a1,公比为q, 为q 则它的通项an= a十a,十a=2 =2, 3.数列求和的常用方法 则q a1十a2十a3 1 (1)公式法 所以a6十a,十a8=(a1十a2十a3)·q=1X a.直接用等差、等比数列的求和公式 25=32.故选D, 求和. (2)法一 设等比数列{an}的公比为 b.掌握一些常见的数列的前n项和. (2)倒序相加法 g,则g=6二8=告=2. a5-a312 如果一个数列{an},与首末两端等“距离” 由a5-ag=a1q-a1q2=12a1=12得 的两项的和相等或等于同一常数，那么 a1=1. 求这个数列的前n项和即可用倒序相加 法，如 数列的前n项和即是用 所以a,=a1g1=21,Sn=a1-g） 1-q 此法推导的， =2”-1, (3)错位相减法 如果一个数列的各项是由一个等差数列 所以三 a -22 和一个等比数列的对应项之积构成的， 法二 设等比数列{an}的公比为q, 那么这个数列的前n项和即可用此法来 a3g-a3=12,① 求，如 数列的前n项和就是用 则 aq-a=24,② 此法推导的， 一精典例一析 鲁4号-q-2 as 将q=2代入①，解得a3=4. (1)设{an}是等比数列，且a1十a2十a3 =1,a2十a3十a4=2,则a6十a,十ag= 所以a,==1,下同法一. 【答案】 (1)D (2)B 习题精练 A.2 B.-√2或2 C.√2 D.-2 1.设等比数列{an}的前n项和为Sn,S2= 7.5个数依次组成等比数列，且公比为一2， -1,S4=-5,则S= ( 则其中奇数项和与偶数项和的比值为 A.-9 B.-21 C.-25 D.-63 1 2.在等比数列{an}中，a3,a5是方程x2十6x .一20 B.-2 +2=0的根，则44的值为 C.-21 10 D A. 2+2 2 B.-√2 8.1+1+2》+(1++)+…十 C.√2 D.-√2或√2 1+++…+品)的值为( 3.若等比数列{an}的各项均为正数，且前 4项的和为9，积为，则前4项倒数的 A8+员 B.20+ ?10 和为 C2+品 D.18+ 2 N.2 B号 9.各项均不为零的等差数列{an}中，a1=2, C.1 D.2 若a-a,1-a+1=0(n∈N”,n≥2)，则 4.已知a1,a2,a3,a4依次成等比数列，且公 S201,等于 () 比q不为1.将此数列删去一个数后得到 A.0 B.2 的数列（按原来的顺序）是等差数列，则 C.2017 D.4034 正数q的值是 ( ) 10.已知数列{an}满足a1a2a3…an A.1+⑤ B.±1+⑤ 2 2 =2”(n∈N),且对任意n∈N“都有 C,±1+B 工+1十…十1<，则t的取值范围为 2 n生8 a,az 5.已知等比数列{an}满足a1=1,a3·a5= 4(a4-1),则a,的值为 A(3,+） B[3+) A.2 B.4 c. D.6 c(号+）D[号+ 6.等比数列{an}中，a2,a16是方程x2+6.x十 11.已知数列{an}的前n项之和为S.,满足 2=0的两个实数根，则的值为 =-2,+1一6，=()则数列 {cn}的通项公式为 ·8 12.已知数列a消足：号+学+学+… 14.设等比数列{an}满足a1十a2=4,ag一 27 a1=8. 1 =n(n∈N”),数列 log2an·log2a.+1 的前 (1)求{an}的通项公式； n项和为Sn,则S,= 13.已知数列{am}为公差不为零的等差数 列，a2=3且a1,a3,a成等比数列. (1)求数列{an}的通项公式； (2)记S为数列{loga}的前n项和. (2)若数列(6，}满足b,=10a,a,1十’ 10 若Sm十Sm+1=Sm+3,求. 记数列{bn}的前n项和为Sn,求 证S,< ·9·7×(1+13) -58. 13.解析:(1)设a。的公差为d +1+3+..+13-9+ 2 因为a。+a。-5ln2,所以2a +3d 故选B. 5ln2. 8A 由等差数列前n项和公式得, 又a-ln2,所以d-ln2. 11(a.十au) 所以a.=a+(n-1)d-nln2 9(a十a) 9a (2)因为“-eln2-2, a. e{。 2 eln2-2, 所以e是首项为2,公比为2的等比 9.A 由题意不妨设S.=n(2n-1), 数列. T.=n(n十1). 1-2 所以e“十e:十..十e。-2× 所以a-S-S.=12x23-11t21$ 1-2 -45, 2(2-1). $=T-T=6$(6+1)-5$(5+1)= 14.(1)解:当n-1时,由(1-q)S+qa= 1,得a.-1. ,故选A. 当n2时,由(1-q)S+qa.=1,得(1-q) 10.B 令b=na.,则2b.-b+b(n>2). S.-+q-,-1. 所以b为等差数列,因为b=1,b= 两式相减,得a.三qa-.又因为q(q- 4,所以公差d-3,则b-3n-2,所以$b$$ 1)去0,所以q去0且g去l; -52,即18ats-52,所以a18- 所以a。是以1为首项,g为公比的等 比数列, 11.解析:设等差数列a.)的公差为d,则a 故数列a.)的通项公式a.-q”-1. +^}=a+(a.+d)②=-3,S-5a+ 1-aH $0$d-10,解得a=-4,d-3,则a= (2)证明:由(1)可知S一 1-9 +8d--4+24-20. 1-a9十 又由题意得S+S一2S。,即 答案:20 1-# 12.解析:2a=a+a (n>1,nEN*), 1-△2(1-aq) 1- 1-q .数列a。为等差数列,设公差为d, 化简得a{十a=2a。,两边同时除以q, “.+-6,.2a-6,解得a-3,又 得a。+a-2as. a=(a -d)(a+d)-9-d-8. 故a。,a。,a成等差数列. '^{}-1,解得d-1或d=-1(舍去). 高二暑假作业(三)等比数列及其前项和 'a=a+(n-5)x1=3+(n-5)=n-2. 10×9 知识巩固 '=-1,S。-10a+ ### 2-35. 1.二 同一个 公比2.a·”-) 答案:35 3.(2)等差(3)等比 . 42· 习题精练 5.B 根据等比数列的性质可得a{a{-a^② 1. B 由等比数列性质得S,S-S.S-S '^}=4(a -1),即(a-2){②}=0,解 成等比数列,即-1×(S+5)=(-5+1)^}; 得a-2, ..S--21,故选B. 又:a-1,a-a-4, 2.B 设等比数列a.的公比为q,因为a。; 'a-4,故选B. a是方程x^{}+6x十2=0的根,所以a· 6. B .a。,是方程x2+6x+2-0的根, as=^{}-2,+a15=-6,所以a<0,$$ '+a=-6,·6=2, .a<o.a<o. a15<0,则a。=-2,所以21 a。 即a>0,q<0或a<0,q>0, a。=一2,故选B. a 3.D 设等比数列{a.的首项为a.,公比为 7.C 由题意可设这5个数分别为a,-2a, 4a,一8a,l6a,a关0,故奇数项和与偶数 a+4a+16a 所以^{1一# 项和的比值为 -2a-8a ,故 选C. 8.B 2-r #(1) #×1#(#(1#一)一2,分 1- 1-} 选D. 组求和可得 #1#()2-#-2# 4.B 因为公比q不为1,所以删去的数不 是a,a,①若删去a。,则由2a=a,+a S-2n- 1 得2aq{}-a+aq^{},又a-0,所以2q^{}= l+^$③},整理得q^{}(q-1)=(q-1)(q+1). 又q1,所以q{}=q+1,又q→0,得q 选B选项. 1+5 ### ;②若删去a,则由2a{=a十a。得 9.D.数列a.为等差数列, 且^}-a-1-a,-o(n<N*,二2), $$aq=a +aq^{},又a-0,所以2q=1+q$},$$ 整理得q(q+1)(q-1)=q-1.又q1. 则^{}-a-1+a,=2a,a-2a.=0, 则可得q(q十1)=1,又q→0,得q= 又a.≠0,'.a.=2(n2), 士1十5 -1+5 “.a-2..=2,nN, .综上所述,q二 2,故 2 .$o1=2017×2-4034. 选B. 故选D. · 43· 10.D .数列{a满足aaa..a=2n?(n 答案:-#(2-) <N ),.”=1时,,=2;n2时, ,可得a-。 2” 12an-1-2(-1)} ## 2~_1){ n(nN*),① -2. 为等比数列,首 n-1(n2),② (1)# 所以数列 1 的通项 1-# loga.· loga1 a 2 7 loga.·log+1 n(n+1)= #(1-)# 11 1+1.1< n7n1' .对任意nN都有 2 2+23 77 -77 n+1n+1 11.解析:由题意可得a=-2a+1- 3 答案:_ 13.解:(l)由题意,a^{}=aa,(a+d){②} (a-d)(a+5d),即(3十d)②}=(3-d) (3+5d),即6d②}-6d-0. :d0,d-1,a-2,a=n+1. 10 (2)由(1),知b。二 10(n+1)(n+2)+1 #(3)-()#。一# ___ 两侧式子变形为 (n十1)(n+2) 3X2”-T,则C= 故$一年61+1 #.11 累加可得-(2-). ·44· 14.解:(1)设a.)的公比为q, '.△s=s(t+△t)-s(t)-3(3十△t) 则a.-aq”-. 3$ 3{-18△ +3( )^}. a+aq-4, [a-1, 由已知得 解得 a^{-a-8. (q-3. ._#一 A-lim(18+3△t)=18,故选B. 所以{a)的通项公式为a.-3”-}. △r→0 (2)由(1)知loga.=n-1. (0+△x)-3(0+Ax)-0^{}+3$$$ △r 故S.n(n-1) (△)-3△r-lim(△r-3)=-3.故选C. -lim △r 由 S +S+=S+得 m(m-1) 5.B f(x)图象过原点,.'.f(0)=0, +(n+1)n f(o十△x)一f(0) f(△x) '.f(o)-lim 7~→0 -(m+3)(m+2). △r 即m^②}-5m-6-0. 一-1,故选B. f(x)-lim f(x十△x)-f(x)2 解得n--1(含去)或n-6 6.D △-0 △r 高二暑假作业(四) 导数的概念及几何意义 是有一- 知识巩固 n f(x十△x)-f(x。) limy 1.(1)lim 7.B 由导数的几何意义可知选项B正确. △7 m△ f(1)-f(1-2△x) 8.B f(x。十△x)一f(x。) 2△x lim △x lm f(1-2△x)-f(1) =f(1)--1. 切线的斜率 (2)(x。,f(x。)) -2△t -f(x。)-f'(x。)(x-x。) [3](+)第} ]-(12) 9.B.-lim limf(x十△x)一f(x) △ △2 2. △x ## im#2+#+)( )]}}, 习题精练 △~0 .切线的斜率 -y--1. .△y_ 1.D 当f(x)一b时,瞬时变化率lim △x b-bo,所以f(x)的图象为一条 lim△ lim 10.D 由题意,y=f(x)一sinx. 直线. sin({+△)-sin 则”()_ 2.B 从4m到9m这一段金属棒的平均 △ f(9)-f(4)3(9-4) -1n0 线密度是 cos△x-1 9-4 9-4 当△x→0时,cos△x→1. .#f#({)0. 3.B ·:s(t)-3t^②,t.-3 ·45·