精品解析：山东省潍坊昌邑市2024-2025学年下学期八年级期中数学试卷

2024-2025学年度第二学期期中学业质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分．每个小题四个选项中只有一项正确） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 2. 下列运算正确是（ ） A. B. C D. 3. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 4. 下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 5. 下列说法正确的是（ ） A. 所有的无限小数都是无理数 B. 带根号的数都是无理数 C. 是最小的无理数 D. 数轴上的每一个点都表示唯一一个实数 6. 测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（ ） A. B. C. D. 7. 若关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 8. 如图，四个全等的直角三角形镶嵌成正方形，已知大正方形的面积是36，小正方形的面积是4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边，则下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 9. 如图，在平面直角坐标系中，顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 10. 在同一平面内，如果两个多边形（含内部）有除边界以外的公共点；则称两多边形有“公共部分”．如图，若正方形由9个边长为1的小正方形镶嵌而成，另有一个边长为1的正方形与这9个小正方形中的m个有“公共部分”，则m的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果） 11. 若，则的平方根是__________． 12. 已知点位于第三象限，则a的取值范围是________． 13. 若成立，则x的取值范围是__________． 14. 在中，，，点Q在直线上，且，则线段的长为__________． 15. 阅读材料： 小华在学习分式运算时，发现：，，，… 在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律、发现： ；； ；…… 如果的小数部分为，那么整数部分为__________． 三、解答题（共8小题，共75分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1） （2） （3） 17. 解不等式（组），把它的解集表示在数轴上，并写出必要的文字步骤． （1）解不等式； （2）解不等式组． 18. （1）若，则用含a的代数式表示； （2）若，求的值． 19. 如图，在四边形中，，，，，点E是的中点，且，连接． （1）判断的形状并证明； （2）求四边形的面积． 20. 用两种方法比较与的大小． 21. 国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录，成全球动画电影票房榜首．某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售，若购进“哪吒”纪念品1件和“敖丙”纪念品2件共需要70元；若购进“哪吒”纪念品3件和“敖丙”纪念品1件共需要110元． （1）求购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要多少元？ （2）该商场计划用不超过3100元的资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件，求最多购进“哪吒”纪念品多少件？ （3）在（2）的条件下，若每件“哪吒”纪念品的售价为40元，每件“敖丙”纪念品的售价为25元，销售完这120件纪念品所获得的利润不低于940元，则该商场有哪些可行的进货方案？ 22. 小亮：我在一本数学资料上发现了一个新方程，我认为，但我不知道怎样解，我也不知道这样方程的名称． 小莹：我们问问Deepseek吧！ Deepseek展示：形如，方程中含有根式，且根式中含有未知数，这样的方程叫做无理方程．解无理方程的方法是通过平方等方法转化为整式方程，例，两边平方可得，则． 请阅读上述材料解决下列问题： （1）解方程； （2）请回顾一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、无理方程的求解过程，写出三条你对解方程的认识． 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点C从原点沿y轴正半轴以每秒1个度运动，运动时间为t． （1）请在平面直角坐标系中画出点A、点B并求出线段的长度； （2）当时，求点C到线段的距离； （3）当点C运动到某一位置时，为等腰三角形，请画出此时点C位置并直接写出t的值． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 2024-2025学年度第二学期期中学业质量监测 八年级数学试题 注意事项： 1．本试题满分120分，考试时间为120分钟； 2．答卷前，请将试卷和答题纸上的项目填涂清楚； 3．请在答题纸相应位置作答，不要超出答题区域，不要答错位置． 一、选择题（10小题，每小题3分，共30分．每个小题四个选项中只有一项正确） 1. 下列各式是最简二次根式的是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了最简二次根式的定义，能熟记最简二次根式的定义是解此题的关键，满足下列两个条件的二次根式叫最简二次根式：被开方数中的因数是整数，因式是整式，被开方数中不含有能开得尽方的因数和因式．根据最简二次根式的定义逐个判断即可． 【详解】A. 是最简二次根式，故本选项符合题意； B 的被开方数中含有能开方的因数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； C. 的被开方数中含有能开方的因式，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； D. 的被开方数中的因数不是整数，不是最简二次根式，故本选项不符合题意； 故选：A． 2. 下列运算正确的是（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，算术平方根和立方根，掌握相关运算法则是解题关键．根据二次根式的性质、算术平方根和立方根化简各数即可． 【详解】解：A、，原计算错误，不符合题意； B、，原计算错误，不符合题意； C、，原计算错误，不符合题意； D、，原计算正确，符合题意； 故选：D． 3. 如图，根据尺规作图痕迹，图中标注在点A处所表示的数为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查实数与数轴，勾股定理．先求出圆的半径，结合点A在表示1的数的左侧，即得出点A处所表示的数． 【详解】解：根据勾股定理可得圆的半径为， ∴点A处所表示的数为． 故选：B． 4. 下列判断正确的是（ ） A. 若，则 B. 若，则 C. 若，则 D. 若，则 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了不等式的性质，（1）不等式的两边同时加上（或减去）同一个数或同一个含有字母的式子，不等号的方向不变；（2）不等式的两边同时乘（或除以）同一个正数，不等号的方向不变；（3）不等式的两边同时乘（或除以）同一个负数，不等号的方向改变．根据不等式的基本性质，逐项判断即可． 【详解】解：A．若，则，故原判断错误； B．若，当，时，，故原判断错误； C．若，且，则，故原判断错误； D．若，则，故原判断正确； 故选：D． 5. 下列说法正确的是（ ） A. 所有的无限小数都是无理数 B. 带根号的数都是无理数 C. 是最小的无理数 D. 数轴上的每一个点都表示唯一一个实数 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了有理数，无理数，绝对值，实数与数轴．根据有理数定义：整数和分数统称为有理数，无理数的定义：无限不循环小数称为无理数，绝对值，实数与数轴依次进行判断即可得． 【详解】解：A、所有的无限不循环小数都是无理数，本选项不符合题意； B、带根号的数不一定都是无理数，如是有理数，本选项不符合题意； C、没有最小的无理数，本选项不符合题意； D、数轴上的每一个点都表示唯一一个实数，本选项符合题意； 故选：D． 6. 测量一种玻璃球的体积，小亮的方法是：①将的水倒进一个容量为的杯子中；②将四颗相同的玻璃球放入水中，结果水没有满；③再将一颗同样大小的玻璃球放入水中，结果水满溢出．根据这个现象，小亮判断这样的一个玻璃球的体积可能是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题主要考查了不等式组的应用．先设一个球的体积为，根据4个球排开水的体积不到，5个球排开水的体积超过得出不等式组，求出解集即可． 【详解】设一个球的体积为，根据题意，得 ， 解得， 观察四个选项，一个玻璃球的体积可能是． 故选：C． 7. 若关于的不等式组的整数解共有个，则的取值范围是（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】先求出每个不等式的解集，再根据不等式组的整数解共有个，写出这3个整数解，即可得到的取值范围．本题考查一元一次不等式组的整数解，解答本题的关键是明确解一元一次不等式的方法． 【详解】解：， 解不等式①，得：， 解不等式②，得：， 不等式组的整数解共有个， 这三个整数解，， ， 故选：B． 8. 如图，四个全等的直角三角形镶嵌成正方形，已知大正方形的面积是36，小正方形的面积是4．若用x、y表示直角三角形的两条直角边，则下列式子错误的是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了勾股定理、完全平方公式等知识．根据大正方形的面积和勾股定理可判断B选项式子；根据小正方形面积得到小正方形的边长可判断A选项式子；根据大正方形的面积与小正方形的面积的差可判断D选项式子；根据完全平方公式特点即可判断C选项式子． 【详解】解：大正方形的面积是36， x、y表示直角三角形的两条直角边， ，B选项式子正确，不符合题意； 小正方形的面积是4， ，A选项式子正确，不符合题意； 大正方形面积是36，小正方形的面积是4， 四个全等的直角三角形的面积和为， ， ，D选项式子正确，不符合题意； ， ，C选项式子错误，符合题意； 故选：C． 9. 如图，在平面直角坐标系中，的顶点在轴上，顶点在轴上，，轴，点的坐标为，作关于直线的对称图形，其中点的对称点为，且交轴于点，则点的坐标为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题主要考查了坐标与图形，轴对称，三角形全等的判定和性质，勾股定理等知识点，先证出四边形是矩形，由点C的坐标和轴对称变换可证出，再由勾股定理即可得出的长，进而即可得解，熟练掌握轴对称的性质是解决此题的关键． 【详解】∵，轴，， ∴四边形矩形， ∵点的坐标为， ∴，， ∴由轴对称变换可知，，， 又∵， ∴， ∴， ∴在中， ∵， ∴， ∴， ∴， 故选：A． 10. 在同一平面内，如果两个多边形（含内部）有除边界以外的公共点；则称两多边形有“公共部分”．如图，若正方形由9个边长为1的小正方形镶嵌而成，另有一个边长为1的正方形与这9个小正方形中的m个有“公共部分”，则m的最大值为（ ） A. 4 B. 5 C. 6 D. 7 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查了正方形的性质，根据正方形的对角线是边长的倍，确定镶嵌中的两个顶点在小正方形的内部时m值最大是解题的关键，作出图形更形象直观． 根据公共部分的定义，让小正方形的对角线与9个小正方镶嵌的图形中的边上，且使两个顶点在小正方形内部即可得到m的最大值． 【详解】解：如图所示，小正方形与9个小正方形有“公共部分”是的m的值最大，为6． 故选：C． 二、填空题（共5小题，每小题3分，共15分，只要求填写最后结果） 11. 若，则的平方根是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了非负数的性质，先根据绝对值和算术平方根的非负性求出m、n的值，然后代入计算，最后根据平方根的定义求解即可． 【详解】解：∵， ∴，， ∴，， ∴， ∴的平方根是， 故答案为：． 12. 已知点位于第三象限，则a的取值范围是________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了点的坐标，在第三象限的点的横坐标和纵坐标都是负数，据此列式计算，即可作答． 【详解】解：∵点位于第三象限， ∴ ∴ 故答案为： 13. 若成立，则x的取值范围是__________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了二次根式的性质，．根据二次根式的性质得出求出x的取值范围即可． 【详解】解：∵成立， ∴， 解得， 故答案为：． 14. 在中，，，点Q在直线上，且，则线段的长为__________． 【答案】或 【解析】 【分析】本题主要考查了勾股定理．分当Q在射线上和当Q在射线上两种情况利用勾股定理求解即可． 【详解】解：如图所示，当Q在射线上时， ∵，，， ∴， ∴； 如图所示，当Q在射线上时， ∵，，， ∴， ∴， ∴， 故答案为：或． 15. 阅读材料： 小华在学习分式运算时，发现：，，，… 在学习二次根式运算时，小华根据分式学习积累的活动经验，类比探究二次根式的运算规律、发现： ；； ；…… 如果的小数部分为，那么整数部分为__________． 【答案】19 【解析】 【分析】本题考查二次根式的混合运算．由二次根式的运算规律，再根据结果的小数部分求出的值，再求出结果的整数部分即可． 【详解】解：∵； ； ； ……， ∴， ∴ ， ∵结果小数部分，即， 解得， 经检验，是该分式方程的解， ∴结果的整数部分为19． 故答案为：19． 三、解答题（共8小题，共75分．写出必要的文字说明、证明过程或演算步骤） 16. 计算 （1） （2） （3） 【答案】（1） （2）2 （3）33 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的运算，解题的关键是： （1）先根据二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （2）先根据二次根式的乘法、除法法则以及二次根式的性质化简，然后合并同类二次根式即可； （3）先根据二次根式的性质化简，然后根据平方差公式计算即可． 【小问1详解】 解：原式 ； 【小问2详解】 解：原式 ； 【小问3详解】 解：原式 ． 17. 解不等式（组），把它的解集表示在数轴上，并写出必要的文字步骤． （1）解不等式； （2）解不等式组． 【答案】（1），数轴见解析 （2）无解，数轴见解析 【解析】 【分析】本题考查了解一元一次不等式和不等式组，数轴表示解集，以及整数解的问题，正确计算是解题的关键． （1）先去分母，去括号，移项，合并同类项，系数化1求解，再在数轴表示解集； （2）分别求每一个不等式的解集，再取公共部分即可，再在数轴表示解集． 【小问1详解】 解：去分母，得， 去括号，得， 移项，得， 合并同类项，得， 系数化为1，得， 在数轴上表示为： 【小问2详解】 解：， 解不等式①，得， 解不等式②，得， ∴不等式组无解， 在数轴上表示为： ． 18. （1）若，则用含a的代数式表示； （2）若，求的值． 【答案】（1）；（2）． 【解析】 【分析】本题考查了二次根式的性质，二次根式运算，完全平方公式，掌握相关运算法则是解题关键． （1）根据二次根式的乘法运算求解即可； （2）根据二次根式的乘法运算和完全平方公式求解即可． 【详解】解： ； （2）， ， ， ． 19. 如图，在四边形中，，，，，点E是的中点，且，连接． （1）判断的形状并证明； （2）求四边形的面积． 【答案】（1）是直角三角形，证明见解析； （2） 【解析】 【分析】本题考查了垂直平分线的性质，勾股定理及其逆定理，二次根式的化简，掌握垂直平分线上的点到线段两端的距离相等是解题关键． （1）由题意可知垂直平分，得到，再根据勾股定理的逆定理求解即可； （2）由勾股定理求出，进而得出，再求出，即可得到四边形的面积． 【小问1详解】 解：是直角三角形，证明如下： ，点E是的中点， 垂直平分， ， ，， ， ，即是直角三角形； 【小问2详解】 解：，，， ， 点E是的中点， ， ， ， 四边形的面积． 20. 用两种方法比较与的大小． 【答案】见解析 【解析】 【分析】本题考查了实数的大小比较，二次根式的混合运算，无理数的大小估算，完全平方公式，不等式的性质等知识，掌握实数大小比较的常见方法是解题关键．方法一：利用平方法比较大小；方法二，利用作差法和平方差结合比较大小． 【详解】解：方法一：，， ， ， ， ； 方法二：， ， ， ， ， 21. 国漫之光《哪吒之魔童闹海》已连续创造多项纪录，成为全球动画电影票房榜首．某商家决定购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品进行销售，若购进“哪吒”纪念品1件和“敖丙”纪念品2件共需要70元；若购进“哪吒”纪念品3件和“敖丙”纪念品1件共需要110元． （1）求购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要多少元？ （2）该商场计划用不超过3100元的资金购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品共120件，求最多购进“哪吒”纪念品多少件？ （3）在（2）的条件下，若每件“哪吒”纪念品的售价为40元，每件“敖丙”纪念品的售价为25元，销售完这120件纪念品所获得的利润不低于940元，则该商场有哪些可行的进货方案？ 【答案】（1）购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要、元； （2）最多购进“哪吒”纪念品件； （3）该商场有三种的进货方案：①购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件；②购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件；③购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件． 【解析】 【分析】本题考查了二元一次方程组的应用，一元一次不等式的应用，理解题意正确列方程组和不等式是解题关键． （1）设购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要、元，根据“购进“哪吒”纪念品1件和“敖丙”纪念品2件共需要70元；若购进“哪吒”纪念品3件和“敖丙”纪念品1件共需要110元”列二元一次方程组求解即可； （2）设购进“哪吒”纪念品件，根据“用不超过3100元的资金购进纪念品”列不等式求解即可； （3）根据题意列不等式，从而得到，即可求解． 【小问1详解】 解：设购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要、元， 则，解得：， 答：购进“哪吒”、“敖丙”两种纪念品每件各需要、元； 【小问2详解】 解：设购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件， 则， 解得：， 是正整数， 最多购进“哪吒”纪念品件； 【小问3详解】 解：根据题意得：， 解得：， 由（2）可知，， 的取值为68、69、70， 则该商场有三种的进货方案：①购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件；②购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件；③购进“哪吒”纪念品件，则购进“敖丙”纪念品件． 22. 小亮：我在一本数学资料上发现了一个新方程，我认为，但我不知道怎样解，我也不知道这样方程的名称． 小莹：我们问问Deepseek吧！ Deepseek展示：形如，方程中含有根式，且根式中含有未知数，这样的方程叫做无理方程．解无理方程的方法是通过平方等方法转化为整式方程，例，两边平方可得，则． 请阅读上述材料解决下列问题： （1）解方程； （2）请回顾一元一次方程、二元一次方程组、分式方程、无理方程的求解过程，写出三条你对解方程的认识． 【答案】（1） （2）见解析 【解析】 【分析】本考查了解无理方程等知识，解题的关键是： （1）仿照材料求解即可； （2）根据解分式方程，无理方程，二元一次方程组，解一元一次方程等知识解答即可． 【小问1详解】 解：两边平方，得， 化简，得， ∴， 经检验，是原方程的增根，故不是方程的解；是原方程的解， ∴原方程的解为； 【小问2详解】 解：①解二元一次方程组的基本思想是化二元为一元； ②解分式方程方法是通过去分母等方法转化为整式方程，注意要检验； ③解无理方程的方法是通过平方等方法转化为整式方程，注意要检验．（答案不唯一） 23. 如图，在平面直角坐标系中，已知，，点C从原点沿y轴正半轴以每秒1个度运动，运动时间为t． （1）请在平面直角坐标系中画出点A、点B并求出线段的长度； （2）当时，求点C到线段的距离； （3）当点C运动到某一位置时，为等腰三角形，请画出此时点C的位置并直接写出t的值． 【答案】（1）见解析，； （2） （3）见解析，为等腰三角形时，t的值为或或或． 【解析】 【分析】本题考查了坐标与图形，勾股定理，等腰三角形的定理等知识，熟练掌握勾股定理是解题关键． （1）根据坐标画出点A、点B，再根据坐标两点的距离公式求出的长度即可； （2）先利用割补法求出的面积，。再根据三角形面积公式求出边上的高，即可得解； （3）根据题意可知，由等腰三角形的定义分三种情况求解：①当时；②当时；③当时，利用勾股定理分别求解即可． 【小问1详解】 解：如图，点A、点B为所求作； ； 【小问2详解】 解：当时，， 由图形可知，， 设边上的高为， 则， ，即点C到线段的距离； 【小问3详解】 解：点C从原点沿y轴正半轴以每秒1个度运动，运动时间为t， ， ①当时，点如图所示， ，， ， 解得：； ②当时，点如图所示， ，， ， 解得：（负值舍去）； ③当时，点如图所示， ，， ， 解得：，， 综上可知，为等腰三角形时，t的值为或或或． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $$