湖北省襄阳市第五中学2025届高三下学期适应考试三数学试卷

襄阳五中2025届高三下学期适应考试三数学试卷 一、选择题：本题共8小题，每小题5分，共40分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的. 1. 已知集合 ， ，则 （    ） A. B. C. D. 2. 已知复数 ，则“ ”是“ ”的（    ） A. 充要条件 B. 充分不必要条件 C. 必要不充分条件 D. 既不充分也不必要条件 3. 如图，已知 ，用 ， 表示 ，则 等于（   ） A. B. C. D. 4. 已知函数 ，则（    ） A.在上是减函数，且曲线存在对称轴 B.在上是减函数，且曲线存在对称中心 C.在上是增函数，且曲线存在对称轴 D.在上是增函数，且曲线存在对称中心 5. 已知等差数列 的前 项和为 ，且 ，则公差为（   ） A. 4 B. 8 C.10 D.2 6. 若坐标原点O关于动直线l： 的对称点为A，则点A的轨迹为（   ） A. 圆 B. 椭圆 C. 双曲线 D. 抛物线 7. 已知定义在 上的函数 ，对任意 满足 ，且当 时， .设 ， ，则（   ） A. B. C. D. 8. 过双曲线 右支上的点P作C的切线l， ， 为双曲线C的左右焦点，N为切线l上的一点，且 若 ，则双曲线的离心率(    ) A. B. C. 2 D. 二、选择题：本题共3小题，每小题6分，共18分.在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求.全部选对的得6分，部分选对的得部分分，有选错的得0分. 9. 下列说法中，正确的是（ ） A. 数据的第百分位数为 B. 已知随机变量，若，则 C. 样本点的经验回归方程为，若样本点与的残差相等，则 D.，，，和，，，的方差分别为和，若且，则 10. 在正方体 中，点 为棱 中点，则（   ） A. 过有且只有一条直线与直线和都相交 B. 过有且只有一条直线与直线和都垂直 C. 过有且只有一个平面与直线和都平行 D. 过有且只有一个平面与直线和所成角相等 11. 若 ，记 为不超过 的正整数中与 互质（两个正整数除1之外，没有其余公因数）的正整数的个数，例如 ，则下面选项正确的是（    ） A. B. C. 若是质数，则 D. 三、填空题：本题共3小题，每小题5分，共15分. 12.  的展开式中的常数项为_________（用数字作答） 13. 若函数 在 上恰有2个零点，则符合条件的a为__. 14. 如图，有一个触屏感应灯，该灯共有9个灯区，每个灯区都处于“点亮”或“熄灭”状态，触按其中一个灯区，将导致该灯区及相邻（上、下或左、右相邻）的灯区改变状态．假设起初所有灯区均处于“点亮”状态，若从中随机先后按下两个不同灯区，则 灯区最终仍处于“点亮”状态的概率为___．      四．解答题：本题共5小题，共77分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤. 15. 在∆ABC中，内角A，B，C的对边分别为a，b，c， 且 . ​​​​​​​ (1) 求 的大小. (2) 如图所示， 为∆ABC外一点， ， ， ，求 值 16. 已知数列 是等差数列， ，且 成等比数列.给定 ，记集合 的元素个数为 . (1) 求 的值; (2) 求满足 的最小自然数 的值. 17. 在 列联表（表一）的卡方独立性检验中， ，其中 为第i行第j列的实际频数，如 ，而 第i行的行频率 第j列的列频率 总频数，为第i行第j列的理论频数，如 . a b c d 10 20 30 40 （表一） （表二） (1) 求表二 列联表的 值； (2) 求证：题干中 与课本公式 等价，其中 . 18. 若函数 在 上有定义，且对于任意不同的 ，都有 ，则称 为 上的“ 类函数”. (1) 若 ，判断 是否为 上的“3类函数”； (2) 若 为 上的“2类函数”，求实数 的取值范围； (3) 若 为 上的“2类函数”，且 ，证明： ， ， . 19. 已知椭圆 的上顶点为 ，且过点 . (1) 求椭圆 的方程； (2) 若斜率为的直线l与椭圆 交于A，B 两点（直线 PA 斜率为正），直线 PA，PB（若P，B重合，直线PB即为椭圆 在P点处的切线）分别与x轴交于M，N两点，H为PN中点. （i）求 的最大值; （ii）当 最大时，将坐标平面沿x轴折成二面角，在二面角大小变化过程中，求三棱锥外接球表面积取得最小值时三棱锥的内切球的半径. 学科网（北京）股份有限公司 $$参考答案 1-8 BCCDD ADB 9-11 BC ABC BC 12. -11 13. 1 14. 15. 解：(1) b C+ c B=1+2c= a+2c, 在 ABC 中,由正弦定理得, B C+ C B= A+2 C, 由三角形内角和为 可得 A= (B+C), B C+ C B= (B+C)+2 C= B C+ B C+2 C, 即 C B- B C=2 C, <C< , C 0, B- B=2，得 B- B=1. 即 (B- )=1, 又 <B< , B- = ,即 B= ； (2)设 AC=AD,令 DCA= CDA= , CAD= -2 在 ACD 中, 由正弦定理得, = ,CD= , AC= = ， 在 ABC 中,由正弦定理得, = , BAC= - ,BC=1, AC= ， ( - )= ， ( - )= ( - )，解得 = , BCA= ( - ) = . 16. 解：（1）设数列 的公差为 ， 因为 成等比数列，且 ，所以 ， 即 ，即 ，解得 ，所以 ， 又因为 ， 当 时，集合 ，所以集合中元素的个数 ； 当 时，集合 ，所以集合中元素的个数 ； （2）由集合 的元素个数为 ， 结合（1）可得 ， 所以 ， 当 时，可得 ； 当 时，可得 ， 又由 ， 所以数列 为单调递增数列，所以 的最小值是 . 17. 解：（1）由题意得 ， 所以 ； （2） 列联表如下： a b c d 则 ， 所以 ， 同理 所以 18. 解：（1）对于任意不同的 ，都有 因为 ， ，所以 ， 所以 ，即 所以 是 上的“3 类函数”. （2）因为 ， 所以 由题意知，对于任意不同的 ，都有 ， 不妨设 ，则 ， 故 且 ， 故 为 上的增函数， 为 上的减函数， 即 故任意 ，都有 ， 由 得 ，可转化为 ， 令 ， 恒成立，只需 ， 令 ， ,当 时， ， 故 在 上单调递减， 所以 ， ，故 在 上单调递减， ，故 ， 由 得 可转化为 ， 令 ， 恒成立，只需 令 ， ，当 时， ， 故 在 上单调递减， 且 ， ，所以 使 ，即 ， 即 ， 当 时， ， ，故 在 上单调递增， 当 时， ， ，故 在 上单调递减， ，故 ， 综上 .故实数 的取值范围为 （3）因为 为 上的“2 类函数”，所以 ， 不妨设 ， 当 时， ； 当 时，因为 ， ，因为 ， 所以 ，故 综上所述， ， ， . 19. 解：（1）依题意， ， ，解得 ， 所以所求方程为 . （2）（i）设直线 ，由 消去 得 ， 设 ，则 ，直线 的斜率分别为 ， 则 ，则 ，即 ， 在 中，令 ，则 ， ，当 且仅当 时取等号， 所以 的最大值为 . （ii）当 取最大值 时， 是边长为 2 的等边三角形， 过原点 ， 将 沿 轴折成三棱锥 ，将底面 补成等腰梯形 ， 则三棱锥 的外接球即为四棱锥 的外接球． 过等腰梯形 外心即 中点 作直线 平面 ， 过 中心 作直线 平面 ，则 即为三棱锥 外接球 球心， 即为三棱锥 外接球半径，显然 与 重合时三棱锥 外接球半径 最小， 此时 平面 ，三棱锥 为正四面休， 与 交点 即为 中心， 平面 ，而 平面 ，则 ，在等腰梯形 中， ， ，则 ，即 ， 由 平面 ，于是 平面 ，而 平面 ， 因此 ，因此 ， ， 则三棱锥 表面积为 ，设三棱锥 内切球半径为 ， 则 ，解得 .