精品解析：2025届湖北省襄阳随州八校高三三模联考数学试题

2025届湖北省襄阳随州八校三模联考 高三数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置． 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4、考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 【答案】D 【解析】 【分析】将函数变形为，设，从而得出为奇函数，进而得到，由可得，然后分析出的单调性，得出答案. 【详解】，设， 因为，所以为奇函数， 则．即 又，在R上均为减函数，所以在R上为减函数， 由得，即 所以，解得或． 故选：D． 2. 在中，角，，的对边分别为，，.若，则角的最大值为（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】利用正弦定理将已知的等式化简为，得到的值，结合余弦定理可得，将用和表示，然后利用基本不等式求出，结合角的范围，即可得到角的最大值． 【详解】解：因为， 由正弦定理可得，， 所以①， 由余弦定理可得②， 由①②可得， 所以， 因为，当且仅当时取等号， 所以，又， 所以角的最大值为． 故选：A． 3. 足球是由个正五边形和个正六边形组成的．如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的正五边形展开放平，若正多边形边长为，、、分别为正多边形的顶点，则（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】计算出、以及的大小，利用余弦定理可得出，再利用平面向量数量积的定义以及余弦定理、诱导公式、三角恒等变换可求得. 【详解】连接，由余弦定理可得， 易知正五边形的每个内角为， 所以， ，则， ， ， ， 故选：A. 4. 某大学共有名学生，为了了解学生课外图书阅读量情况，该校随机地从全校学生中抽取名，统计他们每年阅读的书籍数量，由此来估计全体学生当年的阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表）（ ） A. 中位数为 B. 众数为 C. 平均数为 D. 该校读书不低于本的人数约为人 【答案】C 【解析】 【分析】根据频率直方图确定中位数、众数所在区间即可求得中位数、众数，由即可求平均数，由该校读书不低于本的频率、总人数，可求该校读书不低于本的人数. 【详解】A：由图知：中位数在，所以，解得，错误； B：由图知：众数在，故众数为，错误； C：平均数为，正确； D：由图知：该校读书不低于本的频率之和为，所以该校读书不低于本的人数约为人. 故选：C 5. 自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为（ ） A 8x－6y－21＝0 B. 8x＋6y－21＝0 C. 6x＋8y－21＝0 D. 6x－8y－21＝0 【答案】D 【解析】 【分析】根据题意得到等量关系，整理后即可得到点P的轨迹方程. 【详解】由题意得，圆心C的坐标为(3，－4)，半径r＝2，如图.因为|PQ|＝|PO|，且PQ⊥CQ，所以|PO|2＋r2＝|PC|2，所以x2＋y2＋4＝(x－3)2＋(y＋4)2，即6x－8y－21＝0，所以点P的轨迹方程为6x－8y－21＝0. 故选：D 6. 已知函数， 则的大小关系是（ ） A. B. C. D. 【答案】A 【解析】 【分析】求出给定函数的导数并探讨其单调性，再利用单调性比较大小作答. 【详解】函数定义域为R，求导得， 因此函数在R上单调递减，而，则有， 所以的大小关系是，A正确. 故选：A 7. 把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有（ ） A. 4种 B. 6种 C. 21种 D. 35种 【答案】B 【解析】 【分析】元素相同问题用隔板法. 【详解】利用隔板法：由题可知使每个小朋友都能分到小球的分法有种. 故选：. 8. 某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（ ） A. 相关系数r变小 B. 决定系数变小 C. 残差平方和变大 D. 解释变量x与预报变量y的相关性变强 【答案】D 【解析】 【分析】从图中分析得到去掉后，回归效果更好，再由相关系数，决定系数，残差平方和和相关性的概念和性质作出判断即可． 【详解】从图中可以看出较其他点，偏离直线远，故去掉后，回归效果更好， 对于A，相关系数越接近于1，模型的拟合效果越好，若去掉后，相关系数r变大，故A错误； 对于B，决定系数越接近于1，模型拟合效果越好，若去掉后，决定系数变大，故B错误； 对于C，残差平方和越小，模型拟合效果越好，若去掉后，残差平方和变小，故C错误； 对于D，若去掉后，解释变量x与预报变量y的相关性变强，且是正相关，故D正确． 故选：D． 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线l与平面相交于点P，则（ ） A. 内不存在直线与l平行 B. 内有无数条直线与l垂直 C. 内所有直线与l是异面直线 D. 至少存在一个过l且与垂直的平面 【答案】ABD 【解析】 【分析】利用线线，线面的位置关系逐项分析即得. 【详解】已知直线与平面相交于点，若α内存在直线n与l平行，则直线n与l确定一个平面， 由，，且，，则与重合， 有，与矛盾，故选项A正确.  设直线在平面内的射影为PO，根据三垂线定理：在平面内的一条直线，如果和穿过这个平面的一条斜线在这个平面内的射影垂直，那么它也和这条斜线垂直.所以平面内与射影PO垂直的直线，与直线垂直. 又因为在平面内与直线平行的直线都与直线垂直，而在平面内与一条直线平行的直线有无数条，所以平面内有无数条直线与垂直，故选项B正确.  在平面内过点的直线，因为直线与直线都过点，根据相交直线的定义：两条直线有且只有一个公共点，则这两条直线相交，所以直线与直线相交，并非异面直线，故选项C错误.  如图，取直线上除斜足外一点，过该点作平面的垂线. 因为，且平面，平面，根据平面与平面垂直的判定定理：如果一个平面经过另一个平面的一条垂线，那么这两个平面互相垂直，所以平面垂直于平面，即至少存在一个过且与垂直的平面，故选项D正确.  故选：ABD. 10. 已知双曲线的一条渐近线方程为，过点（5，0）作直线交该双曲线于A和B两点，则下列结论中正确的有（ ） A. 或 B. 该双曲线的离心率为 C. 满足的直线有且仅有一条 D. 若A和B分别在双曲线左、右两支上，则直线的斜率的取值范围是 【答案】BD 【解析】 【分析】根据双曲线的渐近线方程可得，从而可判断A；求出双曲线方程，从而可得离心率，即可判断B；分当两点都在双曲线的右支上和再双曲线的左右两支上两种情况讨论，即可判断C；求出双曲线的渐近线方程，从而可判断D. 【详解】解：因为双曲线的一条渐近线方程为， 所以，解得，故A错误； 双曲线方程为， 故， 所以该双曲线的离心率，故B正确； 点（5，0）为双曲线的右焦点， 当时，， 当两点都在双曲线的右支上时，， 因为，所以这种情况的直线只有一条，且与轴垂直， 当再双曲线的左右两支上时， 可得， 而，可得这样的直线有两条， 综上所述，满足的直线有3条，故C错误； 双曲线的渐近线方程为， 要使A和B分别在双曲线左、右两支上， 则直线的斜率的取值范围是，故D正确. 故选：BD. 11. 一盒中有7个乒乓球．其中5个未使用过，2个已使用过，现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是（ ） A. X的所有可能取值是 B. X最有可能的取值是5 C. X等于3的概率为 D. X的数学期望是 【答案】AC 【解析】 【分析】先求出随机变量X的可能取值，然后求出其对应的概率，由数学期望的计算公式求出E(X)，由此判断四个选项即可. 【详解】记未使用过的乒乓球为A，已使用过的为B， 任取3个球的所有可能是：1A2B，2A1B，3A； A使用后成为B，故X的所有可能取值是3，4，5； ， ， ， 所以X最有可能的取值是4； . 故选：AC 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 函数的最小正周期为_____． 【答案】 【解析】 【分析】利用周期函数的定义，结合正弦函数的周期求出的周期，再作出函数图象求得最小正周期. 【详解】函数的定义域为R， ，是函数的周期， ，作出的图象，如图， 观察图象得，是函数的最小正周期. 故答案为： 13. 设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题． ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ. 可以填入的条件有________． 【答案】①和③ 【解析】 【分析】 根据各组条件一一代入证明即可得解； 【详解】解：可以在横线处填入的条件是① 即若，，且，，则”为真命题． 证明如下：如图2所示，，， ，，， 又，； 在横线处填入的条件不能是②． 如图3所示，即“若，，且，；则”为假命题． 证明：假设，，． 若，则与必不平行，否则与相矛盾 可以在横线处填入的条件是 ③． 即若，，且，，则”为真命题． 如图1所示， 证明如下：，，，或， 假设，则，，又，， 这与相矛盾，因此不成立，故． 故答案为：①或③． 14. 已知数列的通项公式为，数列是首项为，公比为的等比数列，若，其中，则公比的取值范围是_________． 【答案】 【解析】 分析】根据，可得，再根据结合指数运算可得，利用指数函数单调性求，运算整理． 【详解】 ∵，即，则 又∵，即，则 ∵，则，∴，则 ∴ 故答案为：． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，的面积为，求b，c． 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）先根据正弦定理边角转化得出 ，再应用两角和的正弦公式化简求解，结合角的范围即可求角； （2）根据面积公式列式得出得，再应用余弦定理计算求解. 【小问1详解】 由正弦定理，得，故 ． 由，得，代入上式，化简得 ， 由，得，从而上式消去，得 ， 于是，即， 故或，结合，得． 【小问2详解】 由的面积为，得，将代入上式，得　①， 由，结合余弦定理，得　②， 由①②解得． 16. 数据显示，中国直播购物规模近几年保持高速增长态势，而直播购物中的商品质量问题逐渐成为人们关注的重点．已知某顾客在直播电商处购买了件商品． （1）若，且买到的商品中恰好有2件不合格品，该顾客等可能地依次对商品进行检查．求顾客检查的前4件商品中不合格品件数X的分布列． （2）抽检中发现直播电商产品不合格率为0.2．若顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品的概率不小于0.9984，求n的最小值． 【答案】（1）分布列见解析； （2）6. 【解析】 【分析】（1）由题意X的可能值为0，1，2，利用古典概率求法求对应概率值，进而写出分布列； （2）根据题意有，研究不等式左侧的单调性，进而求n的最小值． 【小问1详解】 由题意知，X的取值为0，1，2． ，，． 所以顾客检查前4件商品中不合格品件数X的分布列为 X 0 1 5 P 【小问2详解】记“顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品”为事件A， 则， 由题意，， 所以，即， 设，则， 所以，则递减， 因为，， 所以当时，成立，故n的最小值为6． 17. 在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． （1）若直线l的斜率为1，求； （2）设直线，的斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 【答案】（1） （2）是定值，且定值为 【解析】 【分析】（1）先计算圆心到直线l的距离，再利用垂径定理计算即可； （2）设，与圆方程联立，利用韦达定理化简即可. 【小问1详解】 依题意，得直线，即， 则圆心到直线l的距离，所以． 【小问2详解】 依题意，直线l的斜率存在且不为零，设，， 联立，得， 则，， 所以 ， 所以是定值，且定值为． 18. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 【答案】（1） （2） 【解析】 【分析】（1）根据已知条件求得数列的首项和公差，从而求得. （2）利用错位相减求和法求得. 【小问1详解】 设等差数列的公差为， 依题意，，则 所以，解得，所以. 【小问2详解】 ， 所以， ， 两式相减得 ， 所以. 19. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围. 【答案】（1）单调递增区间为，单调递减区间为；（2）. 【解析】 【分析】（1）求得，分析导数的符号变化，由此可得出函数的单调递增区间和递减区间； （2）分和两种情况讨论，在时验证即可；在时，将所求不等式变形为，由（1）中的结论可得出，参变量分离可得对任意的恒成立，构造函数，利用导数求得函数在区间上的最小值，由此可求得实数的取值范围. 【详解】（1），该函数的定义域为，且， 当时，，当时，. 从而函数的单调递增区间为，单调递减区间为； （2）由于对任意的恒成立，即恒成立， ①当时，，，则恒成立； ②当时，即恒成立， 即恒成立，即，即， 由知，，由于函数在区间上单调递增， 由，可得，即. 令，其中，则， 所以，函数在区间上为增函数，则，此时. 综上所述，实数的取值范围是. 【点睛】本题考查利用导数求解函数的单调区间，同时也考查了利用导数求解函数不等式恒成立问题，考查了指对同构思想的应用，考查运算求解能力，属于难题. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $ 2025届湖北省襄阳随州八校三模联考 高三数学试题 本试卷共4页，19题，全卷满分150分，考试用时120分钟． ★祝考试顺利★ 注意事项： 1、答题前，请将自己的姓名、准考证号、考场号、座位号填写在试卷和答题卡上，并将准考证号条形码粘贴在答题卡上的制定位置． 2、选择题的作答：每小题选出答案后，用2B铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 3、非选择题作答：用黑色签字笔直接答在答题卡对应的答题区域内，写在试卷、草稿纸和答题卡上的非答题区域均无效． 4、考试结束后，请将答题卡上交． 一、选择题：本题共8小题，每题5分，共40分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的． 1. 已知函数，则不等式的解集为（ ） A. B. C. D. 2. 在中，角，，的对边分别为，，.若，则角的最大值为（ ） A. B. C. D. 3. 足球是由个正五边形和个正六边形组成的．如图，将足球上的一个正六边形和它相邻的正五边形展开放平，若正多边形边长为，、、分别为正多边形的顶点，则（ ） A. B. C. D. 4. 某大学共有名学生，为了了解学生课外图书阅读量情况，该校随机地从全校学生中抽取名，统计他们每年阅读的书籍数量，由此来估计全体学生当年的阅读书籍数量的情况，下列估计中正确的是（注：同一组数据用该组区间的中点值作为代表）（ ） A. 中位数为 B. 众数为 C. 平均数为 D. 该校读书不低于本人数约为人 5. 自圆C：(x－3)2＋(y＋4)2＝4外一点P(x，y)引该圆的一条切线，切点为Q，PQ的长度等于点P到原点O的距离，则点P的轨迹方程为（ ） A. 8x－6y－21＝0 B 8x＋6y－21＝0 C. 6x＋8y－21＝0 D. 6x－8y－21＝0 6. 已知函数， 则大小关系是（ ） A. B. C. D. 7. 把5个相同的小球分给3个小朋友，使每个小朋友都能分到小球的分法有（ ） A. 4种 B. 6种 C. 21种 D. 35种 8. 某兴趣小组研究光照时长x（h）和向日葵种子发芽数量y（颗）之间的关系，采集5组数据，作如图所示的散点图．若去掉后，下列说法正确的是（ ） A. 相关系数r变小 B. 决定系数变小 C. 残差平方和变大 D. 解释变量x与预报变量y的相关性变强 二、选择题：本题共3小题，每题6分，共18分，在每小题给出的四个选项中，有多项是符合题目要求，全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分． 9. 已知直线l与平面相交于点P，则（ ） A. 内不存在直线与l平行 B. 内有无数条直线与l垂直 C. 内所有直线与l是异面直线 D. 至少存在一个过l且与垂直的平面 10. 已知双曲线的一条渐近线方程为，过点（5，0）作直线交该双曲线于A和B两点，则下列结论中正确的有（ ） A. 或 B. 该双曲线的离心率为 C. 满足的直线有且仅有一条 D. 若A和B分别在双曲线左、右两支上，则直线的斜率的取值范围是 11. 一盒中有7个乒乓球．其中5个未使用过，2个已使用过，现从盒子中任取3个球来用，用完后再装回盒中．记盒中已使用过的球的个数为X，则下列结论正确的是（ ） A. X的所有可能取值是 B. X最有可能的取值是5 C. X等于3的概率为 D. X的数学期望是 三、填空题：本题共3小题，每题5分，共15分 12. 函数的最小正周期为_____． 13. 设α，β，γ是三个不同的平面，m，n是两条不同的直线，在命题“α∩β＝m，n⊂γ，且________，则m∥n”中的横线处填入下列三组条件中的一组，使该命题为真命题． ①α∥γ，n⊂β；②m∥γ，n∥β；③n∥β，m⊂γ. 可以填入的条件有________． 14. 已知数列的通项公式为，数列是首项为，公比为的等比数列，若，其中，则公比的取值范围是_________． 四、解答题：本题共5小题，共77分 15. 已知a，b，c分别为△ABC的内角A，B，C的对边，且． （1）求A； （2）若，面积为，求b，c． 16. 数据显示，中国直播购物规模近几年保持高速增长态势，而直播购物中的商品质量问题逐渐成为人们关注的重点．已知某顾客在直播电商处购买了件商品． （1）若，且买到的商品中恰好有2件不合格品，该顾客等可能地依次对商品进行检查．求顾客检查的前4件商品中不合格品件数X的分布列． （2）抽检中发现直播电商产品不合格率为0.2．若顾客购买的n件商品中，至少有两件合格产品的概率不小于0.9984，求n的最小值． 17. 在平面直角坐标系中，，过点作直线l与圆交于不同的两点． （1）若直线l的斜率为1，求； （2）设直线，斜率分别是，，探索是不是定值，若是，求出该定值，若不是，说明理由． 18. 已知等差数列的前项和为，且. （1）求数列的通项公式； （2）设，求数列的前项和. 19. 已知函数. （1）求的单调区间； （2）若函数，当时，恒成立，求实数的取值范围. 第1页/共1页 学科网（北京）股份有限公司 $