高二暑假作业(一) 数列的概念与简单表示-【步步维赢·优练必刷】2025年高二数学暑假作业

高二暑假作业(一) 数列的概念与简单表示 一知识-巩一固 一精一典一例一析一 1.数列的定义 设数列{a满足a.-3,a,-3a-4n. 按照 排列着的一列数称为数 (1)计算a。,a。,猜想a。的通项公式并 列,数列中的每一个数叫作这个数列 加以证明; 的项. (2)求数列2“a。)的前n项和S。 2.数列的分类 【解】 (1)a。-5,a-7.猜想a.-2n+1. 分类原则 类型 满足条件 证明如下: 有穷数列 项数 由已知可得a,-(2n+3)-3a-(2n+1)] 按项数分类 项数 无穷数列 a.-(2n+1)-3[a,-(2n-1)], ....... 递增数列 a.a. 按项与项间 其中 a-5-3(a.-3). 的大小关系 递减数列 a. nEN 分类 因为a-3,所以a-2n+1. 常数列 a,-a. (2)由(1)得2”a.-(2n+1)2”, 存在正数M,使 有界数列 所以S=3×2+5×2+7×2+...+(2$ la.l<M 按其他 +1)×2”. ① 标准分类 a.的符号正负相间. 摆动数列 从而2$.-3×2+5×2+7×2 +...+(2$ 如1.-1.1.-1... +1)×2”+1. ② 3.数列的表示法 ①一②得 数列有三种表示法,它们分别是 -$-3×2+2×2②+2×2+..+2×2- 和 (2n十1)×2”1. 4.数列的通项公式 如果数列a。)的第n项a。与之间的 所以S-(2n-1)21+2. 函数关系可以用一个式子 来表 一习一题一精一练 示,那么这个公式叫做这个数列的通项 公式. 1.在数列a.中,a.=n}-9n-100,则最小 5.S.与a.的关系 的项是 。 ) A.第4项 S,n-1. B.第5项 已知S,则a.二 C.第6项 D.第4项或第5页 7.在数列(a.)中,已知a=2,a=7,a等 2.数列(a):1,-.-9 于aa(nEN)的个位数,则a2o15= ( 项公式是 _ ( ~ A.a._(-1)”2n-(n N* ) A.8 #ntn B.6 C.4 D.2 B.a=(-1)-1 2n+1 -(nEN) 3+3n a a1 C.a=(-1)”#2n-1(neN) #n+2n# ,则数列a.)的通项a。=__ a.·an+1 D.a=(-1)“-1 2n+1 n}+2n -(nN ) 3.已知数列(a)满足a=1,a,=a^{}-2 。 +1(nN*),则a2o19= ( 则a.)的通项公式a.= ) A.1 10.已知数列a满足a=1,a.-a= B.0 naa(nN'),则a.= C.2019 D.-2019 11.在数列a.)中,a.=1,对于所有的n2 4.若数列a.)的通项公式是a.=(一1)”· nEN,都有a·a·...·=n}}, (2n-1),则a+a+a十..-十aoo= 则a。十as- ( ) A.-200 B.-100 C.200 D. 100 2n+5,nN*,则a.= 5.已知数列a。)的前n项和为S.=n2}-2n 13.根据下列条件,确定数列a。的通项 公式. ( 士2,则数列a)的通项公式为 ) (1)a-1,a,-3a.+2; A.a.-2n-3 (2)a-1,a,=(n十1)a; B.a.-2n十3 (3)a;2,a-a+1n(1+). (1,n-1, C.a二 2n-3,n2 [1,n-1. D.a.二 2n+3,n>2 6. 已知数列a 满足a=0,a= 2/a.十1+1,则a13= ( ) A.143 B.156 C.168 D.195 。2. 14.设数列a.的前n项和为S.已知a (2)若aa,nN,求a的取值 a(aéR且a≠3),a+1=S.+3”, 范围. nN. (1)设6=S一3,求数列的通项 公式; 。3.参考答案 高二暑假作业（一）数列的概念与简单表示 8.解析：数列{a,}满足a,=1,1=3 知识巩固 anan+l 4 1.一定顺序2.有限无限3.列表法 X n·am+1 图象法通项公式法 4.n f(n) 可得：a+1=3a,+4,即a+1十2=3(an十2)， 5.Sn-Sm-1(n≥2) 所以数列{a,十2}是以3为首项以3为公 习题精练 比的等比数列，所以am十2=3”，可得 1.D a,=(- 912 81-100 an=3"-2(n∈N). 故答案为：3”一2(n∈N"). ∴.n=4或5时，4n最小. 答案：3"-2(n∈N") 3 2.D观察数列{a,}各项，可写成：父3' 9.解析：当n=1时0=S=34十号， 579 2X4'3X5一4X6,故选D. ∴.a1=1. 3.Aa1=1,.a2=(a1-1)2=0,a3= 当n≥2时，a,=S.-51=专a, (a2-1)2=1,a4=(a3-1)2=0,…,可知 数列{an}是以2为周期的数列， 30-1, ∴.a219=a1=1. 'dr= 1 4.D由题意知，a1十a2十a3十…十a1w=一1 an-1 2 +3-5+7+…+(-1)10(2×100-1)= ∴数列{an}为首项a1=1,公比q=- (-1+3)+(-5+7)+…+(-197+ 199)=2×50=100.故选D. 的等比数列，故a,=().(n∈N) 5.C当n=1时，a1=S1=1,当n≥2时，an 答案：-2(neN*) =Sn一S。-1=2n-3,由于a1的值不适合 上式，故选C 10解析：由已知得1-1 an+l a 6.C由aw+1=am+2√an+1+1得am+1十 1-1=-1,1-1=-2, 1=(an十I+1)2,所以√an+1十I an an-1 an-1 an-2 √an+1=l,又a1=0,则√an十I=,an= 11=1, az a n2-1,则a13=132-1=168. 1-1=(n-1D,1=n2-n+2 an a 2 a 2 7.D由题意得a3=4,a1=8,a5=2,a6=6, a7=2,ag=2,ag=4,a10=8.所以数列中 .. n-n+2(n∈N*) 2 的项从第3项开始呈周期性出现，周期 为6，故a2015=a335×6+5=45=2. 答案：7一n+2 2 (n∈N) ·39· 11.解析：由题意知a1·a2·a3·…·am-1 3)a.1=a,+ln1+): =(n-1)2, a,=(n”7）(n≥2)，a,+a,= a-a.=l1+)=h" (+(- a,a=na1-a 答案 In 7-1 n-2' 12.解析：在241 2+…+1 a,=2n+5 az-a=In 中，用n一1代换n得24十242十…十 d.-d-In "+ n-2 2a,-1=2(n-1)十5(n≥2)，两式相 n号-n 减得24，=2d,=2r,又号4=7，即 又a1=2,∴.an=lnn+2.(n∈N) 14.解析：(1)依题意，Sn+1一Sm=aa+1 14,n=1, a1=14,故an= 2+1,n≥2. (nEN*) =Sm+3, 即Sn+1=2Sn十3”，由此得Sn+1一3+1= 14,n=1, 答案： (n∈N) 2(Sn-3"), 2+1,n≥2. 又S一3=a-3(a≠3)，故数列{Sn一3”》 13.解析：(1)am+1=3an十2， 是首项为a一3，公比为2的等比数列， .am+1+1=3(an+1) 因此，所求通项公式为bn=S。一3”= 0t=3, (a-3)2-1,n∈N“. a,+1 (2)由(1)知S=3”+(a-3)2"-1, ∴.数列{am十1}为等比数列，公比q=3, n∈N*, 又a1十1=2， 于是，当n≥2时，an=Sm-S。-1=3”十 .an+1=2·3"-1, (a-3)2"-1-3"1-(a-3)2"-2=2X ∴.an=2·3"-1-1.(n∈N+) 3-1+(a-3)2"-2, (2)a,+1=(n十1Da,0,=n十1. a+1-am=4X3-1+(a-3) =n1=n-1…2=3 2[12(2)+a-3], an-1 dn-2 a2=2,a1=1. 当n≥2时，a1≥a,12·(】 a a-3>≥0台a≥-9. 累乘可得，an=nX(n-1)X(n-2) 又a2=a1十3>a1 ×…×3×2×1=n! 综上，所求的a的取值范围是[一9,3) 故an=n!.(n∈N) U(3,十∞). ·40·