2026届高中数学思想方法大合集-复数代数形式的运算法则 讲义

公式定理40  复数代数形式的运算法则 【地位作用】复数代数形式运算法则是进行复数运算的基础． 【内容展示】设，， （1）； （2）； （3）； （4），可先利用二项式定理展开，再利用虚数单位性质（，，，，其中k是整数）将展开式化简； （5）． 【证明过程】 一、加减法法则证明 定义：设复数，()，则： 加法 减法 证明： 1.加法：将复数视为多项式，实部与实部相加，虚部与虚部相加： 运算满足交换律和结合律，与实数加法一致. 2.减法：减法是加法的逆运算，通过待定系数法验证： 其中，实部和虚部分别相减. 二、乘法法则证明 定义：复数乘法满足： 证明： 1.多项式展开：按实数乘法分配律展开： 2.代入： 运算满足交换律、结合律和分配律，与实数乘法规则一致. 三、除法法则证明 定义：复数除法通过分母实数化实现： . 证明： 共轭复数法：分子分母同乘分母的共轭复数： 2.展开分子： 3.化简： 该过程确保分母为实数，运算结果仍为复数. 【内涵外延】 （1）两个复数相加、相减、相乘和乘方时，类似于两个多项式运算，并用i的性质及合并同类项简化结果；两个复数相除时，分子、分母都乘分母的“实数化因子”（共轭复数），从而使分母“实数化”；复数的开方运算一般不用代数形式进行． （2）复数代数形式运算与模和共轭复数有一些主要性质如下． ，，，，，． 灵活应用一 复数代数形式的正用 典例1 __________． 【详细解析】． 【题后反思】直接利用复数代数形式运算法则进行求解． 【举一反三】 1．已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 灵活应用二 复数代数形式的逆用 典例2 若，则__________． 【详细解析】由已知得，即，所以． 【题后反思】把复数的加法与减法、乘法与除法之间的运算相互转化，或者利用相应的代数形式运算特点与性质进行计算． 【举一反三】 2．已知复数z满足，则复数z在复平面内的对应点在第 象限． 灵活应用三 复数代数形式的灵活用 典例3 若复数，满足，，，求． 【详细解析】（方法一）设，，则． 由已知得解得． 又，且， 所以，即， 所以． （方法二）由得，即，所以，等式两边同时乘，有．又，所以，即，解得． 【题后反思】方法一直接用具体的代数形式进行计算，运算过程复杂，而方法二应用了复数代数形式运算与模的有关性质，整体代入避免复杂的运算． 【举一反三】 3．已知复数z满足，则 ． 灵活应用四 复数代数形式的综合用 典例4  已知复数，和满足，若，则的最大值为（ ） A．    B．3    C．    D．1 【详细解析】根据题意，得， 当，，时，，此时，所以. 故选：B. 【题后反思】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值. 【举一反三】 4．已知复数z满足，当取得最小值时， ． （公式正用） 5．已知复数，若，则（    ） A． B． C． D．2 （公式正用） 6．已知非零复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． （公式灵活用） 7．已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为A，B，且点A与点B关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． （公式灵活用） 8．已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 （公式灵活用） 9．设方程在复数范围内的两根分别为、，则下列关于、的说法错误的是（    ） A． B． C． D． （公式综合用） 10．设复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． （公式综合用） 11．已知，在复数范围内是关于的方程的两个根，则关于的函数的零点的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 （公式综合用） 12．设（、、）.已知关于的方程有纯虚数根，则关于的方程的解的情况，下列描述正确的是（    ） A．可能方程只有虚根解，其中两个是纯虚根 B．可能方程有四个实数根的解 C．可能有两个实数根，两个纯虚数根 D．可能方程没有纯虚数根的解 （公式综合用） 13．已知数列满足，，若，则正整数k的值是（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 （公式综合用） 14．已知复数数列满足，，其中，其中是虚数单位，表示的共轭复数，则的值为（    ） A． B． C． D． 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$ 公式定理40  复数代数形式的运算法则 【地位作用】复数代数形式运算法则是进行复数运算的基础． 【内容展示】设，， （1）； （2）； （3）； （4），可先利用二项式定理展开，再利用虚数单位性质（，，，，其中k是整数）将展开式化简； （5）． 【证明过程】 一、加减法法则证明 定义：设复数，()，则： 加法 减法 证明： 1.加法：将复数视为多项式，实部与实部相加，虚部与虚部相加： 运算满足交换律和结合律，与实数加法一致. 2.减法：减法是加法的逆运算，通过待定系数法验证： 其中，实部和虚部分别相减. 二、乘法法则证明 定义：复数乘法满足： 证明： 1.多项式展开：按实数乘法分配律展开： 2.代入： 运算满足交换律、结合律和分配律，与实数乘法规则一致. 三、除法法则证明 定义：复数除法通过分母实数化实现： . 证明： 共轭复数法：分子分母同乘分母的共轭复数： 2.展开分子： 3.化简： 该过程确保分母为实数，运算结果仍为复数. 【内涵外延】 （1）两个复数相加、相减、相乘和乘方时，类似于两个多项式运算，并用i的性质及合并同类项简化结果；两个复数相除时，分子、分母都乘分母的“实数化因子”（共轭复数），从而使分母“实数化”；复数的开方运算一般不用代数形式进行． （2）复数代数形式运算与模和共轭复数有一些主要性质如下． ，，，，，． 灵活应用一 复数代数形式的正用 典例1 __________． 【详细解析】． 【题后反思】直接利用复数代数形式运算法则进行求解． 【举一反三】 1．已知复数，则在复平面内对应的点位于（   ） A．第四象限 B．第三象限 C．第二象限 D．第一象限 【答案】A 【分析】根据复数的运算法则，求得，得到，结合复数的几何意义，即可求解. 【详解】由复数，则， 所以复数在复平面内对应的点位于第四象限． 故选：A. 灵活应用二 复数代数形式的逆用 典例2 若，则__________． 【详细解析】由已知得，即，所以． 【题后反思】把复数的加法与减法、乘法与除法之间的运算相互转化，或者利用相应的代数形式运算特点与性质进行计算． 【举一反三】 2．已知复数z满足，则复数z在复平面内的对应点在第 象限． 【答案】二 【分析】根据共轭复数，以及乘除运算可得z，再由复数的几何意义可解. 【详解】设，则．由得，即， 所以解得即，所以复数z在复平面内的对应点在第二象限． 故答案为：二. 灵活应用三 复数代数形式的灵活用 典例3 若复数，满足，，，求． 【详细解析】（方法一）设，，则． 由已知得解得． 又，且， 所以，即， 所以． （方法二）由得，即，所以，等式两边同时乘，有．又，所以，即，解得． 【题后反思】方法一直接用具体的代数形式进行计算，运算过程复杂，而方法二应用了复数代数形式运算与模的有关性质，整体代入避免复杂的运算． 【举一反三】 3．已知复数z满足，则 ． 【答案】 【分析】利用立方差公式计算得出，再利用复数的运算化简可得结果. 【详解】由已知得，故， 所以． 故答案为：. 灵活应用四 复数代数形式的综合用 典例4  已知复数，和满足，若，则的最大值为（ ） A．    B．3    C．    D．1 【详细解析】根据题意，得， 当，，时，，此时，所以. 故选：B. 【题后反思】先利用复数的模与加减法的几何意义，及三角形两边之和大于第三边得到，再将时各复数的取值取出，即可得到的最大值. 【举一反三】 4．已知复数z满足，当取得最小值时， ． 【答案】 【分析】根据公式，代入复数运算，以及1的变形，转化为关于的二次函数求最值，即可求解. 【详解】设，因为，则，且． ， 当时取等号，此时，所以． 故答案为： （公式正用） 5．已知复数，若，则（    ） A． B． C． D．2 【答案】B 【分析】先根据复数的除法运算法则求出，再根据复数的模的计算公式求出；也可利用复数模的性质来求解. 【详解】方法一： 由题意，， 所以，. 方法二： 已知，则. 已知，则. 因为，根据复数模的性质，可得： . 故选：B. （公式正用） 6．已知非零复数满足，则的虚部为（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】方法一：设，由已知结合复数运算可得，根据复数相等可得，解方程可求，，由此可得结论； 方法二：由条件结合模的性质可得，设，由此可得，解方程求，由此可得结论. 【详解】方法一：设（且不同时为）， 由得，即， 所以，得或（不满足题意）， 故的虚部为. 方法二：因为，且，所以，即. 设（且不同时为0），则， 解得，则的虚部为. 故选：A. （公式灵活用） 7．已知复数，在复平面内，复数对应的点分别为A，B，且点A与点B关于直线对称，则（    ） A． B． C． D． 【答案】A 【分析】根据复数对应点的对称，可得出，再由复数的加法及复数的模求解. 【详解】因为，所以点． 因为点A与点B关于直线对称， 所以， 所以． 故选：A （公式灵活用） 8．已知复数z满足，则z在复平面内所对应的点位于（  ） A．第一象限 B．第二象限 C．第三象限 D．第四象限 【答案】A 【分析】先设出复数的代数形式，再根据共轭复数的定义求出，然后将与代入已知等式，根据复数相等的条件求出的实部与虚部，最后确定在复平面内所对应的点所在的象限． 【详解】设，其中，根据共轭复数的定义可知． 将，代入可得： 根据平方差公式，可得，则上式可化为： 因为等式两边的复数相等，根据复数相等的条件，可得方程组． 由，解得． 将代入，可得，解得， 由，，可得，在复平面内，复数所对应的点的坐标为，所以该点位于第一象限． 故选：A． （公式灵活用） 9．设方程在复数范围内的两根分别为、，则下列关于、的说法错误的是（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】求出方程的两个虚根，可判断A选项；利用韦达定理可判断BCD选项. 【详解】由可得，可得，解得或， 由韦达定理可得，， 对于A选项，由题意可知，方程的两个虚根、互为共轭复数，即，A对； 对于B选项，，所以，，B对； 对于C选项，， 所以，C错； 对于D选项，，D对. 故选：C. （公式综合用） 10．设复数满足，则的最大值为（    ） A． B． C． D． 【答案】D 【分析】设复数，可得，表示出模长结合导函数得出函数的最值即可求值. 【详解】由条件不妨设．于是，． 则． 故． 设，， 当单调递增；当单调递减； 当时，取最大值27．从而最大值为． 故选：D. （公式综合用） 11．已知，在复数范围内是关于的方程的两个根，则关于的函数的零点的个数是（    ） A．个 B．个 C．个 D．个 【答案】C 【分析】根据根与系数的关系得，进而根据方程的虚根和实数根分类讨论，即可求解. 【详解】若是方程的两个虚数根，所以， 且，则， ，解得，（满足）， 若是方程的两个实数根，所以， 且，则， 当时，，， 当时，，， 由可得， 令，由于，所以， 故函数在单调递减，且， 故在无实数根， 综上可得，零点个数为3， 故选：C （公式综合用） 12．设（、、）.已知关于的方程有纯虚数根，则关于的方程的解的情况，下列描述正确的是（    ） A．可能方程只有虚根解，其中两个是纯虚根 B．可能方程有四个实数根的解 C．可能有两个实数根，两个纯虚数根 D．可能方程没有纯虚数根的解 【答案】A 【分析】根据给定条件，设，再利用方程根的意义结合复数相等，推理计算判断作答. 【详解】，，关于的方程有纯虚数根，设纯虚数根为， 则有，即，即有，，， 方程化为，方程有两个纯虚数根为， 方程化为：， 整理得，于是得或， 因此方程有两个纯虚数根， 而方程中，， 因此方程无实数根，有两个虚数根，不是纯虚数根， 所以选项A正确，选项B，C，D均不正确. 故选：A 【点睛】思路点睛：复数问题，常设出复数的代数形式，再利用复数及相关运算，探讨关系式求解. （公式综合用） 13．已知数列满足，，若，则正整数k的值是（    ） A．8 B．12 C．16 D．20 【答案】B 【分析】利用递推关系式计算数列各项的值，确定满足题意的k值即可. 【详解】解：由题意结合递推关系式可得： ， ， ， ， . 故选：B. （公式综合用） 14．已知复数数列满足，，其中，其中是虚数单位，表示的共轭复数，则的值为（    ） A． B． C． D． 【答案】C 【分析】根据利用复数相等列出等式，结合等差数列知识解决即可. 【详解】先设（，），由，得到，，而， 于是就有， 从而， 所以数列是以为首项，为公差的等差数列，所以， 又，进而得到，， 所以的奇数项以为首项，公差为1的等差数列，所以， 因此就有，， 所以. 故选：C 试卷第1页，共3页 试卷第1页，共3页 学科网（北京）股份有限公司 $$