精品解析：黑龙江省鸡西市第二中学校2024-2025学年高二下学期5月期中考试数学试题

鸡西市第二中学2024年—2025年第二学期期中考试 高二数学试卷 考生须知： 1. 请考生认真填写填写个人信息. 2. 试卷满分150分，时间120分钟. 3. 本试卷共6页，分为四道大题，第一道大题为单项选择题，第二部分大题为多项选择，第三道大题为填空题，第四道大题为解答题. 4. 请将答案作答在答题卡上，选择题部分用2B铅笔在对应选项中涂黑，非选择题部分请用0.5字迹黑色签字笔书写，作答在试卷以及草稿纸上，作答无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有2条路，那么从甲地经乙地到丙地共有（ ）种不同的走法. A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 2. 某班有男生25人，女生20人，现从中任选一名学生担任数学课代表，则不同的选法有（ ）. A. 25种 B. 20种 C. 45种 D. 500种 3. ，则（ ）. A. B. C. D. 4. 设离散型随机变量的分布列为，其中为常数，则（ ） A. B. C. D. 5. 用0、1、2、3、4、5这六个数组成无重复数字的四位数，其中偶数有（ ）个. A. 156 B. 300 C. 180 D. 120 6. 一个口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取2个球，设X表示取到白球个数，则X的分布列为（ ）. A. B. C. D. 7. 已知事件，且，则等于（ ） A. B. C. D. 8. 从这五个数字中任取个组成无重复数字的三位数，其中奇数个数为（ ） A. B. C. D. 二、多择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 二项式系数之和为 C. 存在常数项 D. 的系数为24 10. 关于条件概率与全概率公式，下列说法正确的是（ ）. A. 条件概率表示在事件发生的条件下，事件发生的概率. B. 全概率公式是将一个复杂事件的概率分解为若干个互斥事件的概率之和. C. 若是样本空间的一个划分，则 D. 条件概率满足概率的基本性质. 11. 若的展开式中存在常数项，则n的取值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 三、填空题（共4题，每题5分，共计20分） 12. 从4名男生和3名女生中任选3人参加某项活动，其中至少有1名女生的选法共有__________种. 13. 已知，则 ______ 14. 已知等差数列，若，则___________ 15. 已知，在处的导数_____________ 四、解答题（72分） 16. 从0、1、2、3、4这五个数字中任取三个不同的数字组成三位数，求： （1）组成的三位数偶数的个数； （2）组成的三位数中大于200的个数. 17. 已知，，，求和. 18. 求余弦曲线在点处的切线方程． 19. 有3名男生，4名女生，按下列要求排成一行，求不同的方法种数. （1）男生必须排在一起 （2）男、女生各不相邻 （3）甲乙两人中间必须有3人 20. 设离散型随机变量的分布列为，，其中为常数. （1）求的值； （2）. 21. 某学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答.下表记录了5名参赛者的得分情况. 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 （1）设答对一道题得x分，答错一道题得y分，求x，y的值； （2）若参赛者F的得分不低于70分，则他答对了几道题? 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 鸡西市第二中学2024年—2025年第二学期期中考试 高二数学试卷 考生须知： 1. 请考生认真填写填写个人信息. 2. 试卷满分150分，时间120分钟. 3. 本试卷共6页，分为四道大题，第一道大题为单项选择题，第二部分大题为多项选择，第三道大题为填空题，第四道大题为解答题. 4. 请将答案作答在答题卡上，选择题部分用2B铅笔在对应选项中涂黑，非选择题部分请用0.5字迹黑色签字笔书写，作答在试卷以及草稿纸上，作答无效. 一、单项选择题（本题共8小题，每小题3分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.） 1. 从甲地到乙地有3条路，从乙地到丙地有2条路，那么从甲地经乙地到丙地共有（ ）种不同的走法. A. 3 B. 5 C. 6 D. 8 【答案】C 【解析】 【分析】利用分步乘法计数原理即可. 【详解】由分步乘法计数原理可知，从甲地经乙地到丙地共有种不同的走法. 故选：C 2. 某班有男生25人，女生20人，现从中任选一名学生担任数学课代表，则不同的选法有（ ）. A. 25种 B. 20种 C. 45种 D. 500种 【答案】C 【解析】 【分析】利用组合知识求解. 【详解】某班有男生25人，女生20人，共人， 现从中任选一名学生担任数学课代表， 则不同的选法有种. 故选：C 3. ，则（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据条件概率公式，直接就结果即可. 【详解】由条件概率公式得， 故选：A. 4. 设离散型随机变量的分布列为，其中为常数，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用分布列的性质求出，再利用互斥事件的概率公式求解. 【详解】依题意，，解得， 所以. 故选：A 5. 用0、1、2、3、4、5这六个数组成无重复数字的四位数，其中偶数有（ ）个. A. 156 B. 300 C. 180 D. 120 【答案】A 【解析】 【分析】根据分类加法和分步乘法计数原理，计算不同结果有多少. 【详解】组成四位偶数，分为两种情况： 第一类：个位数是0，则十位、百位、千位没有其他要求，共有种. 第二类：个位不是0，则个位有两个选择，千位有除0外的4个选择，十位、百位没有要求，共有种，则所有偶数有种. 故选：A. 6. 一个口袋中有2个白球和3个黑球，从中任取2个球，设X表示取到白球个数，则X的分布列为（ ）. A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据超几何分布的概率公式计算可得. 【详解】由超几何分布概率公式可得 . 故选：A 7. 已知事件，且，则等于（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】由条件概率计算公式即可求解. 【详解】， 故选：B 8. 从这五个数字中任取个组成无重复数字的三位数，其中奇数个数为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意，分3步：①，从中取一个排个位，有种安排方法，②，不能在百位，则百位的安排方法有种，③，在剩下的个数中任选个，安排在十位，有种情况，从而求解. 【详解】根据题意，①从中取一个排个位，有种安排方法， ②不能在百位，则百位的安排方法有种， ③在剩下的个数中任选个，安排在十位，有种情况， 故奇数的个数为：. 故选：D. 二、多择题（本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求的.全部选对的得6分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9. 关于的展开式，下列结论正确的是（ ） A. 各项系数之和为1 B. 二项式系数之和为 C. 存在常数项 D. 的系数为24 【答案】ABC 【解析】 【分析】求出展开式的通项公式判断CD；利用赋值法计算判断A；利用二项式系数的性质判断B. 【详解】的展开式通项公式， 对于A，取，得各项系数之和为，A正确； 对于B，二项式系数之和为，B正确； 对于C，由，得，则展开式的第3项为常数项，C正确； 对于D，方程无解，即展开式中没有含的项，D错误. 故选：ABC 10. 关于条件概率与全概率公式，下列说法正确的是（ ）. A. 条件概率表示在事件发生的条件下，事件发生的概率. B. 全概率公式是将一个复杂事件的概率分解为若干个互斥事件的概率之和. C. 若是样本空间的一个划分，则 D. 条件概率满足概率的基本性质. 【答案】ACD 【解析】 【分析】由条件概率的概念，全概率的概念及计算公式逐个判断即可. 【详解】对于A：这是条件概率的标准定义，故A正确； 对于B：全概率公式要求事件必须构成样本空间的划分（即互斥且并集为整个样本空间），且公式为 ，并非简单的 ，选项B忽略了条件概率部分，故B错误； 对于C：这是全概率公式的标准表述，故C正确； 对于D：条件概率满足概率的基本性质（非负性、规范性、可加性），故D正确， 故选：ACD. 11. 若的展开式中存在常数项，则n的取值可以是（ ） A. 3 B. 4 C. 5 D. 6 【答案】BD 【解析】 【分析】根据二项展开式的通项公式，得到展开式的通项为，令，即可根据选项判定出结果. 【详解】因为的展开式的第项为， 若的展开式中存在常数项， 则只需，即，又，， 所以只需为正偶数即可，故AC排除，BD可以取得； 故选：BD. 【点睛】本题主要考查二项式定理的应用，属于基础题型. 三、填空题（共4题，每题5分，共计20分） 12. 从4名男生和3名女生中任选3人参加某项活动，其中至少有1名女生的选法共有__________种. 【答案】 【解析】 【分析】分有1名女生及2名女生，3名女生分别求出选法再应用加法原理计算求解. 【详解】从4名男生和3名女生中任选3人参加某项活动， 有1名女生共有种选法； 有2名女生共有种选法； 有3名女生共有种选法； 其中至少有1名女生的选法共有种. 故答案为： 13. 已知，则 ______ 【答案】 【解析】 【分析】由条件概率计算公式即可求解. 【详解】， 故答案为： 14. 已知等差数列，若，则___________ 【答案】 【解析】 【分析】根据等差数列通项公式和前项和公式，先求出通项公式，再写出前项和公式带入求出结果即可. 【详解】设等差数列{an}的公差为，则，解得， 可得. 故答案为：. 15. 已知，在处的导数_____________ 【答案】405 【解析】 【分析】根据基本初等函数的导数公式，求出函数导数，计算导数值. 【详解】已知，则，当时，导数值为. 故答案为：405. 四、解答题（72分） 16. 从0、1、2、3、4这五个数字中任取三个不同的数字组成三位数，求： （1）组成的三位数偶数的个数； （2）组成的三位数中大于200的个数. 【答案】（1）30 （2）36 【解析】 【分析】（1）组成三位数的偶数，需要分个位是 0 和个位不是 0 两种情况讨论； （2）组成大于 200 的三位数，百位数字只能是 2、3、4 ，进而求解即可 【小问1详解】 当个位数字为 0 时 百位数字可以从 1、2、3、4 这 4 个数字中任选一个，有 4 种选法； 十位数字可以从剩下的 3 个数字中任选一个，有 3 种选法. 根据乘法原理，此时组成的偶数个数为个. 当个位数字不为 0 时 个位数字只能从 2、4 中选一个，有 2 种选法； 百位数字不能为 0，所以百位数字可以从剩下的 3 个非0 数字中选一个，有 3 种选法；十位数字可以从剩下的 3 个数字中选一个，有 3 种选法. 根据乘法原理，此时组成的偶数个数为，. 将两种情况的个数相加，得到组成的三位数是偶数的总个数为个. 【小问2详解】 百位数字可以从 2、3、4 这 3 个数字中任选一个，有 3 种选法； 十位数字可以从剩下的 4 个数字中任选一个，有 4 种选法； 个位数字可以从剩下的 3 个数字中任选一个，有 3 种选法. 根据乘法原理，组成的三位数中大于 200 的个数为个. 17. 已知，，，求和. 【答案】， 【解析】 【分析】根据条件概率公式，即可求解. 【详解】； 因为，所以. 18. 求余弦曲线在点处的切线方程． 【答案】 【解析】 【分析】求导得的导数，可得切线的斜率，由直线的点斜式方程可得切线方程. 【详解】因为，则， 可得曲线在点处的切线斜率为， 则曲线在点处的切线方程为， 故答案为：. 19. 有3名男生，4名女生，按下列要求排成一行，求不同的方法种数. （1）男生必须排在一起 （2）男、女生各不相邻 （3）甲乙两人中间必须有3人 【答案】（1）720种 （2）144种 （3）720种 【解析】 【分析】（1）先男女分别全排，再根据乘法原理计算即可；（2）先将女生全排，再将男生插空，再根据乘法原理计算即可；（3）先确定甲、乙两人的位置，再在甲、乙两人中间插入3人，再将剩下的2人与排好的5人组成的整体进行排列，最后根据乘法原理计算即可. 【小问1详解】 男生必须排在一起 第一步：将3名男生看作一个整体，与4名女生进行排列，共有种排法. 第二步：在男生内部进行排列，共有种排法. 第三步：根据乘法原理，男生必须排在一起的排法共有种. 【小问2详解】 若男女各不相邻，必须是3名男生将4名女生隔开， 第一步：将4名女生进行排列，共有种排法. 第二步：将3名男生插入4名女生之间的3个空位中（两端除外，不合题意），共有种排法. 第三步：根据乘法原理，男女各不相邻的排法共有种. 【小问3详解】 甲、乙两人中间必须有3人 第一步：将甲、乙两人全排列，则共有种情况. 第二步：在甲、乙两人中间插入3人，可以从剩下的5人中选出3人进行排列，共有种排法. 第三步：将剩下的2人与排好的5人组成的整体进行排列，共有种排法. 第四步：根据乘法原理，甲、乙两人中间必须有3人的排法共有种. 20. 设离散型随机变量的分布列为，，其中为常数. （1）求的值； （2）. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）利用离散型随机变量分布列的性质可求得的值； （2）由计算可得结果. 【小问1详解】 根据分布列的性质，所有概率之和等于1，即：， 将题目给出的概率公式代入，得：， 化简计算：，通分得到：，解得：. 【小问2详解】 ， 将的值代入概率公式，得： ，所以. 21. 某学校组织知识竞赛，共设20道选择题，各题分值相同，每题必答.下表记录了5名参赛者的得分情况. 参赛者 答对题数 答错题数 得分 A 20 0 100 B 19 1 94 C 18 2 88 D 14 6 64 E 10 10 40 （1）设答对一道题得x分，答错一道题得y分，求x，y的值； （2）若参赛者F的得分不低于70分，则他答对了几道题? 【答案】（1）， （2）或 【解析】 【分析】（1）由表格知，答对一题得5分，答错一题扣1分； （2）若参赛者的最终得分不低于70分，列不等式求解可得结果. 【小问1详解】 根据表格中A的数据，A全部答对，得100分，总共有20道选择题，因此每一题得分为： 分， 根据表格中B的数据，B答对19题，答错1题，得94分，因此答错一题扣分： 分， 综上，，. 【小问2详解】 设一名参赛者答对了x道题，则答错了道题. 根据题意，得，所以， 因为，且，所以他答对的题目数为或. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $