精品解析：2025年河南省平顶山市鲁山县第七教研区中考三模数学试题

2025河南省鲁山县第七教研区中考三模数学试卷 数学 【本卷满分：120分考 试时间：100分钟】 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列实数中的无理数是（ ） A. B. 3.14 C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查无理数，根据无理数的定义：无限不循环小数，叫做无理数，进行判断即可． 【详解】解：A、是有理数，不符合题意； B、3.14是有理数，不符合题意； C、是无理数，符合题意； D、是有理数，不符合题意； 故选C． 2. 如图，该纸杯的主视图是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】直接依据主视图即从几何体的正面观察，进而得出答案． 此题主要考查了简单几何体的三视图，正确把握观察角度是解题的关键． 【详解】解：该纸杯的主视图是选项A， 故选：A． 3. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查用科学记数法表示较大的数，一般形式为，其中，n可以用整数位数减去1来确定．用科学记数法表示数，一定要注意a的形式，以及指数n的确定方法． 科学记数法的表示形式为的形式，其中，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值大于10时，n是正数；当原数的绝对值小于1时，n是负数． 【详解】解：用科学记数法表示为． 故选：B． 4. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（ ）按如图方式摆放，若 ，则的大小为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】本题考查了平行线的性质，由 ，可得，即可求解． 【详解】∵ ， ∴， ∵ ，则， ∴， 故选：A． 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了在数轴上表示不等式组的解集，先求出不等式组的解集，再根据解集在数轴上表示出来即可判断求解，正确求出一元一次不等式组的解集是解题的关键． 【详解】解：， 由得， ， 由得， ， ∴不等式组的解集为， ∴不等式组的解集在数轴上表示为 ， 故选：． 6. 如图，点A，B，C在上， ，垂足为D，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】根据得到，根据 得到，根据直角三角形的两个锐角互余，计算即可． 本题考查了圆周角定理，直角三角形的性质，熟练掌握圆周角定理，直角三角形的性质是解题的关键． 【详解】∵， ∴， ∵ ， ∴， ∴． 故选A． 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 【答案】A 【解析】 【分析】计算出一元二次方程根的判别式即可． 【详解】解：， 故一元二次方程有两个不相等的实数根． 8. 函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小． A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】本题考查了二次函数以及反比例函数的图象和性质，利用数形结合的思想解决问题是关键．由函数图象可知，当时，随着的增大而减小；位于在一、三象限内，且均随着的增大而减小，据此即可得到答案． 【详解】解：由函数图象可知，当时，随着的增大而减小； 位于一、三象限内，且在每一象限内均随着的增大而减小， 当时，，均随着的增大而减小， 故选：D． 9. 如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ） A. B. 3 C. D. 4 【答案】B 【解析】 【分析】本题考查了平行四边形的性质，三角形中位线定理，平行线分线段成比例定理，平行证明相似等知识点，正确作辅助线是解题关键． 解法一：连接BD交AC于O，由平行四边形的性质推出 ， ，判定是的中位线，推出，求出，即可得到答案； 解法二：延长和，交于点，先证，得到，再证，得到，即可求得结果； 解法三：作交于点H，证明出，得到，，然后证明出四边形是平行四边形，得到． 【详解】解：解法一：连接交于O， ∵四边形 是平行四边形， ∴， ∵， ∴是的中位线， ∴， ∵， ∴， ∴， ∴． 解法二：延长和，交于点， ∵四边形 是平行四边形， ∴ ，即， ∴ ∴， ∵，， ∴， ∴， 又∵，， ∴， ∵，， ∴， ∴， ∴ ∴， ∴， ∴ ∵ ， ∴． 解法三：作交于点H ∴，， 又∵， ∴， ∴，， ∵四边形 是平行四边形， ∴，， ∴，， ∴四边形是平行四边形， ∴． 故选：B． 10. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为 时，扇面面积为，若，则 与关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 【答案】C 【解析】 【分析】本题考查正比例函数的应用，扇形的面积，设该扇面所在圆的半径为 ，根据扇形的面积公式表示出，进一步得出，再代入即可得出结论．掌握扇形的面积公式是解题的关键． 【详解】解：设该扇面所在圆的半径为 ， ， ∴， ∵该折扇张开的角度为 时，扇面面积为， ∴， ∴， ∴ 是的正比例函数， ∵， ∴它的图像是过原点的一条射线． 故选：C． 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 【答案】 【解析】 【分析】本题主要考查了用完全平方公式分解因式，先按照多项式乘以多项式展开，然后利用完全平方公式分解因式即可． 【详解】解： 故答案为：． 12. 某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为______． 【答案】89 【解析】 【分析】本题考查了众数，众数是一组数据中次数出现最多的数． 根据众数的定义求解即可判断． 【详解】解：几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89， 89出现的次数最多， 以上数据的众数为89． 故答案为：89． 13. 不透明的袋中装有大小质地完全相同的个球，其中个黄球、个白球和个红球．从袋中任取个球，恰为个红球的概率是______． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了用树状图或列表法求概率，画出树状图即可求解，掌握树状图或列表法是解题的关键． 【详解】解：画树状图如下： 由树状图可得，共有 种等结果，其中恰为个红球的结果有种， ∴恰为个红球的概率为， 故答案为：． 14. 如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________． 【答案】 【解析】 【分析】本题考查正多边形的性质，求圆锥的底面半径，先求出正六边形的一个内角的度数，进而求出扇形的圆心角的度数，过点作，求出的长，再利用圆锥底面圆的周长等于扇形的弧长，进行求解即可． 【详解】解：∵正六边形， ∴，， ∴，， ∴， 过点作于点，则：， 设圆锥的底面圆的半径为 ，则：， ∴； 故答案为：． 15. 如图，在中，，， ．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得 ，连接，，则面积的最小值为________． 【答案】## 【解析】 【分析】根据平行四边形的性质得到 ，， ，由折叠性质得到，进而得到点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作 交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即此时面积的最小，过C作 于N，根据平行线间的距离处处相等得到，故只需利用锐角三角函数求得即可求解． 【详解】解：∵在中，，， ∴ ，，则， ∵E为边的中点， ∴， ∵沿翻折得 ， ∴， ∴点在以E为圆心，4为半径的圆上运动，如图，过E作 交延长线于M，交圆E于，此时到边的距离最短，最小值为的长，即面积的最小， 过C作 于N， ∵， ∴， 在中， ，， ∴， ∴， ∴面积的最小值为， 故答案为：． 【点睛】本题考查平行四边形的性质、折叠性质、圆的有关性质以及直线与圆的位置关系、锐角三角函数等知识，综合性强的填空压轴题，得到点的运动路线是解答的关键． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）计算：． 【答案】（1）；（2）1． 【解析】 【分析】本题考查了实数的混合运算和分式的化简，熟记零指数幂，特殊角的三角函数值，分式化简的步骤是解题的关键． （1）根据零指数幂，特殊角的三角函数值，绝对值的意义计算； （2）原式括号中两项通分并利用同分母分式的减法法则计算，同时利用除法法则变形，约分即可得到最简结果． 【详解】解：（1） ； （2） ． 17. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分： .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ① 的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中 （ 为整数）的值为____________. 【答案】（1）①，；② （2）甲， 【解析】 【分析】本题考查条形统计图，平均数、众数、中位数、方差等知识，理解平均数、方差的意义和计算方法是正确解答的前提． （1）根据众数、中位数和算术平均数的定义解答即可； （2）根据方差的定义和意义求解即可； （3）根据题意得出，进而分别求得方差与平均数，分类讨论，求解即可． 【小问1详解】 ①从教师评委打分的情况看，分出现的次数最多，故教师评委打分的众数为， 所以， 共有45名学生评委给每位选手打分， 所以学生评委给每位选手打分的中位数应当是第个，从频数分面直方图上看，可得学生评委给每位选手打分的中位数在第4组， 故答案为：，； ②去掉教师评委打分中的最高分和最低分，其余8名教师评委打分分别为：， ，，，，，，， ， 故答案为：； 【小问2详解】 ， ， ， ， 丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中， 依题意，当，则 解得： 当时， 此时 ∵，则乙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，不合题意， 当时， 此时 ∵，则丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，这三位选手中排序最靠前的是甲 故答案为：甲，． 18. 如图，在中，，，点为上一点，，过点作 交于点．点，的距离为，的周长与 的周长之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过 ） 【答案】（1） （2） 解：如图所示，即为所求； 由函数图象可知，随x增大而增大，随x增大而减小； （3） 【解析】 【分析】本题主要考查了一次函数与反比例函数综合，相似三角形的性质与判定： （1）证明，根据相似三角形的性质得到，据此可得答案； （2）根据（1）所求利用描点法画出对应的函数图象并根据函数图象写出对应的函数图象的性质即可； （3）找到一次函数图象在反比例函数图象上方时自变量的取值范围即可． 【小问1详解】 解：∵ ， ∴， ∴， ∴， ∴； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：由函数图象可知，当时的取值范围． 19. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在矩形 中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接 ， ．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：矩形 ，点，分别在，上，经过对角线的中点，且 ．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形 是矩形， ∴． ∴①， ． ∵点是的中点， ∴②． ∴ （AAS）． ∴③． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵ ， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形 是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④． 【答案】（1） 解：如图所示，即为所求； （2）①；②；③ ；④四边形是菱形 【解析】 【分析】本题主要考查了矩形的性质，平行四边形的性质与判定，菱形的判定，垂线的尺规作图： （1）根据垂线的尺规作图方法作图即可； （2）根据矩形或平行四边形的对边平行得到， ，进而证明，得到 ，即可证明四边形是平行四边形．再由 ，即可证明四边形是菱形． 【小问1详解】 略 【小问2详解】 略 20. 为建设全域旅游西昌、加快旅游产业发展．2022年9月29日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为1845.4平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”率（sū）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（2）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上A点处，测得塔顶C的仰角为，眼睛B距离地面，向塔前行，到达点D处，测得塔顶C的仰角为 ，求塔高．（结果精确到 ．参考数据：） 【答案】 【解析】 【分析】本题考查了解直角三角形的应用仰角俯角问题，正确解直角三角形是解题的关键． 设，解直角三角形得到，，再根据可得，解方程求出即可求解． 【详解】解：由题意可得，， ，，， 设， 在 中，， 在中，， ， ， 解得， ， 答：塔高为． 21. 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． （1）求A，B两种水果各购进多少千克； （2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． 【答案】（1）A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 （2）A种水果的最低销售单价为 元/ 【解析】 【分析】本题主要考查一元二次方程的应用和一元一次不等式的应用， （1）设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克，根据题意列出二元一次方程组求解即可． （2）根据题意列出关于利润和进价与售价的不等式求解即可． 【小问1详解】 解：设A种水果购进x千克， B种水果购进y千克， 根据题意有：， 解得：， ∴A种水果购进1000千克，B种水果购进500千克 【小问2详解】 设A种水果的销售单价为元/， 根据题意有：， 解得， 故A种水果的最低销售单价为 元/ 22. 已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线 的顶点横坐标大1． （1）求b的值； （2）点在抛物线 上，点在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求h的值； （ⅱ）若，求h的最大值． 【答案】（1） （2）（ⅰ）3；（ⅱ） 【解析】 【分析】题目主要考查二次函数的性质及化为顶点式，解一元二次方程，理解题意，熟练掌握二次函数的性质是解题关键． （1）根据题意求出 的顶点为，确定抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2，即可求解； （2）根据题意得出， ，然后整理化简；（ⅰ）将代入求解即可；（ⅱ）将代入整理为顶点式，即可得出结果． 【小问1详解】 解：， ∴ 的顶点为， ∵抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线 的顶点横坐标大1， ∴抛物线（b为常数）的顶点横坐标为2， ∴， ∴ ； 【小问2详解】 由（1）得 ∵点在抛物线 上，点在抛物线 上． ∴， ， 整理得： （ⅰ）∵， ∴， 整理得：， ∵，， ∴， ∴ ； （ⅱ）将代入， 整理得， ∵， ∴当，即时，h取得最大值为． 23. 如图1，点B在直线l上，过点B构造等腰直角三角形，使 ，且 ，过点C作 直线l于点D，连接． （1）小娟在研究这个图形时发现， ，点A，D应该在以为直径的圆上，则的度数为____________，将射线顺时针旋转交直线l于点E，可求出线段的数量关系为____________； （2）小娟将等腰直角三角形绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段的数量关系是否变化，请说明理由： （3）在旋转过程中，若长为1，当面积取得最大值时，请求出此时的长． 【答案】（1）， （2）， 理由如下： 如图2，将绕点顺时针旋转交直线于点． 则， ， 又 ，， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ； （3） 【解析】 【分析】（1）由 ，且 ，可得，由 ，推出、、、四点共圆，所以；由题意知，所以 ，由 ，，可知是等腰直角三角形，推出； （2）如图2，将绕点顺时针旋转交直线于点．易证，则 ，由 ，，所以是等腰直角三角形，则，由，推出； （3）根据题意得到、、、四点共圆，如图所示，过点作，则，在旋转的过程中，的值是定值，所以当 的值最大时，的面积最大，当 经过圆心，此时 最长，如图所示，将线段绕点顺时针旋转与直线 交于点，可证，则，有勾股定理得到，即确定了的值即可得到的值，设，则，在中，有正切值得到，根据同弧所对圆周角相等得到，在 中，，可得，由此即可求解． 【小问1详解】 解：①如图，在图1中． ，且 ， ， ， 、、、四点共圆， ； ②由题意可知，， ， 又 ， ， ， ， ，， 是等腰直角三角形， ， ， ； 故答案为：，； 【小问2详解】 略 【小问3详解】 解：， 、、、四点共圆， 如图所示，过点作， ∴， 在旋转的过程中，的值是定值， ∴当 的值最大时，的面积最大，当 经过圆心，此时 最长， 如图所示，将线段绕点顺时针旋转与直线 交于点， ∵， ∴， 又∵， ∴， ∴， ∵， ∴，即， ∴确定了的值即可得到的值， ∵ ， ∴， ∵， ∴，， ∴， 设， ∴ ∴， ∴， 在中，， ∵， ∴， 在 中，， ∴， ∴， ∴（负值舍去）． 【点睛】本题考查三角形综合题、等腰直角三角形的性质和判定、全等三角形的判定和性质、圆等知识，锐角三角函数的计算，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造全等三角形解决问题，学会利用辅助圆解决问题，属于中考压轴题． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025河南省鲁山县第七教研区中考三模数学试卷 数学 【本卷满分：120分考 试时间：100分钟】 一、选择题（每小题3分，共30分．下列各小题均有四个选项，其中只有一个是正确的） 1. 下列实数中的无理数是（ ） A. B. 3.14 C. D. 2. 如图，该纸杯的主视图是（ ） A. B. C. D. 3. 据《光明日报》2024年3月14日报道：截至2023年末，我国境内有效发明专利量达到401.5万件，高价值发明专利占比超过四成，成为世界上首个境内有效发明专利数量突破400万件的国家，将用科学记数法表示应为（ ） A. B. C. D. 4. 在同一平面内，将直尺、含角的三角尺和木工角尺（ ）按如图方式摆放，若 ，则的大小为（ ） A. B. C. D. 5. 不等式组的解集在数轴上表示为（ ） A. B. C. D. 6. 如图，点A，B，C在上， ，垂足为D，若，则的度数是（　　） A. B. C. D. 7. 关于x的一元二次方程的根的情况是（ ） A. 有两个不相等的实数根 B. 有两个相等的实数根 C. 只有一个实数根 D. 没有实数根 8. 函数与的图象如图所示，当（ ）时，，均随着的增大而减小． A. B. C. D. 9. 如图，点为的对角线上一点，，，连接并延长至点，使得，连接，则为（ ） A. B. 3 C. D. 4 10. 扇文化是中华优秀传统文化的组成部分，在我国有着深厚的底蕴．如图，某折扇张开的角度为时，扇面面积为、该折扇张开的角度为 时，扇面面积为，若，则与关系的图象大致是（ ） A. B. C. D. 二、填空题（每小题3分，共15分） 11. 因式分解：________． 12. 某校生物小组的9名同学各用100粒种子做发芽实验，几天后观察并记录种子的发芽数分别为：89，73，90，86，75，86，89，95，89，以上数据的众数为______． 13. 不透明的袋中装有大小质地完全相同的个球，其中个黄球、个白球和个红球．从袋中任取个球，恰为个红球的概率是______． 14. 如图，在边长为6的正六边形中，以点F为圆心，以的长为半径作，剪下图中阴影部分做一个圆锥的侧面，则这个圆锥的底面半径为________． 15. 如图，在中，，， ．E为边的中点，F为边上的一动点，将沿翻折得 ，连接，，则面积的最小值为________． 三、解答题（本大题共8个小题，共75分） 16. （1）计算：； （2）计算：． 17. 某学校举办的“青春飞扬”主题演讲比赛分为初赛和决赛两个阶段. （1）初赛由名教师评委和名学生评委给每位选手打分（百分制）对评委给某位选手的打分进行整理、描述和分析.下面给出了部分信息. .教师评委打分： .学生评委打分的频数分布直方图如下（数据分6组：第1组，第2组，第3组，第4组，第5组，第6组）： .评委打分的平均数、中位数、众数如下： 平均数 中位数 众数 教师评委 学生评委 根据以上信息，回答下列问题： ①的值为___________，的值位于学生评委打分数据分组的第__________组； ②若去掉教师评委打分中的最高分和最低分，记其余8名教师评委打分的平均数为，则___________（填“”“ ”或“”）； （2）决赛由5名专业评委给每位选手打分（百分制）.对每位选手，计算5名专业评委给其打分的平均数和方差.平均数较大的选手排序靠前，若平均数相同，则方差较小的选手排序靠前，5名专业评委给进入决赛的甲、乙、丙三位选手的打分如下： 评委1 评委2 评委3 评委4 评委5 甲 乙 丙 若丙在甲、乙、丙三位选手中的排序居中，则这三位选手中排序最靠前的是____________，表中 （ 为整数）的值为____________. 18. 如图，在中， ，，点为上一点，，过点作 交于点．点，的距离为，的周长与 的周长之比为． （1）请直接写出，分别关于的函数表达式，并注明自变量的取值范围； （2）在给定的平面直角坐标系中画出函数，的图象；请分别写出函数，的一条性质； （3）结合函数图象，直接写出时的取值范围．（近似值保留一位小数，误差不超过 ） 19. 在学习了矩形与菱形的相关知识后，小明同学进行了更深入的研究，他发现，过矩形的一条对角线的中点作这条对角线的垂线，与矩形两边相交的两点和这条对角线的两个端点构成的四边形是菱形，可利用证明三角形全等得到此结论．根据他的想法与思路，完成以下作图与填空： （1）如图，在矩形 中，点是对角线的中点．用尺规过点作的垂线，分别交，于点，，连接 ， ．（不写作法，保留作图痕迹） （2）已知：矩形 ，点，分别在，上，经过对角线的中点，且 ．求证：四边形是菱形． 证明：∵四边形 是矩形， ∴． ∴①， ． ∵点是的中点， ∴②． ∴ （AAS）． ∴③． 又∵， ∴四边形是平行四边形． ∵ ， ∴四边形是菱形． 进一步思考，如果四边形 是平行四边形呢？请你模仿题中表述，写出你猜想的结论：④． 20. 为建设全域旅游西昌、加快旅游产业发展．2022年9月29日位于西昌主城区东部的历史风貌核心区唐园正式开园，坐落于唐园内的怀远塔乃唐园至高点，为七层密檐式八角砖混结构阁楼式塔楼，建筑面积为1845.4平方米，塔顶金碧辉煌，为“火珠垂莲”率（sū）堵坡造型．某校为了让学生进一步了解怀远塔，组织九年级（2）班学生利用综合实践课测量怀远塔的高度．小江同学站在如图所示的怀远塔前的平地上A点处，测得塔顶C的仰角为，眼睛B距离地面，向塔前行，到达点D处，测得塔顶C的仰角为 ，求塔高．（结果精确到 ．参考数据：） 21. 推进中国式现代化，必须坚持不懈夯实农业基础，推进乡村全面振兴．某合作社着力发展乡村水果网络销售，在水果收获的季节，该合作社用17500元从农户处购进A，B两种水果共进行销售，其中A种水果收购单价10元/，B种水果收购单价15元/． （1）求A，B两种水果各购进多少千克； （2）已知A种水果运输和仓储过程中质量损失，若合作社计划A种水果至少要获得的利润，不计其他费用，求A种水果的最低销售单价． 22. 已知抛物线（b为常数）的顶点横坐标比抛物线 的顶点横坐标大1． （1）求b的值； （2）点在抛物线 上，点在抛物线上． （ⅰ）若，且，，求h的值； （ⅱ）若，求h的最大值． 23. 如图1，点B在直线l上，过点B构造等腰直角三角形，使 ，且 ，过点C作 直线l于点D，连接． （1）小娟在研究这个图形时发现， ，点A，D应该在以为直径的圆上，则的度数为____________，将射线顺时针旋转交直线l于点E，可求出线段的数量关系为____________； （2）小娟将等腰直角三角形绕点B在平面内旋转，当旋转到图2位置时，线段的数量关系是否变化，请说明理由： （3）在旋转过程中，若长为1，当面积取得最大值时，请求出此时的长． 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $